上海立信会计学院_(本科)《微积分》练习六答案

第一章 函数极限与连续之吉白夕凡创作一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xx x f +=13arcsin)(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

（本科）《微积分》第十章 练习一、填空题1．微分方程02'=-xy y 的通解是 2x Ce y =（C 为任意常数）2．微分方程xy y ='的通解是 Cx y =（C 为任意常数） 3． 二、单项选择题1．微分方程02=-dx ydy 的通解是_______________ AA .c x y =-2B .c x y =-C .c x y +=D .c x y +-=2．2x y =是微分方程y xy 2'=的_______________ CA .通解B .满足21==x y 的特解C .满足11==x y 的特解D .不是方程的解3．微分方程y y ='满足初始条件20==x y 的特解是___________ CA .1+=x e yB .2+=x e yC .xe y 2= D .其它4．下列函数中为微分方程0=+ydy xdx 的通解是 BA .c y x =+B .c y x =+22C .0=+y cxD .022=+y cx5．微分方程y y ='满足初始条件1)0(=y 的特解为___________ AA .x eB .1-x eC .1+x eD .x e -2 6．方程01=-y xdx dy 的通解为=y D A .x c B .x c + C .c x+1 D .cx 7．方程0')1(2=--xy y x 的通解是 C A .21x c y -⋅= B .21x cy -= C .221x cxe y -= D .cx x y +-=321 8．下列微分方程中，一阶线性微分方程是 D A .1'2=+x y y B .x e xy xy =+2' C .x xy y sin '2=+ D .x x x y y x cos sin '32+=+9．微分方程0)"()'(432=++xy y y y 的阶是 BA .1B .2C .3D .410．下列微分方程中，属于可分离变量微分方程的是 CA .0)sin(=+ydy dx xy xB .)ln('y x y +=C .y x dx dy sin =D .21'y e y xy x =+ 11．方程02'=-y y 的通解是 CA .x y 2sin =B .x e y 24=C .x Ce y 2=D .x e y =12．按照微分方程的通解定义，x y sin "=的通解是 AA .21sin C x C x ++-B .21sinC C x ++- C .21sin C x C x ++D .21sin C C x ++13．微分方程dx x dy y sin cos =的通解是 BA .C y x =+cos sinB .C y x =+sin cos C .C y x =-sin cosD .C x y =-sin cos14．下列微分方程中可分离变量的是 CA .x e x y dx dy =+B .))((b y a x k dx dy --=C .x y dxdy =-sin D .x e y xy y 2'=+ 15．微分方程)sin("x y -=的通解是 CA .)sin(x y -=B .)sin(x y --=C .21)sin(c x c x y ++--=D .21)sin(c x c x y ++-=16．微分方程0'=-y y 满足2|0==x y 的特解是___________ BA .1+=x e yB .x e y 2=C .1+=-x e yD .x e y -=217．微分方程0)1()1(22=+++dx y dy x 的通解是 AA .c y x =+arctan arctanB .c y x =+tan tanC .c y x =+ln lnD .c y x =+cot cot18．在下列函数中， 是微分方程0'=+y y 的解 BA .x eB .x e -C .x x e e -+D .x e -19．微分方程03'4"=++y y y 的通解是 AA .x x e c e c y 321--+=B .x x e c e c y 321-+=C .x x e c e c y 321+=-D .x x e c e c y 321+=20．微分方程1"')'("54=-+y y y x y x 的阶数是 CA .5B .4C .3D .221．微分方程02332=+dx x dy y 的阶数是 AA .1B .2C .3D .022．微分方程x e y -="的通解为=y CA .x e-- B .x e - C .21c x c e x ++- D .21c x c e x ++--23．在下列函数中， 是微分方程012'7"=+-y y y 的解 C A .3x B .2x C .x e 3 D .x e2 24．在下列函数中， 是微分方程0)1(21=+-y dx dy 的解 D A .12+=x y B .2)1(+=x y C .12+=y x D .2)1(+=y x25．微分方程xy x y dx dy tan +=的通解为 A A .cx x y =sin B .cx x y 1sin = C .cx y x =sin D .cxy x 1sin = 26．在下列函数中， 是微分方程02=-xdx dy 的解 BA .x y 2=B .2x y =C .x y 2-=D .2x y -=27．微分方程ydy x xdx y ln ln =满足1|1==x y 的特解是___________ CA .0ln ln 22=+y xB .1ln ln 22=+y xC .y x 22ln ln =D .1ln ln 22+=y x28．微分方程1'=-y y 的通解是___________ CA .x ce y =B .1+=x ce yC .1-=x ce yD .xe c y )1(+=29．在下列函数中，能够是微分方程0"=+y y 的解的函数是 CA .1=yB .x y =C .x y sin =D .x e y = 30．微分方程323'y y =的一个特解是___________ BA .13+=x yB .3)2(+=x yC .2)(c x y +=D .3)1(+=x c y31．微分方程⎩⎨⎧==+=0|3'1x y y xy 的解是___________ A A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 113 B .)1(3x y -= C .x y 11-= D .x y -=132．在下列函数中， 是微分方程g t s -=)("的解 CA .gt s -=B .2gt s -=C .221gt s -=D .221gt s = 33．微分方程1""'52=--x y x y 的通解中应含有独立常数个数为 BA .2B .3C .4D .534．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解 CA .0'=+y yB .02'=+y yC .0"=+y yD .x y y cos "=+三、计算题1．求微分方程0)()(22=-++dy y x y dx x xy 的通解2．求微分方程31'x y xy +=-的通解 cx x y ++-=3211 3．求微分方程x e y dxdy -=+的通解 )(c x e y x +=-（c 为任意常数） 4．求微分方程011=+-+dy xy dx y x 满足1)0(=y 的特解 05)(3)(22233=+-+-y x y x5．求微分方程)1(122-+=x y y dx dy 的通解 1)1(12+-=+x x c y （c 为非零常数） 6．求微分方程dx dx e xdy y =--满足初始条件0|1==x y 的特解 )12ln(-=x y7．求微分方程0'=-+x e y xy 的通解 )(1c e xy x += 8．求微分方程)1(822x e y y y +=+'-''的通解。

教材习题参考答案习题一答案(A)1. 求下列函数的定义域： (1) 22-+=x x y ; (2) )sin(x y =;(3) 2)1lg(--=x x y ; (4)22114xx y -+-=; (5) xxx y -++-=11lg21)1arcsin(; (6) ⎩⎨⎧><+=)0(ln )0(12x xx x y . 【解】(1) 022≥-+x x21-≤≥x x 或∴定义域为),1[]2,(+∞--∞ .(2) ⎩⎨⎧≥≥00)sin(x xπππ+≤≤k x k 22∴定义域为{},1,0,)12(42222=+≤≤k k x k x ππ.(3) ⎩⎨⎧≠->-0201x x21≠>x x 且∴定义域为),2()2,1(+∞ .(4) ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-010422x x⎩⎨⎧±≠≤≤-122x x ∴定义域为]2,1()1,1()1,2[ ---.(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-+≤-≤-01011111x x x x ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-≤≤11120x x x ∴定义域为)1,0[. (6) 定义域为),0()0,(+∞-∞ . 2．已知23)(2-+=x x x f ,求)1(,1),(),1(),1(),0(+⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f x f f f f .【解】 2200)0(2-=-+=f2231)1(2=-+=f 423)1()1(2-=---=-f232)(3)()(22--=--+-=-x x x x x f231)1(2-+=xx x f 252)1(3)1()1(22++=-+++=+x x x x x f3．已知⎩⎨⎧≥<+=1ln 113)(x x x x x f ,求)2(),1(),0(f f f .【解】 1103)0(=+⨯=f01ln )1(==f 2ln )2(=f4. 讨论下列函数的单调性（指出其单调增加区间和单调减少区间） (1) x x y ln +=; (2) xe y =; (3)24x x -.【解】（1）定义域为),0(+∞，任取),0(,21+∞∈x x ，不妨设210x x <<，0)ln (ln ln ln 1212112212>-+-=--+=-x x x x x x x x y y故函数在定义域内为单调增函数，单调增加区间为),0(+∞. (2) 定义域为实数R, 任取R x x ∈21,，当021<<x x 时，21x x >，021>-x x ee ，函数为单调减函数；当210x x <<时，21x x <，021<-x x ee ，函数为单调增函数.故单调减少区间为)0,(-∞,单调增加区间为),0(+∞. (3) 定义域为[]4,0，4)2(422+--=-=x x x y当20≤≤x 时，2)2(--x 为增函数，4)2(2+--x 也为增函数，当42≤≤x 时，2)2(--x 为减函数，4)2(2+--x 也为减函数.故单调增加区间为]2,0[,单调减少区间为]4,2[.5. 判别下列函数中哪些是奇函数,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数.（1）2x e y -=; (2）x x y sin 2=; （3）242x x y -=; （4）2x x y -=;（5）x x y cos sin -=; （6）x xy +-=11lg; （7）)1ln(2x x y -+=; （8）x xxy cos sin +=;（9）xx xx e e e e y ---+=; （10）⎩⎨⎧≥+<-=0101x x x x y . 【解】（1）定义域为实数R,)()(22)(x y e e x y x x ===----，故函数为偶函数.(2）定义域为实数R,)(sin )sin()()(22x y x x x x x y -=-=--=-，故为奇函数.（3）定义域为实数R,)(2)(2)()(2424x y x x x x x y =-=---=-，故函数为偶函数.（4）定义域为实数R,函数2x x y -=为非奇非偶函数. （5）非奇非偶函数 （6）定义域为011>+-xx，0)1)(1(>+-x x ，即11<<-x ， 01lg 11lg 11lg )()(==+-+-+=+-xxx x x y x y ，即)()(y x y x -=-，故函数为奇函数. （7）定义域为实数R,01ln )1ln()1ln()()(22==-+++=+-x x x x x y x y ，)()(y x y x -=-，故函数为奇函数.（8）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)(cos sin )cos()sin()(x y x xxx x x x y =+=-+--=-，故函数为偶函数.（9）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)()(x y ee e e e e e e x y xx xx x x x x -=-+-=-+=-----，故函数为奇函数. （10）)(01010101)(x y x xx xx x x x x y =⎩⎨⎧>+≤-=⎩⎨⎧≥--<-+=-，故函数为偶函数.6. 设)(x f 在),(+∞-∞内有定义,证明：)()(x f x f -+为偶函数,而)()(x f x f --为奇函数.【证明】 令)()()(x f x f x g -+=，)()()(x f x f x h --=，)()()()(x g x f x f x g =+-=-，)(x g 为偶函数， )()()()(x h x f x f x h -=--=-，)(x h 为奇函数.7. 判断下列函数是否为周期函数,如果是周期函数,求其周期： （1）x x y cos sin +=; （2）x x y cos =; （3）)32sin(+=x y ; （4）x y 2sin =; （5）x y 2sin 1+=; （6）xy 1cos=. 【解】（1）)cos 22sin 22(2x x y +=)4sin(2π+=x 故函数周期为π2.（2）无周期 （3）周期为ππ==22T（4）22cos 1sin 2xx y -==，周期为ππ==22T（5）周期为2/π=T .（6）无周期8. 讨论下列函数是否有界：（1）221xx y +=; （2）2x e y -=; （3）x y 1sin=; （4）x y -=11; （5）xx y 1cos =.【解】（1）1122≤+=x x y ，故函数有界.（2）02≥x ,02≤-x ,102≤<-x e ,故函数有界.（3）11sin≤x，函数有界. （4）xy -=11无界. （5）xx y 1cos =无界.9. 设21)(x x x f -=,求)(cos x f .【解】x x x x x f cos sin cos 1cos )(cos 2=-=10. 已知⎩⎨⎧>-≤+=012)(2x x x x x f ,求)1(+x f 及)()(x f x f -+.【解】⎩⎨⎧->-≤++=⎩⎨⎧>+-+≤+++=+1132011)1(012)1()1(22x xx x x x x x x x f⎩⎨⎧<--≥+=-0102)(2x x x x x f ⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+-=-+01041)()(22x x x x x x x x f x f 11．已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ. 【解】 x x x f 2sin )2(sin )]([3-=ϕ，)(2sin )]([3x x x f -=ϕ 12．(1) 已知 2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求)(x f . (2)已知2ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ,求)(x ϕ.【解】(1) 2)1(12-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ,2)(2-=∴x x f (2)令12-=x t ，11ln)(-+=t t t f ，xx x x f ln 1)(1)(ln ))((=-+=ϕϕϕ，x x x x =-+=-+1)(211)(1)(ϕϕϕ11112)(-+=+-=x x x x ϕ13. 在下列各题中,求由给定函数复合而成的复合函数,并确定定义域： （1）21,x u u y +==； （2）2,ln ,4xv v u u y ===；（3）x v v u u y 21,sin ,3+===;（4）222,tan ,arctan x a v v u u y +===. 【解】（1）21x y +=，),(+∞-∞∈x （2）2ln4x y =,由02>x，),0(+∞∈x（3）)21(sin 3x y +=，),(+∞-∞∈x（4）)](arctan[tan 222x a y +=，由2/)(22ππ+≠+k x a ，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-+≠∈Z R k a k x x x ,2,22ππ14. 指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）x y alog =; （2）x e y -=arctan ;（3）x y 2sin ln =; （4）⎪⎭⎫⎝⎛-=2212arcsin x x y . 【解】（1）x y a log =，x u = （2）u y arctan =，v e u =，x v -=（3）u y ln =，2v u =，x v sin = （4）2u y =，v u arcsin =，212x xv -=15. 求下列反函数及反函数的定义域： （1）)31ln(x y -=,)0,(-∞=f D ； （2）29x y -=,]3,0[=f D ;（3）22-+=x x y ,),2()2,(+∞-∞= f D ; （4）2xx e e y --=,),(+∞-∞=f D ;（5）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21)2(210122x x x x y . 【解】（1）由)31ln(x y -=解得3/)1(ye x -=,故反函数为)1(31x e y -=,),0(1+∞=-f D （2）由29x y -=解得29y x -=，故反函数为29x y -=,]3,0[1=-f D（3）由22-+=x x y 解得1)1(2-+=y y x ,故反函数1)1(2-+=x x y ,),1()1,(1+∞-∞=- f D （4）由2x x e e y --=同乘解得x e 解得12++=y y e x ,故反函数为)1ln(2++=x x y ,),(1+∞-∞=-f D（5）可解得⎩⎨⎧≤<--≤<-+=2122112/)1(y yy y x故反函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<-+=212211)1(21x x x x y ,]2,1(1-=-f D16. 某玩具厂每天生产60个玩具的成本为300元,每天生产80个玩具的成本为340元,求其线性成本函数,并求每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本.【解】 设玩具的线性成本函数为bx a x C +=)(，则有⎩⎨⎧+=+=b a b a 8034060300 解得⎩⎨⎧==2180b a ，所以x x C 2180)(+= 故固定成本为180(元/每天),可变成本为2(元/每个).17. 某公司全年需购某商品2000台,每台购进价为5000元,分若干批进货.每批进货台数相同,一批商品售完后马上进下一批.每进货一次需消耗费用1000元,商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半）,该商品每年每台库存费为进货价格的%4.试将公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数.【解】 设批量为x ，投资总额为y ，则x xy 1001021067+⨯+= 18. 某饲料厂日产量最多为m 吨,已知固定成本为a 元,每多生产1吨饲料,成本增加k 元.若每吨化肥的售价为p 元,试写出利润与产量x 的函数关系式.【解】 设利润为)(x L ，则a x k p x L --=)()( (元) ,],0[m x ∈ 19. 生产某种产品,固定成本为3万元,每多生产1百台,成本增加1万元,已知需求函数为p Q 210-=（其中p 表示产品的价格,Q 表示需求量）,假设产销平衡,试写出：（1）成本函数；（2）收入函数；（3）利润函数.【解】 (1) 3)(+=Q Q C (万元)(2) 2215)10(21)(Q Q Q Q P Q Q R -=⋅--=⋅= (万元) (3) 3421)()()(2-+-=-=Q Q Q C Q R Q L (万元)20. 某酒店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来,试问租金定为多少时,酒店房租收入最大？收入多少元？