加法原理例题讲解(一)

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。

加法原理数学中的加法加法原理是数学中的一种基本原理，用于解决组合问题。

它是数学中常见的一种运算规则，广泛应用于概率论、组合数学等领域。

本文将介绍加法原理的概念、应用和相关性质，旨在帮助读者更好地理解和运用加法原理。

一、加法原理的定义加法原理是指将不同的情况进行相加的方法，用于解决能够通过排列或组合得到的问题。

它的基本思想是将多个互斥事件的可能结果相加，得到总的可能结果数。

二、加法原理的应用1. 简单例子假设有两个抽屉，第一个抽屉里面有3个红色球，第二个抽屉里面有4个蓝色球。

现在要从这两个抽屉中任选一个抽屉，然后从中取出一个球。

按照加法原理，选择红色球的可能性为3，选择蓝色球的可能性为4，那么总的可能性为3 + 4 = 7。

2. 复杂例子假设有5名男学生和4名女学生，班里要选出3名学生参加演讲比赛。

根据加法原理，可以将问题分解为两步：第一步，选择1名男学生或1名女学生参加演讲比赛，有5种选择男学生的方法和4种选择女学生的方法，总共有5 + 4 = 9种选择。

第二步，从剩下的学生中再选择2名学生。

由于已经选择了1名男学生或1名女学生，剩下的学生中有4名男学生和3名女学生。

根据加法原理，可以得到剩下学生的选择方法为4 + 3 = 7种。

因此，总的选择方法为9 * 7 = 63种。

三、加法原理的性质1. 互斥事件的加法性加法原理适用于互斥事件，即两个事件之间互不相容，不存在同时发生的情况。

在互斥事件下，可以将各个事件的可能结果相加得到总的可能性。

2. 事件的穷举性加法原理要求对所有可能性进行穷举，确保没有遗漏。

每个情况都应该被考虑到，以保证结果的完整性和准确性。

3. 加法原理与排列、组合的关系加法原理和排列、组合有着密切的关系。

排列是指将若干个元素按照一定顺序排列的方式，而组合是指从中选择若干个元素，无顺序要求。

加法原理常常与排列、组合结合使用，用于解决不同情况下的排列或组合问题。

四、加法原理的应用举例1. 古典概型问题古典概型问题是指在已知条件下，通过枚举可能情况来求解事件发生的概率。

一、加法原理和乘法原理讲座例题1、从4个男生，5个女生中各选一人担任组长，有多少种不同的选法?2、5个文具盒，4支铅笔，3支钢笔，2把直尺，各取一件配成一套学习用具，最多能配多少套不同的学习用具？3、一天上午要上语文、数学、体育各一节课，这半天的三节课有几种不同的排法。

4、有不同的语文书6本，数学书8本，英语书5本，音乐书4本，从中任取一本，共有多少种取法？5、两个木箱内装有不同颜色的球，第一个木箱里装有4个，第二个木箱里装有7个。

（1）从两个木箱里任了一个球，有多少种不同的取法？（2）从两个木箱里各取一个球，有多少种不同的取法？6、从1-9这九个数中，每次取2个数，这两个数的和必须大于10，能有多少种取法？7、在1-100的自然数中，一共有多少个数字？8、在1-100的自然数中,一共有多少个数字1？9、用2、3、5、7四个数字可以组成（1）多少个三位数（2）多少个没有重复数字的三位数10、用1、2、3、5、7这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？11、用0、2、3、5、7这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？12、用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同都示不同的信号，如果一根旗杆上同时最多可以挂3面旗，现有足够的红色和黄色彩旗。

可以表示多少种不同的信号？13、用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同都示不同的信号，现有红、黄、蓝色的彩旗各一面，可以表示出多少种不同的信号？14、用数字0、1、3、5可以组成多少个两位数？可以组成多少个没有重复数字的两位数？三、最大与最小1、从0、1、2、4、6、8、9这七个数中，选出5个数字组成一个能被5整除，并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？2、小明看一本90页的故事书，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次，那么看完这本收最多需要几天？3、把自然数1、2、3、4、。

