2020年高考名校考前提分仿真卷 文科数学(一)

绝密 ★ 启用前2020年高考名校考前提分仿真卷文 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21iz =-，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．22．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =I ð（ ） A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3．设32a -=，3log 5b =，cos100c =︒，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若954S =，则5a =（ ） A ．10B ．8C ．6D ．45．函数211()ln 22f x x x =+-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是（ ）A ．1，2，3，4，5B ．5，26，27，38，49C ．2，4，6，8，10D ．5，15，25，35，457．已知π(0,)2α∈，若2sin sin 21αα+=，则tan α=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．228．若向量(2,1)=-a ，(3,2)=-b ，则3+a b 与2+a b 的夹角余弦值为（ ）A ．22-B ．32-C ．31010-D ．31313-9．德国数学家莱布尼兹（1646年1716-年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平比较落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年1765-年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年开始，历时近30年证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）．若输入10n =，则输出的结果P 的值是（ ）A ．11114(1)35717P =-+-++L B ．11114(1)35719P =-+-+-L C ．11114(1)35721P =-+-++LD ．11114(1)35721P =-+-+-L10．已知π04θ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=⋅的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2sin a A ，且b c +=，则cos A =（ ） A ．16B ．25C ．34D ．2312．已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点M ，O 为坐标原点，OM u u u u r 与MA u u u r的夹角为θ，且tan 3θ=，则b =（ ）A ．1 BCD．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(1)xy x e =+在点(0,1)处的切线的方程为 ．14．已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S = ． 15．函数2()4sincos cos 2sin 4422x x x xf x =+的最小值为 ． 16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1DB 与平面11ADD A ，ABCD ，11DCC D 的夹角分别为α，β，θ，若111118A B BB C B ++=，2221111124A B BB C B ++=，则sin sin sin αβθ++= ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌得到如下22⨯列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，然后从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率；（2）根据以上22⨯列联表，问是否有95%以上的把握认为"性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，7127S =，且8a 是216a 和514a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当20a >时，令22log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，CB ⊥平面11BAA B ，122CB BB AB ===，160BAA ∠=︒．（1）证明：平面11BAC ⊥平面ABC ；（2）若E 为AC 的中点，求点E 到平面11BA C 的距离．20．（12分）已知函数()cos xf x e x =-的导函数为()g x ． （1）证明：()g x '在区间(π,0)-存在唯一零点；（2）若对任意x ∈R ，()cos f x ax x ≥-恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）已知动点P 到点1(,0)2的距离比到直线1x =-的距离小12，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上一点00(2,)(0)M y y >作两条直线1l ，2l 与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k =，证明：直线AB 过定点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是22233141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102sin cos ρθθ=+．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上的任意一点M 作与l 夹角为π3的直线，交直线l 于点N ，求MN 的最大值与最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=． （1）求证：14116a b c++≥； （2≤绝密 ★ 启用前2020年高考名校考前提分仿真卷文科数学答案（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B 解：∵2(1i)1i (1i)(1i)z +==+-+，∴z2．答案：D解：∵{3,4,5}Q =，∴{1,2,6}U Q =ð，∴(){1,2}U P Q =I ð． 3．答案：B解：∵32(0,1)a -=∈，3log 51b =>，cos100cos800c =︒=-︒<， ∴b a c >>． 4．答案：C 解：∵19599()925422a a a S +⋅===，所以56a =． 5．答案：C解：由()()f x f x -=，得()f x 为偶数，图象关于y 轴对称，排除D ；2131()022f ee =-+<，排除A ；211()022f e e =+>，排除B ，故选C ．6．答案：D解：采用系统抽样时，要求将总体分成个数相等的若干部分，抽样的间隔也要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，∴间隔为50105=， 只有D 答案中的编号间隔为10． 7．答案：A解：22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2ααααααα+==+⇒=⇒=．8．答案：C解：3(3,1)+=-a b ，2(4,3)+=-a b ，设3+a b 与2+a b 的夹角为θ，则cos θ==． 9．答案：B解：根据框图计算循环依次为112S i =⎧⎨=⎩，2112213S i ⎧=-⎪⨯-⎨⎪=⎩，311132314S i ⎧=-+⎪⨯-⎨⎪=⎩，L ，911113529110S i ⎧=-+-+⎪⨯-⎨⎪=⎩L ，1011111357210111S i ⎧=-+-+-⎪⨯-⎨⎪=⎩L ， 此时1110i =>，输出4P S =，即为π的近似值． 10．答案：D解：双曲线1C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=， ∴离心率为11cos e θ=； 曲线2C 的实轴长为2sin θ，虚轴长2sin tan θθ，焦距为2tan θ=， ∴离心率为2tan 1sin cos e θθθ==，可知选项D 正确． 11．答案：C解：由三角形面积公式可得21sin sin 2ABC S bc A a A ==△，所以22a bc =， 又222222222()2843cos 2244b c a b c bc a a a a A bc bc a +-+----====．12．答案：B解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得121212122()()()()04x x x x y y y y b-+-++=， ∵12121y y x x -=--，∴00204x y b-=，即2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则π4θα=+或3π4θα=-，∴tan 1tan 1tan αθα+=±-，又200tan 4y b x α==，∴2214314b b +=-，解得22b =，即b =．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：21y x =+解：∵(2)xy x e '=+，∴切线斜率2k =，∴切线方程为12y x -=，即21y x =+． 14．答案：11解：因为34a =，48a =-，所以432a q a ==-，因此512481611S =-+-+=． 15．答案：1 解：22()4sincos cos 2sin 2sin cos (12sin )14422222x x x x x x xf x =+=--+Qπsin cos 1)14x x x =-+=-+，所以函数()f x的最小值为1． 16．答案：3解：连接1DA ，DB ，1DC ，由长方体的性质知，11A DB α∠=，1BDB β∠=，11C DB θ∠=，∵2221111124A B BB C B ++=，∴1DB =∴11111111111111sin sin sin 3A B BB C B A B BB C B DB DB DB DB αβθ++++=++===．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1）35；（2）有95%以上的把握认为． 解：（1）根提分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A ，B ，C ，不挑同桌有2人，记为d ，e ，从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，Ade ，BCd ，BCe ，Bde ，Cde 共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe 共6种， 故所求的概率为63105P ==． （2）根据以上22⨯列联表，计算22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．18．答案：（1）见解析；（2）41(1)32n n n n T --=+． 解：（1）由8a 是216a 和514a 的等差中项，得82521614a a a =+，即7411187a q a q a q =+，所以63780q q --=，即33(8)(1)0q q -+=，解得公比2q =或1-．当2q =时，由7171(1)12711a q S a q-==⇒=-，所以12n n a -=； 当1q =-时，由7171(1)1271271a q S a q-==⇒=-，所以1127(1)n n a -=⋅-． （2）当20a >时，知12n n a -=，∴212log 41n n n n b a a n -=+=+-， 所以数列{}n b 的前n 项和(14)(1)41(1)14232n nn n n n n T ----=+=+-． 19．答案：（1）证明见解析；（2． 解：（1）因为CB ⊥平面11BAA B ，可得1CB A B ⊥，在1AA B △中，由余弦定理可得，1A B =22211AB A B AA +=，所以1AB A B ⊥， 又因为AB CB B =I ，所以1A B ⊥平面ABC ，又因为1A B ⊂平面11BA C ，所以平面11BAC ⊥平面ABC ．（2）由已知得，11C B CB ∥，∴11C B ⊥平面11BAA B，所以1BC =11AC = 由（1）可得，1A B 1A B ⊥平面111A B C，则1111112BA CS A C BA =⨯⨯=△， 因为11AC A C ∥，AC ⊄平面11BA C ，11A C ⊂平面11BA C ，所以AC ∥平面11BA C ，从而点E 到平面11BA C 的距离等于点A 到平面11BA C 的距离， 设点E 到平面11BA C 的距离为d ，由111111E BA C A BA C C BAA V V V ---==，得1111112332BA C S d ⨯⨯=⨯⨯△，所以5d =， 即点E 到平面11BA C20．答案：（1）证明见解析；（2）[0,]e ．解：（1）()()sin xg x f x e x '==+，则()cos xg x e x '=+，因为cos y x =与xy e =在(π,0)-均为增函数，故()g x '在(π,0)-为增函数，又π(π)10g e-'-=-<，且(0)20g '=>，则(π)(0)0g g ''-<，结合零点存在性定理知()g x '在区间(π,0)-存在唯一零点．（2）构造函数()()(cos )xF x f x ax x e ax =--=-，x ∈R ，由题意知()0F x ≥恒成立．①当0a <时，11()10a F e a=-<，与题意矛盾，舍去；②当0a =时，()0xF x e =>，符合题意；③当0a >时，()xF x e a '=-，∴()F x '为增函数，当(,ln )x a ∈-∞时，()0F x '<，即()F x 在(,ln )a -∞单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0F x '>，即()F x 在(ln ,)a +∞单调递增， 则ln min ()(ln )ln (1ln )aF x F a ea a a a ==-=-，要使()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，即需使min ()0F x ≥，即(1ln )0a a -≥，解得0a e <≤， 综上所述，a 的取值范围为[0,]e ．21．答案：（1）22y x =；（2）证明见解析．解：（1）由题意可知，动点P 到点1(,0)2的距离与到直线12x =-的距离相等， 所以点P 的轨迹是以1(,0)2为焦点，直线12x =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为22y x =．（2）易知(2,2)M ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 因为12121222122y y k k x x --=⋅=--，即121212122()2()y y y y x x x x -+=-+， 所以222440b b m m --+=，所以22(1)(21)b m -=-，所以2b m =或22b m =-+， 当22b m =-+时，直线AB 的方程为22x my m =-+，过定点(2,2)，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 方程为2x my m =+，过定点(0,2)-，所以直线AB 过定点(0,2)-．22．答案：（1）22:1(3)94x y C x +=≠-，:2100l x y +-=；（2）最小值为3，最大值解：（1）222131:221x t t C y tt ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，平方相加后得22194x y +=，又2223363(3,3]11t x t t -==-+∈-++，即曲线C 的普通方程为221(3)94x y x +=≠-，∵直线l 的极坐标方程为102sin cos ρθθ=+，即cos 2sin 10ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为2100x y +-=．（2）∵点M 为曲线C 上的任意一点，∴设点M 的坐标为(3cos ,2sin )αα， 点M 到直线l的距离为d ==，其中3tan 4ϕ=，∴)10πsin 3d MN αϕ==+-，当sin()1αϕ+=时，MN当sin()1αϕ+=-时，MN取得最大值 23．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析． 解：（1）∵a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=， 故14114144()()6b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++6642416≥+=+++=， 当且仅当14a c ==，12b =时，等号成立，即14116a b c++≥． （23=332332332153()()93222323a b c a b c +++++++++≤++=== 当且仅当13a b c ===时，等号成立，。