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2020-2021中考数学 二次函数综合试题附答案解析

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2020-2021中考数学 二次函数综合试题附答案解析

一、二次函数

1．如图，已知直线ykx6与抛物线2yaxbxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。

【答案】解：（1）2yx2x3；（2）存在，P（1-132，13-12）；（3）Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.

【解析】

【分析】

（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.

（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，

∴y＝2x﹣6，

令y＝0，解得：x＝3，

∴B的坐标是（3，0）．

∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）存在．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），

∴P（1-132，13-12）．

（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴1DQADODDB，即56=135DQ，∴DQ1＝52，

∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；

②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴2OQOBODOB，即2363OQ，

∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；

③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴33OQOBQEAE，即33341OQOQ

∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣234x+94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．

【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）设P（m，﹣34m2+94m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334mm，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：=PEDPDBOCBCVV的周长的周长，代入得：L=﹣95（m﹣2）2+365，求L的最大值即可；

（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣23n4 +94n+3），则D（n，﹣34n+3），G（0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．

试题解析:

（1）由OC=3OA，有C（0，3），

将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

016403abcabcc， 解得：34943abc，

故抛物线的解析式为：y=﹣234x+94x+3；

（2）如图2，设P（m，﹣34m2+94m+3），△PFD的周长为L，

∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则403kbb

解得：343kb

∴直线BC的解析式为：y=﹣34x+3，

则D（m，﹣334m），PD=﹣2334mm，

∵PE⊥x轴，PE∥OC，

∴∠BDE=∠BCO，

∵∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

∵∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD∽△BOC，

∴=PEDPDBOCBCVV的周长的周长，

由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，

故△BOC的周长=12，

∴2334125mmL，

即L=﹣95（m﹣2）2+365，

∴当m=2时，L最大=365；

（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3， 当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，

∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四边形CDPQ是菱形，

过D作DG⊥y轴于点G，

设P（n，﹣234n +94n+3），则D（n，﹣34n+3），G（0，﹣334n），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n2=22516n，

而|PD|=|（﹣239344nn 3n）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n+3n|，

∵PD=CD，

∴﹣235344nnn①，

﹣235344nnn②，

解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），

解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），

当n=73时，P（73，256），如图3，

当n=173时，P（173，﹣253），如图4，

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．

点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．

3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？

【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元

【解析】

【分析】

（1）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即80802320wxyxx， 然后化为一般式即可；

（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）求2400w所对应的自变量的值，即解方程2212032002400x．然后检验即可.

【详解】

（1）80802320wxyxx， 2248025600xx，

w与x的函数关系式为：2248025600wxx；

（2）2224802560021203200wxxx，

2080160xQ，，

∴当120x时，w有最大值．w最大值为3200．

答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．

（3）当2400w时，2212032002400x．

解得：12100140xx，．

∵想卖得快，

2140x不符合题意，应舍去．

答：销售单价应定为100元．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2ymx2mx3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．S△PBC最大值为2716

（3）2m2或1m时，△BDM为直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）在2ymx2mx3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．

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2020-2021中考数学一元二次方程组的综合题试题及答案解析

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一、一元二次方程

1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,AB两种品牌的建材共126件，A种品牌的建材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.

（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？

（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了1%2a，B种品牌的建材的销售量减少了2%3a，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a，求a的值.

【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30.

【解析】

【分析】

（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；

（2）根据题意列出方程求解即可.

【详解】

（1）设销售A品牌的建材x件.

根据题意，得60009000126966000xx，

解这个不等式，得56x，

答：至多销售A品牌的建材56件.

（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件，

根据题意，得

12260001%561%90001%701%6000569000701%2323aaaaa，

令%ay，整理这个方程，得21030yy，

解这个方程，得1230,10yy，

∴10a（舍去），230a，

即a的值是30.

【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-二次函数综合训练含答案

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1.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 𝑨(𝟏,𝟎) 、 𝑩(𝟓,𝟎) 、 𝑪(𝟎,𝟒) 三点.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）𝑷 是抛物线对称轴上的一点，求满足 𝑷𝑨+𝑷𝑪 的值为最小的点 𝑷 坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 𝑬 ，使四边形 𝑶𝑬𝑩𝑭 是以 𝑶𝑩 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 𝑬 坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

2.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.

（3）当PH＝2时，求点P的坐标.

4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线

历年各地中考数学- 二次函数试题与答案

历年各地中考数学- 二次函数试题与答案

2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编

第13章 二次函数

一、选择题

1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线223yx可以由抛物线2yx平移得到,则下列平移过程正确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【答案】B

2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．

A．y = x2 B．y = x－１ C． y = 34 x D．y = 1x

【答案】D

3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数22113513xxyxx≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((bxaxy（其中ab）的图象

如下面右图所示，则函数baxy的图象可能正确的是

【答案】D y

x 1

1 O

（A） y

x 1

-1 O

（B） y

x -1

-1 O

（C） 1

-1 x y

O （D） 第6题图 5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是

A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

【答案】B

6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

X -7 -6 -5 -4 -3 -2

y -27 -13 -3 3 5 3

则当x=1时，y的值为

A.5 B.-3 C.-13 D.-27

2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)

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二次函数的图象及性质

二次函数的图象及性质

1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：若b＝5，则点P的个数为0；

乙：若b＝4，则点P的个数为1；

丙：若b＝3，则点P的个数为1.

下列判断正确的是( )

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错

C．乙对，丙错 D．甲错，丙对

2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则( )

A.甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx (x＞0)的图象是( )

二次函数图象与性质的综合

4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.

(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．

考点解析

二次函数的概念及表达式

1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝ ；