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⼯程电磁场部分课后习题答案12-1 ⼀点电荷q放在⽆界均匀介质中的⼀个球形空腔中⼼■设介质的介电常数为⼀空腔的半径为S求空腔表⾯的极化电荷⾯密度。
解由⾼斯定律，介质中的电场强度为-P(SM- e r) =KT ⼆——_- E4πer2*r由关系式n = e0E+P,得电极化强度为P-(E - Eo)E = ---- --- -4 Tter因此，空腔表⾯的极化电荷⾯密度为1-3-1从静堪场基本⽅程出发‘证明当电介质均匀时*极化电荷密度P P 存在的条件是⾃由电荷的体密度P不为零,且有关系式P P- - (I-^)P O 解均匀介质的E为常数C t从关系式D= ε0E + P Xr> = εE1得介质中的电极化强度P=D-ε0E-D-E0≤ = (l扱化电荷密度PP =-V -P= - V *[(1 -~)D \=?D灼(1 ⼀“)Tl )V ?！>εε由円?DP和Sl -号)=仇故上式成为P P=-学)⼙1-4-3 IJillF列静电场的边值问题：(0电荷体密度分别为⾓和他，半径分别为G的双层同⼼带电球体(如题1 - 4 - 3 图(a));(2)在两同⼼导体球壳间，左半部和右半部分别填充介电常数为引与∈2 的均匀介质，内球壳带总电荷量为外球売接地(如题1-4-3图(b));(3)半径分别为α与B的两⽆限也空⼼同轴圆柱⾯导体，内圆柱表⾯上单位长度的电量为⼚外圆柱⾯导休接地(如题I -3图(C))O仅供⽤于学习版权所有郑州航院电⽓⼯程及其⾃动化邓燕博倾⼒之作J? t -4- 3 图解（1）选球坐标系，球⼼与原点重合⼨数，故有如下静电场边值问题：由对称性町知，电位护仅为⼚的函y1 d zd7σ豁-EO(0≤r< α)d / 不&豁-(aI Y Ct ( 乔& (XY 8：r = a=?’r ≡αιL严翠f P2F = A =拓I lr = A—⾦⼀e?r =卄L呦=有限值，P-I rf 8-0（2）选球坐标乘*球⼼与原点重介。
工程电磁场与电磁波基础（张慧娟杨文荣李玲玲著）课后答案工程电磁场与电磁波基础（张慧娟杨文荣李玲玲著）课后答案《工程电磁场与电磁波基础》是一本张惠娟杨文荣李玲玲等编制，在xx-03-23出版的书籍。
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前言第1章电磁场的数学与物理基础知识11?1电磁场与矢量代数11?1?1矢量及其表示方法11?1?2矢量相加21?1?3矢量的乘积运算21?2正交曲面坐标系41?3标量场及其梯度61?3?1标量场的等值线或等值面61?3?2标量场的方向导数与梯度71?4矢量场的通量、散度与高斯散度定理91?4?1矢量场的矢量线91?4?2矢量场的通量101?4?3矢量场的散度111?4?4矢量场高斯散度定理121?5矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理121?5?1矢量场的环量121?5?2矢量场的旋度121?5?3矢量场斯托克斯定理141?6亥姆霍兹定理141?6?1矢量场的分类141?6?2矢量场常用梯度、散度、旋度的关系定理15 1?6?3矢量场亥姆霍兹定理161?7电磁场麦克斯韦方程组与电磁场的分类171?7?1电磁场麦克斯韦方程组171?7?2电磁场的分类及其特点181?8矢量场唯一性定理20习题120第2章静电场222?1静电场的基本物理量——电场强度与电位22 2?1?1静电场的源——电荷与分布电荷222?1?2电场强度及其积分公式242?1?3静电场的守恒性与电位262?2高斯定理332?2?1真空中的高斯定理342?2?2静电场中的导体及其特性362?2?3静电场中介质的极化及其极化特性362?2?4介质中的高斯定理402?3静电场的基本方程与场域分界面的衔接条件43 2?3?1单一媒质中静电场的基本方程432?3?2两种媒质分界面上场量的衔接条件442?4静电场的边值问题502?4?1静电场的边值问题概述502?4?2直接积分法542?4?3分离变量法592?4?4镜像法662?5静电场理论分析的工程应用792?5?1静电场分析应用之一：电容802?5?2静电场分析应用之二：电场能量842?5?3静电场分析应用之三：电场力86习题289第3章恒定电场943?1导电媒质中的电流943?1?1电流与电流密度943?1?2欧姆定律的微分形式963?1?3焦耳定律的微分形式983?1?4超导电性993?2恒定电场的基本方程993?2?1电流连续性方程993?2?2电源电动势和局外场强1003?2?3电场强度的闭合路径线积分1013?2?4恒定电场的基本方程1013?3导电媒质分界面的衔接条件1023?3?1两种导电媒质分界面的衔接条件102 