波利亚解题实例

波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。

本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。

关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。

初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。

数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。

”这种“解题”不同于“题海战术”。

他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。

[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。

笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。

一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。

为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。

[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。

“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。

解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀基于波利亚数学解题思想的解题教学以圆锥曲线的 最值问题 为例◉哈尔滨师范大学㊀刘思宁㊀吴丽华㊀㊀摘要:本文中以高考中圆锥曲线的 最值问题 为例,探析波利亚解题思想在数学解题教学中的应用,寻找能够启发学生数学思维的解题教学方法．关键词:波利亚;解题教学;圆锥曲线㊀㊀圆锥曲线是高中数学的重要内容,也是高考数学重点考查的内容．这部分内容对于学生来说比较吃力,故本文中以圆锥曲线的 定值㊁最值问题 为例,探析波利亚解题思想在圆锥曲线解题教学中的应用．１波利亚的解题理论一个好的解法是如何想出来的? 这是大部分学生在完成数学作业中一直困惑的问题．波利亚[１]在«怎样解题»中的每一个问题就像是解决问题思维过程的慢镜头动作 ,也像是我们解决问题时内心的独白．第１步:理解题意[２]．理解问题的含义是波利亚 如何解决问题表 的第一步,即检查问题．学生应该熟悉问题,并回忆起相关的知识,以找到未知的数量㊁已知的数据和条件,并用数学符号表达条件给出的信息．第２步:拟定方案．拟定方案是问题解决的中心环节,关键是要找到已知条件和所求问题之间的密切关联,从而形成一个可行的解题方案．学生要根据头脑中原有的数学知识结构找到与所求问题之间的桥梁．第３步:执行方案．方案拟定完成,这个阶段学生要做的是认真写下解题过程,确保条件充分使用,在解决过程中准确无误,思路清晰．第４步:回顾．回顾是检查问题解决活动的过程,也是问题解决活动中一个重要也很容易被忽视的环节．我们得出的解决问题的方法,要经得起 特殊 的检验,哪怕有特殊个体出现也适用才行,因为,我们找到的解决方法需要能重复使用,甚至能解决其他领域的问题．解答完后还需要复盘,找到可以改进的地方．２解题教学方法探析笔者试图将解题教学策略应用在圆锥曲线的综合问题中,以近年来圆锥曲线常考的问题,如轨迹方程,圆锥曲线有关的最值问题为例．图１例题㊀如图１,已知点F (１,０)为抛物线y ２＝４x 的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．求S １S ２的最小值．解题分析:第１步:理解题目．教师:未知是什么?学生:S １S ２的最小值．教师:已知是什么?学生:焦点F (１,０);抛物线方程y ２＝４x ;әA B C 的重心G 在x 轴上;Q 在点F 的右侧．教师:条件是什么?学生:过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得әA B C 的重心G 在x 轴上,直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧．记әA F G ,әC Q G 的面积分别为S １,S ２．教师:是否满足条件?学生:满足条件．①根据三角形重心性质构建三角形面积之比;②通过相似三角形和三角形的性质将面积比转化为底边之比;③利用面积和纵坐标之间的关系,借助基本不等０６２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀式㊁最值求解方法㊁韦达定理,求得比值的最小值．教师:要确定条件是否充分?是否多余?是否矛盾?学生:条件应该是充分的．①已知点G 为三角形的重心,可得әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积比值．设点A (x １,y １),B (x ２,y ２),C (x ３,y ３),这里y １＞０,将面积之比转化为边长之比,再由边长之比转化为坐标之比．②由三角形重心坐标公式,得y １＋y ２＋y ３＝０,将直线与椭圆方程联立,通过韦达定理进一步得出S １S ２．③根据最值知识点求解问题．点评:题目当中所蕴含的条件比较多,需要学生对其进行一一分析,体会条件与条件的关系．第２步:制定计划．教师:本题与以前做过的题目相类似吗?由此能联想到什么学生:有过类似的题目．能联想到三角形高线性质㊁焦点弦㊁最值的求解问题等．教师:解决此类问题有什么常用方法?学生:有几何问题代数化法,利用函数求最值等．教师:能以其他方法叙述这道题目吗?学生:①抛物线上三点A ,B ,C 形成三角形,三角形的重心在x 轴上;②根据重心的相关性质,将面积之比转化为点的纵坐标之比,得出S １S ２;③利用换元法简化算式,化简后结合函数的单调性求解．点评:结合题目给出的条件,从已知推未知,梳理思路,建立联系．第３步:执行计划．教师:上述解题思路是正确的吗?学生:是正确的．根据三角形重心,得出әA F G 和әC Q G 与әA B C 面积的关系,再转化为纵坐标之比;根据三角形重心坐标公式,找出纵坐标y １,y ２,y ３的关系进行转化;针对问题建立关于参数的函数式,利用函数单调性或者求极值的方法求最值,并结合换元法来简化计算．教师:能否证明它是正确的?学生:延长A G ,交线段B C 于点P ,由әA B C 的重心为点G ,可得A G ʒG P ＝２ʒ１,所以S әB G C ＝１３S әA B C ．同理,可得S әA G C ＝１３S әA B C ,S әC G Q ＝|C Q ||A C |S әA G C ．又因为|C Q ||A C |＝|y ３||y ３|＋y １,所以S әC G Q ＝S ２＝|y ３||y ３|＋y １S әA B C ３．又|A F ||A B |＝y １|y ２|＋y １,所以S әA F G ＝S １＝|A F ||A B | S әA B C ３＝y １|y ２|＋y １ S әA B C ３．故S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|．根据三角形重心坐标公式,可知y １＋y ２＋y ３＝０．因为直线A C 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 的右侧,所以只需点C 在点B 的右侧,即y ３＜y ２,y ３＝－y １－y ２．将过F 的直线A B 与抛物线方程联立,由韦达定理,得y １y ２＝－４,所以S １S ２＝y １|y ２|＋y １ |y ３|＋y １|y ３|＝２y ２１＋y １ y ２|y １＋y ２| (y １－y ２),化简,可得S １S ２＝２y ２１－４y ２１－y ２２＝２y １４－４y ２１y １４－１６．令y ２１＝t ,则有S １S ２＝２t ２－４t t ２－１６＝２＋３２－４t t ２－１６＝２－４ˑt －８t ２－１６．令t －８t ２－１６＝u ,对u 求导,得u ᶄ＝－t ２＋１６t －１６(t ２－１６)２．令u ᶄ＝０,根据条件可知t ＞４,所以t ＝８＋４３,可知所求的t 为u 的最大值点,此时S １S ２最小,将t ＝８＋４３代入可求得S １S ２的最小值等于１＋３２．点评:整个解题过程建立在数形结合的基础之上,这个过程需要学生有一定的运算能力,通过最值问题的求解提升学生的数学运算核心素养和推理论证能力．第４步:回顾．教师:此题主要考查了哪些知识点?解决最值问题可以从哪些变量入手?学生:三角形面积的比值的最小值问题,其中涉及了抛物线㊁直线方程㊁重心性质㊁韦达定理等基础知识,考查了运算求解与转换化归的思想．求函数最值常用配方法㊁单调性法㊁判别式法㊁基本不等式法㊁导数法和换元法等搭配使用．点评:本题所涉及的知识点较多,运用的方法也比较多元,计算量大,需要学生有很强的逻辑思维才能完成．通过此题的练习,学生在解圆锥曲线最值问题的求解方面会有很大突破．在解决问题的过程中,教师需要把握教学目标,巩固学生对已学知识的认知结构,丰富学生对问题的认知体验,培养学生解决问题的能力和兴趣．以波利亚[１]的«怎样解题»为依据,教师也应立足主题,充分发挥主题的价值,并运用到实际教学中．参考文献:[１]波利亚．怎样解题[M ]．涂泓,冯承天,译．上海:上海科技教育出版社,２００２．[２]周晨晨．浅谈波利亚四步解题法在数学解题中的应用 以一道高考圆锥曲线题为例[J ]．数学学习与研究,２０２０(５):１３３Ｇ１３４．Z１６。