39、40依次排列，划去65个数，得到的多位数最大是多少？4、把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能地大，最大的积是多少？5、把1、2、3、4、5、9填入方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？6、比较下面两个积的大小A=987654321X123456789B=687654321X423456789四、包含与排除1、某班学生，每人至少有乒乓球或羽毛球中的一样，已知有乒乓球的有41人，有羽毛球的33人，两者都有的有22人，这个班共有多少人？2、光明小学四年级一班学生到野外每人都采集到标本，采集到昆虫标本的有29人，采集到植物标本的有31人，两种标本都采集到的有9人，全班共有学生多少人？3、四二班学生在体育课时除2名因病请假的学生名都参加了体育考试，考了短跑的有32人，考了跳远的有26人，两样都考了的11人，那么四二班共有学生多少人？4、在100人中，会下中国象棋的有66人，会下国际象棋的有49人，这两种棋都不会的有19人，两种棋都会下的有几人？5、有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中，既懂英语，又懂俄语的有多少人？6、某校四年级有学生135人，报名参加体育组的有120人，参加文艺组的有98人。

第一课时加法原理【例1】从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4 班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？加法原理：如果完成一件任务有n类方法，農第一类方冻中有种不同方法，疫第二类方法中有m?种不同方法................. 衣第n类方出中有rri]种不同方冻，那么完成这件任务共有N=m]+n^+・・・+mz种不同的方法。

_乘法原理和加法冻理是两个重要而常用的计数法则，衣应用时一定要注意它们的区别。

乘冻原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方宙数的乘积;加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方出数等于各类方出数之和。

【例2】有红、黄、蓝小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，做出不同的信号，一共可以做出多少种不同的信号？【例3】两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?【举一反三】从19、20、21、22、・・・93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法共有多少种?【例4】从2、3. 4、5、6、10. 11. 12这8个数中，取出两个数组成一个最简真分数有多少种取法?【举一反三】有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司洽谈一次，问要安排多少次会谈场次?【例5] 1995的数字和是1+9+9+5=24,问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？从1---9这九个数中，每次取2个数，这两个数的和必须大于10,能有多少种取法。

【例6】从3名男生与2名女生中选出3名三好学生，其中至少有一名女生，共有多少种选法？【举一反三】从8个班选12个三好学生，每班至少1名，共有多少种不同的选法。

【例7]有3个工厂共订300份《南方日报》,每个工厂最少订99份，最多订101份, 一共有多少种不同的订法？[举一反三】把12支铅笔分给3个人，每人分得偶数支，且最少得2支，共有多少种分法？【例8] 一位小朋友横着一排画了6个苹果，其中至少有3个苹果连在一起画的方法有多少种？我们通纟解軀，总足要屯列出篦式，銘后朮解。

奥数加法原理
奥数加法原理是指在数学问题中，当出现多个事件同时发生的情况时，我们可
以通过加法原理来求解这些事件的总数。

加法原理是组合数学中的基本原理之一，它在奥数竞赛和数学问题中经常被运用到。

首先，我们来看一个简单的例子，小明有一件红色的衣服和一件蓝色的衣服，
他还有一条红色的裤子和一条蓝色的裤子。

那么小明一共有多少种不同的穿法呢？根据加法原理，我们可以将红色的衣服和裤子的穿法分别相加，再将蓝色的衣服和裤子的穿法分别相加，最后再将两种颜色的穿法相加，就可以得到总的穿法数。

在这个例子中，我们可以看到加法原理的应用，当我们需要求解多个事件的总
数时，可以将这些事件分别相加，最后得到总的事件数。

这个原理在奥数竞赛中经常被用来解决排列组合、概率等问题。

除此之外，加法原理还可以应用在更复杂的问题中。

比如，在一个班级里，有
5个男生和7个女生，老师要选出一个学生代表，那么老师有多少种选法呢？根据
加法原理，我们可以将男生和女生的选法分别相加，最后再将两种情况的选法相加，就可以得到老师选学生代表的总数。

在实际问题中，加法原理可以帮助我们快速求解多种情况的总数，而不需要逐
一列举每种情况。

这对于奥数竞赛和数学问题的解答来说，是非常有帮助的。

总之，奥数加法原理是数学中的基本原理之一，它在排列组合、概率等问题中
有着广泛的应用。

通过加法原理，我们可以快速求解多个事件的总数，为解决奥数竞赛和数学问题提供了便利。

希望大家能够灵活运用加法原理，提高解决问题的效率。

习题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？4+3+2=9习题 2：南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。