这时酒店将空出多少套高级客房？【解】 设每套资金为x 元，酒店房租总收入为y 元，则有16000)400(101)1020060(2+--=--=x x x y ，故400=x 元/套,收入最大，为16000元, 这时酒店将空出20套高级客房.（B ）1. 设x x f x x f =-⎪⎭⎫⎝⎛-+)(212212,求)(x f .【解】 令2212-+=x x t ，得2212-+=t t x ，有2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t t t f t f ,即2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x f x f 又()x x f x x f =--+21)2212(，可解得())1(3)1(22-++=x x x x f 2. 设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l -上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.【证明】 设)(1x f 和)(2x f 为偶函数，)(1x g 和)(2x g 为奇函数， （1）设)()()(21x f x f x f +=)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-故)(x f 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x g +=)()()()()()(2121x g x g x g x g x g x g -=--=-+-=-故)(x g 为奇函数，得证. （2）设)()()(21x f x f x h ⋅=)()()()()()(2121x h x f x f x f x f x h =⋅=-⋅-=-故)(x h 为偶函数，得证.设)()()(21x g x g x I ⋅=[][])()()()()()(2121x I x g x g x g x g x I =-⋅-=-⋅-=-故)(x I 为偶函数，得证. 设)()()(11x g x f x J ⋅=[])()()()()()(1111x J x g x f x g x f x J -=-⋅=-⋅-=-故)(x J 为奇函数，得证.3. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上单调增加,试证函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.【证明】 设D x x ∈<21,[][][][]0)()()()()()()()(12121122>+-+=+-+x g x g x f x f x g x f x g x f∴函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.4. 设函数)(x f 在区间],[b a 和],[c b 上单调增加,试证)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.【证明】 设[]c a x x ,21∈<,若c x x ≤<21，由题意有)()(12x f x f >， 若21x x b <≤，由题意有)()(12x f x f >， 若21x b x <≤，则)()()(12x f b f x f ≥>， 若21x b x ≤<，则)()()(12x f b f x f >≥，综上，)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.5. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上有界,试证函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上也有界.【证明】 由题)(x f 和)(x g 在D 上有界，即对D x ∈∀，0,021>>∃M M ，有1)(M x f ≤,2)(M x g ≤,则21)()(M M x g x f +≤+,21)()(M M x g x f ⋅≤⋅即函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上有界. 6. 证明函数x x y sin =在),0(+∞上无界.【证明】 对任意0>M ，都存在02,]x M M π∈+（，使得1sin 0=x ，则M x x x >=000sin ，即函数x x y sin =在),0(+∞上无界.7. 设)(x f 为定义在),(l l -的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.【证明】 设)0,(21l x x -∈<，则),0(12l x x ∈-<-，)()()()()()(211212x f x f x f x f x f x f ---=-+--=- )(x f 在),0(l 内单调增加,∴0)()(12>-x f x f ，∴)(x f 在)0,(l -内也单调增加.8. 已知函数)(x f 满足如下方程：0,)1()(≠=+x xcx bf x af其中c b a ,,为常数,且b a ≠,求)(x f ,并讨论)(x f 的奇偶性.【解】 由已知，xc x bf x af =+)1()(， 令x t 1=，则有ct t bf t af =+)()1(，即cx x bf xaf =+)()1( 可解得)()(22xabx a b c x f --= ， 而)()(x f x f -=-,故)(x f 是奇函数.三 教材习题选解或提示1.观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值： （5）1sinn u nnπ=解：1231111sin ,sin ,222336sin 0,u u u πππ======，数列{}nu 收敛，1sin 0lim lim n n n u n n π→∞→∞== （7）(1)3nn u -=解：123411,3,,3,33u u u u ====，数列{}nu 发散．（8）1cos n u n nπ=解：12341111,,,,234u u u u =-==-=，数列{}nu 收敛，1cos 0lim lim n n n u n n π→∞→∞== 2.利用数列极限的分析定义证明下列极限：（4）17lim n n→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭证明：0ε∀>，不妨设1ε<，取71log 1N ε⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=，则当n N >时，有11077n N n u ε-=<<，所以107lim n n→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.求下列数列极限：（5）22211111123lim n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：222132411111111223323lim lim n n n n n nn →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12lim n n n →+∞+= 12= （7）(sinsin limn →+∞-解：(cos 22sinsin 2sinlimlimn n →+∞→+∞-=1cos22sinlimn →+∞=0=(8) ()121234limn n n n →+∞+++解：()112123123441444limlim n n n n nnn n n→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1231144412344412341444lim n n n n n n n n n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭44e ==（9）()11112231lim n n n →+∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪⋅⋅+⎝⎭ 解：()1111111141122312231lim lim n n n n n n →+∞→+∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥+++=-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭111lim n n →+∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1=7.求下列函数的极限： （7）(lim x x →∞解：((2limlim x x xx x x →∞→∞⎛- =1limx →∞=0=（10）lim x →+∞解：当01a <<时，1lim x →+∞=-=当1a >时，limlimxx→+∞→+∞==8.求下列函数的极限：（2）11lim1--→nmx xx解：()()()()1111111111lim limmmn nx xx x xxx x x x--→→-+++-=--+++mn=（3）11lim31--→xxx解：))111x x→→=23=（10）211limnxx x x nx→+++--解：211limnxx x x nx→+++--()()()()()21 111111111lim limnn x xx x xx x xx-→→-++++-⎡⎤==+++++++⎣⎦-()1122n nn+=+++=9.求下列各题中的常数a 和b ：（2）2151lim x x bx ax →++=-解：()()221111lim lim x x x bx ax bx a x x →→++++=--()211101lim lim x x x bx ax x →→++=-=-10a b ∴++=，即 1b a =--又 ()2211111lim lim x x x a x a x bx ax x →→-++++=--()()()2111111lim lim x x x x a x bx ax x x →→--++=-=--15a =-=故 6,7a b == 10.求下列函数极限： （7）x →解：30limx x →()3tan 1cos 2lim x x x x →-= 2301122lim x x x x →⋅= 14= 12.求下列函数极限：（1）612sin sin 6limx xx ππ→-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解： 令 ,,066t x x t ππ=-→→原式=012sin 6sin limt t t π→⎛⎫-+ ⎪⎝⎭000cos 1221cos lim lim lim t t t t t t t t →→→⎤-+⎥-⎛⎣⎦==+ ⎝= （B ） 3.