2023年6月广东省普通高中学业水平考试数学试题(含解析)

一、单选题二、多选题1. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）A ．4B．C ．8D．2. 设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）A ．27B ．24C ．32D ．284. 已知全集，集合，（ ）A．B．C．D．5.已知数列满足，则“数列是等差数列”的充要条件可以是（ ）A．B．C．D．6. 设是定义在上的函数，为其导函数，已知，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）A．B．C ．2D．8. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为，那么称这个函数为“函数”，下列四个命题：①函数是“函数”；②函数是“函数”；③函数是"m 函数"，且“函数，且”；④函数是“函数，且”.其中正确的命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（）A．B．C．D．2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题10.已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（ ）A．圆的方程为B ．四边形面积的最大值为C ．弦的长度的取值范围为D ．直线恒过定点11. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）A．B．C．D．12.已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（ ）A．B．C．D．13. 已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．14. 已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为__________．15. 已知集合，，则=___________.16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，且椭圆过椭圆的焦点．过点的直线l 与椭圆交于A ，B两点，与椭圆交于C ，D 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若存在斜率不为0的直线l ，使得，求t 的取值范围．17.在菱形中，，，将沿对角线翻折至的位置，使得.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.18.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.如图，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的右顶点，点，点，在椭圆上，．(1)求直线的方程；(2)求直线被过，，三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以，为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．20. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.21. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．。

一、单选题1. 若直线不平行于平面，且，则A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交2. 某水产销售店近期订购了一批成鱼，销售五天后，准备重新制定一个合理的价格，这五天的销售情况统计如下．销售单价/元99.51010.511销售量905280250240225已知销售量与销售单价呈线性相关，若该批成鱼的进价为5元，那么为了获得最大收益，该批成鱼的销售单价应定为（ ）（参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．参考数据：，，，．）A ．9.75元B ．10.25元C ．10.75元D ．11.25元3. 已知，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知圆，圆，若过的直线与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝，P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝－x ，则当在内增大时，（ ）A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)减小，D (ξ)减小D ．E (ξ)增大，D (ξ)减小7. 对比函数和的图象与性质，有下面四个结论：①它们的定义域不同，但值域相同；②它们在各自的定义域内都是增函数；③它们在各自的定义域内都是奇函数；④它们中一个是周期函数，另一个不是周期函数．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8. 函数的大致图象是（ ）A．B．2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学科模拟测试卷(二）二、多选题三、填空题四、填空题C．D．9. 已知，，是三个平面，，，．下列结论正确的是（ ）A ．若，则与可能是异面直线B ．若，则直线、、必然交于一点（即三线共点）C．若，则D．若，则与可能是异面直线10. 若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）A ．0B．C．D．11. 已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（ ）A．B．函数为周期函数C ．函数在区间上单调递减D ．函数的图像既有对称轴又有对称中心12. 沿正方形的对角线将折起，使点到达的位置，且为正三角形，已知点为的中点，为的中点，直线与所成的角为，则______．13. 如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为____________．14. 大学生小明与其他四位大学生分配到甲、乙、丙三个村庄当村干部，要求每个村庄至少一名大学生村干部，则小明分配到甲村的分配方法有_____种.（用数字作答）15. 明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割圆八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名．若图中，，则______，______．五、填空题六、解答题七、解答题八、解答题16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数）因为函数的定义域是，都有又因为② ．所以函数是偶函数．时，，在区间上单调递减．时，时，在区间的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A）（B ）③（A ）2（B ）④（A）（B）⑤（A）（B ）17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 化简，并求函数的值域和最小正周期．19. 若动点到定点与定直线的距离之和为4.(1)求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图.(2)记(1)得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围.20. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．九、解答题十、解答题（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．21. 某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C赔付频率A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．22. 体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.(1)求；(2)估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”男生女生合计获奖20未获奖合计附：，其中.0.050.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.828。