3?3?2恒定电场的边值问题1033?3?3两种特殊分界面的衔接条件1033?4导电媒质中恒定电场与静电场的比拟106 3?5电导和接地电阻1073?5?1电导和电阻1073?5?2接地电阻1113?5?3跨步电压112习题3113第4章恒定磁场1164?1磁感应强度，磁通连续性定理1164?1?1安培力定律，磁感应强度1164?1?2磁场的叠加性1184?1?3磁通和磁通连续性定理1204?2安培环路定律1214?2?1真空中的安培环路定律1214?2?2物质的磁化，一般形式的安培环路定律123 4?2?3铁磁材料的静态磁滞回线1294?3恒定磁场的基本方程，分界面上的衔接条件130 4?3?1恒定磁场的基本方程1304?3?2分界面上的衔接条件1304?4恒定磁场的位函数及其边值问题1324?4?1标量磁位1324?4?2标量磁位的边值问题1344?4?3部分标量位1354?4?4矢量磁位1354?4?5矢量磁位的边值问题1394?4?6磁场中的镜像法141Ⅵ〖〗工程电磁场与电磁波基础目录Ⅶ4?5恒定磁场分析应用之一：电感1424?5?1自感1424?5?2互感1454?5?3诺依曼公式1474?6恒定磁场分析应用之二：磁场能量及磁场力148 4?6?1恒定磁场中的能量1484?6?2磁场能量的分布和密度1504?6?3磁场力1524?7磁路及其计算1554?7?1铁磁质和非铁磁质的分界面，磁路1554?7?2磁路定律1564?7?3磁屏蔽160习题4160第5章时变电磁场1635?1电磁感应定律1635?1?1静态电磁场与时变电磁场的特性1635?1?2法拉第电磁感应定律1645?2位移电流与全电流定律1675?3时变电磁场的基本方程——麦克斯韦方程170 5?4时变电磁场的边界条件1755?5时变电磁场的波动方程1805?5?1波动方程的一般形式1805?5?2正弦电磁场及其波动方程的复数形式181 5?6时变电磁场的动态位及其达朗贝尔方程184 5?6?1动态矢量位与标量位函数184 5?6?2动态位的达朗贝尔方程1845?6?3动态位的积分解与其滞后现象1875?7坡印廷定理与坡印廷矢量1915?8准静态电磁场1975?8?1电准静态场1975?8?2磁准静态场198习题5201第6章正弦平面电磁波的传播2046?1正弦均匀平面电磁波2046?2平面电磁波在无限大理想介质中的传播2056?2?1一维波动方程的解及其物理意义2056?2?2理想介质中的正弦均匀平面电磁波的传播特性206 6?2?3平面电磁波的能量密度与能流密度2086?3平面电磁波在无限大导电媒质中的传播2116?3?1导电媒质中正弦均匀平面电磁波的传播特性211 6?3?2强导电媒质中的电磁波2146?3?3弱导电媒质中的电磁波2166?3?4导电媒质中正弦均匀平面电磁波的能量2176?4平面电磁波的极化2176?4?1直线极化2186?4?2圆极化2196?4?3椭圆极化2196?4?4极化旋转方向的判断方法2196?5平面电磁波在有界媒质中的传播——垂直入射222 6?5?1介质与理想导体表面的垂直入射2226?5?2两种导电媒质分界面的垂直入射2256?5?3多种媒质分界面的垂直入射2286?6平面电磁波在有界媒质中的传播——斜入射230 6?6?1沿任意方向传播的平面电磁波2316?6?2介质与理想导体表面的斜入射2336?6?3两种介质分界面上的斜入射2356?6?4全反射与全折射238习题6244第7章导行电磁波2477?1TEM波、TE波、TM波2477?2均匀传输线方程及其正弦稳态分析2507?2?1传输线方程2517?2?2正弦稳态下均匀传输线方程及其解2537?2?3无损耗均匀传输线及其阻抗匹配2557?3波导中的电磁波2587?3?1矩形波导中的电磁波2597?3?2圆柱形波导中的电磁波2657?4波导中的传输功率2707?5谐振腔271习题7277第8章电磁辐射2798?1电磁波的辐射2798?2电偶极子的辐射2808?3磁偶极子的辐射2838?4对偶原理285习题8287第9章工程电磁场数值分析初步2889?1位场的边值问题2889?2有限差分法2889?2?1差分格式2899?2?2差分方程组的解2909?3有限元法2929?3?1变分方法和算子概念2939?3?2静电场泊松方程边值问题等价的变分问题293 9?3?3单元剖分和有限元离散294附录297附录A常用公式297附录B部分习题参考答案298参考文献3081.工程电磁场与电磁波基础答案。
工程电磁场课后题答案1．a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，O为菱形中心，∠abc=120°。
