【2021对口单招复习讲义】模块01：集合与常用逻辑用语

第一章 集合和简易逻辑第—节 集合〔1〕理解集合的概念。

〔2〕能正确判定元素与集合的关系，正确使用符号“∈〞“∉〞理解集合中元素的性质。

〔3〕熟记几种常见的集合。

〔4〕掌握集合的表示方法。

〔5〕理解空集、子集、真子集、集合相等之间的关系。

〔6〕掌用符号表示集合与集合之间的关系〔7〕理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的交、并、补运算方法〔单招考试重点知识〕。

〔8〕能熟练运用数轴和韦恩图进行集合的交、并、补运算单招感想集合是每次单招考试的必考内容。

本考点概念性强，考题一般以选择题形式出现，难度不大。

要把握元素与集合，集合与集合之间的关系。

弄清楚有关的术语和符号，特别要把集合中元素的属性分析清楚，该知识点为送分题。

请大家平常复习时把握几个集合符号并能理解符号的意思就可以。

第二节 简易逻辑理解命题的条件和结论，必要条件、充分条件、充要条件以及等价的意义。

第二章 不等式第—节 不等式概念〔1〕理解不等式的根本性质。

〔2〕掌握区间的概念。

〔3〕掌握一元二次不等式的解法。

〔单招考试重点考察知识点〕〔4〕理解绝对值的几何意义〔5〕掌握含绝对值不等式的根本思想和解法。

〔6〕了解含绝对值的不等式)0(><+c c b ax 的解法。

单招解读这个知识点在单招考试中每年都会涉及到。

考试难度不大，其中一元二次不等式及其解法是重点，请同学们在复习的时候注意。

第二节 绝对值不等式的解〔1〕理解绝对值不等式的集合意义。

〔2〕掌握解答含有绝对值不等式的根本思想和解法。

单招感想〔以一元二次不等式为主〕的解不等式常以选择题形式出现在单招考试中，且屡次与集合一起考查考生。

解答绝对值的不等式的关键在于去绝对值，将其转化为整式或分式不等式：假设不等式中含有两个或者两个以上绝对值符号，则可用区间分析法商量求解。

第三节 简单的线性规划〔1〕了解现实世界和一般生活中的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景。

〔2〕会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

第一章集合与常用逻辑用语思维导图1．集合的有关概念(1)一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就形成一个________，构成集合的每个对象都叫做这个集合的________．(2)集合中的元素的特征是________和________．(3)集合按元素的个数可分为________集和________集．(4)____________________叫做空集，记作________．(5)常用的数集符号2.元素与集合的关系如果a是集合A中的元素，就说元素a属于集合A，记作________，如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作________．3．集合的表示方法：有________、________和图示法(即文氏图法)三种．4．集合与集合的关系(1)子集：如果集合A中的____________元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作______或______，读作____________或____________．任何一个集合A都是它本身的______，即A⊆A.(2)集合相等：如果两个集合的元素__________，则称这两个集合相等，集合A等于集合B，记作______．(3)真子集：如果集合A是集合B的______，并且___________________________，那么集合A叫做集合B的真子集，记作______或______，读作____________或____________．(4)子集、真子集和集合相等的关系①如果A⊆B，则A B或A______B.②如果A⊆B，且B⊆A，则A______B；反之，如果A＝B，则__________________．(5)常用结论①若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则A的子集有______个，真子集有______个，非空真子集有______个．②∅是任何集合的______，是任何非空集合的______．5．集合的运算(1)交集①定义：一般地，给定两个集合A，B，由_________________________________构成的集合，叫做集合A和集合B 的交集，记作______，读作______，即A∩B＝______________，如下图阴影部分所示．②性质：A∩A＝______，A∩B＝______，A∩∅＝______，若 A⊆B，则 A∩B＝______.(3)补集①全集：一般地，如果在讨论的问题中，每一个集合都是某一个给定集合U的子集，那么就称U为这些集合的______．②定义：如果集合A是全集U的一个子集，由______________________________构成的集合，叫做集合A在U中的补集，记作______，读作__________________，如下图阴影部分所示．③性质：A∩∁UA＝______，A∪∁UA＝______，∁U（∁UA）＝______.6．充要条件(1)当“如果p，那么q”正确时，我们就说p可推出q，记作______，读作“p推出q”．(2)若p⇒q，但q ⇏ p，则称p是q的____________条件．(3)若q⇒p，但p ⇏ q，则称p是q的____________条件．(4)若p⇒q且q⇒p，则称p是q的______条件，记作p⇔q，读作“p 与q等价”或“p与q互为充要条件”．7．子集与推出的关系一般地，设集合A＝{x|p}，B＝{x|q}，那么A⊆B与______等价；A ＝B与______等价．8．命题：________________________叫做命题．9．命题的真假：当命题给出的判断正确或符合客观实际时，称该命题真，否则称该命题假．“真”“假”常被称为命题的真值，其中______常用1表示，______常用0表示．注：(1)没有真假意义的语句都不是命题．如感叹句、疑问句、祈使句等等．(2)有的语句，尽管现在或将来也未必能判断真假，但它们所作判断是否符合客观实际这一点是确定的，也把它们算作命题．10．量词：常用的量词有“全称量词”和“存在量词”．(1)全称量词是指任意的，常用的全称量词有“所有”“一切”“每一个”“任何”“任意”等，用符号______表示．(2)存在量词是指存在，常用的存在量词有“存在”“有些”“有一个”“至少有一个”等，用符号______表示．(3)全称命题：__________________叫做全称命题．(4)存在命题：__________________叫做存在命题．11．常用的逻辑联结词：且、或、非，符号分别为∧、∨、﹁. 12．简单命题：不含____________的命题．13．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．14．几种常见的复合命题设p，q是两个命题，则(1)“p且q”构成一个新命题，记作“______”，读作“______”；(2)“p或q”构成一个新命题，记作“______”，读作“______”；(3)命题p的非(否定)构成一个新命题，记作“______”，读作“______”．15．常用复合命题的真值表：﹁p﹁q。

