哈尔滨工程大学微积分

最新哈工大大一（下）工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理1102002班工科数学分析（下）知识点整理人：刘星斯维提（1）：曲线积分：==<'+'=≤≤?==?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lβαψ?ψ?βαψ?βα特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?==y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD L D L LLLβαβαψψ??ψ?ψ?βα∑∑∑∑∑∑∑++=++±=±=±=++++=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yzxyD D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

哈工程微积分自主考试试卷（有答案）班级：学号：姓名：装订线第1页共2页第2页共 2页高等数学A （一）自主考试参考答案及评分标准（2011.4.24）一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、解答：e 。

2、解答：dxx xxx x x x]sec)sin ln [(cos 2sin ++3、解答：1。

4、解答：π2。

5、解答：242ππ-。

二、选择题（每小题3分，共15分）：1，解答：C 2，解答：A 3、解答：B 。

4、解答：B 。

5、解答：B 。

三、计算题（每小题7分，共21分）： 1、解答：21)1(lim)1(11lim)1(11)1(011020)1ln(1lim )1ln(lim --+-+--+--+→-→===??-++=??+→→eeex x x x x xxx n xxx n e xxx n e x x n xx e x x xx xx ...........................................7分2、解答：t t f t f t f t t f dxdy ='''-''+'=)()()()(；...........................................3分)(122t f dxy d ''=。

...........................................4分3、解答：-dx x x x)1(arcsin cx x d x x d xx+==-=2)(arcsin arcsin arcsin2)(1arcsin2 ...........................................3分dx xx ?+2sin tan 1cx x x d xx dx x+=+=)tan tan (ln 21tan tan tan 121cos sintan 121++-dx xx x x x)2sin tan 1)1(arcsin (=c x x x +++)tan tan (ln 21)(arcsin2...........................................4分四、计算题（每小题8分，共32分）：1、解答：)0(f ''存在，)0(f '必存在且)(x f 在0=x 点必连续，从而)0()(lim 0f x f x =-→，即0=c ；又1)ln(1lim )0( ,)(lim)0(02=+='=++='+-→+→-xx f b xf x x ，故1=b ，且1)0(='f ；...........................................4分又axax xf x f f x x 21)12(lim )0()(lim)0(0=-+='-'=''--→→-，11lim )0()(lim )0(11-=-='-'=''+→→+++xxf x f f xx x ，故21-=a 。

实验报告实验一：函数绘图实验1、实验目的利用数学软件绘制数学函数曲线及曲面，通过实验了解函数图形的绘制方法。

2、实验内容⑴在同一个图形中，绘制双曲线，以及的双曲线2条渐近线。

⑵在同一个图形中，绘制球面与锥面相交的曲面。

⑶自选题目：绘制一个或者多个平面图形、空间曲面图形。

3、程序设计及运行结果(1)>> x=-5:0.1:5;ezplot('x^2-y^2=1');y1=x;y2=-x;hold on;plot(xy1);hold on;plot(xy2);(2) >> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-1;f2=x.^2+y.^2-z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');(3)>> x=-5:0.1:5;y=x;z=x;[xyz]=meshgrid(xyz);f1=x.^2+y.^2+z.^2-9;f2=x.^2+y.^2-2*z;p1=patch(isosurface(xyzf10));set(p1 'FaceColor' 'm');p2=patch(isosurface(xyzf20));set(p2 'FaceColor' 'w');4、讨论与分析在本次试验中初步了解了matlab，学会了一些简单绘图，加深了对函数的理解为以后实验作个铺垫，由浅入深的了解matlab.实验二：微积分实验1、实验目的熟悉并了解使用数学软件，进行微积分问题计算的相关数学软件命令，让学生通过实验理解微积分，解决微积分计算上的问题。

