均值代换的技巧

1 例谈数学解题中的换元法

如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法。其中，新的未知量叫做辅助元素，简称辅助元。某些数学问题通过这种“换元”，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题途径。

1、若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x, y, z成等差数列。（1979年）

分析：作变换a=x-y, b=y-z，问题化为(a+b)2-4ab=0a=b。

问题已变得十分简单明了。

2、设对所有实数x，不等式x2log2＞0恒成立，求a的取值范围。（1987年）

分析：作变换m=log2，则原式变为(3+m)x2-2mx+2m＞0。

其对一切x∈R恒成立的充要条件完全暴露为：

。

由此解出0＜a＜1。

3、设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数，证明：

（1）|z1+A|·|z2+A|=|A|2；

（2）。（1987年）

分析：作变换α=z1+A，β=z2+A，则z1=α-A，z2=β-A，代入条件式，并化简得α=|A|2。

（1）|z1+A||z2+A|=|α||β|=|α|||=|α|=|A|2；

2

（2），

∴。

4、求同时满足下列条件的所有复数z：

（1）z+∈R且1＜z+≤6；

（2）z的实部与虚部均为整数。（1992年）

分析：设t=z+，则t∈R，且1＜t≤6，∴z2-tz+10=0。

由条件知Δ=t2-40＜0。

再由求根公式知z=±。

∵是整数，∴t=2,

4, 6。

当t=2时，z=1±3i；当t=4时，z的虚部不为整数，舍去；当t=6时，z=3±i。

故所求的复数是z=1±3i或3±i。

换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、均值代换、和差代换等。

应用均值不等式求最值的技巧

江山中学 杨作义

利用均值不等式求最值是高考的热点问题之一，这类问题主要包含两种情况——“和定积最大，积定和最小”，即已知某些变量（变量为正数）的积为定值时，求和的最小值；已知某些变量（变量为正数）的和为定值时，求积的最大值．在解题时，要遵循“一正（各项或各因式均为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件）”的原则．

但高考一般很少直接考查均值不等式的应用，而是需要同学们运用凑、拆、拼、添等技巧，对题中的式子进行调整、转化，使其符合应用均值不等式的情景．下面，我们就和同学们谈一谈应用均值不等式求最值的变形技巧．

一、添项法

如果所求式为ab的形式，且ab不为定值，我们可以考虑使用添项法，给原式添上仅符号相反的项（加一项，减一项），使它变为-accb的形式，注意添项后符合“积为定值”的情景，再根据“积定和最小”的原则求出答案．

例1 设0ab＞＞，则211aabaab的最小值是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解析：因为2111=aabaabbab并非“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解．由于该式的分母中包含了“,()abaab”，如果添项后，新增的项和原有的项相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式解决问题．

211aabaab＝211()aabababaab＝11()()abaababaab≥2＋2＝4,当且仅当1=abab且1()=()aabaab时等号成立．结合0ab＞＞，解得2a, 22b.选D.

评注：通过添项，把原式各项之积变为定值是求解例1的关键．在使用添项法时，关键是要明白添什么项，以“谁”为“基准”，才能使代数式的积为定值．

比如例1中分别以分母ab与()aab为“基准”，通过添、配、凑，使原式变为11()()abaababaab的形式，根据“积定和最小”的原则求出了和的最小值．

解答代数题的常用代换法

江苏省盐都县教育局 谷汉民

江苏省盐都县楼王中学 翟文刚

代换法是解答代数题的常用方法，在求值、化简、解方程、证明

不等式中的应用极为广泛．本文试对代数中的常用代换法作些归纳，供

大家参考．

1 比例代换

+cz＝（a+b+c）（x＋y＋z）．

b＝k（y

2-zx），c=k（z

2－xy）．

∴ ax＋by＋cz

＝k（x

3＋y

3＋z

3－3xyz）

＝k（x＋y＋z）（x

2＋y

2＋z

2－xy－yz－zx）．

又a＋b＋c

＝k（x

2＋y

2＋z

2－xy－yz－zx），

∴ ax＋by＋cz

＝（a＋b＋c）（x＋y＋z）．

2 整体代换

∴x

3-6x-40＝0，

∴（x-4）（x

2＋4x＋10）＝0．

∵方程x

2＋4x＋10＝0无实根，由x－4=0得x＝4．

3 局部代换

则a＋b＝5，a

2＋b

2＝13．

∴a，b是方程x

2－5x＋6＝0的两根．

∴a＝2，b＝3或a＝3，b＝2．

由此解得x＝2或x＝7，经检验都是原方程的根．

4 均值代换

例5 已知a＋b＋c＝0，a

3＋b

3＋c

3＝0，求a

5＋b

5＋c

5的值．

（1）若c=0，则a=-b．这时a

5＋b

5＋c

5＝0．

a

5＋b

5＋c

5＝0．

解 设x＝1＋a，y＝1＋b，z＝1＋c，代入x＋y＋z＝3得a＋b＋c

＝0，则

又a

3＋b

3＋c

3－3abc

＝（a＋b＋c）［a

2＋b

2＋c

2－ab－bc－ca］＝0，

∴ a

3＋b

3＋c

3＝3abc，∴p=1．

5 共轭代换

例7 解方程

解 设

化简得t＝－3．从而得方程组

6 常值代换

x

3+2ax

2+a

2x+a-1=0，

即xa

2＋（2x

2＋1）a＋x

3－1＝0．

显然x＝0不是原方程的根，解此关于a的方程得

由此解得

7 分式代换

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分解因式的技巧方法

作者：李燕

来源：《理科考试研究·初中》2019年第04期

摘要：分解因式是初中数学的重要内容之一，而教材限于篇幅，重点介绍了因式分解的几种常用方法，而对解题技巧的介绍还不够.本文对因式分解的若干技巧作一补充分析，以期对学生学好这部分知识有所感悟.

关键词：技巧;灵活;分解因式

1巧用均值代换

例1在实数范围内分解因式（2x+9）4+（2x+1）*-904.

（2x+9）+（2x+1）

解设y=-T22

则（2x+9）*+（2x+1）+-904

=（y+4）*+（y-4）+-904

=[（y+4）2+（y-4）2]2-2（y+4）-（y-4）2-904=4（y2+16）2-2（y2-16）2-904

=2y”+192y2-392

=2（y’+96y’-196）

=2（y2-2）（y2+98）

=2（y+2）（y-v2）（y+98）

=2（2x+5+/2）（2x+5-12）（4x2+20x+123）.

评注取其算术平均值（也称取中值）为新变量是这道题的关键，如果采用直接配方或直接展开，不仅麻烦而且不易于分解”.

2巧用倒数代换

例2在有理数范围内分解因式2x4+3x3-5x2+3x+2. 龙源期刊网

解原式=x2（2x2+3x-5+-3、2

=x[2（x2+气）+3（x+-）-5]

=x°[2（x+=）2+3（x+二）-9].

设y=x+一，则

原式=x（2y2+3y-9）

=x（2y-3）（y+3）