2023—2024学年下学期6月联考高二数学试卷解析版注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,0,1,2}A −，2{|log (1)2}B x x =+<，则A B ∪=（ ）A ．()1,3−B ．()3,3−C ．[)1,3−D ．[]1,3−A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4A ．90B ．180C ．270D ．360【答案】D【详解】从()612x y ++的6个因式中，其中2个因式选择x ，2个因式选择2y ，剩余2个选择1，A．20242D．0 2B．20232C．1012二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()21322f x f x −+−=，且()2f x −为偶函数，()22f =，则（ ） A ．()()4f x f x +=B ．()20240f =C ．()()392f f +=D ．()25125i f i ==∑()() 2511 f f==，() 25124125if i==+=∑，故D正确.故选：BCD10．小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不．公平的是（）A．抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜；否则小红获胜B．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜；否则小红获胜C．抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜；点数之和为8，小红获胜；否则重新抛掷D．抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜；掷出的点数都相同，小红获胜；否则重新抛掷A．ln0+<a bB．e2a b+>C．ln e0ba+<a b+> D．1训练前训练后合计α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01。

一、单选题二、多选题1. 若直线与平行，则与间的距离是（ ）A．B．C．D．2. 已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种5.三个数的大小顺序是（ ）A．B．C．D．6.已知函数，若，且，则的取值范围是A．B．C．D．7. 从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字之和能被4整除的概率为A．B．C．D．8. 已知函数的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D ．9. 已知双曲线（），则不因k 的变化而变化的是（ ）A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率10.已知函数，，则（ ）A ．在上为增函数B ．当时，方程有且只有3个不同实根2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(一） 数学试题2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(一） 数学试题三、填空题四、解答题C．的值域为D ．若，则11. 图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．12. 在正方体中，，，则（ ）A ．为钝角B．C ．平面D ．直线与平面所成角的正弦值为13.已知点，过的直线与抛物线相交于两点．若为中点，则_______．14. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）15. 已知函数若方程有4个互不相等的实数根，则的值为___．16. 在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为，.（1）求角C 的大小；（2）求的最大值．17. 如果有穷数列（m 为正整数）满足条件，即，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．(1)设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且．依次写出的每一项；(2)设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S ；(3)设是100项的“对称数列”，其中是首项为2，公差为3的等差数列．求前n 项的和．18. 随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数802003202501003020（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：潜伏期天潜伏期天总计60岁以上（含60岁）5060岁以下35100请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；（3）在条件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？附：，其中.19. 某中学为了调查学生每周运动时长，随机从全校男生和女生中各抽取了90名学生进行问卷调查，并对每周不同运动时长所对应的人数进行了统计，得到如下数据：每周平均运动时长少于7小时每周平均运动时长不少于7小时男生4545女生6030(1)能否有的把握认为男生与女生每周平均运动时长有差异？(2)若一所学校全体学生每周平均运动时长不少7小时的人数占比高于，则该校为体育运动达标校．已知该中学有男生800名，女生600名，该中学是否为体育运动达标校？并说明理由．附：．0.0500.0100.0013.841 6.63510.82820. 已知平面四边形的四个内角均小于，，，且．（1）若，求的面积；（2）若，求．21. 为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率.。

6月广东省一般高中学业水平考试化学试卷本试卷共8页，65小题，满分100分。

考试用时90分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹旳钢笔或签字笔将自己旳姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡对应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项旳答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

考生必须保持答题卡旳整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

也许用到旳相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32一、单项选择题Ⅰ(本大题共30小题，每题1分，共30分。

在每题列出旳四个选项中，只有一项最符合题意)1．向盛有蒸馏水旳烧杯中滴入少许蓝墨水，一段时间后溶液变蓝。

这表明( )A．分子可再分C．分子在不停运动B．分子不可再分D．分子静止不动2．月球上有颇为丰富旳核聚变燃料32He。

有关32He旳说法对旳旳是( )A．原子序数为3 C．与42He互为同位素B．中子数为3 D．核外电子数为33．KMnO4在医药上可用作防腐剂、消毒剂及解毒剂等。

KMnO4中Mn元素旳化合价为( ) A．＋1 B．＋3 C．＋5 D．＋74．在含少许Mg粉旳试管中滴入稀盐酸，产生大量气泡，且试管壁发热。

该反应为( ) A．放热反应B．吸热反应C．化合反应D．复分解反应5．下列元素中，非金属性最强旳是( )A．C B．N C．S D．O6．水壶使用一段时间后壶内会产生水垢(重要成分CaCO3)，可用来消除水垢旳物质是( ) A．食盐水B．食醋C．自来水D．白酒7．海带中具有丰富旳碘，这里旳“碘”应理解为( )A．元素B．分子C．单质D．原子8．下列过程波及化学变化旳是( )A．将I2溶于酒精制备碘酊B．将NaCl溶于水中制备生理盐水C．被果汁沾污旳衣服浸入漂白液中清洗D．用激光笔照射鸡蛋清溶液产生丁达尔效应9．分类是学习和研究化学旳一种重要措施。

一、单选题二、多选题1.的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（ ）A．B．C．D．2.已知集合，，若，则实数a 满足（ ）A．B．C．D．3. 设函数若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4.已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（）A．B．C．D．5. 过直线上一点P 作圆的两条切线PA ，PB ，若，则点P 的横坐标为（ ）A．B．C．D．6. 已知抛物线的焦点为，点在上，点在准线上，满足( 为坐标原点），，则的面积为（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P 是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（ ）A．B．C．D．8.函数的定义域是A．B．C．D．9. 如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（）A ．三角形B ．矩形C ．非矩形的平行四边形D ．六边形10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e ．过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于点P ，Q ，则（ ）A．B．C．D．2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟 (六）数学试题(1)2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟 (六）数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 已知函数的图象向左平移个单位后到函数的图象（如图所示），则（）A．B．在上为增函数C ．当时，函数在上恰有两个不同的极值点D．是函数的图象的一条对称轴12. 袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记为取得黑球次数，为取得白球次数，则（ ）A．随机变量的可能取值为B．随机变量的可能取值为C ．随机事件的概率为D．随机变量与的数学期望之和为313.已知点，点P 在圆上，则直线倾斜角的最大值为________．14. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意、、，都有成立，则实数的最大值是________.15. 已知曲线：，焦点是F ，P 是抛物线上任意一点，则点P 到焦点F和到点的距离之和的最小值是___________.16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)点，斜率为k 的直线l 不过点，且与椭圆交于A ，B 两点，(O 为坐标原点).直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.17. 已知椭圆C ：＝1的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为，M 为椭圆C 上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 的直线l ：y =kx +1与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP上一动点，且，求证：点Q 到x 轴距离为定值．18. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下．(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差s分别作为μ，的近似值），已知样本标准差，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？(3)从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测3份的概率．参考数据：若，则，，．19. 如图，在中，点D在BC边上，AD=33，,,（1）求的值；（2）求的面积．20. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设.（1）求A；（2）当a＝6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状.21. 设函数，求函数的单调区间与极值．。

广州市天河中学高中部2023学年第二学期6月高一数学考试试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分：150分考试用时：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填涂到答题卡上．1．已知复数z 满足：()20241i 23i z +=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()2,a m = ，(),1b n = ，()1,1c m =+- ，若a b ⊥ ，//b c ，则m n +为（）A ．13-B ．13C ．1D ．1-3．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A B ．C ．D 4．已知α、β、γ是三个不同的平面，l 、m 、n 是三条不同的直线，则（）A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m αγ= ，n βγ= ，//αβ，则//m n C ．若m α⊂，n α⊥，l n ⊥，则//l mD ．若l αβ= ，且//m l ，则//m α5．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少1个白球，都是红球B ．至少1个白球，至少1个红球C ．至少1个白球，至多1个白球D ．恰好1个白球，恰好2个红球6．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互为对立事件B ．()()P A P B =C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥7．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（）A ．163，5B ．5，5C ．163，6D ．5，68．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB ，AC 靠近点A 的三等分点，平面11EB C F 将三棱柱分成左右两部分体积为1V 和2V ，那么12:V V =（）A ．7:5B ．14:13C ．5:7D ．13:14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选不得分．9．在ABC 中，11,45,2OA OB AOB AM MB ∠====，则下列选项正确的是（）A ．1233OM OA OB =+ B ．1OA OB ⋅= C ．min 22OA tOB+=D ．向量OB 在向量OA 上的投影向量为OA10．已知函数()1cos cos 22f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππ32k x k =+∈Z D ．函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象向右平移π12单位长度得到11．袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（）A ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是35B ．有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是18125C ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是25D ．不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是15三、填空题：本大题共3小题，共15分．12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．13．若1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差为．14．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75 ，距离为C 在A 的北偏西30 ，距离为该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60 方向，则此时灯塔C 位于游轮的方向(用方向角作答)四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，14BC AA ==，5AB =，D 是AB 的中点．(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求点B 到平面1CDB 的距离．16．在ABC 中，2221sin sin cos sin sin A B B A C +=-+.(1)求角C 的大小；(2)若D 在边AB 上，DC CB ⊥，且1AC AD ==，求ABC 的面积S .17．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11A B 与1A C ，11B C 都垂直，已知3AB =，15AA AC ==．(1)求证：平面1A BC⊥平面ABC；(2)当直线1A B与底面ABC所成的角为π3时，求二面角1A AC B--的正切值．18．辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为A+，则直接参加；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n = ，非零向量(),OM m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点.(1)若向量OM 的“伴随函数”为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求向量OM ；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =，且已知8a =，()35h A =；（ⅰ）求ABC 周长的最大值；（ⅱ）求AB AC AB AC +-⋅的取值范围.1．D【分析】根据题意结合复数的四则运算及几何意义分析求解.【详解】因为()20241i 23i z +=+，可得复数()1012202423i 23i 23i 31i 1i 2211z +++====+++-，可得31i 2z =-，所以z 在复平面内对应的点的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D ．2．D【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示可直接构造方程求得,m n ，进而求得结果.【详解】a b ⊥ ，//b c，201n m m n+=⎧∴⎨+=-⎩，解得：2m =-，1n =，1m n ∴+=-.故选：D.3．A【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.【详解】连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，因为,G F 分别为,AC CD 的中点，则GF //AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为DAE ∠（或其补角），在ADE V 中，则2AE DE AD ===，由余弦定理可得222cos2AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅所以异面直线AE ，FG 故选：A.4．B【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 错误；对于B ：根据面面平行的性质定理可知，若//αβ，且m αγ= ，n βγ= ，则//m n ，故B 正确；对于C ：若n α⊥，m α⊂，则n m ⊥，又l n ⊥，则//l m 或m 与l 相交或m 与l 异面，故C 错误；对于D ：若l αβ= ，且//m l ，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B 5．D【分析】根据题意，结合互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解.