设数列{}n u1,2,,n u -+证明：lim n nu →+∞存在，并求此极限值． 证明：首先证{}n u 单调增加．21u u =>=；设1n n u u ->，则1n n u u +=>=，由数学归纳法可知，{}nu 单调增加． 其次，证{}n u 有界．由 n u =<可得，2n u <，1n ≥．即{}n u 有上界．因此，由极限存在性定理可知，lim n n u →+∞存在，设lim n n u θ→+∞=，由n u =，两边求极限，得2a θθ=+，故 2θ=或者1θ=-．由于0θ>，所以2lim n n u θ→+∞==．4.讨论函数()21lim nx nx n x x e f x e→+∞+=+的连续性，若有间断点，判别其类型．解：0x >时，()22211lim lim nn x x n n xx n n x x e x e x f x x ee --→+∞→+∞++===++ 0x <时，()21lim nxn x n x x e f x x e→+∞+==+ 综上：()2,,00x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩<>5.设()()1ln lim t t t f x e x t →+∞=+ ()0x > ，讨论()f x 的连续性解：当0x e <<时，()11ln 1ln 1lim lim limt t t t tt t t x x e t t t e x t tt⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+++=当x e >时，()11ln ln 1ln ln lim lim limt t t t t t t t e e x t x x x e x x t tt⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+++=当x e =时，()11ln 2ln lim lim t t tt t e e x t t →+∞→+∞=+= 综上：()1,0ln ,x ef x x x e ⎧=⎨⎩<≤> ，()f x 在(),-∞+∞上连续．9.设()f x 在上连续，12a x x b <<<，且1k 与2k 是任意正常数，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()112212k f x k f x f k k ξ+=+证明：令()()112212()()k f x k f x F x f x k k +=-+()F x 在(),a b 上连续，()()211212()k F x f x f x k k ⎡⎤-⎣⎦=+ ()()122112()k F x f x f x k k ⎡⎤-⎣⎦=+ 若()()12f x f x = ，则12()()F x F x =0=，即1x 和2x 为所求．若()12()f x f x ≠ ，则12()()0F x F x ⋅<，由零值定理可知，至少存在一点12,()(,)x x a b ξ∈⊂，使得()F ξ0=，即()()112212()k f x k f x f k k ξ+=+．(三)教材习题选解或提示（A ）2.设函数()x f 在0x 处可导，求下列极限：()4 ()()x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆0005lim.解：()()xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆0005lim()()()()x x x f x f x f x x f x ∆∆+-+-∆+=→∆000005lim()()x x f x x f x ∆-∆+=→∆0005lim+()()x x x f x f x ∆∆+-→∆000lim()()x x f x x f x ∆-∆+=→∆55lim5000()()xx f x x f x ∆-∆+-→∆000lim ()04x f '=.3. 求曲线3x y =在点()1,1出的切线方程和法线方程.解：函数3x y =的导数为23x y ='，所以()31='y ，则切线方程为 ()131-=-x y法线方程为311--=-x y . 6. 若函数()x f y =是可导函数，试证：()1 ()x f y =为奇函数，则()x f '为偶函数；()2 ()x f y =为偶函数，则()x f '为奇函数，且()00='f .证：（1）()x f y =为奇函数，则()()x f x f -=-，将此式两边同时对x 求导，得()()x f x f '-=-'-，即 ()()x f x f '=-' 则()x f '为偶函数.（2）()x f y =为偶函数，则()()x f x f =-，()00=f ，将此式两边同时对x 求导，得()()x f x f '=-'-，即 ()()x f x f '-=-' 则()x f '为奇函数.函数()x f y =是可导函数，则()0f '存在，且()='-0f ()0+'f =()0f '()='-0f ()()xf x f x 0lim 0--→=()x x f x -→0lim()='+0f ()()xf x f x 0lim 0-+→=()x x f x +→0lim =()x x f x ---→0lim =()x x f x -→-0lim =()0-'-f ，于是可得 ()00='f .9. 利用对数求导法求下列函数的导数：()1 xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1解：先在两边取对数，得()[]x x x y +-=1ln ln ln等式两边分别对x 求导得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='x x x x x y y 1111ln ln 1 从而得()y x x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='1111ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='x x x x x y 1111ln ln xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.11. 求由下列方程确定的隐函数()x y y =的导数：()4y xe y -=1解：方程两边对x 求导，得y xe e y y y '--='，从中可求得yyxee y -='1. 13. 求下列函数的n 阶导数：()3x y 2sin =解：x x x y 2sin cos sin 2=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''22sin 2πx y⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+='''222sin 4πx y()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22sin 21πn x y n n15. 求由下列方程确定的隐函数()x y y =的微分：()1 xy y =sin解：把隐函数xy y =sin 两边同时取微分，得ydx xdy ydy +=cos ，可解得 dx xy ydy -=cos .（B ）1. 设函数()()().x a x x f φ-=如果()x φ在a x =处连续，那么a x =处是否可导？如果()x φ在a x =处有定义，但不连续，又有怎样的结果？ 解：()()()x a f x a f a f x ∆-∆+='→∆0lim()xx a x x ∆∆+∆=→∆φ0lim ()x a x ∆+=→∆φ0lim 所以当a x =点为()x φ的连续点或者可去间断点时，()x f 可导，否则不可导.2. 讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x f α在0=x 点处的连续性和可导性.解：当0≥α时，xx x 1sinlim 0α→0=，所以函数连续，当0<α时，xx x 1sin lim 0α→不存在，所以函数不连续，讨论()0f 'x x x x 1sinlim0α→∆=x x x 1sin lim 10-→=α，因此 当1≥α时，xx x 1sin lim 10-→α0=，所以函数在0=x 处可导，当1<α时，xx x 1sin lim 0α→不存在，所以函数在0=x 处不可导.3．求曲线e xy e y=+在点()1,0处的切线方程.解：把方程e xy e y=+的两端同时对x 求导，得0='++'y x y e y y于是得yex y y +-='，得()e y 10-=' 切线方程为x e y 11-=-4．证明曲线1=xy 上任意一点的切线与两个坐标轴围成的三角形面积恒等于2.证：任取曲线上一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,x x ，该点切线斜率为()()2001x x y -=' 该点切线方程为()()020011x x x x y --=-切线与x 轴交点坐标为()0,20x ，与y 轴交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02,0x，所以 曲线1=xy 上任意一点的切线与两个坐标轴围成的三角形面积恒等于2.5．讨论()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00011x x e x x f x 的()0'-f 及()0'+f 及()0f '的存在性.解：()xexf xx 101lim 0+='-→-1=()xexf xx 101lim 0+='+→+0=所以()0f '不存在.6．火车以h km 100的速度向东行驶，汽车以h km 80的速度向北行驶，初始汽车在火车正北km 50，求一小时后两车的相离速度. 解：两车距离函数为()()228050100t t S ++=()()2280501006400400010000t t t t dt dS ++++=，于是可知26920401==t dtdS.7．计算以方程yxe y -=1确定的隐函数()x y y =的二阶导数.解：把方程两边对x 求导，得y xe e y yy'--='，yy xee y +-='1，把y xe e y yy '--='两边对x 求导得 ()y xe y xe y e y e y y y y y ''-'-'-'-=''2，整理可得()()3322112y yy yxe xe xe e y +-+=''.8．