2019年广西崇左市高考数学一模试卷(理科)-解析版

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．AB =∅【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ⨯⨯=，选B. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】由已知，使1()1f x -≤≤成立的x 满足11x -≤≤，所以由121x -≤-≤得13x ≤≤，即使1(2)1f x -≤-≤成立的x 满足13x ≤≤，选D.6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +2 【答案】D【解析】由题意选择321000nn->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D.9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++=++=++≥+= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即1212221t t k -+=+++=-，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考满分作文经验分享同学们在进入高三之前，一定要调整自己的状态，为总复习提前打好基础。

那么如何才能做到这一点呢？又该如何准备呢？俗话说“题好一半文”，一个好的题目是可以为作文加分的。

现在的考试作文，多是不命题作文，所以就很考验题目“抓眼球”的程度。

当然，前提是你的题目得扣题，不偏题，如果你没有把握，那就按照最普通的方法去拟题。

从近年来的高分甚至满分作文中，我们不难发现，这些作文都有一个比较吸引人的标题。

其中能找到的规律是：对偶逗号式、经典句子换用式、诗词化用式、俗语改动式、固定搭配转换式。

一般三段式的文章会导致中间一段过长，使人看不到重点，分不清条理。

而段落过多的话会显得繁琐。

除了拒绝“大肚子”似的三段式作文外，开头结尾一定要简洁，特别是开头，如果占有太多空间，会入题过慢，引起阅卷疲劳。

一般高分作文在用词和语句上都不会太平淡，会使用大量丰富的词汇和富有诗意的句子，而这些就需要我们注意积累了。

平时，不管是在书本上，还是网络上看到的比较好的句子，都可以摘抄下来，等量积累到一定程度，自己写作也就信手拈来了。

多用哲理化、诗意化的句子表达，但切忌浮夸的词藻堆砌，让人不知所云。

一些高分文章往往都能够引经据典，素材十分丰富。

考生们在拿到一个题目后，短时间内能调用各种相关的人物、事例来论证，从古至今，从经典到时下热点......所以，平时多读书，多积累案例素材，也要学会活用课本知识，不需要刻意去背相关的段落，只需要记住相关的人物的具体事件或生平，具体语言用自己的风格来表述即可。

但不要用一些李白、屈原这种烂大街的例子，避免写出来文章千篇一律。

议论文切忌论点不明确，一定要用合理的案例来支撑一个观点，不要模棱两可，表示两个方向都是对的。

前面虽然提到词汇量要丰富，但要在文章有自己的思想和创造性的前提下。

要不然词语再华丽也是空洞的。

如果想要培养自己的写作素养，大家可以多看看《人民日报》等主流媒体的评论文章，可以学到一些思考方向。

广西桂林市、崇左市、防城港市2019届高考第一次联合模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率k n k k n n p p C k P --=)1()(（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式S ＝4πR 2，其中R 表示球的半径 球的体积公式V ＝334R π，其中R 表示球的半径一、选择题1. 已知集合A ＝{x ｜|x|≤2，x ∈R}，B ＝{x ｜x ≤2，x ∈Z}，则A∩B ＝A. （0，2）B. [0，2]C. {0，2}D. {0，1，2}2. 若（a+4i ）i=b+i （a ，b ∈R ），i 为虚数单位，则a+b ＝A. 3B. 5C. －3D. －53. 函数f （x ）＝3+sinx ，x ∈[0，1）的反函数的定义域是A. [0，1）B. [1，3+sin1）C. [0，4）D. [0，+ ∞）4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5=3（a 2+a 8），则35a a 的值为 A.61 B.31 C.53 D.65 5. 已知函数y=2sin （2x+ϕ）（|ϕ|<2π）的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为A. x=6π B. x=12πC. x=－12π D. x=－6π 6. 已经双曲线x 2－m 2y 2=m 2（m>0）的一条渐近线与直线2x －y+3=0垂直，则该双曲线的准线方程为A. x=±334B. x=±554C. x=±23 D. x=±25 7. 设（x －b ）8=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b 8x 8，如果b 5+b 8=－6，则实数b 的值为A.21 B. －21 C.2 D. －28. 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，=λ+μ，则λμ的最大值为A. 1B.21 C.31 D.41 9. 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O 的表面积为A. 4πB. 12πC. 16πD. 64π10. 定义在R 上的函数y=f （x ）是增函数，且函数y=f （x －3）的图象关于点（3，0）成中心对称，若s ，t 满足f （s 2－2s ） ≥－f （2t －t 2），则A. s≥tB. s<tC. |s －1|≥|t －1|D. s+t≥011. 设抛物线C 的方程为y 2=4x ，O 为坐标原点，P 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，若直线PM 与ON 相交于点Q ，则cos ∠MQN=A.55B. －55 C.1010 D. －1010 12. 在8×8棋盘的64个方格中，共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为A. 64B. 128C. 204D. 408第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共10小题，共90分。