【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，对于A 中，至少1个白球，都是红球是对立事件，所以A 错误；对于B 中，至少1个白球，至少1个红球能同时发生，不是互斥事件，所以B 错误；对于C 中，至少1个白球，至多1个白球能同时发生，不是互斥事件，所以C 错误；对于D 中，恰好1个白球，恰好2个红球不能同时发生，是互斥事件，且这两个事件可能都不发生，故不是对立事件，所以D 正确.故选：D.6．B【分析】AD 选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B 选项，求出两事件的概率；C 选项，两事件不是同一事件，C 错误.【详解】AD 选项，事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误；B 选项，()()12P A P B ==，故B 正确；C 选项，事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误．故选：B ．7．C【分析】先求出x 的值，再根据定义分别求解.【详解】依题意可得中位数42x +=，众数为4，由题意知45424x +=⨯，解得6x =，该组数据的平均数为()114467856x =⨯+++++=，则该组数据的方差是2222222116(15)(45)(45)(65)(75)(85)63S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，因为660% 3.6⨯=，所以该组数据的第60百分位数是6；故选：C.8．D【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比.【详解】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则12V V V Sh =+=，因为E 、F 分别为AB ，AC 靠近点A 的三等分点，所以19AEF S S = ，则11113(3927V S S h Sh =+=，所以211427V V V Sh =-=，所以12:13:14V V =.故选：D.9．BCD【分析】利用平面向量基本定理可表示出2133OM OA OB =+，由平面向量数量积定义可知B正确；将OA tOB + 平方并利用二次函数性质可求得最值，再由投影向量定义计算可判断出D 正确.【详解】如下图所示：对于A ，由12AM MB = 可得13AM AB =，所以()11213333OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+ ，因此A 错误；对于B ，cos 11OA OB OA OB AOB ⋅=∠=⨯ ，可知B 正确；对于C ，易知222222111222222OA tOB OA t OB tOA B t t t O ⎛⎫=⋅=++=++ ⎪⎝⎭+++ ，显然21112222t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当12t =-时，等号成立；所以2OA tOB +≥，可得min 2OA tOB += ，即C 正确；对于D ，向量OB 在向量OA上的投影向量为2211OB OA OA OA OA OA⋅==，即可得D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】对于A ：根据三角函数图象变换分析求解；对于B ：根据正弦型函数周期公式运算求解；对于C ：以π26x -为整体，结合正弦函数的对称性运算求解；对于D ：根据三角函数图象变换分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：()1πcos2sin 226f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ：函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；对于选项C ：令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，故C 正确；对于选项D ：sin2y x =的图象向右平移π12单位长度，可得()ππsin2sin 2126y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：BCD.11．BCD【分析】AB 选项，考虑有放回时，利用白球和黑球个数比例求出相应的概率；C 选项，考虑两种情况，求出相应的概率求和即可；D 选项，在C 选项的基础上进行求解即可.【详解】A 选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为22325=+，A 错误；B 选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球，故概率为2321855125⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，B 正确；C 选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球，分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球，其中前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为23132115435435⨯⨯+⨯⨯=，前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为32215435⨯⨯=，综上：第三次摸到白球的概率为152155+=，C 正确；D 选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为32215435⨯⨯=，D 正确.故选：BCD12【分析】利用圆柱的高和圆柱外接球半径，求出圆柱底面圆半径，由圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得，球半径1R =，圆柱底面圆半径12r =，该圆柱的表面积23π22π1π222S ⎛⎫+=⋅⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.．13．0.20【解析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，数据1a ，2a ，…，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，由方差的公式，可得222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-= ，所以2221220((( 4.2a x a x a x -+-++-= ，所以22222122011[()()()()] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯= ，故答案为：0.20．【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．14．南偏西60【分析】由正弦定理得到24AD =，由余弦定理得12CD =，从而由正弦定理得到sin CDA ∠，结合AD AC >，得到60CDA ∠= ，得到答案.【详解】如图，在ABD △中，180607545B =--=，由正弦定理得sin45sin60AD AB == 24AD =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯ ，因为24AC AD ==，所以解得12CD =，由正弦定理得sin30sin CD AC CDA ∠=，解得sin CDA ∠，故60CDA ∠= 或120CDA ∠= ，因为AD AC >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠= ，此时灯塔C 位于游轮的南偏西60 方向．故答案为：南偏西6015．(1)证明见解析(2)17【分析】（1）设11B C BC O = ，连接OD ，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用余弦定理求出CDB S △和1CDB S ，再利用等体积法即可得解.