求函数211x y -=的n 阶导数.解：⎪⎭⎫⎝⎛++-=x x y 111121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--='22111121x x y()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=''33121221x x y ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=++111!11!21n nn n x n x n y . 9.设曲线()nx x f =在点()1,1处的切线与x 轴的交点为()0,n x ，计算()n n x f ∞→lim .解：曲线在在点()1,1处的切线斜率为()n f ='1，因此，切线方程为()11-=-x n y ，曲线与x 轴的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-0,11n ，因此()n n x f ∞→lim =e n nn 111lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→. 10.已知()2arctan ,2323x x f x x f y ='⎪⎭⎫⎝⎛+-=，计算=x dx dy .解：=dx dy ()2223122323arctan +⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x 所以0=x dxdy π43=.(三)教材习题选解或提示（A ）2.不用求出函数()()()()321---=x x x x x f 的导数，说明()x f '有几个根及所在区间.解：()()()()321---=x x x x x f 的导数为三次多项式，则()0='x f 最多有三个解，因为()()()()3210f f f f ===，根据罗尔定理，可知存在()1,01∈ξ使得()01='ξf ；存在()2,12∈ξ使得()02='ξf ；存在()3,23∈ξ使得()03='ξf .3. 证明方程0535=+++x x x 有且仅有一个实根. 证：设函数()535+++=x x x x f ，则()x f 在R 上连续.由于()372-=-f ，()50=f ，所以存在一点1x ()0,2-∈，使得()01=x f .假设0535=+++x x x 除1x 外还有一根2x 0≠.不妨假设21x x <，则()()21x f x f =.()x f 在闭区间[]21,x x 上连续，在开区间()21,x x 内可导.因此，有()()21,,0x x f ∈='ξξ而()113524≥++='x x x f ，矛盾,得证.4. 设1,0>>>n b a ，证明：()()b a na b a b a nbn n n n -<-<---11.证：设函数()nx x f =，在区间[]b a ,上应用拉格朗日定理，得1-=--n nn n ab a b ξ ()b a ,∈ξ因为()b a ,∈ξ，所以111---<<n n n nb n naξ，所以11--<--<n n n n nb ab a b na，得()()b a na b a b a nb n n n n -<-<---11.6.设函数()x f 在[]a ,0上连续，在()a ,0内可导，且()0=a f ，证明：至少存在一点()a ,0∈ξ，使得()()0='+ξξξf f .证：设函数()()x xf x F =，因为()()00==a F F ，可知()x F 在区间[]a ,0满足罗尔定理，则有()0='ξF ()a ，0∈ξ，即()()0='+ξξξf f()a ，0∈ξ.7.若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明：方程()0112110=++-+---n n n a x n a nxa 必有一个小于0x 的正根.证：设函数()x a x a x a x F n n n 1110--+++= ，()00=F ，则可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，则有()0='ξF ()00x ，∈ξ，即()0112110=++-+---n n n a n a n a ξξ，()00x ，∈ξ，方程()0112110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根.8.设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，并且有()()b f a f =0=.试证：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f . 证：设函数()()xex f x F -=， ()()0==b F a F ，可知()x F 在区间[]b a ,满足罗尔定理，则有()0='ξF ()b a ,∈ξ，即()()[]0=-'-ξξξe f f ，可得，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f . 9.求下列极限：()1 ()x x x +→1ln lim 0； ()2 x e e x x x sin lim 0-→-；()3 301cos lim x x x x +-→； ()4 x b a xx x -→0lim ()0,>b a ；()5 x arc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→； ()6 2120lim x x e x →；()7 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1； ()8 ()xx x sin 0tan lim +→；()9 xx xx x sin sin lim +-∞→； ()10 x x x x x e e e e --+∞→+-lim ；()11 x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim ； ()12 xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→.解：()1 ()x x x +→1ln lim 0=1111lim 0=+→x x ；()2 x e e x x x sin lim 0-→-= 2cos lim0=+-→xe e xx x ； ()3 301cos lim xx x x +-→=23121sin lim xxx x +--→∞=；()4 x b a x x x -→0lim =ba bb aa x x x ln 1ln ln lim0=-→； ()5 x arc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=1111111lim22=+-⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→x x x x ； ()6 2120limx x e x → ==→2101lim 2x e xx ∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-→33101212lim 2x x e x x ；()7 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1=()x x x x x x ln 11ln lim1-+-→=xx x x 1-1ln ln lim 1+→=∞=-→211x 11limxx x ；()8()xx x sin 0tan lim +→=()xx x esin tan ln 0lim +→=xx x etan ln sin lim 0+→=x x x esin 1tan ln lim0+→=x x x e1tan ln lim0+→=2201sec tan 1limxx x x e -+→=10=e ；()9 x x x x x sin sin lim +-∞→=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx x xx ； ()10 x x x x x e e e e --+∞→+-lim = 111lim22=+---+∞→xxx e e ； ()11 xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim =xx a x e ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1ln lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x a x x e1ln lim =xx a x e 11ln lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→=22111limxx a x ax e-⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→=ae ；()12 xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→= xx x etan 1ln 0lim ⎪⎭⎫⎝⎛→+=xx x etan 11lnlim 0+→=xx x e11lnlim0+→=101lim220==--+→e ex x x x .10．确定下列函数单调区间：()1 29323+--=x x x y ； ()4 x e x y -=.解：()1 29323+--=x x x y ，令09632=--='x x y ， 得3,121=-=x x ，列表讨论](1,-∞-和[)+∞,3为函数()x f 的单调增加区间，[]3,1-为函数()x f 的单调减少区间；()4 x e x y -=，令01=-='xe y ，得0=x ，当0<x 时，0>'y ；当0>x 时，0<'y ，因此(]0,∞-为单调增加区间，[)+∞,0单调减少区间.11.证明下列不等式:()1 当0>x 时，x x +>+121解：设函数()=x f x x+-+121，()x x f +-='12121，当0>x 时，函数单调增加，有()()00=>f x f ，即x x+>+121. 13.求下列函数的最值:()1 []4,1,3223-∈-=x x x y解：令x x y 662-='=0，得1,021==x x ，()()()()804,11,00,51=-==-=-f f f f ，函数的最大值为()804=f ，函数最小值为()51-=-f .18.设某厂生产某种产品x 个单位时，其销售收入()x x R 3=，成本函数为()1412+=x x C .