2017-2018年吉林省延边二中高二上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

吉林省延边二中2017-2018学年高二上学期12月段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜02．（4分）已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x3．（4分）“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞04．（4分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．5．（4分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}6．（4分）给出以下四个：①若x，y∈N*，x+y是奇数，则x，y中一个是奇数一个是偶数；②若﹣2≤x＜3，则（x+2）（x﹣3）≤0；③若x=y=0，则x2+y2=0；④若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2．那么（）A．①为假B．②的否为真C．③的逆否为假D．④的逆为真7．（4分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．8．（4分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．289．（4分）设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．10．（4分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．5C．D．211．（4分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6D．512．（4分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．（4分）双曲线的离心率为，则m等于．14．（4分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．15．（4分）抛物线的焦点为椭圆=1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．16．（4分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥3；（2）若f（x）≥a﹣1的解集为R，求a取值范围．18．（10分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．20．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为S n，证明：S n＜6．21．（12分）已知向量．（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．吉林省延边二中2014-2015学年高二上学期12月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由x＞y＞0⇒，⇒x＞y＞0或x＜y＜0，知的一个充分不必要条件是x＞y＞0．解答：解：∵x＞y＞0⇒，⇒x＞y＞0或x＜y＜0．故选B．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．2．（4分）已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得=，由此求得=，从而求得双曲线的渐近线方程．解答：解：已知双曲线C：的离心率为，故有=，∴=，解得=．故C的渐近线方程为，故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．3．（4分）“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0考点：的否定．分析：根据“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称，其否定是对应的特称，从而得出答案．解答：解：∵“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称∴否定为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．点评：本题主要考查全称与特称的相互转化．要注意两点：1）全称变为特称；2）只对结论进行否定．4．（4分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（4分）不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．解答：解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选B．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是2015届高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．6．（4分）给出以下四个：①若x，y∈N*，x+y是奇数，则x，y中一个是奇数一个是偶数；②若﹣2≤x＜3，则（x+2）（x﹣3）≤0；③若x=y=0，则x2+y2=0；④若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2．那么（）A．①为假B．②的否为真C．③的逆否为假D．④的逆为真考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由两个偶函数或奇函数的和为偶函数，一个偶函数和一个奇函数的和为奇函数可得A 错误；写出的否定判断B错误；由互为逆否的两个共真假说明C错误；写出的逆说明D正确．解答：解：①若x，y∈N*，x+y是奇数，则x，y中一个是奇数一个是偶数为真，选项A错误；②若﹣2≤x＜3，则（x+2）（x﹣3）≤0的否为：若x＜﹣2或x≥3，则（x+2）（x﹣3）＞0为假，原因是当x=3时（x+2）（x﹣3）=0，选项B错误；③若x=y=0，则x2+y2=0为真，则其逆否为真，选项C错误；④若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2的逆为：若x=1或x=2，则x2﹣3x+2=0，为真，选项D正确．故选：D．点评：本题考查了的真假判断与应用，考查了充分条件、必要条件的判定方法，是基础题．7．（4分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．8．（4分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等，即可求出所求式子的值．解答：解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24．故选C点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．9．（4分）设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先求双曲线的渐近线，再利用条件渐近线与抛物线y=x2+1相切得方程只有一解，从而得出a，b的关系，进而求出离心率解答：解：由题知：双曲线的渐近线为y=±，所以其中一条渐近线可以为y=，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以=x2+1 只有一个解所以（2﹣4=0 即（）2=4，a2=4b2因为c2=a2+b2，所以c2=b2+4b2=5b2，c=，所以离心率e==，故选B．点评：本题求解的关键是等价转化，从而利用方程思想解决．10．（4分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．5C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x 联立可得x=3，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，∵=4，则Q在PF的延长线上，∴|PQ|=5d，∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）∴|QF|=d=3+2=5，故选：B．点评：本题考查抛物线的定义和简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．11．（4分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6D．5考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选B．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．12．（4分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x 0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．解答：解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．（4分）双曲线的离心率为，则m等于9．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的离心率计算公式即可得出．解答：解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．点评：熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．14．（4分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（y≠0）．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解答：解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用．15．（4分）抛物线的焦点为椭圆=1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为y2=﹣4．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先求出椭圆=1的左焦点即位抛物线的焦点，再利用焦点的横坐标与系数2p的关系求出p；即可求出抛物线方程．解答：解：因为椭圆=1的左焦点为（﹣.0），所以=，2p=4且抛物线开口向左．所以抛物线方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线标准方程的求法．在求抛物线的标准方程时，一定要先判断出开口方向，再设方程．16．（4分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥3；（2）若f（x）≥a﹣1的解集为R，求a取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）函数f（x）表示数轴上的x对应点到1和﹣1对应点的距离之和，而±对应点到1和﹣1对应点的距离之和正好等于3，由此可得不等式f（x）≥3的解集．（2）由题意可得，f（x）的最小值大于或等于a﹣1．而f（x）的最小值为2，可得2≥a﹣1，求得a的范围．