现将三个等量的正点电荷＋Q分别固定在a、b、c三个顶点上，下列说法正确的有（）[单选题] *A．d点电场强度的方向由d指向OB．O点电场强度的方向由d指向OC．O点的电场强度大于d点的电场强度(正确答案)D．O点的电场强度小于d点的电场强度2．如图所示，平行板电容器与电动势为E的电源连接，上极板A接地，一带负电的油滴固定于电容器中的P点，现将平行板电容器的下极板B竖直向下移动一小段距离，则（） [单选题] *A．带电油滴所受静电力不变B．P点的电势将升高(正确答案)C．带电油滴在P点时的电势能增大D．电容器的电容减小，极板带电荷量增大3．如图为三根通电平行直导线的断面图，若它们的电流大小都相同，且，则A点的磁感应强度的方向是（） [单选题] *A．垂直纸面指向纸外B．垂直纸面指向纸里C．沿纸面由A指向BD．沿纸面由A指向D(正确答案)4．如图所示，伏安法测电阻的电路中，电压表的量程为，内阻为，测量时发现电压表的量程过小，在电压表上串联一个阻值为的定值电阻，最后电压表示数为，电流表示数为，关于的阻值下列说法正确的是（）[单选题] *A．Rx大于60Ω(正确答案)B．Rx等于60ΩC．Rx大于20ΩD．Rx等于20Ω5．在研究微型电动机的性能时，应用如图所示的实验电路，当调节滑动变阻器R使电动机停止转动时，电流表和电压表的示数分别为0.5A和2.0V。
重新调节R使电动机恢复正常运转，此时电流表和电压表的示数分别为2.0A和24.0V。
则这台电动机正常运转时输出功率为（） [单选题] *A．47WB．44WC．32W(正确答案)D．18W6．用两只完全相同的电流表分别改装成一只电流表和一只电压表。
将它们串联起来接入电路中，如图所示，此时（） [单选题] *A．电流表指针的偏转角小于电压表指针的偏转角(正确答案)B．两只电表的指针都不偏转C．两只电表的指针偏转角相同D．电流表指针的偏转角大于电压表指针的偏转角7．一带负电油滴在场强为E的匀强电场中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从A运动到B的过程中，下列判断正确的是（） [单选题] *A．油滴的电势能减少(正确答案)B．A点电势高于B点电势C．油滴所受电场力小于重力D．油滴重力势能减小8．如图所示，直线A为电源的U—I图线，直线B为电阻R的U—I图线，用该电源和电阻组成闭合电路时，电源的输出功率和电路的总功率分别是（）[单选题] *A．4W，8WB．2W，4WC．4W，6W(正确答案)D．2W，3W9．电流表的内阻是，满刻度电流值是，现欲把这个电流表改装成量程为1.0V的电压表，正确的方法是（） [单选题] *A．应串联一个0.1Ω的电阻B．应并联一个0.1Ω的电阻C．应串联一个1800Ω的电阻(正确答案)D．应并联一个1800Ω的电阻10．如图所示，带电粒子（不计重力）以初速度v0从a点垂直于y轴进入匀强磁场，运动过程中经过b点，Oa＝Ob。
习题4-16解：B 只有x 分量，从平面图可见x =0时l Id v 与r r 垂直，x ≠0时l Id v 与r r垂直 απμπμRd dl R IRdlR R R Idl dB x ===∴,443'0'2'0()()3222032220203'202424X RIR X R IR d R IR B +=+==∴∫μππμαπμπ习题4-18解：dbd Ia dr r I S d r I S d B b d d S S +==⋅=⋅=Φ∫∫∫+ln2220000πμπμαπμv v v v习题4-19解：αcos 22221ab b ＝a R −+ααπcos 2)cos(2222222ab b a ab b ＝a R ++=−−+任一点xIB πμ20=1200ln 222221R Ra I adx r I R R AB πμπμ=⋅=Φ∴∫习题4-20解：由安培环路定律10R r <<时，取单位长，22102r R I r B ππμπ=⋅，r R IB 2102πμ=21R r R <<时，I r B 02μπ=⋅，rIB πμ20=32R r R <<时，)()([])()([22223222022232220R R R r I I R R R r I I r B −−−=−−−=⋅μππμπ课后答案网ww w.kh da w .c om)()(222232230R R r R r I B −−=πμ 3R r >时，02=⋅r B π，0=B习题4-21解：任意点：j x D Ix I B v v ))(22(00−+=πμπμ习题4-22解：电流反向，则磁力线反向j x D I x I B v v )(22(00−−=πμπμ习题4-23解：I r B μωπ=⋅2，rIB πμω2=wb R R Ib dr r Ib R R 31210973.0ln 2221−×==⋅=Φ∴∫πμωπμω习题4-24解：P176例中，)(220a