初中数学三角形全等的判定定理

全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。

接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。

4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。

而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。

3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

(一)、自学导读：1、判定两个三角形全等我们学过了什么方法？它有几个条件，它们之间有什么限制。

2、如下图，试填空：3、前面我们学习了两个判定定理来判定三角形全等，我们是否还有其他方法呢？ 判断下列推理是否正确：（二）、阅读教材P78页4、角角边定理的内容 。

类比边角边定理 。

类比角边角定理 。

得出角角边定理： 。

（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵ ＝ ∠D ＝∠A ＝∴△ABC ≌△DEF （SAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠ACB ＝∠DFE＝ ∠ABC ＝∠DEF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）、在△ABC 与△DEF 中，若已知，∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ， CB ＝FE ，则△ABC ≌△DEF 证明∵∠BAC ＝∠EDF ，∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝1800－ ∠BAC － ∠ABC ∠DFE ＝1800－ ∠DEF － ∠EDF ∴∠ACB ＝∠DFE （等式的性质）CB ＝FE ∠ABC ＝∠DEF ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）BCEFADB C E FA D定理的理解：如下图定理有三个条件，其中有 组边的关系，有 组角关系，边一定是一组相等角的对边。

加深对AAS 的理解。

记住边的相等关系一定要是对应角（相等的角）的对边。

（三）定理的运用：5、如下图，已知BE ∥DF ，∠B ＝∠D ，AE ＝CF ，（1）试证明：△ADF ≌△CBE ；（1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠FAB ＝（ ）∴△ABC ≌△DEF （AAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中 ∵∠B ＝∠E（ ）＝（ ） AB ＝DE∴△ABC ≌△DEF （ASA ）下列证明过程对吗？如果不对，请予以改正 （1）、在△ABC 与△DEF 中： ∵∠A ＝∠D ∠C ＝∠F AB ＝EF∴△ABC ≌△DEF （AAS ） （2）、在△ABC 与△DEF 中∵∠B ＝∠E ∠C ＝∠FAC ＝DF∴△ABC ≌△DEF （ASA ）分析：（1）已知有一组角相等，并有线段相等，我们观察能否得到边相等，（三种方法都必需有边的相等关系） 给出了平行，我们能联想到角的关系。

全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。

二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。

②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。

④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。

三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。

第三边；2。

夹角；3。

直角2、一角及邻边对应相等—1。

角的另一边;2.边的另一角；3。

边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。

夹边；2。

一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。

例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。

求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。

自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。

求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。

其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。

本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。

一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。

全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。

二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。

3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。

4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。

通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。

三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。

例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。

2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。

通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。

3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。

4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。

我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。

全等三角形的判定口诀全等三角形的判定口诀：三角形是初中数学学习的重点内容之一，全等三角形作为三角形中最重要的几何关系之一，被广泛应用于实际生活和数学研究中，如在建筑工程、建筑设计、机械制造、信号处理、地质勘测等领域。

各等角、等边角对应，所对应的线段相等，这些是全等三角形的特征。

下面我们介绍一下全等三角形判定口诀以及例题。

判定口诀：全等三角形需要满足以下条件：S-S-S：三边分别相等。

此时，若存在两个三角形的三边分别相等，则称这两个三角形为全等三角形。

A-S-A：两角和一致，且夹边相等。

当两个三角形中，存在两个角和一致，且夹边相等时，则这两个三角形为全等三角形。

S-A-S：两边和夹角一致，其中夹角所对的边也相等。

当两个三角形中，存在两边和夹角一致，其中夹角所对的边也相等时，则这两个三角形为全等三角形。

R-H-S：一个角、一个对边和一个邻边一致，其中邻边与该角相等，而对边则等于另一个三角形的对边。

当两个三角形中，存在一个角、一个对边和一个邻边一致，其中邻边与该角相等，而对边则等于另一个三角形的对边时，则这两个三角形为全等三角形。

例题解析：A、在三角形ABC中，CC'垂直于AB，DD'垂直于AC，证明：△ADD'≅△CBB'解题思路：首先，我们要明确全等三角形的定义以及判定方法。

观察题目，我们发现关键点在于两个三角形的夹边相等。

根据已知条件，可以得到△ADD'≅△CDD'，再根据垂线定理，得到 CD=AD、BD=DD'。

所以，我们可以推出 CB=AD、BB'=DD'。

因此，我们可以得出△ADD'≅△CBB'。

B、在△ABC中，AB=AC，D是BC边中点，证明：△ADB≅△ADC。

解题思路：观察图形，我们容易看出△ADB和△ADC的共同点就是角BAD和角CAC，也就是两个三角形的对应角。

根据题目，我们已知 AB=AC，同时 D是BC边的中点，所以BD=DC。

八年级数学上册例题讲解辅导：直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

讲一讲例1：已知：如图△ABC中，BDperp;AC，CEperp;AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.分析：欲证OB=OC可证明ang;1=ang;2，由已知发现，ang;1，ang;2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD 全等即可证明：∵CEperp;AB，BDperp;AC，则ang;BEC=ang;CDB=90deg;there4;在Rt△BCE与Rt△CBD中there4;Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)there4;ang;1=ang;2，there4;OB=OC例2：已知：Rt△ABC中，ang;ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDperp;BE 分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CDperp;BE。

证明：∵DEperp;ABthere4;ang;BDE=90deg;，∵ang;ACB=90deg;there4;在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BCBE=BEthere4;Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)there4;DE=EC又∵BD=BCthere4;E、B在CD的垂直平分线上即BEperp;CD.例3：已知△ABC中，CDperp;AB于D，过D作DEperp;AC，F为BC中点，过F作FGperp;DC求证：DG=EG。

分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。

证明：作FQperp;BD于Q，there4;ang;FQB=90deg;∵DEperp;ACthere4;ang;DEC=90deg;∵FGperp;CD CDperp;BD there4;BDFG，ang;BDC=ang;FGC=90deg;there4;QFCDthere4;QF=DG，there4;ang;B=ang;GFC∵F为BC中点there4;BF=FC在Rt△BQF与Rt△FGC中there4;△BQF≌△FGC(AAS)there4;QF=GC ∵QF=DG there4;DG=GCthere4;在Rt△DEC中，∵G为DC中点there4;DG=EG1.选择：(1)两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是( )个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A.0B.1C.2D.3(2)在下列定理中假命题是( )A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，Rt△ABC中，ang;B=90deg;，ang;ACB=60deg;，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=( )A.1：1B.3：1C.4：1D.2：3(4)如图，在Rt△ABC中，ang;ACB=90deg;，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是ang;ACB的平分线。

初中数学如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。

全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。

下面我们将详细解释ASA判定法的原理和应用方法：假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要判断它们是否全等。

根据ASA判定法，如果它们的两对角度和一对边满足以下条件，即∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，那么三角形ABC 和DEF是全等的。

证明ASA判定法的思路是通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，如果它们满足相等的条件，那么可以推断它们是全等的。

为了更好地理解ASA判定法，我们可以通过以下步骤来证明它：步骤1：根据已知条件，假设∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF。

步骤2：比较两个三角形的对应边长和对应角度，即AC与DF，∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF。

步骤3：如果这些对应边长和角度均相等，那么我们可以得出结论，即三角形ABC和DEF 是全等的。

ASA判定法的证明思路是基于角边角的对应关系。

当两个三角形的两对角度和一对边分别相等时，它们的对应边长和对应角度也相等，从而确定了这两个三角形是全等的。

在实际应用中，ASA判定法可以用于解决与全等三角形相关的几何问题。

例如，我们可以通过已知的边长和角度来确定未知的边长和角度，或者通过已知的边长和角度来计算未知的边长和角度。

此外，ASA判定法还可以应用于证明几何定理。

例如，如果我们需要证明两个图形是全等的，我们可以通过比较它们的边长和角度来判断它们的全等性。

总结起来，ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。

通过比较这些对应边长和角度，我们可以确定这两个三角形的全等性，并在实际问题中应用这个定理进行计算和证明工作。