如果每天有20 班火车、 6 班飞机、 8 班汽车和 4 班轮船，那末共有多少种不同的走法？习题 3：光明小学四、五、六年级共订 300 份报纸，每一个年级至少订 99 份报纸。

问：共有多少种不同的订法？012 021 003 030 102 111 120 201 210 300习题 4：小明去食堂买饭，有3 样主食，5 样菜。

小明要买一份主食一份菜，共有多少种不同的买法？3×5=15习题 5：某小姐有三件裙子, 四件上衣,两双鞋子, 问总共有几种不同的搭配方法？3×4×2=24习题 6：图书馆中有五本不同的三民主义书和八本不同的数学书,一学生欲从三民主义和数学各选一本,共有多少种选法？5×8=40习题 7：某篮球校队是由二位高一学生, 四位高二学生,六位高三学生所组成,现在要从校队中选出三人,每年级各选一人,参加篮球讲习会, 问总共有多少种选法？2×4×6=48在做一件事时，要分几步才干完成，而在完成每一步时又有不少种不决。

在做一件事时，有几类不同的方法，每一类方法中又有几种可能的做法。

那末做这件事所有可能的做法就需要用习题 8：如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路。

问：从甲地到丁地有多少条路？习题 9：用1 ，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1 的五位数有多少个？1、甲班有40 位同学, 乙班有45 位同学, 丙班有50 位同学,若各班推选一人筹办文艺展览会, 共有几种选派法？40×45×50=900002、用0,1,2,3,4,5,6 组成四位数的密码共有几种？6×6×6×6×6×6×63、用0,1,2,3,4 五个数字排成的三位数有几个其中数字相异的三位数有几个？4×5×5=1004×4×3=484、从甲城到乙城有3 条不同的道路，从乙城到丙城有4 条不同的道路，那末从甲城经乙城到丙城共有多少条不同的道路？3×45、有1 角、2 角、5 角纸币各1 张，可以组成多少种面值不同的人民币。

加法原理与乘法原理的应用问题在数学中，加法原理和乘法原理是解决组合问题的基本原理。

它们可以帮助我们解决各种实际问题，从排列组合到概率统计，都离不开这两个原理的应用。

本文将通过几个具体的问题，来探讨加法原理和乘法原理的应用。

问题一：某电商平台有3种优惠券，每个用户只能选择其中一种使用。

现有10个用户，问有多少种不同的优惠券使用情况？解析：根据加法原理，我们可以将问题拆解为3个子问题，即每个用户选择哪种优惠券。

由于每个用户只能选择其中一种，所以每个子问题有3种选择。

根据乘法原理，我们将这3个子问题的解相乘即可得到最终的答案。

所以，答案为3的10次方，即59049种不同的优惠券使用情况。

问题二：某班级有5个男生和7个女生，要从中选出3个同学组成一个小组，其中至少有一个男生和一个女生。

问有多少种不同的组合方式？解析：我们可以将问题分解为两个子问题。

第一个子问题是从5个男生中选出至少一个男生，共有C(5,1) + C(5,2) + C(5,3)种选择方式；第二个子问题是从7个女生中选出至少一个女生，共有C(7,1) + C(7,2) + C(7,3)种选择方式。

根据乘法原理，将两个子问题的解相乘，即可得到最终的答案。

所以，答案为( C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) ) * ( C(7,1) + C(7,2) + C(7,3) )，即1050种不同的组合方式。

问题三：某公司有4个职位需要填补，共有10个应聘者。

其中，职位A只能由男性担任，职位B只能由女性担任，职位C和D没有性别限制。

问有多少种不同的分配方式？解析：我们可以将问题分解为三个子问题。

第一个子问题是从男性应聘者中选出一个人来担任职位A，共有C(4,1)种选择方式；第二个子问题是从女性应聘者中选出一个人来担任职位B，共有C(6,1)种选择方式；第三个子问题是从剩下的应聘者中选出两个人来担任职位C和D，共有C(9,2)种选择方式。

根据乘法原理，将三个子问题的解相乘，即可得到最终的答案。