全国高中物理竞赛专题一 运动学

1物理竞赛运动学专题一：斜坡斜抛问题例1、斜坡上斜抛问题(向下坡抛)：如图为抛射面截面，设在此截面内斜坡倾角α，物体抛出速度v ，求当抛射角θ多大时，射程S 最大。

（忽略空气阻力）分析：此题使用解析几何的方法较自然，问题将转化为求抛物线被直线所截长度，这是高中解析几何中的典型问题。

解法1：如图建立坐标，斜坡所在的直线方程为:x y ⋅-=αtan (1)物体斜上抛的轨迹为抛物线，时间t 从抛出开始，其参数方程是： )3(21sin )2(cos 2 gt t v y t v x -⋅=⋅=θθ 将(2)(3)代入(1)两边，可求得物体下落到斜坡上的时间0t :gv t t )cos tan (sin 20θαθ+== (4) 设落点P 坐标为),(00y x ，则有：00cos t v x ⋅=θ (5)2αcos 0x OP S ==射程 (6)由(4)(5)(6)可解得：(其中注意三角函数倍角公式))sin 1(cos )sin 1(24,22)7()sin )2(sin(cos )tan 2cos tan 2(sin cos 222max 222ααααπθπαθααθααθαθα-=+=-==+++=++=g v g v S S g v S g v S 取极大值时当进一步简化为讨论：1）、对于向上坡抛的情况，只要把上式中的 α改为－α (假设抛射面内斜坡与水平面夹角的锐角为α),（7）变为)sin 1(24,22)7()sin )2(sin(cos 2max 22ααπθπαθααθα+=+==---=g v S S g v S 取极大值时当综合两种情况，在斜坡上，要使抛出物体的射程最远，初速度方向应沿斜面与竖直面夹角的平分线。

2）．（7）式中如果射程S 不变，可转化为求θ多大时，v 最小的一类问题。

下面举例说明。

17、(15分)在一山坡上有一个敌人据点，现要在山脚下架炮轰击该据点，经侦知据点与架炮处的距离约1500米，山坡斜度为30度，试估算炮弹射出时的速度至少要多大才能击中？（g 取10m/s 2, 忽略空气阻力)。

高中物理竞赛辅导讲义第2篇 运动学【知识梳理】一、匀变速直线运动二、运动的合成与分解运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。

我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。

以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则v 绝对 = v 相对 + v 牵连或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙位移、加速度之间也存在类似关系。

三、物系相关速度正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。

以下三个结论在实际解题中十分有用。

1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。

2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。

3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。

四、抛体运动： 1．平抛运动。

2．斜抛运动。

五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。

2．变速圆周运动：线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a tτ∆→∆=∆，方向指向切线方向。

六、一般的曲线运动一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆周运动的一部分。

在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理。

对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ=，ρ为点所在曲线处的曲率半径。

七、刚体的平动和绕定轴的转动1．刚体所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。

刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。

全国物理竞赛题目一、力学与运动学题目：一质量为m的物体以速度v0向右运动，现对其施加一个力F，该力的垂直速度方向的分量为F1，水平分量F2。

问在多少时间后，物体以速度v0/2向右运动，同时速度方向与F的夹角为45°二、热力学与热传递题目：在一个封闭的容器内有一定质量的气体，气体初始温度为T1。

经过加热后，气体的温度升高到T2。

在此过程中，气体吸收的热量为Q，问该过程中气体对外做功是多少？三、电磁学题目：在真空中，一电荷量为q的点电荷产生的电场中，某一点的电场强度E与q的距离r的关系为E=k*q/r^2，其中k为常数。

现有一试探电荷q'从无穷远处移到点电荷q的附近，其电势能的变化量为ΔE，则ΔE与试探电荷电量q'、点电荷电量q、试探电荷与点电荷的距离r之间的关系为？四、光学题目：光线经过一个直径为d的细圆环，环上均匀分布着厚度为t的光学介质。

求光线经过环上介质后的偏折角。

五、原子物理与量子力学题目：一氢原子从基态跃迁到激发态，其辐射光子的波长为100 nm。

已知氢原子的半径为5.29×10^-11 m，求这个跃迁的能量差是多少电子伏特？六、物理实验与实验设计题目：设计一个实验方案，测量一个未知电阻Rx的值。

要求使用尽可能少的器材和步骤，并给出测量结果的误差分析。

七、相对论简介题目：一列火车以速度v相对于地面运动，地面上的观察者测得火车上的一盏灯发出的光的波长比标准波长要短，求火车相对于地面的速度。

八、非线性物理与混沌理论题目：一质量为m的弹性小球在光滑水平面上做周期为T的简谐振动，其振动幅度为A。

现让小球的振幅突然增大到4A，并观察到此后小球的运动变得杂乱无章。

求该过程中小球所做的总功。

九、物理与其他科学的交叉题目：在生物学中，细胞膜可以被看作是一个半透膜。

当细胞内外溶液的浓度不同时，细胞膜可以允许水分子通过而阻止其他大分子物质通过。

请解释这一现象并用物理原理进行建模分析。

第一章 运动学第一节 质点运动的位移和路程1．质点运动学只是客观地描述物体的运动，它并不考虑物体运动状态改变的原因，若在所研究的问题中，物体的形状、大小可以忽略时，我们就可以把物体近似地看成是一个有同等质量的点，称为质点。

质点突出了“物体具有质量”和“物体占有的位置”这两个根本性质。

2．参照物宇宙间的一切物体卖都在永恒不停的运动中，绝对静止的物体是不存在的，因此物体在空间的位置只能相对于另一个物体来确定。

要正确地确定质点的位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体作为参照才有意义。

这个选来作为参照的物体，就叫做参照物。

为了能准确地、定量地来表示物体相对于参照物的位置和位置的变化，我们就需要建立一个坐标系，参照系是参照物的数学抽象，固结于参照物上的坐标系叫做参照系。

在参照物中引入坐标系，质点P 的位置就可以用坐标系中一组坐标来确定。

以直角坐标系为例，质点P 的位置可用一组直角坐标x 、y 、z 确定，如图1-1-1所示。

质点运动时，它可分别表示为时刻t 的函数()x x t = ()y y t = ()z z t =这就是用坐标表示的运动学方程。

如果在方程中消去t ，就可得到质点的轨道方程。

为了更简捷地表示质点的位置，人们还常引入位置矢量（简称位矢）的概念，在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P （x 、y 、z ）所引的有向线段，故有()()()r x t i y t j z t k =++222z y x r ++=r的方向为原点O 指向质点P 。

3、位移和路程位移是指质点运动过程中，在一段时间△t 内位置的变化，即是位矢的增量，如图1-1-2所示。

()()B A r r r r t t r t ∆=-=+∆-其中k t t z j t t y i t t x t t r)()()()(∆++∆++∆+=∆+r xi yj zk ∆=∆+∆+∆)()(t x t t x x -∆+=∆ )()(t y t t y y -∆+=∆ )()(t z t t z z -∆+=∆从中我们不难看出，在计算位移时，通常先求出x 轴、y 轴、z轴三个方面向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。

全国高中物理竞赛专题一运动学222z y x r ?+?+?=? 竞赛专题一运动学【基本知识】一、质点的位置、位置矢量和位移1、质点如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点。

称该点为质点。

2、参考系物理学中把选作为标准的参考物体系统为参考系。

3、位置矢量由参考点指向质点所在位置的有向线段称为位置矢量，简称位矢或矢径。

其大小为方位是4、位移由初位置指向末位置的矢量称为位移，它等于质点在t ?时间内位置矢量的增量，即 12r r r -=?k j i z y x r ?+?+?=?其中12x x x -=? 12y y y -=? 12z z z -=?位移的大小为位移的方位是rx ??=αcosry=βc o srz=γc o s二、直线运动的速度和加速度 1、速度平均速度质点在t t t ?+~内产生的位移r ?与t ?之比，称为此时间间隔内的平均速度，表达式是为tr v ??=瞬时速度当0→?t 时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在t 时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为dtd t r r v t =??=→?lim 02、、加速度平均加速度在t t t ?+~内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表达式为tv a ??=瞬时加速度平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数，称为质点在t 时刻的瞬时加速度，简称加速度，表达式为dt d dt d tr v v a t 20lim ==??=→?（1）加速度具有瞬时性，即)(t a a =。

只有质点做匀变速直线运动时，=a 恒矢量，这时有如下运动公式k z j y i x r++=222z y x r ++=r x /cos =αr /y cos =βr /z cos =γxyzpryxz ?βγxyzP 1(x 1,y 1,z 1)r 1r 2△rP 2(x 2,y 2,z 2)A(t) B(t+△t)△r v-=-+=-+=)(22102022000x x a v v at t v x x at v v （2）加速度具有相对性，对于不同的参考系来说，质点的加速度一般不同。

高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)一、力学部分1. 运动学- 基本概念：位移、速度、加速度。

位移是矢量，表示位置的变化；速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，加速度则反映速度变化的快慢。

- 匀变速直线运动公式：v = v_0+at，x=v_0t+(1)/(2)at^2，v^2-v_{0}^2 = 2ax。

这些公式在解决直线运动问题时非常关键，要注意各物理量的正负取值。

- 相对运动：要理解相对速度的概念，例如v_{AB}=v_{A}-v_{B}，在处理多个物体相对运动的问题时很有用。

- 曲线运动：重点掌握平抛运动和圆周运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；圆周运动中要理解向心加速度a =frac{v^2}{r}=ω^2r，向心力F = ma的来源和计算。

2. 牛顿运动定律- 牛顿第二定律F = ma是核心。

要学会对物体进行受力分析，正确画出受力图。

- 整体法和隔离法：在处理多个物体组成的系统时，整体法可以简化问题，求出系统的加速度；隔离法用于分析系统内单个物体的受力情况。

- 超重和失重：当物体具有向上的加速度时超重，具有向下的加速度时失重，加速度为g时完全失重。

3. 动量与能量- 动量定理I=Δ p，其中I是合外力的冲量，Δ p是动量的变化量。

- 动量守恒定律：对于一个系统，如果合外力为零，则系统的总动量守恒。

在碰撞、爆炸等问题中经常用到。

- 动能定理W=Δ E_{k}，要明确功是能量转化的量度。

- 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，机械能守恒。

要熟练掌握机械能守恒定律的表达式E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}。

二、电磁学部分1. 电场- 库仑定律F = kfrac{q_{1}q_{2}}{r^2}，描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。

- 电场强度E=(F)/(q)，电场线可以形象地描述电场的分布情况。

- 电势、电势差：U_{AB}=φ_{A}-φ_{B}，电场力做功与电势差的关系W = qU。

运动学§2.1质点运动学的基本概念2．1．1、参照物和参照系要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。

为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。

通常选用直角坐标系O –xyz ，有时也采用极坐标系。

平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。

2．1．2、位矢 位移和路程在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x ，y ，z 表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数 x=X （t ） y=Y （t ） z=Z （t ） 这就是质点的运动方程。

质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P （x 、y 、z ）的有向线段r来表示。

如图2-1-1所示,也是描述质点在空间中位置的物理量。

的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦αcos 、βcos 、γcos 决定,它们之间满足1cos cos cos 222=++γβα当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为r =r (t)。

在直角坐标系中,设分别为i 、、k 沿方向x 、y 、z 和单位矢量，则r 可表示为t z t y t x t )()()()(++=位矢与坐标原点的选择有关。

研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点),,(1111z y x P运动到另一点),,(2222z y x P ，相应的位矢由r 1变到r 2，其改变量为∆k z z j y y i x x r r r )()()(12121212-+-+-=-=∆称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。

它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。

它与坐标原点的选择无关。

2．1．3、速度平均速度 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度t s v ∆=平均速度是矢量，其方向为与r∆的方向相同。

练习1 BCD提示：由s s v s t 1.0505===，有m m gt h 05.01.010212122=⨯⨯==，A 错，B 对；当h ≤0.01m 时，由v s t gt h ==,212得s m s m h g s t s v /550/01.021052≥⨯⨯≥==，C 正确；当h ≤0.1m ，由前式可分析得出v ≥s m /225,D 正确，选项BCD 正确。

练习2解析 实际上A 的速度与杆垂直，其大小为L v ω='，因为球与物体紧密接触，两物体的水平方向速度应该相等，也就是说v '的水平分量应该等于v ，将v '如图分解，θωθsin sin L v v ='=。

所以θωsin L v =练习3解析 环被挡住而停下，球将作圆周运动。

lv m mg F 2=-将gl v =代入得：F=2mg表明细绳断裂，球改为以初速度gl v =作平抛运动 若球直接落地，所需时间：gl gh t 42== 球平抛到墙所需时间：gl v l t ==' 因为't t >所以球将先与墙相碰练习4解析 ⑴电场方向未变之前，以小球为研究对象， 受力分析如图甲。

设电场力与飞行方向的夹角为α，小球飞行的加速度为a 。

x 方向：ma mg mg =-030sin cos 3αy 方向：030cos sin 30=-mg mg α解得：030=α ，g a =小球沿着直线飞行的距离：221gt s =速度：gt at v ==电场方向改变之后，以小球为研究对象， 受力分析如图乙，因合力方向与飞行方向在一条直线上，只是方向相反，所以，小球仍然沿原直线飞行，速度越来越小，此时加速度：g m mg mg m F a 2)3()(22=+=='合经过2t 时间，物体的速度：0222=⋅-=⋅'-='tg gt t a v v在2t 时间内，小球飞行的距离：42)(2222gt g gt a v s =='=' 当速度等于零之后，撤去电场，小球做自由落体运动，所以落回点与出发点相距：2083330cos )(gt s s L ='+= （2）设在经过T 时间落回地面：202130sin )(gT s s h ='+=，解得 t T 23=,小球总的飞行时间为：t T t t t 2332+=++=总 练习5解析 （1）花炮引线的总长度m m l h L 7.1)08.0155.0(15=⨯+=+=，s s v L t 8502.07.11===， 最后一个炮体从点火到离开炮筒的时间s s a h t 05.04005.0222=⨯==， 所以s t t t 05.8521=+=。

运动学一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: ①微元法问题：如图所示，以恒定的速率v 1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v 2是多少？设在∆t （∆t →0）的时间内物体由B 点运动到C 点，绳子与水平面成的夹角由α增大到α+∆α，绳子拉过的长度为∆s 1，物体运动的位移大小为∆s 2。

因∆t →0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v 平= v 即=∆s /∆t ，∆s 1与∆s 2有什么关系？ 如果取∆ACD 为等腰三角形，则B D =∆s 1，但∆s 1≠∆s 2cos α。

如果取∆ACD '为直角三角形，则∆s 1=∆s 2cos α,但D 'B ≠∆s 1。

②普通量和小量；等价、同价和高价有限量（普通量）和无限量∆x →0的区别.设有二个小量∆x 1和∆x 2，当121→x x ∆∆, ∆x 1和∆x 2为等价无穷小，可互相代替，当→21x x∆∆普通量, ∆x 1和∆x 2为同价无穷小，当∞→21x x ∆∆（或012→x x∆∆）, ∆x 2比∆x 1为更高价无穷小。

在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。

如当α→0时，AB 弧与AB 弦为等价，α（圆周角）和θ（弦切角）为同价。

如图∆OAB 为等腰三角形，∆OAD 为直角三角形，OA =OB =OD +BD =OD 。

OAADOA AB OD AD OA AD ====ααα,tan ,sin ，即ααα==tan sin （等价）。

22sin 2cos 122ααα==-，比α更高价的无穷小量。

回到问题①：因为DD '为高价无穷小量，绳子拉过的长度∆s 1=BD =BD '，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。

（v2=v 1/cos α）例：如图所示，物体以v 1的速率向左作匀速运动，杆绕O 点转动，求 （1）杆与物体接触点P 的速率？（v 2=v 1cos α） （2）杆转动的角速度？（ω=v 1sin α/OP ）。