d d I −−=Φμ本题，wb a d d I 322109696.0))((−×=−−=Φωμ习题4-25解：B 1、B 2只有t 分量，由边界条件H 1t =H 2tT H B t 2.10024.050000111===μμμ习题4-26解：...1)2(0201122232232223223=−−∂∂=−−∂∂∂∂∂∂=×∇z z r e r R R r R r I r R R r R r I z re r e e r H v v v v v ππαα课后答案网ww w.kh da w .c om习题4-27解：0点上下的m ϕ，0=∞m ϕ 带I 圆导线线圈在轴线上产生的2/32)(2x R IR BH +==μ I l d H BAB A =⋅=−∫vv ϕϕ习题4-28解：忽略边缘效应，H 是圆线m ϕ仅与α有关，D C m +=αϕ令0=α是障碍面，且0|0==αϕm 所以0=D 由安培定律∫∫∫+==πθθπω2020Hdl Hdl I Hdl在（0,2π）中，μ->∞，H 只有法线分量，B 1n =B 2n ，知00==μμHH t 所以02=∫πθdl H t所以00||==−==∫αθαθϕϕωm m Hdl ICQ I =ω，QIC ω=αωϕQIm =0000001αωμααϕμϕμμvv v v Qr I r H B m m −=∂∂−=∇−==习题4-29解：x e z y x F v v 1222)(−++= k z y x yj z y x z z y x z y xkj iF v v v v vv 222222221222)(2)(20)(++−++=++∂∂∂∂∂∂=×∇− 课后答案网ww w.kh da w .c om习题4-30解：∫⋅=Φ∴SS d B vvr<a ，22a rIB πμ=r>a ，rIB πμ2=]2ln 21[2ln 222222202+=+=+=⋅=Φ∴∫∫∫πμπμπμπμπμr Iaa a aI a a I adr r I adr a rI S d B a a a S v v习题4-32解：H R d l L 30010*119.2ln −==πμ习题4-34解：铜：0μμ=，钢：0200μμ=(1)算每公里长自感铜e i L L L +=其中km H L i /10100010008270−×=××=πμ km H l R DL e /1027631ln 700−×=⋅=πμ km mH L L L e i /863.2=+=钢：km H L i /102000010008270−×=××=πμ km H L e /10228157−×=km mH L L L e i /286.22=+=(2)互感：根据方向判断'11Φ+Φ=Φ∴km mH l M /036.02'1'12'2'112ln 20=⋅⋅⋅=πμ习题4-35 解：r I B πμω21=，21102−×=Φdr rId πμω 2122102−×=Φ=Ψdr rId d πωμωω课后答案网ww w.kh da w .c om67ln 10210221276212−−×=×=Ψ∫πωμωπωμωI dr r IH I M 0148.067ln 102212=×=−πωμω习题4-36 解：由题意得...2)(212)2(212)2(212121322112223223020021022=−−++===∫∫∫∫∫∫R R R R R v rdr I R R r R rdr r I rdr R Ir dVH LI W πμππμππμμ...22==I WL习题4-37解：C I mW M =∂∂=|αααcos 21max 21I I M I MI W m ==ααsin 21max I I M M −=∴o 45=α，m N M ⋅×−=∴−310035.0α习题4-38解：1220022102ln 21212)2(21211R R I rdr R Ir dV H W R v πμππμμ===∫∫∫∫ l r V 2π=，l R dR dV112π= 212201212212084|R I dV dR R R R R I V W f C I mg πμπμ−=−=∂∂==测验题4-39解：将其分段考虑，与0点在一条线上的两直线段上的电流不在0点产生磁场，仅两段圆弧上的电流在0点产生磁场。
工程电磁场导论课后答案【篇一：工程电磁场导论习题课南京理工大学】图示真空中有两个半径分别为r1和r2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净电荷q1和q2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求：(1）导体球壳内、外电场强度e的表达式；(2）内导体球壳(r?r1)的电位?。