分部积分法[]()()()()()()f xg x f x g x f x g x'''=+由[]d()()()()()().f xg x f x g x x f x g x C''⇒+=+⎰——分部积分公式d d()()()()()().f xg x x f x g x f x g x x''⇒=-⎰⎰d d()()()()()().g x f x f x g x f x g x=-⎰⎰或分部积分法d ln x x ⎰例1.d ln ln x x x x=-⎰1d ln x x x xx=-⋅⎰d arctan x x ⎰例2.d arctan arctan x x x x=-⎰2d 1arctan xx x x x =-+⎰ln x x x C=-+()2211d 121arctan x x x x =-++⎰()2112arctan ln x x x C=-++典型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰d ln x x ⎰例1.d arctan x x⎰例2.d d x x ⎰⎰1.，对数函数反三角函数，d d x x ⨯⨯⎰⎰2.，幂函数对数函数幂函数反三角函数，d arctan x x x ⎰例3.21d 2arctan x x =⎰22211d 221arctan x x x x x =-+⎰221111d 221arctan x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰2111222arctan arctan x x x x C =-++d cos x x x ⎰例4.d sin x x =⎰()2211d 22cos sin x x x x x =-⋅-⎰sin cos x x x C=++d d x x ⨯⨯⎰⎰3.，幂函数三角函数幂函数指数函数，21d2cos x x =⎰d sin sin x x x x=-⎰d xx e x ⎰例5.d sin xe x x ⎰例6.d sin xx e =⎰d sin cos x xe x x e =-⎰移向，得d x ⨯⎰三角函数指数函数4.，d sin cos x xe x e x x =-⎰sin cos x x e x e x =-d sin x e x x -⎰()1d 2sin sin cos xx x e x x e x e x C =-+⎰⎛⎫ ⎪⎝⎭一个方向用两次分部积分变成方程再解典型的分部积分（ii ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰()()()22d d 1113d 2cos sin nn nx x n x xax x n ≥+≥⎰⎰⎰5.，和1d cos n nI x x=⎰例1.2211d coscos n x x x-=⋅⎰21d tan cosn xx-=⎰()22d tan tan cos cos nn x x x x--=-⎰()()()122d tan sin cos sin cos cos nn x x n x x x x x --=---⎰()222d tan sin cos cos n nx x n x x x -=--⎰()()222tan cos n n n xn I I x--=---典型的分部积分()221d n n J x a x =+⎰例2.()()2222d nnxx a xa x -=-++⎰()()122222d n nxn x a x x xax --=+++⎰()()2122222d nn xx n xa x ax +=+++⎰()()()2122222212d nn n x a n x a x a x a x +⎛⎫ ⎪=+- ⎪+++⎝⎭⎰()212222n n nx nJ na J ax+=+-+()1n >11arctan x J a a⎛⎫= ⎪⎝⎭其他类型的分部积分（i ） d d .g ff g f g =⋅-⎰⎰不同类1.函数之积2d 1arcsin x x xx-⎰例1.()221d 121arcsin xx x =---⎰2d 1arcsin x x =--⎰()2211xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝'--⎭=-222111d 1arcsin x x x xx=--+-⋅-⎰21arcsin x x x C=--++导数重2.复出现型d cos ln x x⎰例2.d cos ln cos ln x x x x=-⎰1d cos ln sin ln x x x x xx=+⋅⋅⎰d cos ln sin ln sin ln x x x x x x =+-⎰d cos ln sin ln cos ln x x x x x x =+-⎰移向，得()1d 2cos ln cos ln sin ln +x x x x x x C =+⎰含有“不可3.积函数”类型d sin cos ln x x x x x ⎛⎫+⋅⎪⎝⎭⎰例3.d d sin ln sin xx x x x =+⎰⎰22311sin ,,sin ,,,ln xx x ee x x x x x+例如d d sin sin sin ln x xx x x x x x=+-⎰⎰sin ln x x C=+规格严格 工夫到家 ~不定积分~ 其他类型的分部积分含有抽象4.函数的类型()d ()()()()f x g x f x g x x ''''-⎰例4.d d ()()()()f x g x x f x g x '''=-⎰⎰d d ()()()()()()f x g x x f x g x f x g x x '''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()f xg x x f x g x f x g x ''''=-+⎰⎰d d ()()()()()()()()f x g x x f x g x f x g x g x f x x ''''''=-+-⎰⎰()()()()f x g x f x g x C''=-+。