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

广西高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=（）A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．“log22x＞0”是“x＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数，且最小正周期为π的是（）A．y=sin（π﹣2x）B．y=sin2xcos2x C．y=cos22x+1 D．y=cos（2x﹣π）5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若判断框内是n≤6，则输出的S为（）A．B．C．D．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．88．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．8+6B．10+8 C．12+4 D．14+29．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．10．若x，y满足不等式组，z=x﹣y的最大值为4，则实数a=（）A．4 B．C．5 D．11．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知曲线f（x）=e x﹣ax在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y+b=0，则下列不等式恒成立的是（）A．f（x）≥2﹣4ln2 B．f（x）≤2﹣4ln2 C．f（x）≥4﹣8ln2 D．f（x）≤4﹣8ln2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．向量=（1，﹣2）与=（3，t）的夹角为θ，=（1，﹣3），⊥，则cosθ=．15．设函数f（x）=，若存在实数b，使函数y=f（x）﹣b有且只有2个零点，则实数b的取值范围是．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣1，（a n+1﹣4）n=2S n，则S n= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若b=，c=3，B+C=3A．（1）求边a；（2）求sin（B+）的值．18．某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200名车辆驾驶人员驾驶的车辆进行超速测试并分组，并根据测速的数据制作了频率分布图：（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员做回访调查，并在这12名驾驶人员中任意选3人，这3人中超速在[20%，80%）内的人数记为ξ，求ξ的数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．（1）求证：PD∥平面EAC．（2）求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A，上顶点为E，O是坐标原点，△OAE面积为．（1）求椭圆G的方程；（2）若过椭圆G的右焦点作垂直于x轴的直线m与G在第一象限内交于点M，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．21．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．（1）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．请在第（22）、（23）、（24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AB∥CD，AD的延长线与BC的延长线交于E点．（1）证明：EC=ED．（2）延长CD到F，延长DC到G，连接EF、EG，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=4，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若存在x∈R，使f（x）≤4成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】直接由一元二次不等式化简集合B，则A交B的答案可求．【解答】解：∵B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|﹣1≤x≤1}∩{x|0≤x≤2}={x|0≤x≤1}．则A∩B的区间为：[0，1]．故选C．2．设复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=（）A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=+（1﹣i）2=1﹣i﹣2i=1﹣3i，故选：A3．“log22x＞0”是“x＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若log22x＞0，则2x＞1，得x＞0，则“log22x＞0”是“x＞1”成立的必要不充分条件，故选：B．4．下列函数是偶函数，且最小正周期为π的是（）A．y=sin（π﹣2x）B．y=sin2xcos2x C．y=cos22x+1 D．y=cos（2x﹣π）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦型函数及余弦型函数的性质，我们逐一分析四个答案中的四个函数的周期性及奇偶性，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．【解答】D解：A中，函数y=sin（π﹣2x）=sin2x为奇函数，不满足条件；B中，函数y=sin2xcos2x=sin4x周期为，不满足条件；C中，函数y=cos22x+1=cos4x+周期为，不满足条件；D中，函数y=cos（2x﹣π）=﹣cos2x是最小正周期为π的偶函数，满足条件；故选：D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若判断框内是n≤6，则输出的S为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，此时应该不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，n=2满足条件n≤6，S=，n=4满足条件n≤6，S=，n=6满足条件n≤6，S=+=，n=8由题意，此时应该不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为，故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3=1，a5a6a7=8，可得=1，=8，解得q3，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=1，a5a6a7=8，∴=1，=8，解得q3=2．则a9==4．8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．8+6B．10+8 C．12+4 D．14+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个直四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出各个面的面积，加起来即可求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直四棱柱，由俯视图知底面是等腰梯形：上底、下底分别是1、3，梯形的高是1，则腰长是，且直四棱柱的高是2，∴几何体的表面积S==12+4，故选：C．9．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到g（x）=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ）的图象，若g（x）的图象关于直线x=对称，则+2φ=kπ+，k∈Z，则φ的最小值为，故选：A．10．若x，y满足不等式组，z=x﹣y的最大值为4，则实数a=（）A．4 B．C．5 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得z的最值，可得a的方程，解方程可得．【解答】解：作出不等式组所对应可行域（如图△ABC），变形目标函数z=x﹣y可得y=x﹣z，平移直线y=x可知：当直线经过点A（a，3﹣a）时，直线截距最小值，z取最大值，代值可得a﹣（3﹣a）=4，解得a=，故选：B．11．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），从而得到a=4，点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d=1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r=，由此能求出圆C中以（，﹣）为中点的弦长．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，∴直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），∴3+2a﹣11=0，解得a=4，∴（，﹣）=（1，﹣1），点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d==1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r==，∴圆C中以（，﹣）为中点的弦长为：2=2=4．故选：D．12．已知曲线f（x）=e x﹣ax在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y+b=0，则下列不等式恒成立的是（）A．f（x）≥2﹣4ln2 B．f（x）≤2﹣4ln2 C．f（x）≥4﹣8ln2 D．f（x）≤4﹣8ln2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得斜率，解方程可得a，求出单调区间、极值和最值，即可得到结论．【解答】解：f（x）=e x﹣ax的导数为f′（x）=e x﹣a，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为3x+y+b=0，可得1﹣a=﹣3，即有a=4，可得f′（x）=e x﹣4，当x＞ln4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜ln4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x=ln4处取得极小值，也为最小值4﹣8ln2．即为f（x）≥4﹣8ln2．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为60 （用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．向量=（1，﹣2）与=（3，t）的夹角为θ，=（1，﹣3），⊥，则cosθ=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵=（1，﹣2）与=（3，t）的夹角为θ，=（1，﹣3），⊥，∴3×1﹣3t=0，∴t=1，∴=（3，1），∴||=，||=，•=1×3﹣2×1=1，∴cosθ==故答案为：．15．