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高中数学必修５基本不等式知识点总结一．算术平均数与几何平均数１．算术平均数设a 、b 是两个正数，则2a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数a 、b 的几何平均数二基本不等式１．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥ ２．基本不等式适用的条件一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值三相等：必须有等号成立的条件注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值３．常用的基本不等式（１）()222,a b ab a b R +≥∈ （２）()22,2a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭（４）()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭． 三．跟踪训练１．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y = D ．1y x =+- ２．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ.３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x的值最小？最小值是多少？４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y+的最小值是多少？７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把∆ＡＢＣ沿ＡＣ向∆ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求∆ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值。
必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。
2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。
3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。
4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。
其中，k1和k2是实数。
5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。
6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。
练习主题 基本不等式知识点一：基本不等式如果a 、b 是正数，那么ab ≤2b a +（当且仅当a=b 时，等号成立），我们把不等式ab ≤2ba +（a 、b ≥0）称为基本不等式.证法一：对于正数a 、b 有2b a +-ab =21（a+b-ab 2） =21[（a ）2+（b ）2-2ab ]=21（a -b ）2因为（a -b ）2≥0，所以2b a +-ab ≥0，即ab ≤2ba +，当且仅当a =b ，即a=b 时，等号成立.当a 、b ∈R 时，由（a-b ）2≥0可得：a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2+2ab ≥4ab ，即2b a 22+≥ab ，（2b a +）2≥ab ，当且仅当a=b 时，等号成立.从而得到：当a 、b ∈R 时，ab ≤2b a 22+（当且仅当a=b 时，等号成立）ab ≤（2b a +）2（当且仅当a=b 时，等号成立） 这两个不等式通常可以直接使用.例1、设a 、b 为正数，证明下列不等式成立.（1）a b +b a ≥2； （2）a+b+a 1+b1≥4；对应练习：1、下列不等式中正确的是（ ）A. a+a 4≥4 B. x 2+2x 3≥32 C. ab ≥2b a + D. a 2+b 2≥4ab2、不等式a+1≥a 2（a ＞0）中等号成立的条件是（ ）A. a=0B. a=21C. a=1D. a=2 3、证明： （1）a+1-a 1≥3（a ＞1）； （2）x+x1≤-2（x ＜0）知识点二：基本不等式与最大（小）值 1、和积（最值）定理（1）已知a ＞0，b ＞0，则如果a+b=m （和为定值），那么当a=b 时，ab 有最大值：4m 2；（2）已知a ＞0，b ＞0，则如果a ·b=m （积为定值），那么当a=b 时，a+b 有最小值：m 2； 证明：因为a 、b 都是正数，所以2ba +≥ab ，当且仅当a=b 时，等号成立. （1）当a+b 为定值m 时，有ab ≤2m，所以xy ≤4m 2，当且仅当a=b 时，等号成立。
2020年高中数学必修五《基本不等式》精品教案精品版《基本不等式：«Skip Record If...»》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A版）第三章3.4节一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式«Skip Record If...»。
教学难点：理解“当且仅当«Skip Record If...»时取“«Skip Record If...»”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形«Skip RecordIf...»的面积肯定大于«SkipRecord If...»个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？«Skip Record If...»1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当«Skip RecordIf...»时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
第十五讲：基本不等式【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一：基本不等式 1.对公式222a b ab +≥及2a bab +≥的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a bab +≥可以引申出常用的常用结论 ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）； ③222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a bab +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. 要点二：基本不等式a +bab 2≤的证明 方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：特别的，如果0a >，0b >,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >,2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点三：基本不等式2a bab +≤的几何意义如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a b+≥成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而(3)(2)2-+-≥.2．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b 取等号，其含义是2a ba b +=⇒=；仅当a=b 取等号，其含义是2a ba b +==.综合上述两条，a=b 是2a b+=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案. 【典型例题】类型一：对公式222a b ab +≥及2a b+≥ 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 .（1）a b++； （2）11()()a b a b++的最小值为4； （3）14a a ++的最小值为2-. 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵0a >，0b >，∴a b++≥≥（当且仅当2a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x+≥B ．