2020-2021中考数学二次函数综合题及答案解析

2020-2021中考数学二次函数综合题及答案解析

一、二次函数

1．如图，已知顶点为(0,3)C的抛物线2(0)yaxba与x轴交于A，B两点，直线yxm过顶点C和点B．

（1）求m的值；

（2）求函数2(0)yaxba的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得15MCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）y13x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．

【解析】

【分析】

（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；

（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；

（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．

【详解】

（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：

m＝﹣3；

（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：

x＝3，

所以点B的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：

390bab，

解得：133ab，

所以二次函数的解析式为：y13x2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，

则∠ODC＝45°+15°＝60°，

∴OD＝OC•tan30°3，

设DC为y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k3，

联立两个方程可得：233133yxyx，

解得：121203336xxyy，，

所以M1（33，6）；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，

则∠OEC＝45°-15°＝30°，

∴OE＝OC•tan60°＝33，

设EC为y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k33，

联立两个方程可得：2333133yxyx，

解得：12120332xxyy，，

所以M2（3，﹣2）．

综上所述M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．

【点睛】

此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2ymx2mx3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．S△PBC最大值为2716

（3）2m2或1m时，△BDM为直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）在2ymx2mx3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．

【详解】

解：（1）令y=0，则2mx2mx3m0，

∵m＜0，∴2x2x30，解得：1x1，2x3．

∴A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C1的表达式为yax1x3（a0），

把C（0，32）代入可得，12a．

∴Ｃ1的表达式为：1yx1x32，即213yxx22． 设P（p，213pp22），

∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=23327p4216（）．

∵3a4<0，∴当3p2时,S△PBC最大值为2716．

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，3m），M（1，4m），

∴BD2=29m9，BM2=216m4，DM2=2m1．

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即216m4＋2m1=29m9，

解得：12m2,22m2(舍去)．

当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即29m9＋2m1=216m4，

解得：1m1，2m1(舍去) ．

综上所述，2m2或1m时，△BDM为直角三角形．

3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3102．

【解析】 【分析】

（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．

【详解】

（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

10423bcbc，解得：23bc，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；

设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），

将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

023mnmn，解得：11mn，

∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点Q的坐标为（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝12AQ•PF＝﹣32x2﹣32x+3＝﹣32（x+12）2+278 ．

∵﹣32＜0，

∴当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154 ）．

（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．

∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此时△ANM周长取最小值．

当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，

∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），

∴AC＝2233

＝32，AN＝2231 ＝10，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,

4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或2013．

【解析】

（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；

（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．