解答：解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1和﹣1对应点的距离之和，它的最小值为2，而±对应点到1和﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）若f（x）≥a﹣1的解集为R，则f（x）的最小值大于或等于a﹣1．而f（x）的最小值为2，可得2≥a﹣1，求得a≤3．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．18．（10分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B为三角形的内角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．考点：椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．解答：解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．20．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为S n，证明：S n＜6．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，然后根据条件建立方程组，解之即可求出d与q，从而求出{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列的通项公式的形式可知利用错位相消法进行求和即可求出S n=6﹣，可证得结论．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）．，①，②由②﹣①得：===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵，∴S n＜6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了不等式的证明，属于中档题．21．（12分）已知向量．（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）由整理可求Q点的轨迹方程．（II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，结合直线与椭圆有两个不同的交点，可得△＞0，从而可得m与k得关系，设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，从而有K AP•K mn=﹣1，代入可求．解答：解：（I）由题意得：，∵．∴…（4分）（II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①…（6分）（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x p，y p），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则…（8分）又|AM|=|AN|，∴②，将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，故所求的m取值范围是．…（10分）（2）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得﹣1＜m＜1．…（12分）点评：本题考查了轨迹方程的求法，椭圆性质的应用，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式及两直线垂直与斜率关系的相互转化得应用．。

吉林省2017-2018学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）吉林省实验中学2017---2018学年度上学期高二年级数学学科（文）期中考试试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）2π；（14）10)2(22=+-y x ；（15）8；（16）16322=-y x ． 三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：（1）∵ 点P （a ，a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4,5）， ∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---. --------5分（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7）， ∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ . ------10分（18）（本小题满分12分）解：因为)(q p ⌝∧为真命题，所以p 是真 题并且q 是假命题 --------2分由p 真，1≥-a 解得 1-≤a ---------6分由q 假，得12142≤+a ，即22≤≤-a ---------10分 综上，12-≤≤-a ----------12分（19）（本小题满分12分）解：由对称性可知，不妨设渐近线方程：0=-ay bx ---------2分则12222==+cbb a b ， ------------4分所以22224b a b c +==，即223b a = 又因为2=a ，所以34,422==b a 所以双曲线方程为：223144x y -= -----------12分 （20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ），得消去y y x mx y ⎩⎨⎧=++=1422012522=-++m mx x , 0)1(54422≥-⨯-=∆m m解得]25,25[---------6分 （Ⅱ）设直线与椭圆交点),(),,(2211y x B y x A ，则51,5222121-=-=+m x x m x x 2516202)5)1(4254(2||222m m m AB -⨯=--= ]25,25[-∈m .5102||0max ==∴AB m 时，当此时，l 的方程为x y =. --------12分（21）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知：3,2521=∴=+p p 所以抛物线方程：x y 62=， -------------------3分把(1,)M m 代入，得：6±=m -------------------4分（Ⅱ）由已知0≠k ，)0,2(kN -，设),(),,(2211y x B y x A ，⎩⎨⎧+==262kx y x y 消去x ，得：01262=+-y ky 由04836>-=k ∆，得43<k 且0≠k ， ---------------6分 k y y 621=+ ①， ky y 1221=⋅ ②，因为2=，所以)2,24(),2(2211y x ky x k ---=---，即212y y = ③ ----------------9分 由①②③联立可得：32=k ，满足43<k 且0≠k - 所以，32=k . ---------------12分 (22)（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得222222,5, 1.c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩解得 22 1.4x y +=所以，椭圆方程为----------4分 （Ⅱ）21-=AB k ， 设与AB 平行的椭圆的切线方程为 m x y +-=21， 联立方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=442122y x m x y ， 消去y 得022222=-+-m mx x ， ①0)22(4422=--=∆m m解得2±=m .2,0-=∴>m k . ---------6分代入到①中得2-=x ，代入到221--=x y 得22-=y ，.)22,2(的面积最大时，的坐标是当取ABC C ∆--∴ ---------8分5222+=d ，⨯⨯=∆521ABC S 125222+=+. ---------10分此时，直线l 的方程是12212+--=x y . ---------12分。

吉林省延边第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试（理）一、 选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．设10<<<b a ，则下列不等式成立的是( )A.33a b >B.11a b< C.ab a >2 D. ab b >22．设等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，已知38S =， 246=S ，则=9S （ ）A.32B.56C.72D.483.已知△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的外接圆的面积为( )A ．π9B ．π3C ． π12D ．π34．首项为18-的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛49,2B.⎪⎭⎫ ⎝⎛49,2C.()+∞,2D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,495．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且yx z 24⋅=的最大值为（ ）A ．81B.3C. 4D.8 6．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2312,21,3a a a 成等差数列，则=++4578a a a a （ ）A.8B.9C.27D.47．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. (3，+) B. [3， C.，3] D.，3) 8．已知数列{}n a 中，211=a ，nn a a 111-=+，则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2018321a a a a ( ) A. 21-B. 21C.－ 2D.2 9．△ABC 中，c b a ,,分别是内角A,B,C 所对的边,若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则B si n 等于( )x |2||1|x x a ++-<∅a ∞)∞+-∞(-∞(A ．53 B ．47C ． 43D ． 5410．已知22,0,0=+>>xyyx y x ，则y x 4+的最小值是( ) A. 6 B. 23+ C. 246+ D. 223+11．已知实数x y ，满足33010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则232--+=x y x z 的取值范围是（ ）A. []3,1-B. []7,3C. ),7[]1,(+∞⋃--∞D. ),3[]1,(+∞⋃--∞ 12．对于数列{}),(*,n m N n m a n >∈，若任意都有为常数）t n m t a a n m )((-≥-成立， 则称数列{}n a 具有性质P(t), 若数列{}n n n a a 3=的通项公式为，且具有性质P(t)，则t 的最大值为( )A ． 