数 在 第 一 象 限 内 的 图 像 绕 坐 标 原 点 0 逆时针旋转
45。得到的. 师:以前做过类似的题吗？ 生:似乎没有. 师:对于要求的" 0 ) * 的面积，你会什么？ 生 ：已知三角形的三个顶点的坐标时，会求三角形
的面积！现在不知道点）、* 的坐标. 师 :好 ，前进了一步！现在问题转化为求点）、* 的坐
著 名 数 学 教 育 家 波 利 亚 在 《怎 样 解 题 》一 书 中 指 出 ： “一 个 好 的 教 师 应 该 懂 得 并 且 传 授 给 学 生 下 述 看 法 :没 有 任 何 问 题 是 可 以 解 决 得 十 全 十 美 的 ，总 剩 下 些 工 作 要 做 .经 过 充 分 的 探 讨 与 钻 研 ，我 们 能 够 改 进 这 个 解 答 ，而 且 在 任 何 情 况 下 ，我 们 总 能 提 高 自 己 对 这 个 解 答 的 理 解
2. 罗增儒.数学解题学引论[M].西安 ：陕西师范大学 出版社，1997.
3. 刘 春 书 . 寻 思 维 起 点 揭 问 题 本 质 — 对一道中 考题变式分析及探索[J ].中学数学（下），2017(4).
初中 版 十 •？农 *? 9 3
1 解法探究
2017年 9 月
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一 、教 学 实 录 师:题目需要求什么问题？ 生:题目要求$ 0 * + 的面积. 师:题目已知什么条件？你能复述吗？ 生 ：题 目 已 知 过 点 '（- 4 % 1 ，4 " 1 ) 、）（2 " 2 ,
解题的前提是观察和分析题目，关键是联想和类比，而基 本的数学结构形式是联想和类比的基础.在解决本文问 题 时 构 造 的 基 本 几 何 图 形 有 圆 、直 角 三 角 形 、相似三角 形.初中数学中常用的构造方法有:构造方程，构造恒等 式 ，构造函数，构造几何图形，构造对偶式，构造不等式， 构 造 数 学 模 型 等 .构 造 法 是 一 种 灵 活 的 、创 造 性 的 解 题 方 法 ，它没有固定的程序和模式，构造法解题贵在创新， 这非常有利于培养学生的创新意识和创新精神，值得我 们重视.