【详解】（1）设11B C BC O = ，连接OD ，直三棱柱111ABC A B C -中，11BCC B 是矩形，O ∴是1BC 中点， 点D 是AB 的中点，1//OD AC ∴，OD ⊂ 平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，1//AC ∴平面1CDB ；（2）易知111343222CDB ABC S S ==⨯⨯⨯= ，又15AC ==，1C B =,在CDO 中，11522OD AC ==，1522CD AB ==，112CO CB ==由余弦定理可得，(2225522cos 5522COD ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯，所以sin COD ∠=则()11115sin 222CDB S CB OD COD ⎛=⋅∠=⨯⨯= ⎝⎭设点B 到平面1CDB 的距离为h ，因为11B CDB B CDB V V --=，所以1111··33CDB CDB S h S BB = ，34h =⨯，所以63417h =．16．(1)2π3【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角；（2）由正弦定理求出ADC ∠，再由三角形的面积公式求解.【详解】（1）由题意得2221cos sin sin sin sin B A C A B -+-=-，即222sin sin sin sin sin B A C A B +-=-，由正弦定理得222AC BC AB BC AC +-=-⋅，由余弦定理得2221cos 22AC BC AB C BC AC +-==-⋅.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）如图，因为DC CB ⊥，所以2πππ326ACD ∠=-=.在ACD 中，由正弦定理得1πsin6=，解得sin ADC ∠=则2π3ADC ∠=或π3（舍去），得2ππππ366A B =--==，则BC AC ==故12π33sin 234S ==.17．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据题意，证得因为111A B A C ⊥和AB BC ⊥，证得AB ⊥平面1A BC ，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面1A BC ⊥平面ABC ；（2）根据题意，证得1A D ⊥平面ABC ，得到1A BD ∠是1A B 与平而ABC 所成的角，作DE AC ⊥，得到1A ED ∠为二而角1A AC B --的平面角，在直角1A ED △中，列出方程，即可求解.【详解】（1）证明：因为111A B A C ⊥，1111A B B C ⊥，又由棱台得性质，可得11//AB A B ，所以1,AB A C AB BC ⊥⊥，又因为1BC A C C = ，且，1,BC A C ⊂平面1A BC ，所以AB ⊥平面1A BC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以平面1A BC ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，平面1A BC ⊥平面ABC ，过1A 作1A D BC ⊥于D ，因为平面1A BC ⋂平面ABC BC =，1A D ⊂平面1A BC ，则1A D ⊥平面ABC ，所以1A BD ∠是1A B 与平而ABC 所成的角，即1π3A BD ∠=，作DE AC ⊥于E ，因为1A D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1A D AC ⊥，又因为1DE A D D = ，且1,DE A D ⊂平面1A DE ，所以AC ⊥平面1A DE ，因为1A E ⊂平面1A DE ，所以1AC A E ⊥，则1A ED ∠为二面角1A AC B --的平面角，在直角ABC 中，3,5AB AC ==，可得BC 4==，在直角1A DB △中，114,2,2A B A D BD CD ====，又由DEC ABC △∽△，可得DE CD AB AC =，所以23655CD AB DE AC ⋅⨯===，所以1153tan 3A D A ED DE ∠==，二面角1A ACB --的正切值为3.18．(1)作图见解析，76.25分；(2)35；(3)132.【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知[70,80)的频率为1(0.0150.0300.0100.005)100.40-+++⨯=，所以[70,80)组的纵轴为0.40100.040÷=，所以频率分布直方图如下所示：又(0.0100.005)100.150.3+⨯=<，0.4(0.0100.005)100.550.3++⨯=>，所以第70%分位数位于[70,80)，且0.40.15107076.250.4-⨯+=，所以入围分数应设为76.25分.（2）依题意从[80,90)抽取0.01640.010.005´=+人，标记为1,2,3,4；从[90,100]抽取0.005620.010.005´=+，标记为a ，b ；从6人中随机选2人其样本空间可记为()()()()()()()()(){()()()()()()}Ω1,21,31,41,1,2,32,42,2,3,43,3,4,4,,a b a b a b a b a b =，共包含15个样本点，即有15种选法．设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”，则其中2人都是[80,90)的样本空间可记为{}(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)A =，共包含6个样本点，即有6种选法．则63()1()1155P A P A =-=-=；所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为35.（3）依题意甲能参加冬令营的概率2221111255561255P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭甲，乙能参加冬令营的概率11112552444551632P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭乙，二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率15153232P P P ==⨯=甲乙．19．(1)(3OM = (2)（ⅰ）858；（ⅱ）[)32,8-【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为()sin cos f x m x n x =+形式求解即可.（2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可.【详解】（1）()πππ2sin 2sin cos 2cos sin sin cos 333f x x x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以(OM = （2）（ⅰ）由于函数()h x 的“源向量”为()0,1OM = ，所以()cos h x x =，()35h A =，所以3cos 5A =，()0,πA ∈，所以4sin 5A =，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即()2226166455b c bc b c bc =+-=+-，所以有基本不等式得：()()221646455bc b c b c =+-≤+，所以()21645b c +≤，即()2320b c +≤，所以b c +≤=b c ==.所以8a b c ++≤+，所以周长的最大值为8.（ⅱ）35AB AC AB AC AB AC bc +-⋅-⋅- ，又226645b c bc =+-，所以226126455b c bc bc ++=+，所以3355AB AC AB AC bc bc +-⋅== ，因为22646455b c bc bc =+-≥，所以80bc ≤，当且仅当b c ==又当点A 无限接近点顶点C 时，边b 无限接近0，即bc 无限接近0，综上所述：080bc <≤，令t 23165bc t =-，48t <≤，从而()2232162165AB AC AB AC bc t t t t +-⋅==--=-++ ，所以[)2321632,85AB AC AB AC bc t t +-⋅==-++∈- ，即AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围为[)32,8-.。

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ）A．B．C．D．3. 已知为角终边上一点，则（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．5. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）.A ．B ．C ．1D ．26.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）A．B．C．D．7. 设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则A ．2B ．3C ．6D ．88.记其中表示不大于x 的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围A．B．C．D．9. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A 表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C 表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥B．C ．事件A 与事件B 独立D ．记C 的对立事件为，则10. 已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C ．时，在区间单调递增D．时，在区间既有极大值点也有极小值点11. 已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（ ）2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学科模拟测试卷(二）(1)2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学科模拟测试卷(二）(1)三、填空题四、解答题A ．实数的取值范围是B．C．函数可能有四个零点D．12.函数，则（ ）A．，使得在上递减B ．，使得直线为曲线的切线C．，使得既为的极大值也为的极小值D ．，使得在上有两个零点，且13. 先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程：__________.14.设集合，若，则的值为__________．15. ，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．16. 如图，在多面体中，，，，，，，，．(1)若在直线上存在点使得平面，求的值；(2)若平面与平面所成角的余弦值为，求该多面体的体积．17. 如图1所示，梯形ABCD 中，AB=BC=CD=2，AD=4，E 为AD 的中点，连结BE ，AC 交于F ，将△ABE 沿BE 折叠，使得平面ABE ⊥平面BCDE （如图2）.(1)求证：AF ⊥CD ；(2)求平面AFC 与平面ADE 的夹角的余弦值.18.已知数列的前项和为，关于的方程有两个相等的实数根．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．19. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明）20. 如图，四边形是正方形，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．21. 已知x ∈R ，设，，记函数.（1）求函数取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，求△ABC 的面积S 的最大值.。

选择题：
1. 已知函数y = 2x² + 3x - 4 的图像开口向上，则它的最小值为：
A. -4
B. -3
C. 4
D. 3
2. 若集合A = {x | x² = 4}，则A 中的元素是：
A. {-2, 2}
B. {-2}
C. {2}
D. {1, 2}
3. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 5x + 6，求f(x) 和g(x) 的交点横坐标的和是：
A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
填空题：
1. 设函数y = -2x + 3 在直线y = 4 和x 轴所围成的三角形的面积为______。

2. 等差数列的前n 项和为Sn = 3n² - 2n，则该等差数列的公差为______。

3. 若函数y = ax² + bx + c 的图像经过点(1, 5) 和(2, 9)，则a + b + c 的值为______。

应用题：
1. 甲、乙两条水管一起向一个水池注水，甲管每小时注入100 升水，乙管每小时注入120 升水。

假设两管一直保持注水，经过多少时间水池会装满？
2. 已知三角形ABC，∠A = 60°，∠B = 45°，AB = √3 cm。

求三角形ABC 的面积。

3. 小明去购物，他购买了价值500 元的商品，商家正在举行打折促销活动，所有商品打八折。

求小明支付的实际金额。