6 B. 3 C. 2 D.1 二、 填空题(每小题4分，共16分)13．如果25,,,,1--c b a 成等比数列，那么b ＝_________14．已知点()3,1--和()4,6-在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是 15．已知关于x 的不等式02)21(2>+++x a ax ，则当21-<a 时不等式解集为________ 16． 已知2,≤+y x y x 满足不等式实数，y x z -=2且的最大值为t ,则m 1时≠，122-m tm 的取值范围是 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，附加题20分） 17. （本小题满分10分）设（1）若不等式的解集为{}28x x ≤≤，求实数a 的值 （2）在（1）的条件下，解不等式3)22()(≤++x f x f18．（本小题满分10分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 2=.3≤)(x f（1）确定角C 的大小；（2）若,2=c 求ABC △的面积的最大值19．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足*)(23,111N n a a a n n ∈+==+ （1）求数列{a n }的通项公式 （2）设,12+=n n a b {b n }前n 项和为n S ,求证23<n S20．（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且*)(22N n a S n n ∈-=，数列{b n }满足n n a n b )12(-=，数列{b n }的前n 项和T n )(*∈N n ， (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的前n 项和T n (3)求12506-+-n a T n n 的最小值以及取得最小值时n 的值21．（本小题满分12分）数列{}n a 中，),(,111+=n n a a p a 点在直线上02=+-y x (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n S（i)求n S（ii ）是否存在整数λ()0≠λ，使得不等式(－1)n λ＜241nS + (n ∈N *)恒成立？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由． 22. 附加题（满分20分）已知数列{}n a 是递增数列，其前n 项和为{}()*∈++=>N n a a a n n n n ),252(101S ,1,S 21（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设n n n n a n n c n a b 1562,322-+=+-=， ①若33-=n c nd ，求)1)(1(211--++n n n d d d 的前n 项和n T②若对于任意的正整数n,不等式)11()11)(11(17555211nn b b b m n c +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≤-++恒成立，求非零整数m 的取值的集合参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBADCCABDDA13.-5 14. (-24,7)15. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-a x x 12| 16. ()-，032,⎤⎡∞⋃+∞⎦⎣ 17．（1） 不等式的解集为{}28x x ≤≤， （2）5a =，解集为空集18. 【解析】解析：（1）由32sin a c A =，由正弦定理得A C A sin sin 2sin = 0sin ≠A 因为 21sin =C 所以 , 65C 6ππ==或C ABC △是锐角三角形，6π=C ………………4分 （2）,2=c 由余弦定理得46cos 222=-+πab b a ………6分得,4322=-+ab b a )32(4-≤ab …………8分 由面积公式得326sin 21-==πab S …………10分 19.（1）因为131+=+n n a a 所以)1(311+=++n n a a ，211=+a}1{1++n a 是以2为首项，3为公比的等比数列，11321-+⋅=+n n a ，1321-⋅=-n n a(2))311(23,31121n n n n n S a b -==+=-， 可得n=1时n S 最小为1，2332323)311(23<⋅-=-=n n n S 即231<≤n S 20.解：(1)当n ＝1时， S 1＝2a 1－2，所以a 1=2 …………1分当n ≥2时，22-=n n a S2211-=--n n a S …………2分122--=n n n a a a ,12-=n n a a 所以{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，3≤)(x fn n a 2= b n ＝(2n －1)·2n . …………4分 (2)因为T n ＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ①所以2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －5)·2n －1＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1②由①－②得－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1， …………６分化简得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6. …………８分（３）65021n n T a n -+-＝４ｎ－６＋５０２ｎ－１，ｎ＝３时，最小值为１６……１２分21、解析：(1) ),(,111+=n n a a p a 点在直线上02=+-y x ，{}2,21为等差数列，公差为即数列n n n a a a =-+ ……… …1分n a n 2=-1 ……………2分(2) (ⅰ))121121(21)12)(12(1)12)(12(1+--=+-=+-=n n n n n n b n …………4分)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅+-+-=∴n n S n …………5分)1211(21+-=∴n S n 24121+-=n S n ……6分 (ⅱ)存在整数λ使得不等式(－1)n λ＜241n S + (n ∈N *)恒成立．因为241n S +＝12123+-n .要使得不等式(－1)n λ＜12123+-n (n ∈N *)恒成立 ，应有 …………7分 (a)当n 为奇数时，(－1)n λ＜12123+-n ， 即λ>-12123++n .所以当n ＝1时，－12123++n 的最大值为－67， 所以只需λ＞－67. …………9分 (b)当n 为偶数时，λ＜12123+-n ，所以当n ＝2时，12123+-n 的最小值为1013， 所以只需λ＜1013. …………11分 由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－67＜λ＜1013，0≠λ 又λ为整数，所以λ值为-1，1 …………12分 22.解:(1)()*∈++=Nn a a n n n ,252S 102252a 101211++=a a ,得,解得,或.由于,所以.因为()*∈++=Nn a a n n n ,252S 102,.所以,252S101211++=+++n n n a a,整理,得,即.因为{}n a 是递增数列,且,故,因此.则数列是以2为首项,为公差的等差数列.所以.(2) ,.①33-=n c nd =n3，)131131(3)13)(13(32)1)(1(211111---=--⋅=--+++++n n n n n n n n d d d所以n T =)1311311311321131131(31321---⋅⋅⋅⋅⋅⋅+---+---+n n =133231--+n ②不等式)11()11)(11(17555211nn b b b m n c +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≤-++， 可转化为1)11()11)(11(175121-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≤+n c b b b m n n.设,则所以,即当n 增大时,也增大.要使不等式1)11()11)(11(175121-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≤+n c b b b m n n恒成立,只需.min )(175n f m ≤即可。

2017-2018学年度第一学期第一次阶段检测高二数学（满分120分，时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．在ABC中，a 2,b 2,A 450，则B等于() A．450B．300C．600D．300或15002．已知各项均为正数的等比数列，，则的值为()a1a 16a a2aa n958A．16 B．32 C．48 D．64x y 23．设变量x,y满足约束条件3x 0，则z2x y的最小值为()y6y 3A．－7 B．－6 C．－1 D．2 4．下列命题中正确的是()A．若a,b,c是等差数列，则log2a,l og b,log c是等比数列22B．若a,b,c是等比数列，则log2a,l og b,log c是等差数列22C．若a,b,c是等差数列，则2a,2b,2c是等比数列D．若a,b,c是等比数列，则2a,2b,2c是等差数列5.已知公差不为0的等差数列a满足nSSa2，S 为数列3a a14nna的前n项和，则32SS53的值为（）A.2B.3C. 2D. 36．已知不等式x22x 30的整数解构成等差数列a的前三项，则数列的第项为a 4n n()A．3 B．－1 C．2 D．3或－17．已知ABC中，三内角A,B,C依次成等差数列，三边a,b,c成等比数列，则ABC是() A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．关于x的不等式x2ax6a0的解集是x m x n，且n m5，则实数a的取值范围是()A．- 1 -C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．x 2, x 0 9．已知函数则不等式的解集为( )f (x )f (x )x 2x 2, x 0A ．B ．C ．D ．10.已知数列中，，前 项和为 S ，且点在直线aP a anNx y 1an*11,nnnn 111 1 1 上，则.... （）SSS S123nn n122nn A.B.C.D.2 n n 1n 1 2n 111．一个等比数列前三项的积为 2 ，最后三项的积为 4 ，且所有项的积为 64 ，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项T 分别为数列a与数列12. 【2016河北衡水中学高三一调，理】已知S 和b 的前n 项和，nnnn且 S eSe ，T 取得最大值时，n 的值为（）ae 4 ，5 ae ，(nN ) ，则当bn1nn 1nnA ．4B ．5C ．4或 5D ．5或 6二、填空题（每小题 4分，共 16分．将最简答案填在答题纸相应位置） 13.