求使总利润达到最大的产量x . 解：总利润为()14132--=x x x L ，()223x x x L -='，得驻点39=x ，当39=x 时，总利润最大.20.当a 、b 为何值时，点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点？解：()31=f ，即3=+b a ，()0261=+=''b a f ，得29,23=-=b a .（B ）2.已知函数()x f 在[]10，上连续，在()10，内可导，且()()11,00==f f ，()x f 是x 的非线性函数.试证：在()10，内至少存在一点ξ，使得()1>'ξf .证：()x f 是x 的非线性函数，则至少有一点()1,00∈x ，使得()00x x f ≠，不妨设()00x x f >，则在()0,0x 满足拉格朗日中值定理，即()()()ξf x f x f '=--00001>，其中()0,0x ∈ξ()1,0⊂.5.设函数()x f 在闭区间[]A ,0上连续，且()00=f .如果()x f '存在且为增函数()()A x ,0∈.试证：函数()()x f xx F 1=也是增函数. 证：()()()x f xx f x x F 211-'='，当0>x ， ()x f 在区间()x ,0满足拉格朗日中值定理，则有()()()x f xx f ,0,∈'=ξξ, ()()()011>'-'='ξf x x f x x F ,函数()()x f xx F 1=是增函数.9.设()x f 在0=x 处二阶可导，且二阶导数连续，已知()31201lim e x x f x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→，求()()()0,0,0f f f '''及()xx x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201lim 1201lim x x f x xx x e x x f x x 3e =, 则()2lim 20=→x x f x ，()22lim 0='→x x f x ，()22lim 0=''→x f x ， 则()()()10,00,00=''='=f f f ，()xx x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→=()2lim 20e e x x f x =⎪⎭⎫⎝⎛→.三、不定积分习题解答（A ）7. 用换元法求下列不定积分：(3)3221x x x++⎰d 解32222222222(1)22()111121111ln(1)2arctan 22d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x x xx x x C ++-+==-+++++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰(8)2d x解2123333315)(5)(5)3d x x d x x C C-=--=-+=⎰（(9)d x 解1d d x x =+⎰（）32213C x =++（）(11)x d解d d d x x x ==⎰2C ==+(16)341d x x x x ++⎰解334244444111114211111d d d d d x x x x x x x x x x x x x x +=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰（）+4211ln(1)arctan 42x x C =+++ (21)sin cos 1sin 2d x xx x -+⎰解222sin cos sin cos sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos (cos sin )d d d x x x x x xx x xx x x x x x x ---==++++⎰⎰⎰211(cos sin )cos sin (cos sin )d x x C x x x x =-+=+++⎰(22)d x x 解22112d d d d()x x x x x x =-=--⎰⎰（ 332211133=()x x C --+ (26)sin cos 25d x x x ⎰解422sin cos sin cos sin (1sin )2522d dsinx dsinx x x x x x x x ==-⎰⎰⎰46357121(sin 2sin sin )sin sin sin sin 3572d x x x x x x x C=-+=-++⎰ (27)4sin d xx⎰解22222344sin cos 1(csc cot csc )cot cot 3sin sin d d d x x x x x x x x x x C x x +==+=--+⎰⎰⎰(28)tan 3d x x ⎰解 221tan (sec 1)tan tan ln cos 23d d x x x x x x x C =-=++⎰⎰(29)11cos d x x +⎰解2211sec tan 1cos 2222cos 2d d d x x xx x C x x ===++⎰⎰⎰ (30)3sin()sin(3)44x x x ππ++⎰d 解31sin()sin(3)cos(2)cos(4)4422d d x x x x x x ππππ⎡⎤++=--+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 111sin(2)sin(4)2224x x C ππ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦(31)24arctan 1d x xx x -+⎰解2224arctan 114arctan arctan (1)211d d d x x x x x x x x -=-+++⎰⎰⎰ 2212(arctan )ln(1)2x x C =-++(32)221sin 2cos d x x x +⎰解22211)2sin 2cos 12cot d x x x C x x x==-+++⎰ (33)2tan(3)cos (3)d x x x ++⎰ 解22tan(3)1tan(3)tan(3)tan (3)2cos (3)d d x x x x x C x +=++=+++⎰⎰ (34)d t t te e -+⎰解 22111d d d()=arctan()t t ttt t t t e t e e C e e e e -==++++⎰⎰⎰（）(35)1d x x e -⎰解 11111d d d x xx x x x x e e e x x e e e ⎛⎫-+==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰-- 1(1)ln 11d x x xe x e x C e =--=--+⎰-(36)x 解n(d dl x x =+322n()3l x C ⎡⎤=++⎣⎦8. 用换元法求下列不定积分：(2)xx ⎰解 设 431,(3)22t x t dx t dt ==-=则，438413)2(3)2d d d x x t t t t t t t =-⋅⋅=-⎰⎰⎰（9513139595t t C C =-+=+(4)d x解 设 2,22t x t dx tdt ==+=则，2223121(2)2d dt 2dt t x t t t t +⎛⎫=⋅=+⎪++⎝⎭⎰⎰2()2(arctan22t C C =++=+6)221(1)d x x +⎰解 设 2tan ,sec x t dx t dt ==则()22224111sec cos 1cos 22(1)sec d d d d x t t t t t t x t =⋅==++⎰⎰⎰⎰2111sin 2arctan 2221x t t C x C x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭(8)2x d解 设 sin ,cos x t dx tdt ==则()222sin 1cos sin 1cos 2cos 2d dt d d t x t t t t t t =⋅==-⎰⎰⎰111sin 2arcsin 222t t C x C ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（(9)x解 设222,ln(1),1tt x t dx dt t ==-=-则 222122111d d d t x t t t t ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭⎰⎰112ln 2ln(1)21t t C x C t ⎛-⎫=++=-++ ⎪+⎝⎭9. 用分部积分法求下列不定积分： (2)2ln(3)d x x +⎰解222223ln(3)ln(3)ln(3)2133d d d x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅=+-- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰2ln(3)2x x x C =+-++(4)2sin d x x x ⎰解 2222sin cos cos cos d d d x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰22cos 2cos cos 2sin x x x x dx x x x d x=-+=-+⎰⎰()2cos 2sin sin x x x x x dx =-+-⎰2cos 2sin 2cos x x x x x C =-+++(7)d x ⎰解 设2,,2t x t dx tdt ===则()2222()d d d d t t t t t t x e t t te t te e t te e C =⋅==-=-+⎰⎰⎰⎰2()C =-+(9)32(ln )d x x x ⎰解32244241111(ln )ln )ln 2ln 444d d(d x x x x x x x x x x x==-⋅⋅⎰⎰⎰ 42342411111ln ln ln ln ()42424d d x x x x x x x x x =-=-⎰⎰ 44244211111ln ln (8ln 4ln 1)424432x x x x x x dx x x C x ⎛⎫=--⋅=-++ ⎪⎝⎭⎰ (10)2sin d x x x ⎰解 22111sin (1cos 2)cos 2242d d d x x x x x x x x x x =⋅-=-⎰⎰⎰ 221111sin 2sin 2sin 24444d x x x x x x x dx =-=--⎰⎰（）。

（本科）《微积分》第十一章 练习一、填空题1.级数∑∞=032)(n n的和为 。

