正余弦定理综合应用

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。

以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。

一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。

正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。

由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。

2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。

通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。

3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。

通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。

二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。

余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。

例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。

此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。

2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。

例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。

余弦定理可以帮助我们解决这个问题。

此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。

在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。

正余弦定理的综合运用一、教材分析1．教学容：必修5第11.节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要容是正余弦定理的综合运用。

2．地位作用：①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

②高考考察趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。

二、学生学习情况分析学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。

另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的根底。

三、教学过程〔一〕课前预习导学1．学习目标〔1〕、进一步熟悉正余弦定理容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。

〔2〕、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。

〔3〕、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。

2．教学重点和难点：〔1〕教学重点：利用正余弦定理进展边角互换。

〔2〕教学难点：利用正余弦定理进展边角互换时的转化方向。

3．教学方法：探析归纳，讲练结合 4．自主预习〔1〕知识梳理：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆的外接圆半经〕 正弦定理常见变形公式：①边化角：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ②角化边：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===③比例：::sin :sin :sin a b c A B C = 余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 余弦定理常见变形公式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-=，222cos 2a b c C ab+-=求角、判别角、边角互化 〔2〕预习检测：1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =2．【2012文】在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的长分别为,,a b c ，假设2a = ，6B π=，c =，那么________b =3．在ABC ∆中，假设7a =，3b =，5c =，那么_________A = 4．在△ABC 中，cos cos b A a B =,那么三角形为〔 〕A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形〔二〕预习检测反缋1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 小结：两角及其中一个角的对边，选用正弦定理.变式1：在△ABC 中，1,30c b B ===，那么_________A =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 ∵>c b ，∴>C B ，∴=C 60或120=C . ∴90=A 或30=A .小结：两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进展讨论，有两解的可能。