在 ABC 中, 角 A , B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且 c4 2, B 45,面积 S 2 ,则b________． 14．已知为等比数列的前 项和，且,则Sa 4aaa nS 3 8,S7..._______ nn6591115．已知数列中，， a11 ，则 a 16 ________a1anna2n16．已知 a[1,1]，不等式 x 2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，则 x 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 56分).17.（ 本 题 满 分 10分 ） 已 知a是 公 差 为3的 等 差 数 列 ,数 列b 满 足nn1b =1，b = ，a bbnb ,.12n n 1n 1n3（I ）求a 的通项公式；n（II ）求b 的前 n 项和.n- 2 -18．(本小题满分10分)已知函数f(x)ax24ax3.(1)当a1时，求关于x的不等式f(x)0的解集；(2)若对于任意的x R，均有不等式f(x)0成立，求实数a的取值范围．19．(本小题满分12分)已知ABC的周长为21，且sin B sin C2sin A.(1)求边BC的长；1(2)若ABC的面积为sin A，求角的大小．A620.(本小题满分12分)已知为数列的前项和，且Sa nn na2S a a n n Nn32(31,*)21n(1)求证：为等比数列；(2)求数列的前项和.a2n a n Sn n n21．(本小题满分12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)是增函数，且f(1)1.(1)若对于任意x[0,1]，总有4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数a的取值范围；- 3 -12 n(2)证明：2) 1.f ( ....2223n 1答案1B 2D 3A 4C 5C 6D 7D 8D 9A10C 11B 12C7113【答案】5 14答案：－15答案：16答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)823117.【答案】（I ） a3n1（II ）.n2 23n118.解：(1)当 a ＝－1时，不等式 ax 2－4ax －3>0，即－x 2＋4x －3>0.可化为 x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，解得 1<x <3， 故不等式 f (x )>0的解集为(1,3)．(2)①当 a ＝0时，不等式 ax 2－4ax －3≤0恒成立； ②当 a ≠0时，要使得不等式 ax 2－4ax －3≤0恒成立； 只需Error!即Error!3 解得Error!即－ ≤a <0，43综上所述，a 的取值范围为[，0].－ 419.解：(1)由正弦定理，得 AC ＋AB ＝ 2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝ 2＋1， ∴ 2BC ＋BC ＝ 2＋1，BC ＝1. 11(2)∵S △ABC ＝ AC ·AB ·sin A ＝ sin A ，2 6 1∴AC ·AB ＝ . 3又 AC ＋AB ＝ 2，由余弦定理，得 AC 2＋AB 2－BC 2 cos A ＝2AC ·ABAC ＋AB 2－2AC ·AB －BC 2 ＝2AC ·AB2 2－ －13 1 ＝ ＝ ， 2 23∴A＝60°.20.解：(1)由a n＋1＝3a n－2n可得a n＋1－2n＋1＝3a n－2n－2n＋1＝3a n－3·2n＝3(a n－2n)，- 4 -a n＋1－2n＋1即＝3.a n－2n又a2＝3a1－2，则S2＝a1＋a2＝4a1－2，得a2＋S2＝7a1－4＝31，得a1＝5，a n＋1－2n＋1∴a1－21＝3≠0，且＝3.a n－2n故{a n－2n}为等比数列．(2)由(1)可知a n－2n＝3n－1(a1－21)＝3n，故a n＝2n＋3n，21－2n31－3n3n＋1 7 ∴S n＝＋＝2n＋1＋－.1－2 1－3 2 221.解：(1)f(x)在上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，故1－f(x)≥0，当f(x)＝1时，不等式化为0·a＋1≥0，显然a∈R；当f(x)<1时，不等式化为4f2x－8f x＋5a≤对于x∈恒成立．4－4f x4f2x－8f x＋5设y＝4－4f x1＝1－f(x)＋≥1.4[1－f x]1 当且仅当f(x)＝时取等号，2∴y min＝1，从而a≤1，综上所述，a∈(－∞，1]．1 2 n(2)令T n＝＋＋…＋，①22 23 2n＋11 12 n－1 n 则T n＝＋＋…＋＋，②2 23 24 2n＋1 2n＋21 1 1 n 1 n ①－②化简得，T n＝＋＋…＋－＝1－－<1，2 22 2n2n＋1 2n2n＋1又由①知T n>0，∵f(x)在上是增函数，1 2 n( 2n＋1)<f(1)＝1.∴f＋＋…＋22 23- 5 -。

2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“x R，x22x 30”的否定为（）A ．x R，x22x 30B ．x R，x22x 302030C．，D．，x R2x02x030x R x2x002.计算机执行右边的程序后，输出的结果是（）a 2017b 2018a a bb a bPRINT a,bA．-2018,2017 B．-1,4035 C．1,2019 D．-1,2017x y2213.若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则实数m等于（）2m238A．2B．C．D．25234.命题“若x2y21，则x y 2”的逆否命题为（）A．若x y 2，则x2y21B．若x y 2，则x2y21C.若x y 2，则x2y21D．若x y 2，则x2y215. 某学校有小学生125人，初中生95人，为了调查学生身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为100的样本，则采取下面哪种方式较为恰当（）A．简单随机抽样B．系统抽样C.简单随机抽样或系统抽样D．分层抽样6.已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为（）111A ．（1,0）B ．C.D ．（0,1）( ,0)(0, ) 16167.设 aR ，则“ a 1”是“ a 2a 2 0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知事件 A 、 B ，命题 p ：若 A 、 B 是互斥事件，则 p (A ) p (B ) 1；命题 q ：p (A ) p (B )1 A B，则 、 是对立事件，则下列说法正确的是（）A ．p 是真命题B ．q 是真命题 C. p 或 q 是假命题D ． p 或 q是真命题9.某市对上下班交通情况做抽样调查，作出上下班时间各抽取 12辆机动车行驶时速（单位：km / h）的茎叶图（如下）：则上下班时间机动车行驶时速的中位数分别为（ ）A ．28与 28.5B ．29与 28.5C.28与 27.5D ．29与 27.5110.已知一组正数 ， ， ， 的方差为，则数据，xx x(16) xxs 2 x 2x 2x 2x 212 123 412344x22 32 x 42，，的平均数为（ ）xA ．2B ．3 C.4 D ．6xyB (2, 2)2211.如图，已知椭圆内有一点， 、是其左、右焦点，为椭圆上的1FFM1232 16动点，则的最小值为（ ）| MF |+ | MB |1A．42B．62 C.4 D．6212.已知a、b、c为集合A {1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a 5的概率是（）312A．B． C. D．101051 5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）x y2213.已知双曲线的方程为，则渐近线方程为．141214.用更相减损术可求得437与323的最大公约数为．15.已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线C上一点(m,2)(m 1)到焦5点的距离是，则抛物线的方程为．C216.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知甲每局获胜的概率位0.3，我们用模拟试验的方法来计算甲获胜的概率采用三局两胜（规定必须打完三局）.首先规定用数字0,1,2表示甲获胜，用3,4,5,6,7,8,9表示乙获胜，然后用计算机产生如下20组随机数（每组三个数）：945 860 314 217 569 780 361 582 120 948602 759 376 148 725 549 182 674 385 077根据以上数据可得甲获胜的概率近似为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 根除如下一个算法：第一步，输入x；第二步，若x 0，则y x21，否则执行第三步；第三步，若x 0，则y 1，否则y |x|；第四步，输出y.（1）画出该算法的程序框图；3（2）若输出y的值为1，求输入实数x的所有可能的取值.18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图：（2）求出y关于x的线性回归方程y b x a，并在坐标系中画出回归直线.nx y nx yi i（注：b1，）ia yb A xn2x nx2ii119. 已知直线l：y kx1（k R）和抛物线y24x.（1）若直线l与抛物线哟两个不同的公共点，求k的取值范围；（2）当k1时，直线l与抛物线相交于A、B两点，求|AB|的长.20. 设p：实数x满足x24ax3a30；q：实数x满足1x31.（1）若a1，且p q为真，求实数x的取值范围；（2）若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.（1）记事件A表示“a b2”，求事件A的概率；（2）在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求“事件x2y2(a b)2恒成立”的概率.4y x x x y y2222.设，是椭圆（）上的两点，若，A(x,y)220 B(x,y)221a b0121 2 1122a b b a3且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.e O2（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值.52017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文科）一、选择题1-5:DDBAD 6-10:CBBDC 11、12：BA二、填空题13.y3x14.19 15.y22x16.0.2三、解答题17.解：（1）程序框图为（2）由y x211得x2或x2（舍去），由y|x|1得x1或x1（舍去），由x0得y1.所以输入实数x的所有可能取值为2，-1,0.18.解：（1）三点图如图：44x 3.5y3.5（2）由表中数据得，，，，x y52.5x542 i iii1i2∴b0.7，∴a 1.05，∴y0.7x 1.05.回归直线如上图所示.6y kx1,19.解：（1）由得.k2x2(2k4)x10y4x,2(2k4)4k0k022，且，解得k1且k0.（2）k1时，设A(x,y)，所以B(x,y)，由（1）得x26x10，1122x x121|x x|6442126，，所以.x A x212所以|AB|1k2A|x x|2428.1220.解：（1）由x24ax3a20得(x3a)(x a)0，当a1时，1x3，即p为真实数x的取值范围是（1,3），由1x31，得2x4，即q为真实数x的取值范围是（2,4）若p q为真，则p真且q真.所以实数x的取值范围是（2,3）（2）由x24ax3a20得(x3a)(x a)0，p q p q q p是的充分不必要条件，即，且，设A{x|x24ax3a20}，B{x|x31或x31}，则A B，又A{x|x24ax3a20}{x|x a或x3a}，B{x|x31或x31}{x|x4x2}或，则0<a2，且3a4，4所以实数a的取值范围是[,2].321.解：（1）两次不放回抽取小球的所有基本事件为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,0)，12(1,2)1，，，，，，，，共12个，事件(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(2,0)(2,1)(2,2)A211122221包含的基本事件为，，，，共4个.(0,2)(0,2)(2,0)(2,0)121241所以.P(A)1237（2）记“ x 2 y 2 (a b )2 恒成立”为事件 B ， 则事件 B 等价于“ x 2y 24 ”.(x , y )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域{(x , y ) | 0 x 2,0 y 2, x , y R }，而事件 B 所构成的区域 B {(x , y ) | x 2y 24, x , y}，S 22P (B )1BS 224.22.解：（1）∵ 2b 2 ，所以b 1.c a 2 b 2 3 e a a2又，y2∴ a2 ， c3 ，椭圆的方程为x 2 1.4（2）由题意，设 AB 的方程为 y kx 3 ，y kx 322由2，整理得 ，(k 4)x 2 3kx1 0yx1242 3k1∴，.xxx x1221 22k4k4x xy y1k3k 321212x x kx kx x x x x(3)(3)(1)()02212121212b a4444k413k23k32即，解得.()()0k24k44k44228。

吉林省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（二）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对3．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．105．若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）6．双曲线3x2﹣y2=9的实轴长是（）A．2 B．2 C．4 D．47．对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为8．若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．410．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1） B．（，1）C．（，﹣1） D．（，1）12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞） B．[2，+∞）C．D．（1，2]二.填空题（每小题5分，满分20分）13．已知椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|•|PF2|=．14．若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．15．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为．16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）17．（10分）椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．18．（12分）在抛物线y=4x2上有一点P，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．19．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．20．（12分）双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．21．（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．22．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．参考答案一、单项选择题1．D．2．C．3．D．4．B5．C．6．A．7．C．8．A．9．C 10．C．11．A．12．D．二.填空题13．答案为：48．14．答案为：或．15．答案为216．答案为：．三.解答题17．解：因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以b=c，a=b，又焦点到同侧长轴端点距离为，即a﹣c=，即a﹣b=，解得a=，b=c=1，所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为：=1；当焦点在y轴时，椭圆的方程为=1．故答案为：．18．解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则d==，当t=时，d取得最小值，此时P（，1）为所求的点，最短距离为19．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，∵抛物线过点（，），∴6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线﹣=1过点（，），∴﹣=1．又a2+b2=c2=1，∴﹣=1．∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2﹣=1．20．解：由共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），可设椭圆方程为+=1，双曲线方程为﹣=1，点P（3，4）在椭圆上， +=1，解得a2=40，双曲线的过点P（3，4）的渐近线为y=x，故=，解得b2=16．所以椭圆方程为： +=1；双曲线方程为：﹣=1．21．解：（1）由得x2﹣4x﹣4b=0，①因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1．（2）由（1）可知b=﹣1，故方程①即为x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入x2=4y，得y=1．故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．22．解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．。

（上）高二年段期中考试卷理数试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一．选择题（每小题5分共60分）1．如图，为了测量隧道两口之间AB 的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是 （ ）. ,,. ,,. ,,. ,,A a b B a b C a b D aγαβαβ 2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,都有20x <B ．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b -<-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列,且12a =,则数列2{log }n a 是（ ）A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg 2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg 2的等比数列 5．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件6．等差数列{}n a 中,83,a a 是方程0532=--x x 的两个根,则此数列的前10项和=10S （ ）15A 30B 50C291215+D7．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（ ）A ．11{|}32x x -<<B ．11{|}32x x x <->或C ．{|32}x x -<<D ．{|32}x x x <->或8．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4(0)y x xx=+<B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<9．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于 （ ）A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m10．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得202=S ， 65,3643==S S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S 11.下列结论中正确的个数是( )①在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为等腰三角形②若等差数列的通项公式为421n a n =-，则5S 为最小值; ③当02x <<时，函数()(42)f x x x =-的最大值为2 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行A . 1B 2 C. 3 D 412．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设正项．．数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（ ）A ．4BC ．8D ．62二．填空题（每小题4分共20分）13．命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 __________ 14.已知不等式2-2-30x x <的整数解构成递增．．等差．．数列{}n a 前三项，则数列{}n a 的第四项为_______15.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222c a b ab =++，则∠C=____________16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.17．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为315N =，那么12N 的值为__________三．