32.设级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 13.级数∑∞=11n pn，当 时收敛。

1>p 4．设级数∑∞=1!2n nn 收敛，则=∞→!2lim n n n 。

0 5．设0>q ，正项级数∑∞=+0)2)(1(n n q n 收敛，则由比值判别法可确定出 21<q 6．若p 满足条件 ，则级数∑∞=-111n p n一定收敛。

2>p7．级数∑∞=+111n p n发散，则 0≤p 8．级数∑∞=-11n n ax（0≠a ）收敛的条件是 1||<x二、单项选择题1．若0lim =∞→n n u ，则常数项级数∑∞=1n nuDA .发散B .条件收敛C .绝对收敛D .不一定收敛 2．若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu是_________________ DA .一定条件收敛B .一定收敛C .一定发散D .可能收敛可能发散3．级数 +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+222131211n 是_______________ BA .幂级数B .-p 级数C .等比级数D .调和级数4．设0>q ，正项级数()()∑∞=+021n nq n 收敛，则由比值判别法可确定出__________ B A .2<q B .21<q C .2≤q D .21≤q5．下列级数中，收敛的级数是_______________ B A .∑∞=11n nB .∑∞=131n n C .∑∞=1321n n D .∑∞=11n n6．级数()∑∞=--111n n ，则前n 项部分和数列的极限为______________ DA .1B .－1C .0D .不存在7．下列级数中 ，发散的级数是_______________ BA .()∑∞=--1111n n n B .∑∞=+11001n n C .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nD .()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-111111n n n n 8．级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是_______________ CA .（－1 ，1）B .(]1,1-C .[)1,1-D .[]1,1-9．设级数∑∞=153n n n，则其和为_______________ BA .25B .23C .52D .35 10．若级数∑∞=+111n p n收敛，则_____________ BA .0≥pB .0>pC .0≤pD .0<p11．若正项级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1sin n nn u为_______________ BA .条件收敛B .绝对收敛C .发散D .敛散性未定 12．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的_____________ BA .充分条件B .必要条件C . 充要条件D .无关条件13．下列级数中 ，发散的级数是_______________ AA .∑∞=12sin n n π B .∑∞=--111)1(n n n C .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛143n n D .311∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 14．下列级数中，绝对收敛的级数是_______________ DA .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-123)1(n nnB .∑∞=+1121n nC .∑∞=---111)1(n n n n D .∑∞=--1311)1(n n n15．下列级数中 ，发散的级数是_______________ C A .∑∞=131n n B .+++++321161814121 C . +++3001.0001.0001.0 D . -+-+-55443322535353535316．若已知级数∑∞=1n nu收敛，n S 是它的前n 项部分和，则它的和=∑∞=1n nuCA .n SB .n uC .n n S ∞→lim D .n n u ∞→lim17．若级数∑∞=1n nu（0≠n u ）收敛，则必有下列何式成立 AA .∑∞=11n nu 必发散 B .∑∞=1||n n u 必收敛 C .∑∞=+121)(n n u 收敛 D .∑∞=-1)1(n n n u 必收敛18．幂级数∑∞=-1!)1(n nnn x 的和函数是 DA .xe B .x arctan C .)1ln(x + D .x e -19．幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，2||<x 的和函数是 CA .x 211+B .x 211-C .x +22D .x-2220．幂级数∑∞=++11)1ln(n nx n n 的收敛区间是____________ CA .（－1 ，1）B .(]1,1-C .[)1,1-D .[]1,1-21．若任意项级数∑∞=1n nu发散，则一定有 CA .对∑∞=1n nu 加括号后所成级数收敛 B .对∑∞=1n nu加括号后所成级数发散 C .对∑∞=1n nu加括号后所成级数的收敛性不定 D .对∑∞=1n nu，0lim ≠∞→n n u22．下列级数中 ，发散的级数是_______________ DA .∑∞=123n n B .∑∞=--111)1(n n n C .∑∞=+1312n n n D .∑∞=+13)1(1n n n23．级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是 CA .0lim =∞→n n uB .1lim1<=+∞→r u u nn nC .n n S ∞→lim 存在（n n u u u S +++= 21）D .21nu n ≤ 24．幂级数∑∞=---115)1()1(n n n n x 的收敛区间是____________ BA .)2,0(B .]2,0(C .)2,0[D .]2,0[25．幂级数∑∞=1!n nn x （+∞<<∞-x ）的和函数是 BA .xe B .1-x e C .1+x e D .x-1126．下列级数中，收敛的级数是_______________ CA .++++144133122111 B . +++++957453321 C . ++++++)9861()9861()9861(333222 D . ++++7161514127．级数∑∞=-1)1(n nnu 满足何条件时，该级数必收敛 DA .01lim =∞→nn u B .∑∞=1n n u 发散 C .∞=∞→n n u lim D .n u 单调增加且+∞=∞→n n u lim28．幂级数∑∞=-02!)1(n nn n x （+∞<<∞-x ）的和函数=)(x f AA .2x e- B .2x e C .2x e-- D .2x e -29．函数xx f -=31)(在1=x 处展成的泰勒级数是 A A .∑∞=+-012)1(n n n x （31<<-x ） B .∑∞=+012n n nx （11<<-x ） C .∑∞=-02)1(n nn x （31<<-x ） D .∑∞=02n n nx （11<<-x ） 30．幂级数∑∞=-1)3(n nx 的收敛区间是____________ BA .)1,1(-B .)4,2(C .)4,2[D .]4,2(31．级数∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛0152n n 的和=S _______________ DA .23B .35C .52D .32 32．幂级数∑∞=-1)2(n nx 的收敛区间是____________ BA .)1,1(-B .)3,1(C .)3,1[D .]3,1(33．幂级数∑∞=-02!)1(n nn n x 的和函数是 AA .2x e- B .xe2- C .2cos x D .2sin x34．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中，一定收敛的是 DA .∑∞=+1)(n na u（10<≤a ） B .∑∞=1n n u C . ∑∞=11n nu D .∑∞=-1)1(n n n u35．下列级数中，条件收敛的级数是_______________ BA .∑∞=+-11)1(n nn n B .∑∞=-11)1(n n n C .∑∞=-1221)1(n n D . ∑∞=11n n 36．幂级数120)!12()1(+∞=∑+-n n n x n 的和函数是 AA .xe B .x cos C .)1ln(x + D .x sin 37．若级数∑∞=+111n p n发散，则_____________ AA .0≤pB .0>pC .1≤pD .1<p38．下列级数中，收敛的级数是_______________ BA .∑∞=+11n n n B .∑∞=+111n n n C .∑∞=+1)1(21n n D . ∑∞=+111n n39．幂级数∑∞=+-1]32)1([n nn n n n x x 的收敛半径是____________ BA .2B .31C .21D .340．下列级数中 ，发散的级数是_______________ BA .∑∞=121n n B .∑∞=11cos n n C .∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n D .∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n41．幂级数∑∞=--23)3(n nnn x 的收敛域是____________ B A .]4,2[ B .]4,2( C .)4,2(- D .)4,2(42．幂级数∑∞=+122n nn x n 的收敛半径=R ____________ CA .1B .2C .21D .∞43．若级数∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nau（0≠a ） AA .一定发散B .可能收敛，也可能发散C .0>a 时收敛，0<a 时发散D . 1||<a 时收敛，1||>a 时发散三、分析题1．判别级数∑∞=-+-111)1(n n n n的敛散性（绝对收敛）2．判别级数∑∞=+-+-1121)13(3)1(n n n n 的敛散性（绝对收敛）3．判别级数∑∞=-+-1111000)1(n n n n的敛散性（发散）4．讨论级数∑∞=+111n na在10<<a ，1=a 和1>a 三种条件下的敛散性 5．设0>p ，讨论p 为何值时，级数∑∞=+--111)1(n n n np 收敛 6．判定级数∑∞=+-1314)1(n n n n 的敛散性，并指出是否绝对收敛。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