设函数f（x）=，若存在实数b，使函数y=f（x）﹣b有且只有2个零点，则实数b的取值范围是（0，+∞）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）=的图象和直线y=b有2个交点，分类讨论，数形结合求得a的取值范围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）=的图象和直线y=b有且只有2个交点，当a=0 时，f（x）=，如图（1）所示，函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．当a＞0时，f（x）=的图象如图（2）所示，此时，应有b＞0．当a＜0时，f（x）=的图象如图（3）所示，此时，函数y=f（x）的图象和直线y=b之多有一个交点，不满足条件．综上可得，b＞0，故答案为：（0，+∞）．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣1，（a n+1﹣4）n=2S n，则S n= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，a1=﹣1，则a n+1=﹣1+nd，S n=﹣n+d，代入（a n+1﹣4）n=2S n，化简整理即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1=﹣1，则a n+1=﹣1+nd，S n=﹣n+d，代入（a n+1﹣4）n=2S n，可得：（﹣5+nd）n=﹣2n+n（n﹣1）d，化为：d=3．则S n=﹣n+=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若b=，c=3，B+C=3A．（1）求边a；（2）求sin（B+）的值．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由条件利用余弦定理求得a的值．（2）由条件利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，再利用两角和差的正弦公式，求得sin（B+）的值．【解答】解：（1）三角形ABC中，∵b=，c=3，B+C=3A，∴A=，利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=5，∴a=．（2）由正弦定理=，可得=，∴sinB=，再结合b＜c，可得B为锐角，∴cosB==，∴sin（B+）=sinBcos+cosBsin=+•=．18．某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200名车辆驾驶人员驾驶的车辆进行超速测试并分组，并根据测速的数据制作了频率分布图：（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员做回访调查，并在这12名驾驶人员中任意选3人，这3人中超速在[20%，80%）内的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由频率=，能求出z，y，x的值．（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员，则第2，3，4，5组抽取的人数分别是4，3，2，1，设任意选取的3人超速在（20%，80%）的人数是ξ，则ξ=2或ξ=3，由此能求出ξ的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得x=200×0.01=2，y=6÷200=0.03，z=0.88÷20=0.044．（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名驾驶人员，则第2，3，4，5组抽取的人数分别是4，3，2，1，设任意选取的3人超速在（20%，80%）的人数是ξ，则ξ=2或ξ=3，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴Eξ==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．（1）求证：PD∥平面EAC．（2）求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面EAC．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=，∠BAC=，∵AC=AD，AC⊥AD，∴CD=2，∠ACD=，∴∠BAC=∠ACD，则AB∥CD，连接BD，交AC于M，连EM，则，又PE=2EB，在△BPD中，，∴PD∥EM，∵PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC（2）建立如图所示的空间坐标系如图：则A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，），设=（x，y，z）是平面AEC的一个法向量，则=（1，1，0），（0，，），则•=x+y=0，•=y+z=0，得，令y=1，则x=﹣1，z=﹣2，则=（﹣1，1，﹣2），同理平面ABCD的法向量为==（0，0，1），则cos＜，＞==，即平面ACE和平面ABCD所成锐二面角的余弦值是．20．已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A，上顶点为E，O是坐标原点，△OAE面积为．（1）求椭圆G的方程；（2）若过椭圆G的右焦点作垂直于x轴的直线m与G在第一象限内交于点M，平行于AM的直线l与椭圆G相交于B，C两点，判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和实际行动面积公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得椭圆的右焦点坐标，M，A的坐标，求得斜率．可设BC的方程为y=x+t，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得x2+tx+t2﹣3=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，可得k MB+k MC=0，进而得到直线MB和直线MC关于直线m对称．【解答】解：（1）由题意可得e==，由A（﹣a，0），E（0，b），可得△OAE面积为，即有ab=，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）椭圆的右焦点为（1，0），可得M（1，），A（﹣2，0），k AM==，设BC的方程为y=x+t，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得x2+tx+t2﹣3=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），即有x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣3，由k MB+k MC=+=+===0．即有直线MB和直线MC关于直线m对称．21．设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与x轴相切于M（3，0）．（1）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（2）是否存在两个不等正数s，t（x＞t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b．依题意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x3﹣6x2+9x．（2）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx，∴f′（x）=3x2+2ax+b．依题意则有f（3）=0，f′（3）=0，即27+9a+3b=0，①27+6a+b=0，②解得a=﹣6，b=9，∴f（x）=x3﹣6x2+9x．则y=+4lnx=x2﹣6x+9+4lnx，x＞0，y′=2x﹣6+==，由y′＜0得1＜x＜2，即y=+4lnx的单调减区间为（1，2）．（2）f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），由f′（x）=0，得x=1或x=3．列表讨论，得：由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点x=3不在区间[s，t]上，①若极值点1∈[s，t]，此时0＜s≤1≤t＜3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t，故在区间[s，t]上没有极值点；②若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调增，即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，则，即，解得不合要求．（3）若f（x）=x3﹣6x2+9x在[s，t]上单调减，即1≤s＜t＜3，则，两式相减并除s﹣t，得：（s+t）2﹣6（s+t）﹣st+10=0，①两式相除并开方，得[s（s﹣3）]2=[t（t﹣3）]2，即s（3﹣s）=t（3﹣t），整理，并除以s﹣t，得：s+t=3，②则①、②得，即s，t是方程x2﹣3x+1=0的两根，即s=，t=不合要求；综上，不存在正数s，t满足要求．…请在第（22）、（23）、（24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AB∥CD，AD的延长线与BC的延长线交于E点．（1）证明：EC=ED．（2）延长CD到F，延长DC到G，连接EF、EG，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，根据两直线平行，同位角相等，等量代换得到两个角相等，从而两条边相等，得到结论；（2）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】（1）证明：因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA因为CD∥AB，所以∠ECD=∠EBA，所以∠EDC=∠ECD，所以EC=ED．（2）解：由（1）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2，建立等量关系，解之即可．【解答】解：（1）由得（x+2）2+y2=10∴曲线C1的普通方程为得（x+2）2+y2=10∵ρ=2cosθ+6sinθ∴ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ∴x2+y2=2x+6y，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=10（2）∵圆C1的圆心为（﹣2，0），圆C2的圆心为（1，3）∴∴两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2∴∴d=∴公共弦长为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=4，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若存在x∈R，使f（x）≤4成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，通过去绝对值符号，列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）利用f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≤4，由此解得a的范围．【解答】解：（1）解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或．解得：x≤0或x≥5．…故不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤0，或x≥5}；（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≤4，解得：﹣3≤a≤5．…。