解答题18.（本题8分）已知命题p : 关于x 的方程10ax -=在[1,1]-上有解;命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围19.（本题12分）（1）已知两正数x,y 满足21x y +=，求xy 的最大值 （2）当(1,)x ∈+∞，不等式11x a x +≥-恒成立，求a 的取值范围20.（本题12分） △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若A ，B ，C 成等差数列，且2,AB AC ==，求△ABC 的面积；(2) 若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值21.（本题12分）已知递增．．的等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22.（本题12分）现在“汽车”是很“给力”的名词，汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n 和n 年累计．．维修费n S （万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点在2(0)y ax bx a =+≠的图象上（如图所示），其中(5,1.05)A 、(10,4.1)B（1）求出累计．．维修费n S 关于年数n 的表达式，并求出第10年的维修费 （2）汽车开始使用后，每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担，若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值 （年平均耗资费=+车价车主承担的维修费使用年数）23.（本题14分）（实验班）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .晋江二中2014-2015学年（上）高二年段期中考试卷理数试卷答题卡一．选择题（每小题5分共60分）二．填空题（每小题4分共20分）13._______________________________________________14.______________________ 15.____________________16.______________________ 17.______________________三.解答题（共70分）第18题第20题第22题一．选择题（每小题5分共60分 ） 二．填空题（每小题4分共20分）13 200x x m m +-=>若有实数根则 14. 3 15. 23π16. -2 17. 870 三、解答题 第18题.第20题解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 第22题第23题【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= (2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦。

2017-2018学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（4分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题3．（4分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M4．（4分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．185．（4分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．6．（4分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则7．（4分）已知数列{a n}满足…=（n∈N*），则a10=（）A．1026 B．1029 C．1032 D．10358．（4分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．（4分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}，且A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．[﹣）B．（）C．（]D．（）10．（4分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5 11．（4分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前55个圈中的●的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．1112．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为．14．（4分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值等于．16．（4分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）. 17．（10分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+3|＞|x﹣a|的解集包含[﹣1，0]，求实数a的取值范围．18．（10分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，=1.14，=1.732）（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）19．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．（12分）解关于x的不等式（a∈R）．附加题22．（20分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若c1=1，b n=c n+1﹣c n=，d n=求证：数列{b n•d n}的前n项和S n．2017-2018学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1．（4分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．2．（4分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题【解答】解：¬（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题．故选：C．3．（4分）与命题“若a∈M则b∉M”的等价的命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M C．若a∉M，则b∈M D．若b ∈M，则a∉M【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，知“若a∈M则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”，故选：D．4．（4分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：∵+=1，（x＞0，y＞0），则x+y=（x+y）（）=10+≥10+2=18，当且仅当即x=6，y=12时，等号成立．故x+y的最小值为18．故选：D．5．（4分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选：C．6．（4分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则【解答】解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab ＞b2，∴a2＞ab＞b2故对C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错故选：B．7．（4分）已知数列{a n}满足…=（n∈N*），则a10=（）A．1026 B．1029 C．1032 D．1035【解答】解：数列{a n}满足…=（n∈N*），∴n≥2时，…=，∴=，可得：lga n=3n+2，∴a n=103n+2．∴a10=1032．故选：C．8．（4分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．9．（4分）已知集合A={x|x2+2x﹣3≤0}，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}，且A⊊B，则实数a的取值范围是（）A．[﹣）B．（）C．（]D．（）【解答】解：∵集合A={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，a2+1≥2a，∴当a2+1=2a时，B={x|（x﹣2a）[x﹣（a2+1）]≤0}={x|2a≤x≤a2+1}，且A⊊B，∴，解得a．当a2+1=2a，即a=1时，B={2}，不满足A⊊B．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．故选：C．10．（4分）设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5【解答】解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选：A．11．（4分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前55个圈中的●的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．11【解答】解：将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○●，有3个圆；第三组：○○○●，有4个圆；…每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为s n=2+3+4+…+（n+1）=×n，令s n=55，解得n≈9.6，即包含9整组，故含有●的个数是9个，故选：B．12．（4分）在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．【解答】解：△ABC中，，设A、B、C所对边分别为a，b，c，则c•b•cosA=a=8①；所以△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2﹣2bc•cosA=a2=64②，由①②消掉cosA得b2+c2=80，所以b2+c2≥2bc，bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号，所以S=≤=8，△ABC所以△ABC面积的最大值为8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．（4分）关于x的不等式﹣x2+3x+10＞0的解集为{x|﹣2＜x＜5} ．【解答】解：不等式﹣x2+3x+10＞0化为x2﹣3x﹣10＜0，即（x+2）（x﹣5）＜0，解得﹣2＜x＜5，∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．14．（4分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值等于．