微 积 分 课 后 习 题 答 案习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ； （2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

一、填空题1．设()A dx x f a =⎰0，则()=-⎰dx x a f aA2．22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π3．=⎰dx e x 124．若2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰∞+dx xx 0 22sin ． 2π5．=-⎰θθθπd 03sin sin 346．由两条抛物线x y =2，及2x y =所围成的图形的面积是 1 7．已知22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π8．函数dt t x F y x ⎰+==02)2()(在0=x 处的切线方程是 x y 2=9．设)(x f 在积分区间上连续，则=--⎰-a adx x f x f x )]()([2 010．=++⎰-2232)cos 1sin (ππdx x x x 34 11．=++⎰-dx x x x 112||1)cos (sin12．设dx x x I ⎰=101sin ，dx x x I ⎰++=10211sin ，比较1I 与2I 的大小：1I 2I 13．=+++⎰-dx x xx x 114571cos 82 0 二、单项选择题1．设C x F dx x f +=⎰)()(在],[b a 上成立，则 ④①)(x f 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ②)(x f 在],[b a 上必可导 ③)(x F 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ④)(x F 在],[b a 上必可导 2．=-⎰dx x R R22 ④①R ②R π ③2R π ④42R π3．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aax ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim 及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛6．导数=⎪⎭⎫⎝⎛⎰'arcsin dx x ba ①① 0 ②211x- ③x arcsin ④a b arcsin arcsin -7．积分()=⎰-dt t f xx' ④①()x f ②()x f - ③()()x f x f -+ ④()()x f x f -- 8．设()x f 为偶函数，且()I dx x f ba=⎰，则 ③①()I dx x f a b=⎰ ②()I dx x f b a =⎰-- ③()I dx x f ab=⎰-- ④前面的结论都不对 9．设()x f 为偶函数，则()()dt t f x F x⎰=0为 ①①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④奇偶性不能确定 10．设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()0>x f ，则积分上限函数()()dt t f x F xa⎰=在区间[]b a ,上 ① ①单调增加 ②单调减少 ③有增有减 ④不增不减 11．函数()x f 在区间[]b a ,上有界是()x f 在区间[]b a ,上可积的 ②①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④无关条件 12．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aaa ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛三、求下列积分1．332cos sin13422=⋅⎰dx x x ππ 2．22110π-=+⎰dx x x 3．926arcsin 102-=⎰πdx x x 4．()()12254ln 154ln 1414514-⋅=+=+⎰ee x dx x x 5．3ln 381203-=+⎰dx x x 6．2132ln sec sec 14332222++=-=-⎰⎰--dt t t x x dx ππ令 7．()3822cos tan 2422arctan 21arctan 2132-==+⎰⎰dt t t x x dx 令 8．614511=-⎰-x xdx 9．e dx e x4210-=⎰- 10．()()[]2121ln ln 022-++=++⎰a a dx a x x a11．()2111π=+⎰∞+dx x x 12．351130=++⎰dx x x 13．1ln 12=⎰∞+dx x x 14．()2ln 1214150+=-+⎰dx x 15． 21arctan 13=⎰∞+dx x x 16．()2ln 1ln 22=⎰∞+x x dx 17．π=++⎰∞+∞-222x x dx 18．dx x ⎰-1024 233+=π 19．dxx x⎰-1221 ＝16π20．dx xx ⎰-122221 41π-=21．dx x e x ⎰∞+-0sin22．dx x x ⎰+213252ln 3＝ 23．⎰∞++0xx x dxπ=四、求下列各题中平面图形的面积及旋转体体积1．曲线x e y =与直线e y =及y 轴所围成的图形。

习题5.11.（1）（书本题目有问题。

考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；sin xx3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行2. ；23x 6x3.（1）（2）（3）3223x C --+323sin 3xx e x C +-+3132221(1565(2))15xx x x C-++-+（4 （5）（6）2103)x x C -++4cos 3ln x x C -++323x x x eC+-+（7）（8）sin 22x xC -+5cos x x C --+4. 3113y x =+5. ；32()0.0000020.0034100C x x x x =-++(500)1600;(400)(200)552C C C =-=习题5.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1a1711012-112122-15-12-2. （1） （2）（3）（4）515t e C +41(32)8x C --+1ln 122x C --+231(23)2x C--+（5）（6）（7）（8）C -+ln ln ln x C +111tan 11x C +212x e C --+（9）（10）（11）ln cos ln sin x x C -++ln cos-3sec sec 3xx C-++（12）（13）（14）C+43ln 14x C --+2sec 2x C +（15 （16）12arcsin 23x C +229ln(9)22x xC-++（17 （18）C ln 2ln 133x x C -+-+（19） （20）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++3cos ()3t C ϕωω+-+（21）（22）（23）cos 1cos5210x x C -+13sinsin 232x xC ++11sin 2sin12424x x C -+习题5.31.（1） （2）arcsin ,,u x dv dx v x ===,sin ,cos u x dv xdx v x===-（3）（4）231ln ,,3u x dv x dx v x ===,cos ,sin x u e dv xdx v x -===（5）231arctan ,,3u x dv x dx v x===2. （1）（2）（3）cos sin x x x C ++(1)xe x C ---+11cos 2sin 224x x x C-++（4）（5）（6）21((1)arctan )2x x x C -+++ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（7（8）41(4ln 1)16x x C -+arcsin x x C +21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1） （2）arctan x C +232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C+++-+--+（3）（4）2sin2cos sin 22xx C x x -++1(ln cos ln sin tan 2222x x xC-+-+（5）（6）（7）211(arctan )21x x C x -+++6ln 11x C x+-+-略（8）11ln 2cossin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++（9）（10）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x xC -++++ln 1sin x C ++复习题五1.（1）（2）（3）（4）2x2cos 2x ln 1x +2x e dx -（5）（6）（7）sin x C +1(23)2F x C -+21(1)2F x C--+（8）（9）（10）2sin 23-+0122. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1） （2）（3）322cos 3ln 3x x x C --++111(12)22x C --+1cos Cx+习题6.11.5032. （1） （2）1214a π3. （1） （2）4.略5.220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。