2019年桂林、百色、崇左五市高考数学理科模拟试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数3+4ii 2+的实部与虚部分别为（ ） A ．2，1 B ．2，i C ．11，2- D ．11，2i - 2．已知集合{}2310A x x x =+<，{}1B x x =>，则A B U 等于（ ） A ．{}12x x << B ．{}51x x -<< C ．{}1x x > D ．{}5x x >-3．圆M ：()2216x y ++=与直线30x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．2B ．4C ．4．612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．52B ．160C ．52- D ．160-5．若n ∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a >”是“31∏>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知变量x ，y 满足约束条件24,4312,1,y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为（ ）A ．12-B ．1C ．2-D ．1128．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13- B ．112- C ．112 D ．1310．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．函数()f x 的值域为[]4,4-C ．函数()f x 的图象关于10,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到sin y A x ω=的图象 11．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，点0,3B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若线段AB 的垂直平分线过右焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．．3 D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足不等式组12,11,x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则11y z x +=+的最大值是 ．14.已知1sin cos 5θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan θ= ．15.直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为 ．16.设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为d ．当d 最小时，圆C 的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列2n n S n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：3n T <．18.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销量y （单位：万件）之间的关系如表：（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数甲乙说明； （Ⅲ）建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？． 32.6≈ 2.24≈，41418i i i x y ==∑．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19.如图，在正三棱柱111ABC A BC -中，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，且2EC FB =．（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若2AB EC ==，求二面角C AF E --的余弦值． 20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e <．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点00(,)P x y 为椭圆C 上一点，直线l 的方程为0034120x x y y +-=，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．21.设函数()ln nf x m x x=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．（Ⅰ）求实数m ，n 的值； （Ⅱ）若1b a >>，()2a b Af +=，()()2f a f b B +=，()()1bf b af a C b a-=--，试判断A ，B ，C 三者是否有确定的大小关系，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()3πρθ+=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||2f x x a a=-+（0a ≠）． （Ⅰ）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （Ⅱ）当12a <时，函数()()|21|g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围．2019年桂林、百色、崇左五市高考数学理科模拟试卷一、选择题1-5:ADBAB 6-10:CCCBD 11、12：AA二、填空题 13.2 14.43- 15.2 16.2π 三、解答题17.（Ⅰ）解：根据题意，等差数列{}n a 中，设公差为d ，422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，10a >，即111132(),(3)16,a d a d a a d +=+⎧⎨⋅+=⎩解得12a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12a d ==，则2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+， ∴122n n n nS n b n +==⋅． ∴12323412222n n n T +=++++…，（*）2311231 22222n n n n n T ++=++++…，（**） ∴1231121111222222n n n n T ++=++++-…， ∴1121111(1)11111112222331222222212n n n n n n n n n n T ----+++=++++-=+-=--<-…．∴3n T <．18.解：（Ⅰ）作出散点图如图：（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑32.6≈，42130i i x ==∑，4441115()()418138732i i i i ii i i x x y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑，2.24===≈，4()()730.99962.2432.6iix x y y r --==≈⨯∑．∵y 与x 的相关系数近似为0.9996，说明y 与x 的线性相关程度相当大， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑，42130i x ==∑，421()5i i x x =-=∑，1221735ni ii ni i x y nx yb x nx==-==-∑∑，697352252a y bx =-=-⨯=-， 故y 关于x 的回归直线方程为7325yx =-， 当5x =时，7352715y =⨯-=， 所以第5年的销售量约为71万件．19.（Ⅰ）证明：取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则12MG EC BF ==， 又////MG EC BF ，∴MBFG 是平行四边形，故//MB FG ．∵MB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =， ∴MB ⊥平面11ACC A ，而//BM FG ， ∴FG ⊥平面11ACC A ， ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）以MA 、MB 、MG 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,0,2)E -，F ，(2,0,0)AC =-，(1AF =-，(2,0,2)AE =-，设平面ACF 的一个法向量111(,,)m x y z =，则有0,0,m AC m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,0,x x z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令11y =，则(0,1,m =，设平面AEF 的一个法向量222(,,)n x y z =，则有0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222220,0,x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则(1,0,1)n =， 设二面角C AF E --的平面角θ，则|||3cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅-=<>===⋅．20.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题设条件知，48a =，2a =，1222c b ⨯⨯⨯=2224b c a +==，所以b =1c =，或1b =，c =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）当00y =时，由2200143x y +=，可得02x =±， 当02x =，00y =时，直线l 的方程为2x =，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)．当02x =-，00y =时，直线l 的方程为2x =-，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)-．当00y ≠时，直线l 的方程为001234x x y y -=，联立方程组0022123,4 1.43x x y y x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得22220000(43)2448160y x x x x y +-+-=．①由点00(,)P x y 为曲线C 上一点，得2200143x y +=，可得22004312y x +=．于是方程①可以化简为220020x x x x -+=，解得0x x =， 将0x x =代入方程001234x x y y -=可得0y y =，故直线l 与曲线C 有且有一个交点00(,)P x y ，综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为00(,)P x y ．21.解：（Ⅰ）2'()m n f x x x=-． 由于(1)0,'(1)1,f n f m n ==⎧⎨=-=⎩所以1m =，0n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln f x x =．（i）ln ln ln 1022a b a b A B ++-=-=≥=, 而a b ≠，故A B >．（ii ）ln ln ln(1)2a b b b a a A C b a +--=---1()ln ln ln 2a b b a b b a a b a b a +⎡⎤=--++-⎢⎥-⎣⎦． 设函数()()lnln ln 2x a g x x a x x a a x a +=--++-，(0,)x ∈+∞， 则'()ln 2x a x a g x x x a +-=++，2()''()()a x a g x x x a -=+． 当x a >时，''()0g x >，所以'()g x 在(,+)a ∞上单调递增； 又'()'()0g x g a >=，因此()g x 在(,)a +∞上单调递增． 又b a >，所以()()0g b g a >=，即0A C ->，即A C >．（iii ）ln ln ln ln 12b b a a a b C B b a -+-=---1(ln ln )22a b a b b a a b b a ++=-+--． 设()ln ln 22x a x a h x x a x a ++=--+，(0,)x ∈+∞． 则111'()ln ln 2222a h x x a x =+--，有2''()2x a h x x -=． 当x a >时，''()0h x >，所以'()h x 在(,)a +∞上单调递增，有'()'()0h x h a >=．所以()h x 在(,)a +∞上单调递增．又b a >，所以()()0h b h a >=，即0C B ->，故C B >． 综上可知：A C B >>．22.解：（Ⅰ）因为直线l的极坐标方程为cos()3πρθ+=，即1(cos )2ρθθ=0x -=． 曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得22193x y +=．（Ⅱ）设点(3cos )P αα为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离|)42d πα+-==， 故当cos()14πα+=-时，d23.解：（Ⅰ）1()||2f x m x m a a +=+-+． ∵()()||||||f x f x m x a x m a m -+=--+-≤， ∴()()1f x f x m -+≤恒成立当且仅当||1m ≤， ∴11m -≤≤，即实数m 的最大值为1． （Ⅱ）当12a <时，()()|21|g x f x x =+-1|||21|2x a x a=-+-+131,,2111,,221131,.22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪=--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩∴2min 11121()()02222a a g x g a a a-++==-+=≤， ∴210,2210,a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20,210,a a a <⎧⎨-++≥⎩ ∴102a -≤<， ∴实数a 的取值范围是1[,0)2-．。