1. 已知1e ,0,()1sin ,0.xx a x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩为连续函数，则a = .2. 已知函数2xy x =，则微分1d |x y == d x .3. 函数x y xe =的n 阶麦克劳林公式中，含nx 项的系数是 . 4. 已知定积分220111()cos ()d 0x c x c x ++=⎰，则常数c = .5. 心形线1cos (02)r θθπ=+≤≤的全长为 .1. 当0x +→时，与等价的无穷小量是（ ）. (A) 1-(B )(ln 1+ (C ) 1-(D ) 12. 设函数e ()()(1)x bf x x a x -=--有无穷间断点0x =、可去间断点1x =，则常数,a b 的值为 （ ）.(A ) 0a =，1b = (B ) 0a =，e b = (C ) a 任意，1b =(D ) a 任意，e b =3. 设()33f x x x q =-+，其中常数()2,2q ∈-，则()f x 的零点的个数为 （ ）.(A ) 1(B ) 2 (C ) 3 (D ) 44. 下列广义积分收敛的是（ ）.(A )1x +∞⎰(B )0d xxex --∞⎰(C )1311d x x-⎰(D )1+∞⎰哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010 年 秋季 学期）5. 下列说法正确的是 （ ）.(A ) 已知数列{}n x 单调递增，非负函数()f x 单调递减，则数列{()}n f x 收敛 (B ) 设函数()f x 连续，且满足()m f x M ≤≤，其中,m M 为常数，则()()d ()b am b a f x x M b a -≤≤-⎰(C ) 11(1)d (1)1x x x e e x e C ααα++=+++⎰ (D ) 设函数()f x 连续，若00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，则0()f x不是()f x 的极值1. 计算极限210tan lim x x x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 已知函数()y y x =是由方程arctan x y=d d y x ，22d d y x .3. 已知函数()y y x =由参数方程2221212201e e d (1)e d t y t u u x t u u u ⎧=⎪⎨⎪=+⎩⎰⎰确定，求d d y x ，22d d yx .4. 设()22e d x t x t -Φ=⎰，求（1）()y x =Φ的单调区间； （2）()y x =Φ的凹凸区间.1. 计算积分x ⎰.2. 计算积分241xx⎰.3. 设()f x ''在[0,1]连续，且(0)1,(2)3,f f ==(2)5,f '=计算积分10(2)d .x f x x ''⎰已知抛物线22y x =-、直线y x =以及y 轴在第一象限围成了平面图形D ，求（1）D 的面积； （2）D 绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.1. 当0x >时，证明不等式：2cos xe x x ->-.2. 已知函数()f x 在[]0,1上有二阶导数，10()d 0f x x =⎰，(0)(1)0f f ==.（1）证明：存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=； （2）证明：存在(0,1)η∈，使得22()()1f f ηηηη'''=+.3. 利用N ε-语言，证明极限2233lim212n n n n →∞+=-.微积分A(一)2010级期末试题（A 卷） 参考答案及评分标准(2011年1月11日)一、填空题（每小题3分，共15分）1. 12. 23.1(1)!n - 4. 32- 5. 8二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. B2. B3. C4. D5. A三、计算题（每小题8分，共32分）1. 解答：1tan tan 00tan tan lim()lim(1)xx x x x x x x x x x x x x++-⋅-→→-=+ ……2分而22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→--=== 所以21130tan lim()x x x e x+→= ……6分2. 解答：方程两边同时对x 求导：2222y xy x yy x y x y''-+=++ 故dy y x dx x y -=+ ，即 12dy xdx x y=-+ ……4分 ()222223(1)2()2()d y x y x y x y dx x y x y '+-+-+=-=++ ……4分3. 解答：221221e d (1)ed y tu u u u u =+⎰⎰两边对t 求导：2222(1)t y t e y t e '=+，故2222(1)t y t y e t e -'=+ ……3分 22222222d (1)d (1)t y y t t t y ye t e e x x t e --'+==='+； ……3分 222222d ()(2)2d y y y y de dy e y ye x dx dx---==-=-。