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第七讲 一元二次方程

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第七讲 一元二次方程

1．(2021·新疆生产建设兵团中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为(B)

A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3

C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3

2．(2021·福建中考)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(B)

A．0.63(1＋x)＝0.68 B．0.63(1＋x)2＝0.68

C．0.63(1＋2x)＝0.68 D．0.63(1＋2x)2＝0.68

3．(2021·云南中考)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(D)

A．a＜1 B．a≤1

C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0

4．(2021·南充中考)已知方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x21 －2 021x2 的值为(B)

A．1 B．－1

C．2 021 D．－2 021 5．(2021·广东中考)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为__x2－2＝0(答案不唯一)__．

6．(2021·上海中考)若一元二次方程2x2－3x＋c＝0无解，则c的取值范围为

9c8＞．

7．(2021·成都中考)若m，n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m2＋4m＋2n的值是__－3__．

8．(2021·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：

小敏：

两边同除以(x－3)，

得3＝x－3，

则x＝6. 小霞：

移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，

提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.

则x－3＝0或3－x－3＝0，

解得x1＝3，x2＝0.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

【解析】小敏：×；小霞：×.

正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，

提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.

则x－3＝0或3－x＋3＝0，

解得x1＝3，x2＝6.

9．(2021·泰安中考)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(C)

A．k＞－14

B．k＜14

C．k＞－14 且k≠0 D．k＜14 且k≠0

10.(2021·凉山州中考)函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是(C)

A．没有实数根

B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根

D．无法确定

11．(2021·随州中考)已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的两实数根为x1，x2，若2x1 ＋2x2 ＝3，则k＝45．

12．(2021·荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C) A．k＜54

且k≠0

B．k≤54

C．k≤54 且k≠0 D．k≥54

13．(2021·荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两实数根．

(1)若x1＝1，求x2及m的值；

(2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝6m－5 ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，解得m≤5，x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1，

∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1，∴x2＝5，m＝3；

(2)存在．∵(x1－1)(x2－1)＝6m－5 ，

∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝6m－5 ，即2m－6＝6m－5 ，

整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，

∵m≤5且m≠5，∴m＝2.

1．(2021·潍坊模拟)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(D)

A．x1＝2，x2＝－3 B．x1＝－2，x2＝3

C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝3

2．(2021·怀化模拟)已知一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为(C)

A.k＝4 B．k＝－4 C．k＝±4 D．k＝±2 3．(2021·娄底模拟)某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1 210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率

为(A)

A．10% B．11% C．12.1% D．21%

4．(2021·重庆模拟)若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是一元二次方程，则m的值为(D)

A．0 B．±1 C．1 D．－1

5．(2021·威海模拟)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为121x2x4＝，＝．

6．(2021·宁夏模拟)我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为__x(x＋12)＝864__．

7.(2020·德州模拟)如图，在Rt△ABC中，AC＝50 m，CB＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3 m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450 m2时，经过的时间是__10s__．

8．(2021·资阳模拟)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：

①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；

②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.

以上4个结论中，正确的个数为__3__．

9．(2021·株洲模拟)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5.请你写出正确的一元二次方程__x2－6x＋6＝0__．

10．(2021·太原模拟)2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．

(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．

(2)为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1 920元？

【解析】(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256(1＋x)2＝400，

解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去).

答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%.

(2)设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为(400＋40y)袋，

依题意，得：(14－y－8)(400＋40y)＝1920， 化简，得：y2＋4y－12＝0，

解得y1＝2，y2＝－6(不合题意，舍去).

答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1 920元．

11．(2021·无锡模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求1b＋1 －aa＋1 的值．

【解析】(1)根据题意得Δ＝22＋4k＞0，

解得k＞－1，

∴k的取值范围为k＞－1.

(2)由根与系数关系得a＋b＝－2，a·b＝－k，

1b＋1 －aa＋1 ＝1－abab＋a＋b＋1 ＝1＋k－k－2＋1 ＝－1.

12．(易错警示题)(2021·十堰模拟)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若x31 x2＋x1x32 ＝24，求k的值．

【解析】(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，

整理得：16＋8k－32≥0，解得k≥2，

∴k的取值范围是：k≥2.

(2)由题意得：x31 x2＋x1x32 ＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，

由根与系数的关系可知：x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，

故有：(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24， 整理得：k2－4k＋3＝0，

解得k1＝3，k2＝1，

又由(1)可知k≥2，

∴k的值为3.