2.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内，有体密度 ??10 mcr?3cm, r?4cm处m均匀分布的电荷。
求：r?2cm,3的电场强度e。
3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数??2r的电介质。
设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的?值。
?afm4.一同轴线内圆柱导体半径为a，外圆柱导体半径为b，其间填充相对介电常数?r?质，当外加电压为u(外导体接地）时，试求：(1)介质中的电通密度（电位移）d和电场强度e的分布； (2)介质中电位?的分布；5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m，输电线的半径为a?5mm，输电线的的介轴线与地面平行，旦对地的电压为u?3000v，试求地面上感应电荷分布的规律。
(?0?8.85?10?12fm)h6. 已知半径为r的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为?0，则在其轴线上产生的电场强度为ey???0??0ey。
一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱，半径也为r，问它在轴线上产生的电场强度是多少？7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为?，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质(?2?4?0)相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。
半无8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为r1、r3，其间充满介电常数分别为?1、?2的两种介质,其分界面是半径为r2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量?q，外导体内表面单位长度所带电荷量? q，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。
习题1-10解：首先物理概念上分析电场强度为零的点一定是A 点，因为0<q<1，A 离-qp 近，离q 远，则二者即产生的AE v 会抵消，而B 点不行，这是因为离q 近离-pq 远，即产生的E v一大一小无法抵消。
令x 如图，则两点电荷在A 点产生的场强分别为：q: ()r x d q q E rv 2014+=π, -pq: ()r x pq E v v 2024πε−= 令A E v＝021=+E E v r ，有()221xp x d =+ ()22x x d p =+ 两边开方取正值：d pp x −=1习题1-11解：分析知，只可能是A 点，Q 12q q >，∴A 点必须离1q 近、离2q 远才行 令x 如图示，据题意有()2231x d x +=，x=1.37d习题1-12解：在直角坐标系中，取棒中心在原点处，棒沿z 轴放置。
①因为求的点在y 轴上，所以棒上下的对称性决定了E r的z 分量被抵消了，只剩了y 分量，而且可只计算一半棒上的电荷在p 点产生的场强，乘2即为所求。
设棒长2L ，显然dz Lqdz dq 2==τ()∫+=Lr z dz L q E 02/32201.041.022πε()()2/122201.01.081.02Lz ZL q +×=πε课后答案网ww w.kh da w .c om=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+01.01.0*42/1220LLL qεπ 3.0*40πεq=m V /5.5994= y E v r 5.5994=∴②近似计算棒是无限长而保持电场线密度不变，计算结果是：m V q L qr E /9.59971.022200=⋅⋅==πεπτ L 并非无限长，还是取以前的31.0322≈−=L 它与上述的相对误差%0567.0%100*5.59945.59949.5997=−习题1-13解：已知一圆环产生的场强()i x r q qx E v v 232204+=π 此圆环可分为无数半径为r 的细圆环，其上微电荷 rdr dS dq πσσ2⋅==其产生的微元电场 ()i x r x rdr E d vv 2322042+⋅⋅=πεπσ 故r 从1R 到2R 