桂林市、崇左市2019届高三联合调研考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．53．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．115．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a 等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．217．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．28．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．119．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f （m ）的最小值为（ ） A ．4B ．2C ．D ．211．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．2D ．212．已知函数f （x ）=﹣x 2﹣6x ﹣3，g （x ）=2x 3+3x 2﹣12x +9，m ＜﹣2，若∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g （x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2 D ．﹣3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =， ，(21)BD =， ，(38)AD =， ，则mn = ．14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为 ．15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a = ．16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，AB =，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，在正方体1111ABCD A BC D - 中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ）的离心率e =，直线10x -=被以椭圆C （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅ ，求λ 的取值范围.21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+---- （k ∈R ） （1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.桂林市、崇左市2019届高三联合调研考试理科数学试卷数学参考答案（理科）一、选择题1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1=2（a n+1），利用等比数列的通+1项公式即可得出．+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．7．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由u=3x+2y，平移直线u=3x+2y，由图象可知当直线u=3x+2y经过点A时，直线u=3x+2y的截距最大，此时u最大．而且也恰好是AO的连线时，取得最大值，由，解得A（1，2）．此时z的最大值为z=3×1+2×2+=9，故选：C．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1， 则m 的最小值为﹣5， 故选：A二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =- ，∴2n S n = ，∴416S = ，836S = ，又248n S S S = ，∴22368116n == ，∴9n = ，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3 ，4 ，2 ，1 ，从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P == （2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3 ，2 .X 的可能取值为0 ，1 ，2 ，22251(0)10C P X C === ，1132253(1)5C C P X C === ，23253(2)10C P X C === .所以X 的分布列为()012105105E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥ ， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E =所以1GM B E ∥ ，即1AN B E ∥ ，又1B N AE ∥ ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N = ，所以E 为AB 的中点.（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - ，不妨令正方体的棱长为2 ，则1(222B ，，） ，(210)E ，， ，(021)F ，， ，1(202)A ，， ，可得1(012)B E =--，， ，(211)EF =-，， ，设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z = ，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，，所以cos 22m n m n mn⋅===，故所求锐二面角的余弦值为4220.解：（1）因为原点到直线10x -=的距离为12， 所以2221()()22b += （0b > ），解得1b = .又22222314c b e a a ==-= ，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y += .（2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+ ，11()A x y ， ，22()B x y ， ，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(4)8120m y my +++= 由22=6448(4)0m m ∆-+> ，得212m >， 所以122124y y m=+ 21122212(1)312(1)44m MA MB y m m λ+=⋅===-++由212m > ，得2330416m <<+ ，所以39124λ<< . 综上可得：39124λ<≤ ，即39(12]4λ∈，21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+- ，∴(0)11f '= 故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈， ，若23k -≥ ，2223(1)0k x +-> ，则()0f x '> ，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >= .若23k <-，令()0(01)f x x '=⇒=，，当(0x ∈时，()0f x '< ，当1)x ∈ 时，()0f x '>，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23k <- 不合题意.故k 的取值范围为2[)3-+∞，22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+= ，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-= 所以曲线C的直角坐标方程为2y = （2）易得点P 在l，所以tan PQ k α===，所以56πα= 所以l的参数方程为2112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，代入2y = 中，得21640t t ++= .设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==- ，所以08PM t ==23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤， ，13x <-≤所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤ ； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤ ； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤ ，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥ ，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5 . 所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ， 故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+ ，则max ()(0)g x g a == ， 当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5 ， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5 ， 故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，。

