第七讲 二次型

第1页（共7页） 第七讲 二次根式的运算

式子a (a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．

(1)cbacbca)( (c≥0)；

(2)abba (0,0ba)；

(3)baba (0,0ba)；

(4)22)(aa(a0)．

同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．

例题求解

【例1】 已知254245222xxxxy，则22yx= ．

(重庆市竞赛题)

思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．

注： 二次根式有如下重要性质：

(1)0a，说明了a与a、na2一样都是非负数；

(2) aa2)( (a0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；

(3) aa2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．

【例2】 化简22)1(111nn，所得的结果为（ ）

A．1111nn B．1111nn C．1111nnD．1111nn

(武汉市选拔赛试题)

思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．

注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为第2页（共7页） 普遍、更为深刻的事实和规律．

第五章 二次型

在解析几何中，为了便于研究二次曲线

122cybxyax

的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换

cossinsincosyxyyxx

把方程化为标准形式

122ycxm.

这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n个变量的二次多项式的化简问题.

第一节 二次型及其矩阵

分布图示

★ 引言

★ 二次型的定义 ★ 例1

★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3

★ 例4 ★ 例5

★ 线性变换 ★ 例6

★ 矩阵的合同

★ 内容小结

★ 习题5-1

内容要点

一、二次型的概念

定义1 含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数

nnnnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,12232231121122222221112122222),,,(

称为二次型. 当ija为复数时，f称为复二次型；当ija为实数时，f称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.

只含有平方项的二次型 2222211nnykykykf 称为二次型的标准型(或法式).

二、二次型的矩阵

取ijjiaa,则,2ijjijiijjiijxxaxxaxxa于是

njijiijnnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf1,222112222221221112112211121),,,( )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax

二次型讲义

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二次型是线性代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论,通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础.本文在对二次型性质研究的基础上, 介绍了正定矩阵的性质, 简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用,并对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用.

如二次型f=−2xx2+2x1x3+2x2x3,经过正交变换后可以化为标准型f=−2y12+y22+y32,所以f的图形是一个旋转单页双曲面。由此可知，任意一个n元二次型代表n维空间上的图形。

1、 二次型的定义

含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次多项式（即每次都是二次的多项式：njijiijnxxaxxf1,1),,(，jiijaa称为n元二次型，令TnxxxX),,,(21，A=（ija），则二次型可用矩阵表示为：

AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfTnnnnnnnn212122221112112121),,,(),,,(

其中A是n阶实对称矩阵（AT=A），称A为二次型),,(1nxxf的矩阵，矩阵A的秩即为二次型f的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵.

1 第七章 二次型与二次曲面

二次型的定义

定义：n个变量n,x,,xx21的二次齐次多项式

jiijninjjiijnaa,xxa,x,,xxQ1121

称为n元二次型或二次形式。当系数ija取实数时，称为实二次型；ija取复数时，称为复二次型。

例：3221213213xxxxx,x,xxQ

例：233221213212xxxxxxx,x,xxQ

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnjiijninjjiijnxxxaaaaaaaaa,x,,xxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaaa,xxa,x,,xxQ212122221112112122211222222122111211221111121

令TijTnAAa,A,x,,xxx则,21，且二次型可表示为

Axx,x,,xxQTn21，

称A为二次型的矩阵。 2 xxxxxxx,x,xxQT02302302102113322121321

例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A为实对称矩阵，且r(A)=n.

ninjjiijnxx|A|A,x,,xxQ1121

矩阵的相合

设nn,β,,ββ,,α,,αα2121是n维线性空间V的两组基，这两组基的过渡矩阵为P，即

P,α,,αα,β,,ββnn2121

设向量V在两组基下的坐标分别为

TnTn,y,,yy,y,x,,xxx2121

则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：

xPyPyx1或。

则yAPPyAPyPyAxxαQTTTT