直线与平面的夹角、二面角

1 专题二：直线与平面所成角的求法

直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。

【复习回顾】1、直线和平面所成角的定义及范围：

求直线和平面所成角的步骤：

一、直接法

直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。

（1）定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。

（3）三垂线定理：在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这个斜线的射影垂直。

(5) （教材P23〃例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。

（6）（教材P25〃T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。

（7）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的 。

例1、已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。

2

例2、如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。

图2

总结：直接法的关键在于确定斜线在平面上的射影，一般用以下几种方法来确定：

（1）利用几何体本身的特殊性，如正棱锥的顶点在底面上的射影在底面中心上；三条侧棱相等的三棱锥的顶点在底面上的射影在底面外心等。

二面角的平面角

摘 要：求二面角的平面角的大小，关键是找出或作出二面角的平面角。

关键词：二面角；平面角；转化

求二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容，也是一个难点。解决有关二面角问题的关键是找出或作出二面角的平面角，通过找出或作出二面角的平面角，使空间问题转化为平面问题来解决。学生往往不是不会计算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三种：（1）定义法；（2）三垂线定理法；（3）垂面法。

下面看几例具体的例子：

一、根据二面角的平面角的定义直接找出或作出二面角的平面角

例1.二面角α-l-β为60°，A点和B点分别在α、β内，且到棱l的距离分别是2和4，若线段AB=10，试求：

（1）直线AB与棱所成的角；

（2）直线AB与平面α所成的角。

分析：求解此题，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并将其构造到某一个三角形中，进而应用平面几何的知识求解。

由题意，在面α内作AD⊥l，在面β内作BE⊥l，作DC■EB，联结BC、AC，易知CD⊥l，则∠ADC为二面角α-l-β的平面角，等于6°，如图1再进一步求解就比较容易了。

■

定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，得到二面角的一个平面角。

如图2，以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂线定理法

例2.过正方形ABCD的顶点A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD与底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如图3，过点B作BE⊥SC于E，联结ED。

■

∵SA⊥底面ABCD，

∴BA为SB在底面ABCD内的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA为平面SBC与平面ABCD所成的角， 即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

1 D

B A C

 空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路

空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角；

③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求”

2、线面夹角

直线与平面所成的角的范围是]2,0[。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BADCAD）

）

2.1确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；

已知：如图，BAC在一个平面内，,,PNACPMABPNPM且＝（就是点P到角两边的距离相等）过P作PO（说明点O为P点在面内的射影）

求证：OANOAM＝

（OANOAM＝，所以AO为BAC的角平分线，所以点O会在BAC的角平分线上）

证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNAPMA＝＝

PNAPMA（斜边直角边定理）

ANAM＝①

2 (PONOMOPNPM斜线长相等推射影长相等）＝

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三)

教学目的：

1．两个平面垂直的定义、画法．

2．两个平面垂直的判定定理．

3．两个平面垂直的性质定理．理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题

教学重点：两个平面垂直的判定和性质

教学难点：两个平面垂直的判定及应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角

直线和平面所成角范围： 0，2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

2．公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21

3 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为,的二面角记为l；二面角的图形表示：

第一种是卧式法，也称为平卧式：

ABCDEFGHIJKL 21cbaPOABEDCBA第二种是立式法，也称为直立式：

lB'O'A'BOA

4．二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角

（2）一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为,,OAOBO为垂足，则AOB也是l的平面角

说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直