广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．33．命题“∀x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+1＜0 B．∀x∉R，x2+2x+1＜0C．∃x∉R，x2+2x+1＜0 D．∃x∈R，x2+2x+1＜04．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．07265．设向量，满足=（1，2），||=5， =5，则，的夹角为θ，则cosθ=（）A．B．C．D．32）=（）6．已知函数f（x）=，则f（0）+f（log2A．19 B．17 C．15 D．137．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）8．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（）A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．29．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．8π+2B ．10π+2C ．6π+2D ．12π+211．已知函数f （x ）=cosωx﹣sinωx （ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设定义在R 上的偶函数y=f （x ），满足对任意t ∈R 都有f （t ）=f （2﹣t ），且x ∈（0，1]时，f （x ）=，a=f （），b=f （），c=f （），则（ ）A ．b ＜c ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．二项式展开式中的常数项为_______．（用数字作答）14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，AA 1=1，点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣MNP 的体积为_______．15．已知点P 在圆x 2+y 2﹣2x+4y+1=0上，点Q 在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ 长的最小值是_______．16．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD 的面积为_______．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =4﹣4a n ，求数列{b n }的前n 项和．18．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，点D 是SC 的中点，且平面ABD ⊥平面SAC ． （1）求证：AB ⊥SC ；（2）若SA=2AB=3AC ，求二面角S ﹣BD ﹣A 的正弦值．19．已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； （2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望． 20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过点（1，0）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M ，N 与A ，B 不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值． 21．已知函数f （x ）=x|x+a|﹣lnx ． （1）当a=0时，讨论函数f （x ）的单调性； （2）若a ＜0，讨论函数f （x ）的极值点．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：O，A，P，B四点共圆；（2）求证：PB2=2AD•DH．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F 1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l过点A，F1．（1）求圆锥曲线C及直线l的普通方程；（2）设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，则A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤6}=[0，6]，B={x|3x2+2x﹣8≤0}=（x|﹣2≤x≤}=[﹣2，]，∴A∪B=[﹣2，6]，故选：D．2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．3．命题“∀x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+1＜0 B．∀x∉R，x2+2x+1＜0C．∃x∉R，x2+2x+1＜0 D．∃x∈R，x2+2x+1＜0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+2x+1＜0．故选：D．4．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故选：B．5．设向量，满足=（1，2），||=5， =5，则，的夹角为θ，则cosθ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式计算即可．【解答】解：向量，满足=（1，2），||=5， =5，∴||=，∴co sθ===，故选：A．6．已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A．19 B．17 C．15 D．13【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的解析式，真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19．故选：A．7．若函数y=x+（x＞0）有两个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，﹣）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=x+（x＞0）有两个零点，构造函数h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）=﹣t，相当于函数在x＞0时，图象有两个交点，结合函数h（x）的图象可知只需使﹣t大于函数g（x）的最小值即可．【解答】解：函数y=x+（x＞0）有两个零点，∴h（x）=y=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有两个交点，∵h（x）=x+≥2=，∴﹣t＞，∴t＜﹣．故选D．8．将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形”的面积是（）A．﹣1 B．2﹣2 C．1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：由x2﹣y2=4得﹣=1，则a2=b2=4，则a=2，b=2，c=2，则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0），（2，0），（0，2），故所求“黄金三角形”的面积S=（2﹣2）×2=2﹣2，故选：B9．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．10．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故选：A．11．已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，则ω的取值不可能为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，﹣≤﹣，且≥，由此求得ω的范围，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+）（ω＞0）在（﹣，）上单调递减，∴2kπ≤ωx+＜≤2kπ+π，求得﹣+≤x≤+（k∈Z）．∵f（x）在（﹣，）上单调递减，∴﹣≤﹣，且≥，求得 0＜ω≤，故选：D．12．设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】由已知得f（2+t）=f（2﹣2﹣t）=f（﹣t）=f（t），求出函数的周期性，结合函数f（x）在[0，1]的表达式求出f（x）的单调性，从而比较a，b，c的大小即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2﹣t），∴f（2+t）=f（2﹣2﹣t）=f（﹣t）=f（t），∴f（x）是以2为周期的函数，∵x∈[0，1]时，f（x）=，f′（x）=≥0在[0，1]恒成立，故f （x ）在[0，1]递增， 由a=f （）=f （1+）=f （﹣）=f （）， b=f （）=f （1+）=f （﹣）=f （）， c=f （）=f （），∴c ＜a ＜b ， 故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．二项式展开式中的常数项为﹣540．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用． 【分析】由T r+1=•（3x ）6﹣r •（﹣x ﹣1）r 可得x 的系数为0时，r=3，从而可得二项式展开式中的常数项． 【解答】解：∵由T r+1=•（3x ）6﹣r •（﹣x ﹣1）r =•36﹣r •（﹣1）r •x 6﹣2r ，∴当6﹣2r=0时得r=3， ∴二项式展开式中的常数项为×33×（﹣1）=﹣540．故答案为：﹣540．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BC=2，AA 1=1，点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，则三棱锥C 1﹣MNP 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】V=V=．【解答】解：∵M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点， ∴S===．∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴V=V===．故答案为：．15．已知点P在圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上，点Q在不等式组，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】化简x2+y2﹣2x+4y+1=0为（x﹣1）2+（y+2）2=4，从而作图，利用数形结合的思想方法求解．【解答】解：∵x2+y2﹣2x+4y+1=0，∴（x﹣1）2+（y+2）2=4，由题意作图如下，，结合图象可得，Q （2，0）当CPQ 共线，如上图时，有最小值； |PQ|=|CQ|﹣|CP|=﹣2=﹣2，故答案为：﹣2．16．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD 的面积为2．【考点】余弦定理的应用；三角形的面积公式．【分析】连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA （或cosC ），进而给出sinA ，sinC ，代入面积公式即可． 【解答】解：连结BD ，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA ， 在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC ． ∴5﹣4cosA=13﹣12cosC ， ∵A+C=180°， ∴cosA=﹣cosC ． ∴cosA=﹣． ∴sinA=sinC=．∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =AB ×AD ×sinA+BC ×CD ×sinC=2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =4﹣4a n ，求数列{b n }的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．利用递推关系即可得出．（2）b n =4﹣4a n =2n+1﹣2（n+1），利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N +．∴n=1时，a 1=S 1=1． n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=．n=1时也成立．∴a n =．（2）b n =4﹣4a n =2n+1﹣2（n+1），∴数列{b n }的前n 项和=（22+23+…+2n+1）﹣2（2+3+…+n+1） =﹣2×=2n+2﹣4﹣n 2﹣3n ．18．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，点D 是SC 的中点，且平面ABD ⊥平面SAC ． （1）求证：AB ⊥SC ；（2）若SA=2AB=3AC ，求二面角S ﹣BD ﹣A 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明AB ⊥SC ；（2）若SA=2AB=3AC ，建立坐标系，求出平面的法向量即可求二面角S ﹣BD ﹣A 的正弦值． 【解答】（1）证明：∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面SAC ，∵平面ABD ⊥平面SAC ，平面ABD∩平面ABC=AB ， ∴AB ⊥平面SAC ， ∵SC ⊂平面SAC ， ∴AB ⊥SC ；（2）若SA=2AB=3AC ， 设SA=6，则AB=3，AC=2，建立以A 为坐标原点，CA ，CB ，CS 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： 则A （0，0，0），S （0，0，6），C （﹣2，0，0），D （﹣1，0，3），B （0，3，0）， 则=（﹣1，﹣3，3），=（0，3，﹣6），=（0，3，0），设则平面SBD的法向量为=（x，y，z），设平面BDA的法向量=（x，y，z），则得，即，令z=1，则y=2，x=﹣3，即=（﹣3，2，1），由得，即，令z=1，则y=0，x=3，即=（3，0，1），则cos＜，＞====﹣，则sin＜，＞===，即二面角S﹣BD﹣A的正弦值是．19．已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率．（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率P（A）=0.2，踩线及3分线内侧投入的概率P（B）=0.3，不能入篮的概率P（C）=0.5，∴该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率：p==0.32．（2）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6，P（ξ=0）=0.5×0.5=0.25，P（ξ=2）==0.3，P（ξ=3）=，P（ξ=4）==0.09，P（ξ=5）==0.12，P（ξ=6）=0.2×0.2=0.04，∴ξ的分布列为：ξ 0 2 3 4 5 6P 0.25 0.3 0.2 0.09 0.12 0.04Eξ=0×0.25+2×0.3+3×0.2+4×0.09+5×0.12+6×0.04=2.4．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），过右焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得弦长是1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过点（1，0）的直线l与椭圆交于M，N两点（M，N与A，B 不重合），证明：直线AM和直线BN交点的横坐标为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）令x=c代入椭圆方程，可得弦长为=1，点（1，）代入椭圆方程，解方程可得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程代入椭圆方程x2+4y2=4，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，求出直线AM，BN的方程，求交点的横坐标，代入韦达定理，化简整理可得定值4．