13．(新方法拓展题)(2021·呼和浩特模拟)“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x－x ＝0，就可以利用该思维方式，设x ＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数x，y满足5x2y2＋2x＋2y＝133x＋y4＋2x2y2＝51 ，求x2＋y2的值．

【解析】令xy＝a，x＋y＝b，则原方程组可化为：

5a2＋2b＝133b4＋2a2＝51 ，整理得：5a2＋2b＝133①16a2＋2b＝408② ，

②－①得：11a2＝275，

解得a2＝25，代入②可得：b＝4，

∴方程组的解为：a＝5b＝4 或a＝－5b＝4 ，

x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝b2－2a，

当a＝5时，x＋y＝4，xy＝5，

∴x＝4－y，代入xy＝5，

可得y2－4y＋5＝0，此时Δ＝16－20＜0，方程无解，故不符合题意，

当a＝－5时，x2＋y2＝26，

因此x2＋y2的值为26.

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初中数学竞赛辅导讲义：第7讲-化归—解方程组的基本思想(含习题解答)

初中数学竞赛辅导讲义：第7讲-化归—解方程组的基本思想(含习题解答)

第七讲 化归—解方程组的基本思想

初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．

尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：

化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．

解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．

注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：

分式方程整式化

无理方程有理化

高次方程低次化

多元方程一元化

通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．

【例题求解】

【例1】已知正实数x、y、z满足35158zxxzyzzyxyyx，则xyzzyx= ．

思路点拨 由)1)(1(1babaab想到从分解因式入手，还需整体考虑．

【例2】方程组6323yzxyyzxz的正整数解的组数是（ ）

A．4 B．3 C 2 D．1

思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．

【例3】 解下列方程组：

(1)291322yxyxxy （2）24542144)53)(1(yxxyxxx

(3)2621133yxyx

思路点拨 对于(1)，先求出整体yx、xy的值，对于(2)，视xx2、yx53为整体，可得到)53()(2yxxx、)53)((2yxxx的值；对于(3)设ax31，by31，用换元法解．

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暑期衔接班

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目录

第一讲： 代数式及恒等变形

第二讲： 方程与方程组

第三讲： 不等式与不等式组

第四讲： 函数及其表示

第五讲： 二次函数的图像与性质

第六讲： 二次函数在给定区间上的最值

第七讲： 二次方程根的分布问题

第八讲： 常见函数图像与性质

第九讲： 函数图像变换

第十讲： 方法篇

第十一讲： 思想篇

第十二讲： 集合

附件： 两套衔接教材测试卷

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第一讲 代数式及恒等变形

1、乘法公式：

（1）平方差公式 ；

（2）完全平方公式 。

（3）立方和公式 ；

（4）立方差公式 ；

（5）三数和平方公式 ；

（6）两数和立方公式 ；

（7）两数差立方公式 。

2、二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

3、指数运算法则及推广

①规定：1）N*）

个

2）；

3））

②性质：1）、）；

2）、 ）；

3） ）。

4、次根式：若存在实数，使得，则称为的次方根。在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。

5、分数指数幂：

6、因式分解

（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；

22()()ababab222()2abaabb2233()()abaabbab2233()()abaabbab2222()2()abcabcabbcac33223()33abaababb33223()33abaababb(0)aanaaaan(n)0(10aa11(pppapaaR(0,rsrsaaaarsRraaasrsr,0()(sRrbababarrr,0,0()(Rnxaxnnaxannmnmaa高数新高一数学衔接教材

(初升高)高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组

(初升高)高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组

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1 / 6 （初升高）高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组

一、学习目标：

1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步骤；掌握用“代入法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；

2、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

3、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯。

二、学习重点：

1、会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；

2、理解解二元二次方程组的基本思想。

三、课程精讲：

新知探秘：什么样的方程组是二元二次方程组？如何解二元二次方程组？

1、二元二次方程

含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程。

例如：xy＝1，x2－y＝0，x－y－2xy＝－3都是二元二次方程；x－y＝1，x2y＝0都不是二元二次方程。

2、二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组。

知识点一：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解。其中蕴含着转化的思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。

【例1】解方程组2220 (1)30 (2)xyxy

思路导航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得2yx，代入方程（2）消去y。

解：由（1）得：2yx （3）

将（3）代入（2）得：22(2)30xx，解得：1211xx或

把1x代入（3）得：12y；把1x代入（3）得：22y。

∴原方程组的解是：12121122xxyy或。

点津：（1）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

第七讲 分式方程和无理方程的解法

第七讲 分式方程和无理方程的解法

分式方程和无理方程的解法

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．

分析：去分母，转化为整式方程．

解：原方程可化为：

14212(2)(2)2xxxxx

方程两边各项都乘以24x：

2(2)42(2)4xxxx

即2364xx， 整理得：2320xx

解得：1x或2x．

检验：把1x代入24x，不等于0，所以1x是原方程的解；

把2x代入24x，等于0，所以2x是增根．

所以，原方程的解是1x．

说明：

(1) 去分母解分式方程的步骤：

①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．

(2)

验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．

2．用换元法化分式方程为一元二次方程

【例2】解方程 2223()4011xxxx

分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程．最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程21xyx．

解：设21xyx，则原方程可化为：2340yy 解得4y或1y． (1)当4y时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx；