波利亚怎样解题实例分析

波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。

本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。

关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。

初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。

数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。

”这种“解题”不同于“题海战术”。

他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。

[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。

笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。

一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。

为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。

[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。

“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。

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数学教学通讯 【 教师版 ）
教学 研究 ＞ 课参 备 考
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波利亚“怎样解题”表在解题中的应用著名数学家波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．他专门研究解题的思维过程，分解解题的思维过程得到一张“怎样解题”表 ：第一步：理解题目 1．已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2．画张图，将已知标上．3．引入适当的符号．4．把条件的各个部分分开．第二步：拟定方案 1．你能否转化成相似的、熟悉的问题？ 2．你能用自己的语言重新叙述问题？ 3．回到定义去． 4．你能否解决问题的一部分？ 5．你是否利用了所有的条件？ 第三步：执行方案 1．勇敢地写出你的方法． 2．你能否说出你写的每一步的理由？ 第四步：回顾 1．你能否一眼就看出结论？ 2．你能否用别的方法导出这个结论？ 3．你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？ 下面，我们就按“怎样解题”中的步骤来分析两个例题的解题过程：例1：已知函数f (x )=mx 3－x 的图象上，以N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π，(1)求m ，n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；(3)求证：|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． 理解题目：函数f (x )=mx 3－x ，以点N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π． 解：(1) f ′(x )=3mx 2－1，依题意，得tan4π，即1=3m －1，m =32，n =31．拟定方案：①对f (x )求导，由x =1处的导数等于1，算 出m ，再根据n =f ′(1)算出n ．②先求出f ′(x )于[－1，3] 上的最大值，k 就易得到．③由求证的不等式知，只要证明|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值小于2f (t ＋t 21)（t >0）的最小值即可．(2)令f ′(x )=2x 2－1=0，得x =±22．当－1<x <－22时，f ′(x )=2x 2－1>0；当22<x <3时，f ′(x )=2x 2－1>0． f (－1)=31，f (－22)=32，f (22)=－32，f (3)=15．因此，当x ∈[－1，3]时－32≤f (x )≤15；要使不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立，使不得等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立．必须：k ≥2006．所以，存在最小的正整数k =2006，执行方案：对|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值，有两种方法：（a ）将x=sin x 和x=cos x 代入f (x )，整理得出|f (sin x )＋f (cos x )| 的表达式，再 利用三角 函数的性质求最大值．（b ）由绝对值不等式得：|f (sin x )＋f (cos x )|≤|f (sin x )|＋|f (cos x )|，再利用f （x ）的单调性得：|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23，最大值容易算出．2f (t ＋t21)（t>0）的最小值也有两种方法：（a ）t >0，∴t ＋t21≥.tt ,141222≥+2f (t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223 （b ）利用t ＋,t1221>≥ 及f (x )于[1，＋∞]上递增，也能求出最小值．(3)（法一）|f (sin x )＋f (cos x )|=|(32sin 3x －sin x )＋(32cos 3x －cos x )|=|32(sin 3x ＋cos 3x )－(sin x ＋cos x )|=|(sin x ＋cos x )[32(sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x )－1]|=|sin x ＋cos|x |－32sin x cos x －31|=31|sin x +cos x |3=31)4π+|3≤322．综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． ∴2f(t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223．又∵t >0，∴t ＋t 21≥.t t ,141222≥+(法2)由(2)知，函数f (x )在[－1，－22]上是增函数；在[－22，22]上是减函数；在[22，1]上是增函数；综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)．所以，当x ∈[－1，1]时，－23≤f (x )≤23，即|f (x )|≤23．∵sin x ，cos x ∈[－1，1]，∴|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23． ∴|f (sin x )＋f (cos x )| ≤|f (sin x )|＋|f (cos x )| ≤23＋23≤322．又∵t >0．∴t ＋,t 1221>≥且函数f (x )在上是增函数， ∴2f (t ＋t21)≥2f (2)=2[32(2)3－2]=322．又f (－1)=31，f f ⎛== ⎝⎭⎝⎭()11.3f =回顾：检验每一步的正确性及所得结果，有没其它解法？仔细分析波利亚的怎样解题表，不难发现：将解题的思维过程的分解为四个过程，把它们告诉学生，引导学生按照这五个思维过程，在解题过程中，有意识地调控他们自己的思维活动，这是提高学生的思维品质的一个有效途径．学生这种对自身学习活动和思维过程的认知和调控能力，实际上就是心理学上的元认知能力．简单的说，元认知是对认知的认知．教师在教学过程中，引导学生了解元认知知识，经历元认知体验，学会元认知监控，对学生数学思维能力的发展是十分重要的．从元认知的角度来讲，波利亚“怎样解题”表至少有以下价值：（1）发展学生的数学思维能力，提高学生的思维品质，或通俗一点，就是教会学生去思考．（2）向学生传授元认知的知识，发展元认知策略．（3）给学生提供元认知体验的机会，激发学生的学习动机和兴趣，增强学生的自信，并体验成功的喜悦．（4）培养学生的元认知监控能力，如对自己思维过程的控制、反思和调节等．（5）挖掘学生的非智力因素，给学生自身潜能的充分发挥提供支撑．。

波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些？ 本题的未知是什么？①正四棱台的高h ；②上底边长a ；？ 正四棱台的体积V ．③下底边长b二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V ？由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。

①这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ．2）怎样才能求得1V 和2V ？据棱锥的体积公式（Sh V 31=），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +．我们再次引入了一个新符号x ，于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3121h x b V +=， 这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。

3）怎样才能求得x ？为了使未知数x 与已知数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来（转化为平面几何问题），由三角形相似的性质得：hx x b a += ②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．三、实现计划（利用找到的联系进行解题） 作辅助线，由相似三角形的性质可得，hx x b a +=， 解得ab ah x -=。

波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

例:如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的
平面必垂直于这个平面.
讲解
第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.
已知些什么?
一条直线平行于一个平面,另一个平面垂直于这条直线. 可以用数学语言来叙述题意吗?可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α,直线a⊥平面β.求证:平面α⊥平面β.
第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β,只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。

怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β,根据直线和直线平行的性质定理,只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线,这直线必定垂直于平面β。

怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知,只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b,则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成
立.
解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b 可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。

第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个平面γ,和平面α相交于直b,
因为直线a∥平面α,a∥b,直线a⊥平面β,所以b⊥平面β而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.
第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息,同时又要及时提取记忆中的有关识,来拟定出
一个成功的计划。

此题我们在思维策略上是二层次解决问题,首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b,然后根据
直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理
得证。

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。

AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。

例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题&#65380;拟订计划&#65380;实现计划&#65380;回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表&#65380;注解&#65380;公式等内容请以PDF格式阅读原文&#65377;”。

波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析冯㊀洁(江苏省常州市龙城高级中学ꎬ江苏常州２１３０００)摘㊀要:培养高中生数学解题能力ꎬ是判断学生知识掌握和应用情况的关键指标ꎬ同时也是提升学生学习兴趣的重要途径.鉴于当前高中生在解题中面临的重重困难ꎬ科学融入波利亚解题模型ꎬ可促使学生在 理清题意㊁制定计划㊁执行计划㊁检验与回顾 的解题流程中高效解答题目ꎬ逐渐提升学生的解题能力.本文聚焦于此ꎬ结合解题实践ꎬ针对波利亚解题模型在数学解题中的应用展开了详细探究.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ波利亚解题模型ꎻ课堂教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００１４－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:冯洁(１９９６.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省溧阳人ꎬ硕士ꎬ中小学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀波利亚解题模型源于波利亚«怎样解题:数学思维的新方法».在该书中ꎬ波利亚紧紧围绕 解决数学问题 这一中心任务ꎬ提出了 波利亚解题模型 ꎬ倡导学生在解题时ꎬ应遵循 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 四个流程开展.其中ꎬ 理清题意 即为理解题目意思㊁明确题目已知条件㊁所求问题等ꎬ这是学生高效解题的关键ꎻ 制定计划 是联系题目已知条件㊁所求问题ꎬ运用所学的知识进行思考ꎬ寻找解题思路ꎻ 执行计划 则是依据上一个阶段中制定的解题思路ꎬ利用所学的知识㊁方法进行推理㊁运算ꎬ最终得出正确的结论ꎻ 检验与回顾 则是对整个解题过程进行回顾㊁反思㊁总结ꎬ在检验解题正确与否的基础上ꎬ进行知识积累ꎬ并为学生后续的解题奠定基础[１].鉴于波利亚思想的内涵ꎬ将其应用到高中数学解题教学中ꎬ已经成为一线教师研究的重点.１高中数学解题教学状况１.１解题教学驱动性不足ꎬ学生学习积极性较低新课标执行前期ꎬ高中数学解题教学大多仍以讲解式教学和练习式教学为主.讲解式教学由教师主导ꎬ注重对问题进行剖析和讲解ꎬ学生处于被动学习状态ꎻ练习式教学则以学生为主体ꎬ对学生自主学习能力和独立思考能力要求较高.因此ꎬ教师教学设计不够全面ꎬ教学模式趣味性较低ꎬ导致解题教学驱动性不足ꎬ学生学习缺乏主动性等现象在讲解式教学和练习式教学中都有体现.在讲解式教学中的体现为学生注意力不集中ꎬ打瞌睡㊁走神等现象频发ꎻ在练习式教学中的体现为学生解题效率较低㊁正确度较低.例如ꎬ教师在讲解 椭圆的标准方程 相关的知识点时ꎬ会在引导学生进行等式的化简后推导出椭圆的标准方程ꎬ但因为学生对于等式的化简存在困难ꎬ而课堂时间有限ꎬ造成学生缺少练习时间ꎬ教师也需要进行后续的讲解.这造成 一步慢ꎬ步步慢 的情况ꎬ学生也无法跟上教师后续的讲解进度ꎬ学习自信心也会受到打击.１.２解题教学创新性不足ꎬ难以培养学生核心素养新课程标准指出ꎬ高中数学教学需要在传授知识的基础上培养学生的运用能力㊁创新精神㊁核心素养等综合能力.数学习题每年都会迎来一定的创新ꎬ４１虽然考查的内容大体相同ꎬ但解题思路会发生一定的改变.前期高中数学教师因为没有针对性地培养学生的解题能力和核心素养ꎬ导致学生掌握了某一个问题的解题方法ꎬ并未掌握这一类题型的解题方法.例如ꎬ教师在讲解 已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋ｘ２＋１)ꎬ若实数ａꎬｂ满足ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ－１)＝０ꎬ则ａ＋ｂ＝? 这一问题的核心在于观察ｆ(ｘ)在定义域内是增函数还是减函数.教师在讲解时也会按部就班地完成讲解ꎬ但在实际过程中缺乏引导学生深度思考的过程ꎬ导致学生只能将解题方法运用到这一个题目上ꎬ无法触类旁通.１.３忽视回顾与反思环节ꎬ解题教学有效性不足回顾反思作为解题教学的收尾阶段ꎬ其具有帮助学生查漏补缺㊁增强学生记忆力㊁提升学生解题思维的重要作用.但在当前高中数学教学中ꎬ仍有部分教师忽视回顾反思教学开展ꎬ导致解题教学有效性不足.以 立体几何初步 这一章节知识点为例ꎬ教师在讲解完成之后会为学生布置相关的复习任务ꎬ如进行习题训练等.因为教师并未了解学生的实际学情ꎬ其很难针对性地布置复习任务ꎬ因此大部分教师会选择 题海战术 ꎬ试图通过量变来引起质变.并且ꎬ学生在完成复习任务之后教师的评价也极其简单ꎬ大都只有几个 对钩 或者一个 阅 字ꎬ复习任务的有效性难以充分体现ꎬ学生也无法根据教师的评价确定自身的问题.久而久之ꎬ学生的复习积极性会不断降低ꎬ学习压力也会因为题海战术不断增加.２波利亚解题模型在高中数学解题教学中的实践应用㊀㊀为对波利亚解题模版在解题中的应用展开深入研究ꎬ笔者结合以下两道题目进行了详细的探究:例１㊀已知正项等比数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝２ꎬ２Ｓ２＝ａ２＋ａ３求:(１)等比数列ａｎ{}的通项公式? (２)设ｂｎ＝２ｎ－１ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和?基于波利亚解题模型ꎬ在解答这一问题时ꎬ可从以下四个方面进行:第一ꎬ理清题意.引导学生自己读题㊁审题ꎬ理解题目的含义ꎬ明确题目中的已知条件㊁未知内容㊁所求目标等.在本题中学生经过审题ꎬ理清了题目中已知条件㊁所求目标.其中ꎬ已知条件:数列ａｎ{}的首项㊁第二项和第三项的和㊁ａｎ{}是正项等比数列ꎻ所求目标:数列ａｎ{}㊁ｂｎ{}的通项公式ꎬ以及ｂｎ{}的前ｎ项和?第二ꎬ制定计划.本阶段是形成解题思路的核心ꎬ主要是聚焦所求的问题ꎬ围绕已知量和未知量之间的关系进行探究ꎬ并在此基础上形成解题思路.在本题目中ꎬ先将题目中已知条件和所求问题联系起来ꎬ并由 等比数列的通项公式㊁数列ｂｎ{}的前ｎ项和 展开联想.在此基础上通过讨论㊁分析ꎬ逐渐形成本题目的解题思路:针对(１)来说ꎬ需要借助等比数列的性质ꎬ前ｎ项和求和公式ꎬ将ａｎ{}的首项和公比ｑ求出来ꎻ针对(２)来说ꎬ则需要借助数列ａｎ{}的通项公式ꎬ将ｂｎ{}的通项公式求出来.接着再利用错位相减的方法ꎬ将ｂｎ{}前ｎ项和求出来.第三ꎬ执行计划.主要是按照上述设计的解题思路进行解答.在本题目中根据上述分析所形成的解题思路ꎬ按照如下步骤执行解题:(１)设数列ａｎ{}公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为２Ｓ２＝ａ２＋ａ３ꎬ所以２(ａ１＋ａ２)＝ａ１ｑ＋ａ２ｑꎬｑ＝２所以ａｎ＝２ ２ｎ－１＝２ｎ(２)根据题目(１)得出:ｂｎ＝２ｎ－１ａｎ＝２ｎ－１２ｎꎬ假设ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎ则Ｔｎ＝１ˑ１２＋２ˑ(１２)２＋５ˑ(１２)３＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ－１＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ①又因为１２Ｔｎ＝１ˑ(１２)２＋３ˑ(１２)２＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１②由①－②得出:５１１２Ｔｎ＝１２＋２ˑ(１２)２＋２ˑ(１２)３＋ ＋(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１即１２Ｔｎ＝１２＋１－(１２)ｎˑ２－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１所以Ｔｎ＝３－４ˑ(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＝３－(２ｎ＋３)ˑ(１２)ｎ第四ꎬ检验与回顾.这一环节主要是解题完成之后对其进行检验ꎬ看其是否正确.同时ꎬ在这一阶段中ꎬ还应及时进行反思和积累ꎬ为学生后续解题奠定基础.在本题目解答完毕后ꎬ就先引导学生开展检验ꎬ之后围绕整个解题过程进行反思和总结.对此ꎬ有的学生表示本题目中主要围绕等比数列的性质㊁通项公式㊁错位相减法进行了考查ꎻ还有的学生在总结中提出了解答第一问数列ａｎ{}的首项和公比ｑ是关键ꎻ也有的学生在总结中提出了本题的难点在于第二问ꎬ关键是运算[２].如此ꎬ学生通过反思与总结ꎬ不仅掌握了这一类型数学解题的解答技巧ꎬ也学会了知识的迁移和应用ꎬ真正提升了学生的举一反三能力.３高中数学波利亚解题教学启示波利亚模型是一种重要的㊁系统化的解题方式ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ可促使学生在 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 的引导下ꎬ深入挖掘题目中已知条件和所求问题ꎬ并引导学生运用所学的知识寻求已知条件和未知条件的内在联系ꎬ最终将陌生的数学题目转化成为学生所熟悉的数学解题类型ꎬ以便于学生形成明确㊁清晰的解题思路.鉴于波利亚模型在数学解题中的应用价值ꎬ高中数学教师还应灵活开展课堂教学ꎬ引导学生在日常学习中逐渐掌握这一解题技巧和能力.首先ꎬ引导学生灵活应用波利亚 怎样解题 表.波利亚模型为学生提供了一个常规的解题思路ꎬ无论是简单的数学题目ꎬ还是复杂的数学题目ꎬ都可以按照这一思路展开.因此ꎬ为了引导学生真正掌握这一解题技巧ꎬ就应结合具体的题目ꎬ引领学生分析题目㊁确定目标㊁研究解题思路㊁解题实践等.如此ꎬ经过一段时间的训练之后ꎬ学生就会逐渐形成波利亚解题思维.其次ꎬ深层次挖掘波利亚解题思想观ꎬ培养学生的核心素养.根据波利亚解题的具体流程和内涵ꎬ对学生的审题能力㊁基础知识体系㊁数学思想㊁数学运算等都提出了更高的要求.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ还应立足于波利亚解题的思想观ꎬ聚焦学生的核心素养设计课堂教学方案ꎬ全面加强学生基础知识㊁数学审题能力㊁数学抽象素养㊁常见数学思想教学ꎬ借助针对性的训练提升学生的数学综合素养.最后ꎬ重视检验与总结.波利亚解题模型中的四个步骤组成了一个系统化的解题体系.在实际应用中ꎬ部分教师常常忽视回顾和检验.鉴于此ꎬ在日常解题教学时ꎬ应给予足够的重视ꎬ引导学生完成解题之后及时进行反思ꎬ使学生在反思㊁总结中ꎬ领悟数学解题中蕴含的数学思想ꎬ内化数学知识ꎬ并提升自身的数学解题能力[３].综上所述ꎬ波利亚模型作为一种有效的解题工具ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ不仅提升了学生的数学解题效率ꎬ也帮助学生逐渐形成了良好的解题习惯ꎬ真正提升了高中生的数学解题能力.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常解题教学中ꎬ应基于针对性的练习题目ꎬ对波利亚解题模型进行细化ꎬ使学生在针对性的训练中ꎬ逐渐掌握这一解题技巧.参考文献:[１]李辉.例谈波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用[Ｊ].语数外学习(高中版上旬)ꎬ２０２１(５):５５.[２]黄倩欣.基于波利亚解题理论的高中数学习题课教学研究[Ｄ].海口:海南师范大学ꎬ２０２０.[３]赵源.运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１２):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]６１。

波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。

这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。

在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。

他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。

最终得出一个求解计划。

”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。

联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。

“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。

2013-10课堂内外乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、数学教育家，在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律）现代研究的先驱。

他在《怎样解题》一书中给出“怎样解题表”通过弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾，四步呈现解题思维的全过程。

下面通过武汉市2013年中考数学第16题的解题过程来体会和展现波利亚解题风格。

一、例题如图1，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF 。

连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H 。

若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是。

A图1图2二、解题实践1.弄清问题问题1：你要求解的是什么？（要求解的是线段的最小值）问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出正方形边长是2；另一方面（如图2）由∠ABE =∠DCF=∠DAG 可得∠AHB =90°。

2.拟定计划问题3：怎样才能求得DH 的取值范围？（根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能否构造出如图3所示的△DHM ，并使DM 、HM 可求出，则DM-HM <DH <DM+HM）D图4问题4：怎样才能求得DH 的最小值？（如图4当D 、H 、M 三点共线，且点H 在点D 、点M 之间时，DH 最小；此时DH=DM -HM）BB图5图63.实现计划（如图5，取AB 中点M ，连HM 、DM ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出HM =12AB =1，由勾股定理可求出DM =AD 2+AM 2√=5√，则5√-1<DH <5√+1。

当D 、H 、M 三点共线时，DH 最小值为5√-1）4.回顾正确检验每一步，看推理是否有效，演算是否准确，再作特殊性检验。

如图6，取AB 中点M ，连DM ，在MD 上取HM =12AB =2，则可得DH 取最小值为5√-1的特殊图形。

三、解题方法和思维策略反思解题方法主要是从结论出发由后往前推成立的充分条件。

怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。

问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。

不能直接用定理解出此题。

问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。

问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。

问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。

由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。

波利亚 怎样解题表 在初中数学几何解题中的应用以一道中考题为例杨㊀娟㊀钟文雯(成都市新都一中实验学校ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:为弥补初中学生因为思考的不完整性而导致的做题难的问题ꎬ文章借助波利亚 怎样解题表 ꎬ以２０２０年成都中考第２５题为例ꎬ还原具体的解题教学过程ꎬ反思存在的问题ꎬ促进教师教学ꎬ提高学生数学思维品质和数学科学素养.关键词: 怎样解题表 ꎻ解题教学ꎻ回顾反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１１－０００８－０３收稿日期:２０２３－０１－１５作者简介:杨小娟ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ钟文雯ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.１问题提出通过对中考中难题的完成情况以及解题方法㊁策略的了解ꎬ学生发现他们在平时的解题中存在思路不清晰㊁思维过程不完整㊁没有对问题进行及时的回顾反思和深入思考等现象ꎬ导致在时间有限的中考中ꎬ很难在短时间内找到解决问题的方法并得出最终的正确答案.因此笔者希望能够通过利用经过长期实践验证的对学生解题有切实帮助的解题方法 波利亚 怎样解题表 ꎬ弥补学生思考的不完整性ꎬ帮助学生在日常的解题学习中ꎬ形成完整的解题思路ꎬ从而培养他们的数学思维ꎬ从根本上提高他们的数学素养.２波利亚 怎样解题表首先ꎬ理解题目.理解题目是解题的首要前提.从题目的叙述开始ꎬ熟悉题目ꎬ找出 未知量 ꎬ深入理解题目ꎬ将题目的主要部分分离出来ꎬ 已知数据是什么?条件是什么?[１]其次ꎬ拟定方案.拟定方案是解题的关键步骤.首先通过观察未知量ꎬ并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目[１].通过对比两者的共同点和区别ꎬ总结出类似题目的解决方法和策略ꎬ并尝试应用到待解题目中ꎬ找出已知数据与未知量之间的直接或间接联系ꎬ必要时考虑辅助题目ꎬ最终得出一个解题方案.这个过程需要联系旧知ꎬ符合学生最近发展区.再次ꎬ执行方案.执行方案是解题的具体实施过程.执行之前拟定的方案是对解题方案的合理性和正确性的检验ꎬ培养学生整理零散思路ꎬ形成条理性思维.最后ꎬ回顾.回顾是对解题过程的检验和完善ꎬ是对数学思维和素养培养的提升.通过检验解题中所得到的结果和论证㊁用不同的方法推导结果实现一题多解并进行方法优劣的比较从中择优择简㊁考虑所得结果和方法在其它题目中的适用性最终实现对知识的迁移.但这个步骤在实际解题往往是最容易被忽略的. 怎样解题表 的四个环节是在完整解答一道题目时必定会涉及到的ꎬ是思维的层层递进ꎬ且更多的是教师启发性的提问ꎬ而不是一种解题的固定模式ꎬ所以教师在启发学生解答题目时ꎬ并非要涉及到８表中的所有问题ꎬ而应根据不同题目灵活运用ꎬ创造性地使用 怎样解题表 [２].３波利亚 怎样解题表 在初中数学解题及教学中的具体应用㊀㊀例１㊀面积为６的▱ＡＢＣＤ纸片中ꎬＡＢ＝３ꎬøＢＡＤ＝４５ʎꎬ按下列步骤进行剪裁和拼图.图１㊀▱ＡＢＣＤ剪开图㊀㊀㊀图２㊀平行四边形剪开图㊀㊀㊀图３㊀三角形ＤＣＦ翻转图第一步:如图１ꎬ将▱ＡＢＣＤ纸片沿对角线ＢＤ剪开ꎬ得到әＡＢＤ和әＢＣＤ纸片ꎬ再将әＡＢＤ纸片沿ＡＥ剪开(Ｅ为ＢＤ上任意一点)ꎬ得到әＡＢＥ和әＡＤＥ纸片ꎻ第二步:如图２ꎬ将әＡＢＥ纸片平移至әＤＣＦ处ꎬ将әＡＤＥ纸片平移至әＢＣＧ处ꎻ第三步:如图３ꎬ将әＤＣＦ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＱＭ处(边ＰＱ与ＤＣ重合ꎬәＰＱＭ与әＤＣＦ在ＣＤ同侧)ꎬ将әＢＣＧ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＲＮ处(边ＰＲ与ＢＣ重合ꎬәＰＲＮ与әＢＣＧ在ＢＣ同侧).则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为.３.１第一步:耐心审题ꎬ理解题目首先要明确目标: 该题的未知量是什么? 五边形的一条对角线的最小值.已知数据是什么?▱的面积㊁一条边和一个角.条件是什么?对▱ＡＢＣＤ纸片进行裁剪ꎬ并将某些部分进行平移㊁翻转变换得到五边形ＰＭＱＲＮ.未知量和条件之间的联系是什么?或者说通过现有的条件是否能够确定未知量?３.２第二步:探索思路ꎬ拟定方案我们已经知道了未知量是五边形的一条对角线的最小值ꎬ那你们能想到一道和该题未知量相同的题吗?没有吧ꎬ我们没有学过怎样求五边形的对角线. 那能想到一道和该题未知量相似的题吗?抛开 五边形 这个前提ꎬ把重点放到 对角线 上ꎬ请大家仔细想想ꎬ有没有学过求其它多边形的对角线?有的ꎬ我们学过求正方形㊁长方形㊁还有菱形的对角线.非常好!大家想到了以前学过的三个特殊的四边形ꎬ那还能想起它们的对角线是怎么求的吗? 如果我们已知正方形的边长为ａꎬ那么正方形的对角线就可以表示为ａ２＋ａ２＝２ａꎻ若已知长方形的长为ａꎬ宽为ｂꎬ则长方形的对角线就可以表示为ａ２＋ｂ２ꎻ若已知菱形的边长为ａꎬ较小的内角为６０ʎꎬ则菱形的较短的那条对角线就可以表示为２ˑａｓｉｎ３０ʎ＝ａꎬ较长的那条对角线就可以表示为２ˑａｃｏｓ３０ʎ＝２３ａ.连接ＭＮ后得到әＭＮＰ(如图４)ꎬ但不知道它是否为直角三角形.图４㊀图３变式１图㊀㊀图５㊀图３变式２图㊀图６㊀图３变式３图 所以下一步需要去尝试判断它是否为直角三角形?如果әＭＮＰ是直角三角形ꎬ那此时未知量是什么呢?未知量是ＲｔәＭＮＰ(如图５)的斜边ＭＮ.如果我们知道了直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值ꎬ那我们就可以用勾股定理求出ＭＮ啦!那直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值是否已知呢? 未知ꎬ但通过题目中的已知数据和条件应该是可以求出ＭＰ和ＮＰ的值ꎬ是等于ＡＥ.所以只要求出ＡＥ的最小值ꎬＭＮ的最小值就求出来啦!非常棒!现在解决这道题的方案就拟订好了:先证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥꎻ再求ＡＥ的最小值.３.３第三步:执行方案ꎬ细化推理待解决的问题一:证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥ.９回归定义:平移㊁翻折是全等变换ꎬ变换前后的全等图形中对应边㊁对应角相等.证明:由题意可知:әＡＤＥɸәＢＣＧɸәＰＲＮꎬәＡＢＥɸәＤＣＦɸәＰＱＭꎬ因为øＭＰＱ＝øＥＡＢꎬøＲＰＮ＝øＤＡＥꎬＰＭ＝ＰＮ＝ＡＥꎬ所以øＭＰＱ＋øＲＰＮ＝øＥＡＢ＋øＤＡＥ＝４５ʎꎬ又因为▱ＡＢＣＤꎬ所以øＤＡＢ＝øＤＰ(Ｃ)Ｂ＝４５ʎꎬ所以øＭＰＮ＝øＭＰＱ＋øＲＰＮ＋øＤＰＢ＝４５ʎ＋４５ʎ＝９０ʎꎬ于是ＭＮ＝ＰＭ２＋ＰＮ２＝ＡＥ２＋ＡＥ２＝２ＡＥꎬ待解决的问题二:求ＡＥ的最小值回归定义:垂线段最短.解:过点Ｄ作ＤＨʅＡＢ于点Ｈꎬ根据垂线段最短ꎬ因为当ＡＥʅＤＢ时ꎬＡＥ最小ꎬ此时ＭＮ有最小值ꎬＳ平行四边形纸片ＡＢＣＤ＝ＡＢ ＤＨ＝６ꎬ所以ＤＨ＝６ＡＢ＝２ꎬ在ＲｔәＡＤＨ中ꎬＡＨ＝ＤＨｔａｎ４５ʎ＝ＤＨ＝２ꎬＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝１ꎬ所以在ＲｔәＢＤＨ中ꎬＢＤ＝ＤＨ２＋ＢＨ２＝２２＋１２＝５ꎬＳәＡＢＤ＝１２ＡＢ ＤＨ＝１２ＢＤ ＡＥꎬＡＥ＝ＡＢ ＤＨＤＢ＝３ˑ２５＝６５５ꎬＭＮ的最小值＝２ＡＥ＝６１０５.３.４第四步:回顾反思ꎬ深化理解３.４.１转换角度ꎬ一题多解解法一(分析法):在上述解答过程中ꎬ我们的关注点是放在未知量上ꎬ此时解题的思维模式是找未知量解出未知量所需要的条件ң对比题目已知数据和条件是否符合.解法二(直接法):在学生自主思考解题时ꎬ他们可能会把更多关注点是放在已知量上ꎬ此时解题的思维模式是看已知量ң通过已知量能得出的可能结果ң在众多结果中找到该题的结果.两种解法的思维方式和立足点是截然不同的.解法一是从结果找条件ꎬ解法二则是由已知推未知ꎬ显然解法一能很好的避免学生在解题过程中偏题ꎬ但对学生的知识储备和思维能力要求较高ꎬ而解法二则降低了对学生的思维能力要求ꎬ但同时也容易使学生在解题过程中偏离ꎬ浪费时间.３.４.２原题目条件不变ꎬ只改问题将原问题 则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为. 改为:则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ当对角线ＭＮ长度取最小值时ꎬ求阴影部分的面积?通过这样的改编ꎬ是在能够解决原问题的基础上ꎬ进一步加强了对三角形相似知识点的考查ꎬ拓宽了考查面ꎬ从不同角度探析其解题思路ꎬ并通过变式探究这一类问题的通解[３].通过利用波利亚 怎样解题表 解决上述问题ꎬ很好地展现了波利亚 怎样解题表 在初中数学解题中的具体应用ꎬ同时也反映出波利亚 怎样解题表 中所提供的完整的解题步骤.理解题目ꎬ弄清已知未知ꎻ联系旧知ꎬ以旧法解新题ꎬ已知未知建立联系ꎬ细化目标ꎬ逐一求解ꎻ回顾反思ꎬ深化结果迁移解题方法ꎬ为学生的数学解题提供了清晰的思路ꎬ能够帮助学生找到明确的解题方向最终得出正确答案.同时波利亚 怎样解题表 中所提到的 回顾 的环节ꎬ指导学生学习深入思考问题㊁发现问题㊁提出新问题ꎬ使学生的思维不仅仅局限于解这一道题上ꎬ对于提高学生的数学思维的培养也有很大帮助.因此ꎬ在日常解题教学中ꎬ教师应该起到积极引导的作用ꎬ有目的性地引导学生ꎬ灵活利用波利亚 怎样解题表 的解题思维进行解题ꎬ启发学生思考ꎬ从而有效提升解题效率.参考文献:[１]Ｇ.波利亚.怎样解题[Ｍ].涂泓ꎬ译.上海:上海教育科技出版社ꎬ２０１１.[２]徐彦辉. 怎样解题表 应用两例[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１４ꎬ１７(０４):６７－７０.[３]杨虎.解法赏析思变式变式探究寻通解[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１７(０４):１２－１５.[责任编辑:李㊀璟]０１。