【解答】解：（1）设椭圆C： +=1的右焦点为（c，0），令x=c，可得y=±b=±，即有=1，又+=1，解方程组可得a=2，b=1， 则椭圆C 的标准方程为+y 2=1；（2）证明：由椭圆方程可得A （﹣2，0），B （2，0）， 设直线l 的方程为x=my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 将直线的方程代入椭圆方程x 2+4y 2=4，可得 （4+m 2）y 2+2my ﹣3=0， y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，直线AM ：y=（x+2），BN ：y=（x ﹣2），联立直线AM ，BN 方程，消去y ，可得 x==，由韦达定理可得， =，即2my 1y 2=3y 1+3y 2， 可得x==4．即有直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值4．21．已知函数f （x ）=x|x+a|﹣lnx ． （1）当a=0时，讨论函数f （x ）的单调性； （2）若a ＜0，讨论函数f （x ）的极值点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=0时，f （x ）=x 2﹣lnx ，函数的定义域为（0，+∞），求导数，断导数的符号，即可判断f （x ）的单调性；（2）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论函数f （x ）的极值点．【解答】解：（1）当a=0时，f （x ）=x 2﹣lnx ，函数的定义域为（0，+∞）． f′（x ）=，令f′（x ）＞0，可得x ＞，f′（x ）＞0，可得0＜x ＜，∴函数f （x ）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，）；（2）当a ＜0时，f （x ）=．①x＞﹣a 时，f′（x ）==0，可得x 1=，x 2=＜﹣a （舍去）．若≤﹣a ，即a ≤﹣，f′（x ）≥0，∴函数f （x ）在（﹣a ，+∞）上单调递增；若＞﹣a ，即﹣＜a ＜0，则当x ∈（﹣a ，x 1）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 1，+∞），f′（x ）＞0，∴f （x ）在∈（﹣a ，x 1）上单调递减，在（x 1，+∞）上单调递增． ②当0＜x ＜﹣a 时，f′（x ）==0，得﹣4x 2﹣2ax ﹣1=0．记△=4a 2﹣16．△≤0，即﹣2≤a ＜0，f′（x ）≤0，∴f （x ）在（0，﹣a ）上单调递减； △＞0，即a ＜﹣2，f′（x ）=0可得x 3=，x 4=且0＜x 3＜x 4＜﹣a ．x ∈（0，x 3）时，f′（x ）＜0，x ∈（x 3，x 4）时，f′（x ）＞0，x ∈（x 4，﹣a ），f′（x ）＜0， ∴f （x ）在（0，x 3）上单调递减，在（x 3，x 4）上单调递增，在（x 4，﹣a ）上单调递减， 综上所述，a ＜﹣2时，f （x ）的极小值点为，极大值点为；﹣2≤a ≤﹣时，f （x ）无极值点； ﹣＜a ＜0时，f （x ）的极小值点为．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知点P 是圆O 外的一点，过P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，过P 作一割线交圆O 于点E ，F ，若2PA=PF ，取PF 的中点D ，连接AD ，并延长交圆于H ． （1）求证：O ，A ，P ，B 四点共圆； （2）求证：PB 2=2AD•DH．【考点】平行截割定理；圆周角定理．【分析】（1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，即可证明：PB2=2AD•DH．【解答】证明：（1）连接OA，OB，∵PA，PB为圆O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO+∠PBO=180°，∴O，A，P，B四点共圆；（2）由切割线定理可得PA2=PE•PF，∵PF=2PA，∴PA2=PE•2PA，∴PA=2PE，∴PE=ED=PA，由相交弦定理可得AD•DH=ED•DF，∴AD•DH=PA2，∵PB=PA，∴PB2=2AD•DH．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F 1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l过点A，F1．（1）求圆锥曲线C及直线l的普通方程；（2）设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得普通方程．可得椭圆的左焦点F1（﹣，0），又直线l还经过点，可得直线l的截距式方程．（2）直线l的方程与椭圆方程联立化为+8=0，利用|EF|=即可得出．【解答】解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得普通方程： =1．可得椭圆的左焦点F1（﹣，0），又直线l还经过点，可得直线ld的方程为： +=1，即x+y+=0．（2）联立，化为+8=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|===．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把不等式f（x）≤5等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得函数f（x）的图象不能在y=3a﹣2的图象的下方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣l|+|x+|=，f（x）＜5，可得2x+＜5（x≥1）或3＜5（﹣2＜x＜1）或﹣2x﹣1＜5（x≤﹣2）解得﹣3＜x＜2．不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜2}．（2）若不等式f（x）≥|x﹣a=x﹣2|=|a+2|，由题意，对任意x∈R，不等式f（x）≥3a﹣2都成立，可得：|a+2|≥3a﹣2．在坐标系中画出y=|a+2|与y=3a﹣2的图象如图．可得得：a≤2．。

绝密★启用前广西2019年高考理科数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。

{x|-2≤x<2}B。

{x|x<2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。

(-∞,1)B。

(-∞,-1)C。

(1,+∞)D。

(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。

6斤B。

9斤C。

9.5斤D。

12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。

60B。

30C。

20D。

105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。

若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。

3B。

4C。

5D。

66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。

0,0B。

1,1C。

0,1D。

1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。

10B。

11C。

12D。

138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。

[0,6]B。

[0,4]C。

[6,+∞)D。

[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。