当x >02≥C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值【答案】 B【变式2】设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≤1”是“||||x y +≤( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2≤1， ∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2≤2.∴||||x y +≤取x ＝0，y =x 2＋y 2≤1，故是充分不必要条件．类型二：利用基本不等式证明不等式例2. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【总结升华】 1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【变式】已知x 、y 都是正数，求证：223333()()()8x y x y x y x y +++≥.【答案】∵x 、y 都是正数，∴0x >，0y >，20x >，20y >，30x >，30y >0x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）220x y +≥> （当且仅当x y =时，取等号）330x y +≥>（当且仅当x y =时，取等号）∴223333()()()8x y x y x y x y +++≥= （当且仅当x y =时，取等号） 即223333()()()8x y x y x y x y +++≥. 例3.已知3a >，求证:473a a +≥- 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433a a =--即5a =,等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明. 举一反三：【变式1】已知x 、y 都是正数，求证：2y xx y+≥. 【答案】∵x 、y 都是正数 ，∴0x y >，0yx>，∴2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立）故2y xx y+≥. 【高清课堂：基本不等式392186 例题3】 【变式2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c++≥++. 【答案】证明： ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴2bc ac c a b +≥=，2ac ab a b c +≥=，2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++. 类型三：利用基本不等式求最值 例4. 求函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.【解析】∵5x >，∴50x ->∴9()4(5)2020325f x x x =-++≥=- （当且仅当94(5)5x x -=-即352x -=时，取等号） 故当132x =时，函数9()45f x x x =+-(5x >)的最小值为32.【总结升华】 1. 形如()Bf x Ax x=+（0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件. 举一反三：【变式1】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281()f x x x=+的值最小？最小值是多少？【答案】∵0x ≠，∴20x >，∴2281()18f x x x =+≥= （当且仅当2281x x =即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，2281x x+的值最小为18.【变式2】已知0x <，求16()204f x x x=++的最大值.【答案】∵0x <，∴0x ->，∴4()224x x -+≥=⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立）∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立）故当2x =-时，()f x 的最大值为4.例5. 已知x ＞0，y ＞0，且191x y+=，求x+y 的最小值. 【思路点拨】要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】 方法一：∵191x y +=，∴199()10y xx y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y=，即y=3x 时，取等号） 又191x y+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16. 方法二：由191x y +=，得9y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞999991(9)109999y y x y y y y y y y y y -++=+=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0，∴9969y y -+≥=- （当且仅当999y y -=-，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16.【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.举一反三：【变式1】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则11x y+的最小值为________；【答案】 3+【变式2】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝14a b+的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．5【答案】 ∵0a >,0b >，∴141141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 答案选C例6.已知,0a b >，（1）若4ab =,求a b +的最小值； （2）若4a b +=,求ab 的最大值. 【解析】（1）方法一：∵,0a b >且4ab =,∴4a b +≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4. 方法二：∵,0a b >且4ab =,∴44a b a a +=+≥=，即4a b +≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，a b +的最小值为4. （2）方法一：∵,0a b >，∴4a b =+≥4ab ≥（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4. 方法二：∵,0a b >，∴2()42a b ab +≤=，（当且仅当2a b ==时取等号） ∴2a b ==，ab 的最大值为4. 方法三：∵,0a b >，4a b +=，∴22(4)4(2)44ab a a a a a =-=-+=--+≤（当且仅当2a b ==时取等号）∴2a b ==，ab 的最大值为4. 【总结升华】1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +∈，且a b M +=，M 为定值，则24M ab ≤，等号当且仅当2Ma b ==时成立.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且ab P =，P 为定值，则2a b P +≥，等号当且仅当a b P ==时成立.举一反三：【变式1】已知0x >，0y >，9xy =，求x y +的最小值. 【答案】∵0x >，0y >，9xy =，∴由26x y xy +≥=（等号当且仅当3x y ==时成立） 故当3x y ==时，xy 的最小值为6.【变式2】已知0x >，0y >，8x y +=，求xy 的最大值. 【答案】解法一：∵0x >，0y >，8x y +=，∴28(8)()162x x xy x x +-=-≤= （当且仅当8x x =-即4x =时，等号成立）故当4x =时，xy 的最大值为16.解法二：∵0x >，0y >，82x y xy =+≥， 即8422x y xy +≤==，可得16xy ≤，（当且仅当4x y ==时，等号成立） 故当4x =时，xy 的最大值为16. 类型四：利用基本不等式解应用题例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为28m . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得1822x x y x ⋅+⋅=， ∴2884(042)4x xy x x x -==-<<.于是，框架用料长度为22222l x y x =++⨯3163(2)216(2)464222x x =++≥+=+.当316(2)2x x +=，即842322x ==-+时等号成立.此时， 2.343x ≈，22 2.828y =≈.故当x 约为2.343 m ，y 约为2.828 m 时用料最省.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2322326x y x y xy +≥⋅=，∴2618xy ≤，得272xy ≤，即272S ≤，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由231823x y x y +=⎧⎨=⎩，解得 4.53x y =⎧⎨=⎩故每间虎笼长为4.5 m 、宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2324x y +≥==，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由2324x y xy =⎧⎨=⎩，解得64x y =⎧⎨=⎩. 故每间虎笼长为6 m 、宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．【巩固练习】一、选择题1. 下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥ B ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值 2.若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( )①ab ≤1≤；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤112a b+≥. A ．1 B ．2C ．3D ．43.设0,0a b >>,是3a 与3b 的等比中项,则11a b +的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.144．若-4<x<1，则22222-+-x x x 有（ ） A ．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-15. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为230400010x y x =-+，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240B ．200C ．180 D. 1606．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.9 2D.112二、填空题7．已知x，y∈R＋，且满足134x y+=，则xy的最大值为________．8．若lgx+lgy=1，则yx52+的最小值为_____.9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．10. 若对任意x＞0，231xax x≤++恒成立，则a的取值范围是________．11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．三、解答题12. 若1->x，则x为何值时11++xx有最小值，最小值为几？13. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：1119a b c++≥.14.求证:47(3)3a aa+≥>-15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．【答案与解析】1．【答案】 B【解析】A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，∴1lg2lgxx+≥或1lg2lgxx+≤-；C中，当x≥2时，min152xx⎛⎫+=⎪⎝⎭；D 中，当0<x≤2时，1y x x =-在(0,2]上递增，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选B. 2. 【答案】 C 【解析】 因212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以①正确；因224a b a b =++=+≤++=，2≤，故②不正确； 因22222a b a b ++≥=，所以③正确； 因a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2[(a ＋b )2－3ab ]＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2，所以④不正确； 因1122a b a b ab ab++==≥，所以⑤正确． 故正确的命题为①③⑤.3．【答案】B【解析】由题意的33a b +=，所以1a b +=，则1111()()1124b a a b a b a b a b +=++=+++≥.4．【答案】D 【解析】.1221]11)1[(21)1(21)1(222222-=⨯-≤-+--=-+-=-+-x x x x x x x5. 【答案】B【解析】依题意得每吨的成本是40003010y x x x =+-，则3010y x ≥=，当且仅当 400010x x=，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.6．【答案】 B【解析】 ∵2222x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴228(2)2x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0∴x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍)．7．【答案】 3【解析】 由134x y +=为定值知 23412123342x y x y xy ⎛⎫+ ⎪=⋅⋅≤= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴当且仅当34x y =时xy 有最大值3.8．【答案】2【解析】lgx+lgy=1, xy=10, 210252=≥+xyy x . 9. 【答案】116【解析】21141444216x y xy x y +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当142x y ==时取等号．10. 答案: 15a ≥ 【解析】 211313x a x x x x≥=++++ 又12x x+≥ ∴11153x x≤++ ∴15a ≥11. 【答案】2500 m 2【解析】设所围场地的长为x ，则宽为2004x -，其中0<x <200，场地的面积为2220012002500m 442x x x x -+-⎛⎫⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝100时等号成立．12. 【解析】∵1x >-, ∴10x +>,∴111121111x x x x +=++-≥-=++ 当且仅当111x x +=+即0x =时，原式有最小值1. 13.【解析】 证明：∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴11a b c b c a a a a ++==++， 11a b c a c b b b b ++==++， 11a b c a b c c c c++==++. ∴1111113b c a c a b b a c b a c a b c a a b b c c a b b c c a++=++++++++=++++++3≥+3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴1119a b c++≥. 14.【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 15. 【解析】(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用为y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝(6x 2－6x )(元)．(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x 元，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为21600(66600) 1.54006594y x x x x x=-++⨯=++.∴594714y ≥=， 当且仅当6006x x=，即x ＝10时，取等号． ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最小，为714元．。