波利亚解题----- 案例分析(0507)(总7 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-“内页可以根据需求调整合适字体及大小-波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高力，上底的一条边长"和下底的一条边长久求正四棱台的体积V •（学生已学过棱柱、棱锥的体积）波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些本题的未知是什么①正四棱台的高力;②Jz底边长d ；正四棱台的体积V •③下底边长b -- ' /二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥"，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的•如果知道了相应两棱锥的体积K和岭，我们就能求出棱台的体积"=%-岭。

①这样我们就引入两个新的符号K和匕，同时也找到了V、岭、匕三个量之间的联系，这就把求V 转化为求X和«•2）怎样才能求得叫和匕据棱锥的体积公式,底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高■大棱锥的高也就求出，为x + h .我们再次引入了一个新符号■于是根据棱锥的体积公式就有匕十* V,=1Z,2（X +/7）,这样，问题就由求叫和匕转化为了求x。

3）怎样才能求得x为了使未知数x与已知数方、“联系起来，建立起一个等量关系•我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化"的思考•用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把“、力、x联系起来（转化为平面几何问题）.由三角形相似的性质得：沪二7 ②b x + hV t =Lb 2(x+h) = ^b 2- 3 3 b'h3(〃这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解•解上述方程，便可由d 、b 、表示x,至此，我们已在V 与已知数d 、“、"之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟 通・三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，专=— b x + h “心 cih 解得—o b_a所以两椎体的体积分别为有：所以棱台的体积：F 岛昔需S 也③四、回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。

波利亚“怎样解题表”的研读与实践乔治·波利亚（George Polya，1887—1985）是20世纪杰出的数学家、伟大的数学教育家、享有国际盛誉的数学方法论大师。

波利亚十分重视解题在数学教学中的作用，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他对解题的思维过程进行了多年的专门研究和实践，其解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的核心是分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题表”。

这张包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”和“回顾”四部分内容。

弄清问题是为好念头的出现作准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后,我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它。

所有这一切，使得数学解题的研究摆脱了就题论题的狭窄天地，进入到规律探索的较高层次。

从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题。

一、波利亚的“怎样解题”表第一步：你必须弄清问题。

（弄清问题）(1)已知是什么？未知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？(2)画张图，将已知标上。

(3)引入适当的符号。

(4)把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？第二步：找出已知与未知的联系(如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划)。

(制订计划)(1)你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？(2)你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？(3)看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

(4)这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？(5)回到定义去。

(6)你能否解决问题的一部分？如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长?答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义?答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。

AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。

波利亚解题——案例分析⏹ 例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积) ⏹ 波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些？ 本题的未知是什么？ ①正四棱台的高h ； ②上底边长a ； 正四棱台的体积V ．③下底边长b二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系） 1）怎样才能求得V ？由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。

①这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ．2）怎样才能求得1V 和2V ？据棱锥的体积公式（Sh V 31=），底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +． 我们再次引入了一个新符号x ，于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3121h x b V +=，这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。

3）怎样才能求得x ？为了使未知数x 与已知数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来（转化为平面几何问题）， 由三角形相似的性质得：hx xb a += ②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解． 解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．三、实现计划（利用找到的联系进行解题） 作辅助线，由相似三角形的性质可得，hx xb a +=， 解得ab ahx -=。