例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。

波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

例:如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的
平面必垂直于这个平面.
讲解
第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.
已知些什么?
一条直线平行于一个平面,另一个平面垂直于这条直线. 可以用数学语言来叙述题意吗?可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α,直线a⊥平面β.求证:平面α⊥平面β.
第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β,只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。

怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β,根据直线和直线平行的性质定理,只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线,这直线必定垂直于平面β。

怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知,只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b,则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成
立.
解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b 可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。

第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个平面γ,和平面α相交于直b,
因为直线a∥平面α,a∥b,直线a⊥平面β,所以b⊥平面β而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.
第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息,同时又要及时提取记忆中的有关识,来拟定出
一个成功的计划。

此题我们在思维策略上是二层次解决问题,首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b,然后根据
直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理
得证。

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。

AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。

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数 学教 学
２１年 第 ８ ００ 期
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１
例３ （ 人教第三版必修￣Ｐ ３ 例题 ２ 假设 １７ ） 你 家 订 了一 份 报 纸，送 报 人 可 能 在早 上 ６３ ：０—
７３ 之 间把报纸送到 你家，你父亲离开家去工 ：０
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以 种 况的 率 这 情 概 是专× × 专 专：言三 相 ，者
１＋

浅谈用波利亚解题思想解数学应用题辽宁省本溪县高级中学于福群实际应用题是高考数学题的一种重要题型，同时对于培养学生的数学应用意识、数学建模能力，训练学生的抽象思维能力，都有着重要的作用。

但由于种种原因，很多同学对应用题望而生畏.我想一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导.本文尝试从波利亚的解题思想来探求应用题的解法。

波利亚在《怎样解题表》中指出，解题的四个主要步骤是：一、弄清问题；二、拟定计划；三、实施计划；四、回顾。

下面举例说明。

题目：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为２００平方米的三级污水处理池（平面图如下图）。

由于地形限制，长、宽都不能超过１６米。

如果池周围四壁建造单价为每米４００元，中间两道隔墙建造单价为每米长２４８元，池底建造单价为每平方米８０元，池壁厚度不计。

试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

一、弄清问题.弄清问题，也就是审题。

笔者认为主要包括两个方面：背景分析和量与数的分析。

1、背景分析：通过读题，理解题中叙述的是怎样的一个事件，不清楚的地方要多读几遍，抓住问题中的关键信息。

本题说的是拟建一个三级污水处理池，怎样设计长和宽，使总造价最低的问题。

由题意可知关键信息应是各部分造价的计算。

在做题中，有同学问：池四壁和两道隔墙的单价为什么按每米算，而不按每平方米算呢？这说明学生对问题的背景不熟，他们不知道在建筑上墙的造价是按长度来计算的。

由于学生对此不了解，从而造成思路阻塞。

这就要求：①学生对问题做出科学的分析，并坚定自己的信心；②学生平时就要对留心生活中的事物与数学的联系，深入探究，虚心求教，不断积累。

比如，银行利率的计算；出租车记费等。

③要善于把问题进行类比、联想。

把握住问题的相似之处，合理地推理、迁移。

比如，1999年高考数学第22题，是一道以轧钢为背景的问题，虽然背景比较生疏，但却与实际生活中的擀面相似，是等体积几何模型问题。

２、量与数的分析：数学研究的是空间形式和数量关系的一问科学。

波利亚 怎样解题表 在初中数学几何解题中的应用以一道中考题为例杨㊀娟㊀钟文雯(成都市新都一中实验学校ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:为弥补初中学生因为思考的不完整性而导致的做题难的问题ꎬ文章借助波利亚 怎样解题表 ꎬ以２０２０年成都中考第２５题为例ꎬ还原具体的解题教学过程ꎬ反思存在的问题ꎬ促进教师教学ꎬ提高学生数学思维品质和数学科学素养.关键词: 怎样解题表 ꎻ解题教学ꎻ回顾反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１１－０００８－０３收稿日期:２０２３－０１－１５作者简介:杨小娟ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ钟文雯ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.１问题提出通过对中考中难题的完成情况以及解题方法㊁策略的了解ꎬ学生发现他们在平时的解题中存在思路不清晰㊁思维过程不完整㊁没有对问题进行及时的回顾反思和深入思考等现象ꎬ导致在时间有限的中考中ꎬ很难在短时间内找到解决问题的方法并得出最终的正确答案.因此笔者希望能够通过利用经过长期实践验证的对学生解题有切实帮助的解题方法 波利亚 怎样解题表 ꎬ弥补学生思考的不完整性ꎬ帮助学生在日常的解题学习中ꎬ形成完整的解题思路ꎬ从而培养他们的数学思维ꎬ从根本上提高他们的数学素养.２波利亚 怎样解题表首先ꎬ理解题目.理解题目是解题的首要前提.从题目的叙述开始ꎬ熟悉题目ꎬ找出 未知量 ꎬ深入理解题目ꎬ将题目的主要部分分离出来ꎬ 已知数据是什么?条件是什么?[１]其次ꎬ拟定方案.拟定方案是解题的关键步骤.首先通过观察未知量ꎬ并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目[１].通过对比两者的共同点和区别ꎬ总结出类似题目的解决方法和策略ꎬ并尝试应用到待解题目中ꎬ找出已知数据与未知量之间的直接或间接联系ꎬ必要时考虑辅助题目ꎬ最终得出一个解题方案.这个过程需要联系旧知ꎬ符合学生最近发展区.再次ꎬ执行方案.执行方案是解题的具体实施过程.执行之前拟定的方案是对解题方案的合理性和正确性的检验ꎬ培养学生整理零散思路ꎬ形成条理性思维.最后ꎬ回顾.回顾是对解题过程的检验和完善ꎬ是对数学思维和素养培养的提升.通过检验解题中所得到的结果和论证㊁用不同的方法推导结果实现一题多解并进行方法优劣的比较从中择优择简㊁考虑所得结果和方法在其它题目中的适用性最终实现对知识的迁移.但这个步骤在实际解题往往是最容易被忽略的. 怎样解题表 的四个环节是在完整解答一道题目时必定会涉及到的ꎬ是思维的层层递进ꎬ且更多的是教师启发性的提问ꎬ而不是一种解题的固定模式ꎬ所以教师在启发学生解答题目时ꎬ并非要涉及到８表中的所有问题ꎬ而应根据不同题目灵活运用ꎬ创造性地使用 怎样解题表 [２].３波利亚 怎样解题表 在初中数学解题及教学中的具体应用㊀㊀例１㊀面积为６的▱ＡＢＣＤ纸片中ꎬＡＢ＝３ꎬøＢＡＤ＝４５ʎꎬ按下列步骤进行剪裁和拼图.图１㊀▱ＡＢＣＤ剪开图㊀㊀㊀图２㊀平行四边形剪开图㊀㊀㊀图３㊀三角形ＤＣＦ翻转图第一步:如图１ꎬ将▱ＡＢＣＤ纸片沿对角线ＢＤ剪开ꎬ得到әＡＢＤ和әＢＣＤ纸片ꎬ再将әＡＢＤ纸片沿ＡＥ剪开(Ｅ为ＢＤ上任意一点)ꎬ得到әＡＢＥ和әＡＤＥ纸片ꎻ第二步:如图２ꎬ将әＡＢＥ纸片平移至әＤＣＦ处ꎬ将әＡＤＥ纸片平移至әＢＣＧ处ꎻ第三步:如图３ꎬ将әＤＣＦ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＱＭ处(边ＰＱ与ＤＣ重合ꎬәＰＱＭ与әＤＣＦ在ＣＤ同侧)ꎬ将әＢＣＧ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＲＮ处(边ＰＲ与ＢＣ重合ꎬәＰＲＮ与әＢＣＧ在ＢＣ同侧).则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为.３.１第一步:耐心审题ꎬ理解题目首先要明确目标: 该题的未知量是什么? 五边形的一条对角线的最小值.已知数据是什么?▱的面积㊁一条边和一个角.条件是什么?对▱ＡＢＣＤ纸片进行裁剪ꎬ并将某些部分进行平移㊁翻转变换得到五边形ＰＭＱＲＮ.未知量和条件之间的联系是什么?或者说通过现有的条件是否能够确定未知量?３.２第二步:探索思路ꎬ拟定方案我们已经知道了未知量是五边形的一条对角线的最小值ꎬ那你们能想到一道和该题未知量相同的题吗?没有吧ꎬ我们没有学过怎样求五边形的对角线. 那能想到一道和该题未知量相似的题吗?抛开 五边形 这个前提ꎬ把重点放到 对角线 上ꎬ请大家仔细想想ꎬ有没有学过求其它多边形的对角线?有的ꎬ我们学过求正方形㊁长方形㊁还有菱形的对角线.非常好!大家想到了以前学过的三个特殊的四边形ꎬ那还能想起它们的对角线是怎么求的吗? 如果我们已知正方形的边长为ａꎬ那么正方形的对角线就可以表示为ａ２＋ａ２＝２ａꎻ若已知长方形的长为ａꎬ宽为ｂꎬ则长方形的对角线就可以表示为ａ２＋ｂ２ꎻ若已知菱形的边长为ａꎬ较小的内角为６０ʎꎬ则菱形的较短的那条对角线就可以表示为２ˑａｓｉｎ３０ʎ＝ａꎬ较长的那条对角线就可以表示为２ˑａｃｏｓ３０ʎ＝２３ａ.连接ＭＮ后得到әＭＮＰ(如图４)ꎬ但不知道它是否为直角三角形.图４㊀图３变式１图㊀㊀图５㊀图３变式２图㊀图６㊀图３变式３图 所以下一步需要去尝试判断它是否为直角三角形?如果әＭＮＰ是直角三角形ꎬ那此时未知量是什么呢?未知量是ＲｔәＭＮＰ(如图５)的斜边ＭＮ.如果我们知道了直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值ꎬ那我们就可以用勾股定理求出ＭＮ啦!那直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值是否已知呢? 未知ꎬ但通过题目中的已知数据和条件应该是可以求出ＭＰ和ＮＰ的值ꎬ是等于ＡＥ.所以只要求出ＡＥ的最小值ꎬＭＮ的最小值就求出来啦!非常棒!现在解决这道题的方案就拟订好了:先证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥꎻ再求ＡＥ的最小值.３.３第三步:执行方案ꎬ细化推理待解决的问题一:证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥ.９回归定义:平移㊁翻折是全等变换ꎬ变换前后的全等图形中对应边㊁对应角相等.证明:由题意可知:әＡＤＥɸәＢＣＧɸәＰＲＮꎬәＡＢＥɸәＤＣＦɸәＰＱＭꎬ因为øＭＰＱ＝øＥＡＢꎬøＲＰＮ＝øＤＡＥꎬＰＭ＝ＰＮ＝ＡＥꎬ所以øＭＰＱ＋øＲＰＮ＝øＥＡＢ＋øＤＡＥ＝４５ʎꎬ又因为▱ＡＢＣＤꎬ所以øＤＡＢ＝øＤＰ(Ｃ)Ｂ＝４５ʎꎬ所以øＭＰＮ＝øＭＰＱ＋øＲＰＮ＋øＤＰＢ＝４５ʎ＋４５ʎ＝９０ʎꎬ于是ＭＮ＝ＰＭ２＋ＰＮ２＝ＡＥ２＋ＡＥ２＝２ＡＥꎬ待解决的问题二:求ＡＥ的最小值回归定义:垂线段最短.解:过点Ｄ作ＤＨʅＡＢ于点Ｈꎬ根据垂线段最短ꎬ因为当ＡＥʅＤＢ时ꎬＡＥ最小ꎬ此时ＭＮ有最小值ꎬＳ平行四边形纸片ＡＢＣＤ＝ＡＢ ＤＨ＝６ꎬ所以ＤＨ＝６ＡＢ＝２ꎬ在ＲｔәＡＤＨ中ꎬＡＨ＝ＤＨｔａｎ４５ʎ＝ＤＨ＝２ꎬＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝１ꎬ所以在ＲｔәＢＤＨ中ꎬＢＤ＝ＤＨ２＋ＢＨ２＝２２＋１２＝５ꎬＳәＡＢＤ＝１２ＡＢ ＤＨ＝１２ＢＤ ＡＥꎬＡＥ＝ＡＢ ＤＨＤＢ＝３ˑ２５＝６５５ꎬＭＮ的最小值＝２ＡＥ＝６１０５.３.４第四步:回顾反思ꎬ深化理解３.４.１转换角度ꎬ一题多解解法一(分析法):在上述解答过程中ꎬ我们的关注点是放在未知量上ꎬ此时解题的思维模式是找未知量解出未知量所需要的条件ң对比题目已知数据和条件是否符合.解法二(直接法):在学生自主思考解题时ꎬ他们可能会把更多关注点是放在已知量上ꎬ此时解题的思维模式是看已知量ң通过已知量能得出的可能结果ң在众多结果中找到该题的结果.两种解法的思维方式和立足点是截然不同的.解法一是从结果找条件ꎬ解法二则是由已知推未知ꎬ显然解法一能很好的避免学生在解题过程中偏题ꎬ但对学生的知识储备和思维能力要求较高ꎬ而解法二则降低了对学生的思维能力要求ꎬ但同时也容易使学生在解题过程中偏离ꎬ浪费时间.３.４.２原题目条件不变ꎬ只改问题将原问题 则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为. 改为:则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ当对角线ＭＮ长度取最小值时ꎬ求阴影部分的面积?通过这样的改编ꎬ是在能够解决原问题的基础上ꎬ进一步加强了对三角形相似知识点的考查ꎬ拓宽了考查面ꎬ从不同角度探析其解题思路ꎬ并通过变式探究这一类问题的通解[３].通过利用波利亚 怎样解题表 解决上述问题ꎬ很好地展现了波利亚 怎样解题表 在初中数学解题中的具体应用ꎬ同时也反映出波利亚 怎样解题表 中所提供的完整的解题步骤.理解题目ꎬ弄清已知未知ꎻ联系旧知ꎬ以旧法解新题ꎬ已知未知建立联系ꎬ细化目标ꎬ逐一求解ꎻ回顾反思ꎬ深化结果迁移解题方法ꎬ为学生的数学解题提供了清晰的思路ꎬ能够帮助学生找到明确的解题方向最终得出正确答案.同时波利亚 怎样解题表 中所提到的 回顾 的环节ꎬ指导学生学习深入思考问题㊁发现问题㊁提出新问题ꎬ使学生的思维不仅仅局限于解这一道题上ꎬ对于提高学生的数学思维的培养也有很大帮助.因此ꎬ在日常解题教学中ꎬ教师应该起到积极引导的作用ꎬ有目的性地引导学生ꎬ灵活利用波利亚 怎样解题表 的解题思维进行解题ꎬ启发学生思考ꎬ从而有效提升解题效率.参考文献:[１]Ｇ.波利亚.怎样解题[Ｍ].涂泓ꎬ译.上海:上海教育科技出版社ꎬ２０１１.[２]徐彦辉. 怎样解题表 应用两例[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１４ꎬ１７(０４):６７－７０.[３]杨虎.解法赏析思变式变式探究寻通解[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１７(０４):１２－１５.[责任编辑:李㊀璟]０１。

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。

对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长?答：满足上述条件（1）能成立。

但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义?答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。

AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。

波利亚在初中数学解题应用嘿，朋友！你可曾在初中数学的解题世界里迷茫徘徊，感觉像是走进了一个充满迷雾的迷宫？别担心，今天咱们就来聊聊波利亚这位解题大师的奇妙方法在初中数学中的神奇应用，说不定能为你点亮那盏走出迷宫的明灯！想象一下，在一个阳光明媚的午后，教室里同学们正对着一道道数学题抓耳挠腮。

小明眉头紧皱，笔在手中不停地转着，嘴里嘟囔着：“这题咋做啊，感觉脑袋都要炸了！”而旁边的小红也是一脸苦恼，把草稿纸都快画满了，还是没有头绪。

这时候，老师微笑着走过来，轻轻拍了拍小明和小红的肩膀说：“孩子们，别着急，让我们试试波利亚的解题方法。

”波利亚的解题方法就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的数学难题之门。

它首先强调要理解题目，这可不是简单地读一遍题目就完事儿了。

得像侦探破案一样，仔细琢磨每个条件，不放过任何一个蛛丝马迹。

比如说，看到一个几何图形，要想到它的性质、定理，这就像是给你配备了一套精良的破案工具。

然后呢，制定一个解题计划。

这就好比你在旅行前规划路线，是走大路还是抄小道，得心里有数。

有时候，我们可以从已知条件出发，逐步推导；有时候，又要从问题倒推，看看需要什么条件才能达到目标。

这就像在玩一场智力拼图游戏，得找到那些关键的拼图块，才能拼出完整的图案。

在实施计划的过程中，可别害怕犯错。

就像学骑自行车，难免会摔倒几次，但每一次摔倒都是在积累经验。

也许你一开始的思路是错的，那没关系，及时调整，重新出发。

要相信，只要坚持不懈，总能找到正确的方向。

你可能会反问自己：“这方法真的有那么神奇吗？”当然啦！你想想，以前解题是不是像无头苍蝇一样乱撞？有了波利亚的方法，就像是有了导航，能让你少走很多弯路。

再比如，有一道关于函数的题目，一开始看着那一堆数字和字母，是不是感觉头都大了？但按照波利亚的方法，先仔细分析题目中给出的函数表达式，再想想我们学过的函数性质，然后制定一个解题步骤，是不是思路就逐渐清晰了？对于初中数学来说，波利亚的解题方法就像是一位贴心的朋友，时刻陪伴在我们身边，帮助我们战胜一个又一个难题。

