2017-2018学年四川省成都市龙泉驿区高一(下)期末数学试卷及答案(文科)
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2017-2018学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个题只有一个正确答案）1．（5分）化简cos222.5°﹣sin222.5°的值为（）A．B．1C．﹣D．2．（5分）已知a＞b，c＞d，且cd≠0，下列正确的是（）A．ac＞bd B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d 3．（5分）直线x﹣y﹣2018＝0的倾斜角等于（）A．B．C．D．不存在4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（）A．4πB．6πC．8πD．10π5．（5分）设圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含6．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，若a3•a7＝81且a3＝1，则a6＝（）A．16B．81C．3D．277．（5分）已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x﹣y﹣3＝0B．x+y+3＝0C．x+y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0 8．（5分）等差数列{a n}的公差为1，且a1，a3，a7成等比数列，则{a n}的前20项和为（）A．230B．﹣230C．210D．﹣2109．（5分）设x，y满足约束条件，实数m＝y﹣2x，则实数m的最大值为（）A．﹣B．﹣C．2D．﹣10．（5分）直线l1：m2x+y+5＝0和直线l2：3mx+（m﹣2）y+m＝0，若l1∥l2，则m的值为（）A．﹣1B．0C．0或﹣1D．0或﹣1或3 11．（5分）已知直线x+ky﹣2﹣2k＝0恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+2n＝0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（）A．B．18C．9D．2512．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，a＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin48°cos18°﹣sin18°cos48°的值是．14．（5分）直线y＝x﹣1与圆x2+y2﹣2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对于一切x∈R都成立，那么a的取值范围是．16．（5分）已知直线3x﹣4y+m＝0与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9交于不同的两点A，B，若||||，则实数m的取值范围是．三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2．（1）求不等式f（x）＞10的解集；（2）若不等式f（x）＞2x2+ax+b的解集是（﹣2，3），求实数a，b的值．18．（12分）已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，7），C（6，2），D（5，﹣5）．（1）求经过点B且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程；（2）试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）求数列{n•a n}的前n项和T n．20．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n m﹣1对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．（1）求角B的大小；（2）若D为BC上的一点，BD＝1，cos∠BDA＝﹣，求△ABD的面积．22．（12分）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（2，0）的距离是点P到点B （﹣1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹C方程；（2）若动点P与点Q关于点（2，3）对称，求P、Q两点间距离的最小值．（3）过曲线C外一动点M作曲线C的切线，切点为N，已知点D（0，﹣1），且|MN|＝|MD|，求|MN|的最小值．2017-2018学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个题只有一个正确答案）1．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：cos222.5°﹣sin222.5°＝，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．2．【考点】R3：不等式的基本性质．【解答】解：对于A：当0＞a＞b，0＞c＞d，则：ac＜bd故错误．对于B：当0＞a＞b，0＞c＞d，则：，故错误．对于D：当a＝3，b＝2，c＝3，d＝1时，a﹣c＜b﹣d．故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线x﹣y﹣2018＝0化为y＝x﹣2018，则直线的斜率为k＝，直线的倾斜角等于．故选：B．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角计算问题，是基础题．4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为2，高h＝4，即圆柱的底面半径r＝1，故该几何体的侧面积S＝2πrh＝8π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．5．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【解答】解：圆C1：x2+y2＝4的圆心坐标为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝9的圆心坐标为圆C2（3，﹣4），半径r2＝3．∵|C1C2|＝5＝r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系是为切．故选：B．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题．6．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：等比数列{a n}中，a n＞0，∴q＞0，∵a3•a7＝81且a3＝1，∴a7＝81，q4＝＝81∴q＝3，则a6＝＝33＝27．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式在求解等比数列的项中的应用，属于基础试题．7．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【解答】解：圆（x+1）2+y2＝9的圆心坐标为C（﹣1，0），又P（1，2），∴，则以P为中点的弦AB所在直线方程为y﹣2＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣3＝0．故选：C．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，是基础题．8．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：∵差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a7成等比数列，∴a32＝a1•a7，则（a1+2）2＝a1•（a1+6），化简得，a1＝2，则{a n}的前20项和为：S20＝20a1+＝230，故选：A．【点评】本题考查等差、等比数列的通项公式，等比中项的性质，以及方程思想，属于基础题．9．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点B时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由得A（1，4），代入m＝y﹣2x，得z＝4﹣2×1＝2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合进行平移是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【解答】解：∵直线l1：m2x+y+5＝0和直线l2：3mx+（m﹣2）y+m＝0，且l1∥l2，∴m2（m﹣2）＝3m，解得m＝﹣1或m＝0或m＝3，经验证当m＝﹣1或m＝0或m＝3时，都有两直线平行．故选：D．【点评】本题考查直线的平行关系，属基础题．11．【考点】IP：恒过定点的直线．【解答】解：∵x+ky﹣2﹣2k＝0，∴（y﹣2）k+x﹣2＝0，∴直线恒过定点A（2，2），若点A在直线mx﹣y+2n＝0，则m+n＝1，故+＝（+）（m+n）＝4+++9≥13+2＝25，当且仅当＝时“＝”成立，故选：D．【点评】本题考查了直线过定点问题，考查不等式的性质，乘“1”法的应用，是一道常规题．12．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．【解答】解：根据题意，在△ABC中，若＝，则有2c cos A﹣b cos A＝a cos B，由正弦定理可得：2sin C cos A＝sin A cos B+sin B cos A＝sin C，则有cos A＝，则有＝，变形可得b2+c2﹣12＝bc，又由b2+c2≥2bc，则有bc≤12，又由cos A＝，则sin A＝，则△ABC面积S＝bc sin A≤3，即△ABC面积的最大值为3；故选：C．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：sin48°cos18°﹣sin18°cos48°＝sin（48°﹣18°）＝sin30°＝．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数求值，是基本知识的考查．14．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：化圆x2+y2﹣2y﹣3＝0为x2+（y﹣1）2＝4，可得圆心坐标为（0，1），半径为2．圆心到直线y＝x﹣1的距离d＝．∴|AB|＝．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查利用垂径定理求弦长，是基础题．15．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：当a＝2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．16．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：设AB的中点为E，则CE⊥AB，∵|+|≥||，∴2||≥×2||，∴||2≥||2，∴8|CE|2≥9﹣|CE|2，|CE|≥1，又|CE|＜3，所以1≤|CE|＜3，由点到直线的距离得d＝|CE|＝∈[1，3），解得：﹣15＜m≤﹣5或5≤m＜15．故答案为：（﹣15，﹣5]∪[5，15）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、向量加法平行四边形法则、垂径定理．属中档题．三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣2x+2，不等式f（x）＞10，∴x2﹣2x+2＞10，∴x2﹣2x﹣8＞0，解得x＜﹣2或x＞4，∴不等式f（x）＞10的解集为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．（2）∵不等式f（x）＞2x2+ax+b的解集是（﹣2，3），∴x2+（a+2）x+b+2＜0的解集是（﹣2，3），∴﹣2和3是方程x2+（a+2）x+b+2＝0的两个实数根，∴，解得a＝﹣3，b＝﹣4．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查实数值的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．【考点】GZ：三角形的形状判断；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线的斜率k＝﹣＝﹣2．∴经过点B且与直线x﹣2y+1＝0垂直的直线方程为：y﹣7＝﹣2（x﹣1），化为：2x+y﹣9＝0．（2）|AB|＝＝5，同理可得：|BC|＝5＝|CD|＝|DA|．∴四边形ABCD为菱形．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、菱形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n，（n∈N*），可得{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n＝2n﹣1，n∈N*；（2）n•a n＝n•2n﹣1，可得前n项和T n＝1•20+2•21+…+n•2n﹣1，2T n＝1•2+2•22+…+n•2n，相减可得﹣T n＝20+21+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化简可得T n＝（n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2，则：当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝1符合通项，故：a n＝2n﹣1．（2）由于b n＝＝，所以：T n＝，＝．由于T n m﹣1对n∈N*恒成立，即：，所以：当n＝1时，由于T n的最小值为：当n＝1时，．则：，解得：m≤4．故m的取值范围为：m≤4．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．【考点】HP：正弦定理．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵＝，且由正弦定理可得：＝，…2分∴，整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得：cos B＝＝，…4分∵B∈（0，π），…5分∴B＝…6分（2）∵在△ABC中，cos∠BDA＝﹣，可得：sin∠BDA＝，…7分∴sin∠BAD＝sin（∠B+∠BDA）＝sin•cos sin∠BDA＝×+＝…9分由正弦定理可得：AB＝＝4（2+），…11分∴S△ABD＝AB•BD•sin B＝＝2+3…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．22．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：（1）由题意可得：∴x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4．（2）设Q（x，y），点P与点Q关于点（2，3）对称，可得P（4﹣x，6﹣y），∵P是圆（x+2）2+y2＝4上的动点，可得Q的轨迹为（4﹣x+2）2+（y﹣6）2＝4．即（x﹣6）2+（y﹣6）2＝4．P、Q两点间距离的最小值为：．（3）由（1）可得点P的轨迹C方程；（x+2）2+y2＝4．其圆心为（﹣2，0），半径r＝2．、设动点M的坐标为（x，y），|MN|2＝CM2﹣22＝CM2﹣4＝（x+2）2+y2﹣4．∵|MN|＝|MD|，∴（x+2）2+y2﹣4＝x2+（y+1）2，即4x﹣2y﹣1＝0，∴动点M的方程为：4x﹣2y﹣1＝0．要使|MN|取得最小，只需求解CM的最小值即可．而CM是M到圆C的距离．∴|CM|min＝＝|MN|2＝CM2﹣22＝．故得|MN|的最小值为．【点评】本题考查直线方程，涉及到直线、圆、点到直线距离公式、圆与直线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题。