【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==×≥．故答案为：．16．（4分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．【解答】解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）.17．（10分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+3|＞|x﹣a|的解集包含[﹣1，0]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，当且仅当﹣3≤x≤1时取等号，故m≥4，即t=4．…（5分）（Ⅱ）x∈[﹣1，0]．则x﹣1＜0．x+3＞0．由已知得1﹣x+x+3＞|x﹣a|在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴x﹣4＜a＜x+4在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴﹣4＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣4，3）…（10分）18．（10分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，=1.14，=1.732）（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）【解答】解：（1）过B作BD⊥AC 于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，所以cos∠ACB=0.87；（2）在Rt△ABD中BD=AB•sin∠BAD=40×=20（海里），在Rt△BCD中，BC===40（海里）∴海监船B需要=1.3小时，答：海监船B赶往C处最少需要1.3小时．19．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，21．（12分）解关于x的不等式（a∈R）．【解答】解：显然当a=0时，原不等式是不成立的．当a≠0时原不等式可化为，即，等价于[（a﹣1）x﹣（2a﹣1）]（x﹣1）＞0（*），当a=1时，（*）式可转化为﹣（x﹣1）＞0，即x﹣1＜0，即x＜1．当a＞1时，（*）式可转化为．当a＜1时，（*）式可转化为．又当a≠1时，，所以当a＞1或a＜0时，；当a=0时，；当0＜a＜1时，．综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜1或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＜0时，原不等式的解集为．附加题22．（20分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n﹣n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若c1=1，b n=c n+1﹣c n=，d n=求证：数列{b n•d n}的前n项和S n．+A（n+1）+B=2（a n+An+B）【解答】解：（1）此时我们不妨设a n+1=2a n+An﹣A+B与已知条件式比较系数得A=﹣1，B=0．即a n+1∴a n﹣（n+1）=2（a n﹣n）又a1﹣1=2，+1∴{a n﹣n}是首项为2，公比为2的等比数列．∴．（2）证明：由（1）知，∴．当n≥2时，c n=c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（c n﹣c n﹣1）=1+b1+b2+…+b n﹣1=+…+==2﹣．当n=1时，c1=1也适合上式，所以，故．2n+1﹣2≥2n，2n+1﹣1≥3，∴，∴．。

吉林省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（四）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．3．设0＜a＜1，m=log a（a2+1），n=log a（a+1），p=log a（2a），则m，n，p的大小关系是（）A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n4．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}，满足a3=b3，2b3﹣b2b4=0，则{a n}前5项的和S5为（）A．5 B．20 C．10 D．405．己知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的自然数n（）A．有最大值15 B．有最小值15 C．有最大值31 D．有最小值316．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）A．80 B．90 C．120 D．1307．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．168．在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（）A．B．C．D．或9．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．403210．已知a，b，m，n，x，y都是正实数，且a＜b，又知a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有（）A．m＞n，x＞y B．m＞n，x＜y C．m＜n，x＞y D．m＜n，x＜y11．已知二次函数f（x）=cx2﹣4x+a+1的值域是[1，+∞），则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．412．若a＞l，设函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，函数g（x）=log a x+x﹣4的零点为n，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）13．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是．14．已知正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，那么a7•a14的最大值为．15．若等差数列{a n}各项均为正，且a3a5+a3a8+a5a10+a8a10=64，则S12=．16．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n（n∈N+）．若﹣1不等式对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为．三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20分，共76分，请写必要的解答过程）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，，，1+2cos（B+C）=0，求：（1）角A的大小；（2）边BC上的高．18．已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．（1）求实数m．（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足：a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，f（n）=（n∈N*），求f（n）的最大值．21．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S n和S n+1满足等式，（Ⅰ）求S2的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅳ）设，求证：．[附加题]（共1小题，满分20分）22．已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=a n+n﹣4，b n=（﹣1）n（a n﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）证明：当λ≠﹣18时，数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）设S n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S n＞﹣12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．A 2．D 3．D 4．C 5．D．6．C．7．C．8．A．9．D．10．B．11．C．12．A．二、填空题13．解：x≥0时：﹣x2+x+2＜0，解得：x＞2或x＜﹣1（舍）；x＜0时：﹣x2﹣x+2＜0，解得：x＞1（舍）或x＜﹣2；故答案为：{x|x＜﹣2或x＞2}．14．解：∵正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，∴∴a7+a14=10∴=25故答案为：2515．解：a3a5+a3a8+a5a10+a8a10=（a3a5+a3a8）+（a5a10+a8a10）=a3（a5+a8）+a10（a5+a8）=（a5+a8）（a3+a10）=64，∵{a n}为等差数列，故a3+a10=a5+a8，故，又∵a n＞0，故a5+a8=8，∴S12=（a1+a12）+（a2+a11）+…+（a6+a7）=6（a5+a8）=48．故答案为：48．16．解：∵数列{a n}是各项均不为0的等差数列，=（2n﹣1）a n，∴a n2=S2n﹣1∴a n=2n﹣1，∵，∴λ≤（1+）（2n+1）恒成立，易知n取2，4，6时，（1+）（2n+1）＜0，当n=2时，（1+）（2n+1）=﹣15，当n=4时，（1+）（2n+1）=﹣9，当n=6时，（1+）（2n+1）=﹣，故λ≤﹣15，故答案为：﹣15．三、解答题17．解：（1）由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=π所以cosA=，sinA=，A=（2）由正弦定理得：sinB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜．从而cosB==由上述结果知B=，C=，sinC=sin（A+B）=sin（），设边BC上的高为h则有h=bsinC=sin（）==．18．解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得[++]•[++]≥．∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．19．解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．20．解：（Ⅰ）∵数列a n}是等差数列，∴a2•a3=45，a1+a4=a2+a3=14．∴．∵公差d＞0，∴，解得d=4，a1=1．∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．（Ⅱ）∵，∴=2n，∴f（n）==．当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．21．解：（I）∵，当n=1时，S2=2S1+2=2a1+2=8故S2=8证明：（II）∵∴=+1，即﹣=1又由=a1=3，故是以3为首项，以1为公差的等差数列（III）由（II）可知，=n+2∴∴当n=1时，a1=3=2n+1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1经检验，当n=1时也成立∴a n=2n+1（n∈N*）∴解得：．（Ⅳ）∵∴=．22．解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数 ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a2，即（）2=2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）证明：∵=．λ≠﹣18，∴b1=﹣（λ+18）≠0．由上式知，∴，故当λ≠﹣18，时，数列{b n }是以﹣（λ+18）为首项，为公比的等比数列．（Ⅲ）当λ≠﹣18时，由（Ⅱ）得，于是，当λ=﹣18时，b n =0，从而S n =0．上式仍成立． 要使对任意正整数n ，都有S n ＞﹣12．即．令当n 为正奇数时，当n 为正偶数时，，∴．于是可得．综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n ＞﹣12；λ的取值范围为（﹣∞，﹣6）．。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