积分即所有圆环产生的场强：()i x r x rdr E R R v v ∫+⋅⋅=212322042πεπσ()()i x r x r d x R R v ∫++=2123222204εσ()i x r x R R v 122122024+−=εσ课后ww w.kh da w .c om()()i x R xR x v ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−+=21222212210112εσ 讨论：1)σ不变，01→R ，得()⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=21222012x R xE εσ 2）又∞→xR 2得 02εσ=E 这相当于∞→2R 比x 快的多，即变成无限大带电平板。
当在板右侧即x>0时，i E vv 02εσ=当在板左侧即x<0时，i E vv 02εσ−=E v的方向突变。
习题1-14解：当012>>σσ时，首先应了解单独一个无限大带电平面两边的电场分布，然后由叠加原理求合成场强。
由习题1-13知i E vv 02εσ=在板两边突变。
所以 A 点场强：A E v +−=)(201i v εσ)(202i v −−εσi v )(21210σσε−−=B 点：B E v +=)(201i v εσ)(202i v εσi v )(21210σσε+=C 点：C E v +=)(201i v εσ)(202i v −εσi v )(21210σσε−=2)当012>=δδ时，A E v 0==C E v课后答案网ww w.kh da w .c om=B E v i v )(21210σσε+i v 0εσ=习题1-15解：1)求各区域内的场强分布应用真空中的髙斯通量定理：封闭圆柱面01εqS d E S=⋅∫v v内1R ： 0,01=∴=E q Q 21R R R <<： 0122ετπ=⋅R E ，R E πετ0122=2R R >： 02132εττπ+=⋅R E ，R E πεττ02132+=2)当21ττ−=时： 03=E ,21,E E 同前E 的方向是射线方向，各点不一。
习题1-16解：此题可用叠加法解；2R 中添加ρ后其中任一点的1E v：210112ερππεR R E q S d E S=⋅→=⋅∫v v12ερRE vv = R v 非单位矢量 仅2R 中不填ρ，其内2E v：0222ερππr r E =⋅ 022ερrE vv = 00212)(2ερερar R E E E r r v v v v =−=−=∴习题1-17解：任意半径r 处E ： ∫=Sq S d E vv ετπε=⋅r E 2课后答案网ww w.kh da w .c omrE πετ2=在1ε内 r E 112πετ=, 0112R E MAX πετ= )(21011d R E MIN +=πετ在2ε内 r E 222πετ=, )(21022d R E MAX +=πετ )(221022d d R E MIN ++=πετ在3ε内 r E 332πετ=, )(221033d d R E MAX ++=πετ )(2321033d d d R E MIN +++=πετ在4ε内 r E 442πετ=，)(2321044d d d R E MAX +++=πετ )(24321044d d d d R E MIN ++++=πετ作图时注意E 和r 是双曲线型关系，先在图上画出两端点，再用双曲线连接即可。
习题1-18解：011max 1112πετπετ==R E 02max 2112πετπετ==R E0115.272πετπετ==R E mIN 02226.172πετπετ==R E mIN 5.2115.27min1max 1min max ===∴E E E E习题1-20解法一：用电偶极子算：距电偶子中心r 处的电位24cos r ql πεθϕ=此外rxx R r =+=θcos ,22故在两环对应处各取dl ，则απRd dl dl Rqdq ==,2342r lxR qRd d πεπαϕ⋅=∴ ∫+===ππεπεϕϕ2023223)(44x R qlx r qlxd因为电偶极子ϕ是近似的，故这里也是近似的 。