波利亚解题过程题目：同学们在矩形校园一侧栽树，每6米挖一个坑，从头到尾挖了25个，现在要改成4米一个坑，有多少树坑不需要再挖了？讲解第一，了解问题。

问题1：你要求解的是什么？要求的是有多少坑不用挖了，就是要求这样一短距离上分别用这两种方式挖坑，有多少坑是重合的。

问题2：你有些什么？一方面是题目条件给出的已知量每6米一个坑，共计25个坑。

因此可以知道共有24个6米的间隔（25-1=24，25个坑之间有24个间隔），即共有24×6=144米。

现在知道要每4米挖一个坑，我们的任务就是求间隔分别是6米和4米的坑，一共有多少是重合的，令为N。

第二，拟订计划。

问题3，怎样才能求得重合点数N。

由于我们已经知道本题是求在一定长度上挖间隔分别是6米和4米的坑，一共有多少是重合的。

并且我们知道，这样重合点是处于6和4的公倍数上。

我们已经熟知最小公倍数的概念，这就不难得知，再求总共有多少重合点时就是求以6和4的最小公倍数为距离间隔，总共可以有多少这样的间隔，令为M。

问题4，怎样才能求得这样的M？有题意可知，6和4的最小公倍数是12，题意可知在144米的距离上，间隔12米挖坑，可以有144÷12=12个间隔，即M=12。

问题5，怎样求得N？我们知道坑数会比间隔数多1，即N=M+1。

第三，实现计划。

由上述分析得，N=M+1总长度为：6×（25-1）=144米6和4的最小公倍数是12，那么N=144÷12=12所以N=M+1=12+1=13个第四，回顾。

（1）回顾本题的解答过程，可以检验每一步的推理是有效的，演算是准确的。

不仅巩固了最小公倍数的性质概念，而且将数学和生活很好的融合在一起，增加了学习的实用性和数学的价值。

（2）在这道题的解题思路中，是将生活中现实问题准确转化成数学中的基本问题，拓展了学生的思维。

（3）在思维策略上，步步为营，一点一点的分析问题，得出新的结论，再结合所要求的内容与新的结论，找到联系，从而解决问题。

一个基于波利亚解题理论的说题案例波利亚(J.Paulos)解题理论是一种重要的解决思维难题的思维方法。

它的核心价值观是，理解难题时要关注上下文，不能光凭专业知识和经验就可以解决所有的问题。

在这里，我们将探讨一个基于波利亚解题理论的说题案例，以此来更好地理解这一理论。

首先，根据波利亚解题理论，要想有效地解决难题，需要考虑上下文，包括文化，历史，政治，经济，技术等因素。

下面将以一家某公司的开发项目为例，来展示如何基于波利亚解题理论来进行解题。

在这个案例中，该公司想要开发一款单机游戏，因此首先要考虑各种上下文因素。

例如，要确定游戏的适合的目标受众，需要考虑当地的文化习俗和历史背景；要确定游戏的游戏规则，需要考虑当地的政治环境；要确定游戏的技术平台，则需要考虑当地的经济情况以及当地的技术水平。

接下来，可以从社会学的角度研究这个话题，调查这个新游戏的潜在市场，讨论如何把新游戏的概念和未来的游戏行业趋势融合在一起。

此外，可以根据波利亚解题理论在现实生活中收集信息来更好地了解与这个开发项目相关的文化、政治和经济因素。

最后，可以考虑设计游戏的界面，将文字、图像、音乐等元素组合在一起，以此创造出有趣而有意义的游戏世界。

最后，从这个案例来了解波利亚解题理论，可以看到，在解决思维难题时，除了要充分掌握专业知识和技能外，还要关注上下文因素，考虑各种因素的联系和作用，从而才可以找到最佳的解决方案。

此外，我们还要注意以人文的视角来解决问题，努力让游戏有意义，以此来更好地理解波利亚解题理论。

总之，本文旨在介绍一个基于波利亚解题理论的说题案例，以此来加深我们对这一理论的理解。

波利亚解题理论不仅要求我们充分掌握专业知识，还要考虑上下文因素，考虑各种因素之间的联系，从而才能找到有效解决问题的方法。

用波利亚的解题方法解题在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43cos cos ,10===a b B A c p 为ABC 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。

【分析】：第一步：理解题意。

本题的条件是(i)c=10,(ii),43cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC 内切圆上的动点，所求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。

由此可得，这是一道关于图形的最值问题。

第二步：拟订计划．第二，①ABC 的三边，且的形状及其大小。

确定的ABC 的内切圆上有一动点对①小题，ABC 已具备了三个条件式，三角形不难解出来．对于②小题，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，至再由c=10，43=a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点 为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC 中，有,2,2=+=+r r c b a所以，内切圆的圆心为),2,2(O '方程为4)2()2(22=-+-y x .设圆上的任一点为P （x,y ）,则有S=222PC PB PA ++因P是内切圆上的点，故o≤z≤4，于是当z=4时，有最小值72，当x=o时，有最大值88。

第四步：回顾讨论．对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=O时，P点运动到BC上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72．此外，能否用别的方法来导出结果呢?对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略)．本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验．(1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升．这说明，对于同样的素材(题设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显著区别的．(2)(3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.。

波利亚解题表的例子【篇一：波利亚解题表的例子】波利亚“解题表”在解题教学中的应用和发展一例乔治波利亚高度重视解题过程中的思维方式和教学形式，总结出解决数学问题的一般步骤——解题表，以培养和提高学生的数学解题能力．我通过多年教学实践和思考，结合初中数学课程改革的要求，在教学中将“解题表”细化为以下五个步骤：弄清题意，明确问题；经验联想，拟订方案；分步落实，实施方案；探索变化，寻求发现；回顾交流，强化体验．在五步曲中，拟订方案和实施方案是解决问题的核心，是解题能否成功的关键，教学中的重点是体验联想、猜想和推理证明的思想方法；“探索变化，寻求发现”是结合数学发现法的教学原则，培养学生创造意识和创新能力；而“回顾交流，强化体验”强调的是尊重学生的认知水平和心理感受，促进学生形成良好、健康的心理品质和科学的思维方法，达到培养学生综合素质的目的．本文结合2007 年北京市高级中学统一招生考试数学试卷中第25 题的教学实例，谈一谈应用波利亚“解题表”进行解题教学的一点体会．题目：我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．1．请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；分别在ab 、ac 上，设cd、be 相交于点o，若a=60 ，dcb= ebc= a ，请你写出图中一个与a 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形．3．在三角形abc 中，如果 a 是不等于60 的锐角，点d、e 分别在ab 、ac 上，且dcb=ebc= a ．研究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．教学实录[学生：读题、审题．] [教师：提出读题、审题具体要求．] 搞清题目的已知，并进行简单、直接的推理．明确要证明的结论，并进行简单、直接的条件判断．在图中标出已知条件、直接可知的结论、要证明的结论或需知的条件，并用不同的符号区分．对于第 1 问，学生容易举出等腰梯形和平行四边形均为等对边四边形．对于第问，大部分学生能够猜出eoc （或dob ）与 a 相等，四边形bced 是等对边四边形．设计意图在有关第问的师生问答中，学生通过观察、猜想和简单推理，知道了eoc ＝a 的依据是“三角形外角定理”，四边形bced 中可能是bd=ce ，使学生对题目内容更加清楚，对理解第 3 问的问题做了充分地准备．二、经验联想拟订方案对于第三问，学生容易猜想出“四边形bced 是等对边四边形，且bd=ce”．但如何证明呢？这是本题、本节课的核心．教学实录[学生：猜测四边形bced 是等对边四边形，其中bd=ce ．] [教师：提出如何证明的问题，给出分析问题的思路，引导学生寻找证明方法，拟订解题的方案．] 探索解题思路解题的一般思路为三种：已知可知???? 需知求证．由于本题条件与结论关系不易发现，一般采用思路．寻找解题方法回忆做过的类似的题目〔教师：我们做过类似的题目吗？或者是见过类似的图形吗？〕〔学生：思考、讨论〕通过讨论，学生想到了课本上曾经做过的一道练习题（人教版、八年级上册、第150 页第12 两底角平分线be 、cd分别交ac、ab 于e、d，求证：be=cd ．回忆过程提炼方法．〔教师：回想一下课本上的这个题是怎样证明的？〕〔学生：利用全等三角形的知识证明的．〕引导学生寻找题中的等对边四边形．回到原题拟订方案〔教师：此法能直接用于中考题的证明吗？为什么？〕〔学生：不能.因为这里的bdc 与ceb 不一定全等．〕〔教师：那怎么办？〕〔学生：添加辅助线构造全等三角形．〕〔教师：怎样作辅助线，才能构造与我们做过的题目相似的图形？注意充分利用已知条件．〕〔学生1：作直线dfbc交直线〔学生2：作直线bfcd 交其延长线于点f，作直线chbo 〔学生1：先证bd=cf ，再证ce=cf ．〕如图（3）．〔学生2：先证fobhoc ，再证fbdhce ．〕如图（4）．〔教师：回顾一下两个人的方案：方法 1 是通过辅助线构造等腰梯形，再利用等腰梯形的性质证明；方法 2 是通过辅助线构造全等三角形证明．〕设计意图联想过去熟知的问题或图形、回忆方法、构造熟知的图形，把转化思想的应用程式化，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力；在拟订方案过程中，伴随着联想、猜想和简单推理，有利于学生养成合情推理的习惯和形成科学的思维方式．三、分步落实实施方案教学实录〔教师：下面我们利用这两位同学提供的方案，独立进行证明．证明过程中，注意作图过程叙述要完整，论证过程理由要充分，书写过程语言要准确．〕〔学生：进行证明．〕教师适时指导，并给出规范的板书．证法1：如图，作直线dfbc 交直线则dfb=fbc ，fdc=dcb.ebc=dcb= ob=oc ，dfo=fdo ．od=of ．fb=dc ．四边形bcfd 是等腰梯形，bd=cf ，dbc=bcf ．dbf=fcd. 又eoc=ebc +dcb=a ，efc=foc ocf ，bec=a+abe ，efc=fec. cf=ce ．bd=ce. 即：四边形bced 是等对边四边形．证法2：如图（4），作直线bfcd 交其延长线于f，作直线chbo [ 教师：两种方法中，那一种方法更适合你？请同学们把下面的方法——利用梅内劳斯定理证明，与上面的两种方法作一个比较．] 梅内劳斯定理内容：如图（5）一直线截三角形abc 分别与三边或其延长线交于p、q、r，rbar qa cq pc bp 证法3：如图（6）．直线be 截三角形acd 根据梅内劳斯定理，得ea ce bd ab ocdo bdce ea ab ocdo ocdo obdoeaab doob 把、代入，得bd ce doob obdo bdce bdce 即:四边形bced 是等对边四边形利用梅内劳斯定理在几何证明问题中具有一般性，基础比较好的同学可以掌握并应用．设计意图学生在应用证法1、证法中“如何证明cf=ce ”，证法 2 中“如何证明fobhoc ”，教师在学生充分思考的基础上，适时、准确的辅导，是解题教学中非常重要的环节．四、探索变化，寻求发现在如何引导学生进行数学发现，提出新的数学问题的教学过程中，应当遵循数学问题发生、发展的规律，在数学方法论的指导下，探索有效的教学方式．邱继勇先生提出的中学数学教学中“对典型数学问题特定条件和结论的充要性、运动变化中的不变性、类比到相关情景中的相似性的质疑”，以及改变问题背景，都是引导学生提出创新问题的好办法之一．充要性质疑，发散性、批判性思维训练．[教师：交换题目的条件和结论，问题还成立吗？比如：如图（1），在三角形abc 中，如果点d、e 分别在ab、ac 上，设cd、be 相交于点dcb=ebc ，bd=ce ．试问a=2dcb 是否成立？请说明你的理由．〕〔学生：画图思考，试着证明．〕[教师：再交换题目的一个条件和结论，问题还成立吗？请同学们课下验证一个新问题，这是今天的一个作业题．] 运动变化，体验一般与特殊．[教师：当 a 是直角或钝角时结论还成立吗？如图（7）、如图（8）．] [学生：猜想结论．][教师：课下证明你的猜想，这是今天作业的第二题．] 的位置的变化，启发我们可借助于abc 的外接圆来研究．如图(9) ．教学实录〔教师：通过几何画板，让点a、点 c 分别在圆上运动．如图(10) ——图（12 ）．图（10 ）图（11 ）图（12 ）〔教师：如图(11) 、图（12 ）中bced 的图形，已经不是我们所学的四边形了，为什么还能成立？证明方法有变化吗？〕事实上，无论是凸四边形、凹四边形或是四边折线，bd=ce 的结论都成立．设计意图像生活在不同的生活环境一样，人们会形成不同的思维方式，不同的数学背景会使人产生不同的联想和思维方法，同时，将一个问题放在更大的背景中思考，一个看似“重要”的问题，会变成一个简单的特例，便于抽象出更一般的结论和发现新的问题．另外新颖的图形、新奇的方法，是吸引学生对数学产生浓厚兴趣的重要方法．五、回顾交流，强化体验教学实录[教师：向学生提出下列问题：回顾本节课的教学，体会解决数学问题的思路．本题的几种解法中，应用了哪些基础知识？你更喜欢哪一种解法？你做出来了吗？没做出来的原因是什么？结合一题多解、一题多变谈谈你的收获．对本题的充要性质疑，及用运动变化的观点理解静止的数学问题，你有何体会？你理解了一般与特殊的关系吗？设计意图这是非常重要的一个环节，学生在回顾解题过程的方法运用、方法选择和心理感受中，巩固知识、方法，强化挫折与喜悦、选择与判断、猜想与证明的体验，有助于学生形成科学的思维方式．总之在解题教学中，通过猜想与联想、推理与证明、变式与推广、回顾与反思的过程，渗透数学解题、数学发现的思想方法，不仅能有效地提高学生的解题能力，也是乔治泼利亚《解题表》的真正目的，是数学方法论的要求．参考文献1．《数学的发现》[美] 乔治泼利亚曹之江邹青莲译科学出版社2．提升“变式教学”理念, 培养学生创新能力《中学数学教学参考》2005.7【篇二：波利亚解题表的例子】。