一、选择题（每小题4分，共48分，每题只有一项是符合要求的）1.若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题，则必有 ( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假D ．p 假q 真2.已知满足：，，则BC 的长 （ ）A.2B.1C.1或2D.无解3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．2604.如果,那么下列不等式成立的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N *)，则f (n )等于 （ ）A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1) 6.目标函数，变量满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．B ．无最小值C ．无最大值D ．既无最大值，也无最小值7．若关于的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．8.1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于 （ ）A.n (n ＋1)2 B ．－n (n ＋1)2 C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2 D ．(－1)n n (n ＋1)29.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后A ．10 mB ．30 mC ．10 3 mD ．10 6 m11.甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有 ( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定12．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3二、填空题 （每小题4分，共16分．将最简答案填在答题纸相应位置）13．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中真命题的个数有________个．14.已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．15.记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为,若直线与公共点,则的取值范围是______.16.如图中,已知点D 在BC 边上,ADAC,sin 3BAC AB AD ∠===则的长为_______________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).17. （本小题10分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .18. （本小题10分）已知函数=.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范围.19. （本小题12分）某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船进行捕捞，第一年需要各种费用万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加万元，该船每年捕捞的总收入为万元. （1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：○1当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出； ○2当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.20. （本小题12分）解关于的不等式：.21. （本小题12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在常数λ，使得不等式(－1)n λ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．22. (附加题，本小题20分）设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p≤T1＋T2＋T3＋…＋T n＜q成立，试求q－p的最小值．参考答案：三、解答题17．解：解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 又0°<B <180°，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.18、【解析】(1)当时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥ 或或 或(2)原命题在上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在上恒成立在上恒成立19、20、解：（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；（2）当a≠0时，原不等式可化为a（x-1）<0，①若a<0，则原不等式可化为（x-1）>0，由于<0，则有<1，故解得x<或x>1；②若a>0，则原不等式可化为（x-1）<0，则有ⅰ.当a>1时，则有<1，故解得<x<1；ⅱ.当a=1时，则有=1，故此时不等式无解；ⅲ.当0<a<1时，则有>1，故解得1<x<.综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a=1时，解集为；当a>1时，解集为{x|<x<1}.21解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，因为a1＝1适合通项公式a n＝2n－1.所以a n＝2n－1(n∈N＋)．(2)证明因为b n＋1－2b n＝8a n，所以b n＋1－2b n＝2n＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为b 121＝1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以b n ＝(2n －1)·2n .(3)存在常数λ使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．因为T n ＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ①.(ⅰ)当n 为奇数时，(－1)λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＞－1－T n －6T n ＋1－6，即λ＞－32＋12n －1.所以当n ＝1时，－32＋12n －1的最大值为－12，所以只需λ＞－12.(ⅱ)当n 为偶数时，λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＜32－12n －1，所以当n ＝2时，32－12n －1的最小值为76， 所以只需λ＜76.由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－12＜λ＜76，使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．22. (1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ， ∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3， ∴b 1＝－1；(3分)(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①， ∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②， ②－①得b n ＋3＝b n ，(5分)∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列．(7分)(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 2…b n (*)， 当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式 ∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)． (9分) ∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )(n ∈N *)是等比数列， 首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，(12分)记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ， ①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k ) ＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34k 1－34＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34k ，∴34≤S n ＜3；(15分) ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝⎛⎭⎫34k ∴0≤S n ＜3；(16分) ③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34k －12⎝⎛⎭⎫34k －1－⎝⎛⎭⎫34k ＝3－143·⎝⎛⎭⎫34k，∴－12≤S n ＜3.(18分)综上得－12≤S n ＜3则p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.(20分)。