解法二：各取一微元段22021011)2(84x lR R qdlr dq d ++−==εππεϕ课后答案网ww w.kh da w.c om22022022)2(84lx R R qdlr dq d −+==εππεϕ=+=∴21ϕϕϕ))2(1)2(1(422220lx R lx R q ++−−+πε.,21r r r R l ≈≈∴<<Q θcos 21l r r ≈−23220)(4x R qlx +≈πεϕ习题1-21解：RRk r +=ε由高斯定理 RR k qR q E R )(442+==πεπε 令0=b ϕ则)()(ln4)ln (ln 4)11(4)(40000b k R R k b kq Rk b k R b k q dR kR R k qdRR R k qdR E bRbRbRR R ++=++−=+−=+==∫∫∫πεπεπεπεϕ习题1-22解：122R R <，当u 增大时哪层介质先击穿？122max max12ln 21rR R r E U = 同轴圆柱电容RE πετ2= 介质1中，RR E r 101122επετπετ==介质2中，()2221022R R E r επετπετ==课后答案网ww w.kh da w .c om介质1中最大场强：10max 112R E r επετ=介质2中最大场强：()2210max 2r E r επετ=因为R 2<2R 1，r<R 2，所以r<2R 1，(r/2)<R 1，故介质2中，E 2MAX >E 1MAX ，即当电压升高时，τ增大，介质2中将先达到最大场强，尽管两种介质E MAX 相等，但是介质2中先达到，所以外层介质2将先被击穿。
假设外层介质先达到E MAX ，因为rR RIn U E 2022=，所以r R rIn E U MAX 202=而r R In U 22022πετ=，所以rR In U 22022πετ= 12021220211111021221221R r In rR In U R r In r R In U R r In dR R U r R ====∫πεπεπετπετ 而122212210202120202101221)121(ln )121(21rR R rIn E rR In R r In r R r E r R In R r In U U R r In r R In U U U U MAX MAX =+=+=+=+= 证毕习题1-23 解： )()(20)(210)(210222222222j y i x y x j y x y i y x x jyi x E v v v v v v v++=+⋅−−+⋅−−=∂∂−∂∂−=−∇=ϕϕϕ254220)()11(20)0,1,1(2==++=j i E v r习题1-25解：由D 1n =D 2n 知：o n n E E E 75cos 5.61212==εε 课后答案网ww w.kh da w .c omo t t E E E 75sin 12==所以cm kV E E E o o /9.3475sin 75cos 5.6222220=+=，超过。
习题1-26解：设内外之间加U 0电压，内层金属带电荷+τ，外层金属带电荷-τ 因为两层介质中的最大场强相等，所以ba 2122πετπετ=，b a 21εε= 交界面上出现场强极值。
因为ln ln (2ln 2ln 22112221bc b c a b U U U bc ab o +=+=+=εεεεπετπετπετ 所以bcU o ln ln 221122+=εεεεπετ)ln ln (2211222max bc b U b E o+=εεεεπετ 求2max E 的极值：02max =dbdE 0)ln ln (])ln ln [(22112222112=+−⋅⋅++−bc b bc c b b b c U o εεεεεεεε01)ln ln (2112=−+b c εεεε所以e c b 12(21εεεε=，b a 12εε=习题1-34 解：02)(1ερϕϕ−∂∂∂∂∇＝r r r r ＝0|1==R r ϕ课后答案网ww w.kh da w.c omV R r 50|2==ϕ得：r ＝r r r r 0)(1ερϕ−∂∂∂∂ 解微分方程，转换为：20222)(r ＝r r r r ερϕϕ−∂∂+∂∂此即数学上的尤拉方程：令t e r =，则方程变为：t e ＝t 2022ερϕ−∂∂ 积分两次得：B At e ＝t t++−204)(ερϕ B r A r ＝r ++−ln 4)(2ερϕ 由边界条件得A=452.53，B=1373.299 所以299.1373ln 53.45259.28248)(2++−r r ＝r ϕ习题1-35解： 022ερϕ−∂∂＝x0|0==x ϕV d x 200|==ϕ所以B Ax x ＝x ++−22)(ερϕ 由0|0==x ϕ知B =0由V d x 200|==ϕ知A =7649.7x x ＝x 7.764918.56497)(2+−ϕx课后网ww w.kh da w .c omi x x ＝x E v v )7.764936.112994()(2−−∇=ϕ习题1-36 解：在R 1<r<R 2区域，令球感应电荷q 1。