波利亚解题----- 案例分析(0507)(总7 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-“内页可以根据需求调整合适字体及大小-波利亚解题——案例分析例题：给定正四棱台的高力，上底的一条边长"和下底的一条边长久求正四棱台的体积V •（学生已学过棱柱、棱锥的体积）波利亚解题：一、弄清问题（理解题目的未知和已知条件）本题的已知条件有哪些本题的未知是什么①正四棱台的高力;②Jz底边长d ；正四棱台的体积V •③下底边长b -- ' /二、拟定计划（找到已知条件和未知之间的联系）1）怎样才能求得V由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥"，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的•如果知道了相应两棱锥的体积K和岭，我们就能求出棱台的体积"=%-岭。

①这样我们就引入两个新的符号K和匕，同时也找到了V、岭、匕三个量之间的联系，这就把求V 转化为求X和«•2）怎样才能求得叫和匕据棱锥的体积公式,底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。

并且，一旦求出小棱锥的高■大棱锥的高也就求出，为x + h .我们再次引入了一个新符号■于是根据棱锥的体积公式就有匕十* V,=1Z,2（X +/7）,这样，问题就由求叫和匕转化为了求x。

3）怎样才能求得x为了使未知数x与已知数方、“联系起来，建立起一个等量关系•我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化"的思考•用一个通过高线以及底面一边上中点（如下图蓝色线条所示）的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把“、力、x联系起来（转化为平面几何问题）.由三角形相似的性质得：沪二7 ②b x + hV t =Lb 2(x+h) = ^b 2- 3 3 b'h3(〃这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解•解上述方程，便可由d 、b 、表示x,至此，我们已在V 与已知数d 、“、"之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟 通・三、实现计划（利用找到的联系进行解题）作辅助线，由相似三角形的性质可得，专=— b x + h “心 cih 解得—o b_a所以两椎体的体积分别为有：所以棱台的体积：F 岛昔需S 也③四、回顾（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。