单招必备数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究对象统称为元素，把某些元素构成总体叫做集合。

集合三要素：拟定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合元素是同样，就称这两个集合相等。

3、常用集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合表达办法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间基本关系1、普通地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一种元素都是集合B 中元素，则称集合A 是集合B 子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 真子集.记作：A B.3、把不含任何元素集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合子集.4、如果集合A 中具有n 个元素，则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间基本运算1、普通地，由所有属于集合A 或集合B 元素构成集合，称为集合A 与B 并集.记作：B A .2、普通地，由属于集合A 且属于集合B 所有元素构成集合，称为A 与B 交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数概念1、设A 、B 是非空数集，如果按照某种拟定相应关系f ，使对于集合A 中任意一种数x ，在集合B 中均有惟一拟定数()x f 和它相应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 一种函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一种函数构成要素为：定义域、相应关系、值域.如果两个函数定义域相似，并且相应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数表达法1、函数三种表达办法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性证明普通格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、普通地，如果对于函数()x f 定义域内任意一种x ，均有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、普通地，如果对于函数()x f 定义域内任意一种x ，均有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂运算1、普通地，如果a x n =，那么x 叫做a n 次方根。

专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语总序1考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．热点一集合的关系及运算例1(1)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y 恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是_______．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β.思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义． 答案 (1)充要 (2)④ 解析 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |.(2)由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，①错；因为ab 2>cb 2，且b 2>0，所以a >c .而a >c 时，若b 2＝0，则ab 2>cb 2不成立，由此知“ab 2>cb 2”是“a >c ”的充分不必要条件，②错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，③错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．(2)“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M >N ；当M >N 时，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义．故不能推出log 3M >log 3N ，所以“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的充分不必要条件．热点三 逻辑联结词、量词例3 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则下列命题正确的是________． ①命题p ∨q 是假命题 ②命题p ∧q 是真命题 ③命题p ∧(非q )是真命题 ④命题p ∨(非q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围 是___________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(非q )是真命题，命题p ∨(非q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得非p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得非q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p真q假；②p假q真；③“p∧q”为假；④“p∧q”为真(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(非p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案(1)③(2)(1，＋∞) 解析(1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2R sin C>2R sin B(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(非p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2} 解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题①p∧q；②非p∧非q；③非p∧q；④p∧非q为真命题的是________．答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、非p为假命题，非q为真命题，非p∧非q、非p∧q为假命题，p∧非q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(非p)∧(非q)”为真命题；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案②解析命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(非p )∧(非q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10；由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)， 得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [0,1) 解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数 为_ ．答案 13 解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7 解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分 解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1. log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件． 5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要 解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角， 所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件． 7．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝_______. 答案{x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是________．答案 2 解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1 消去y 得x 2＋x ＝0，由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断①p 为真；②非q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．正确的是________．答案 ③ 解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞) 解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞) 解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1， 则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________. 答案 －4 解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1 解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确； 对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集． 对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上， 故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

专题一集合与常用规律用语考纲原文呈现1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；②在具体情境中，了解全集与空集的含义．（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集；②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩（Verm)图表达集合的关系及运算.2．常用规律用语（1）命题及其关系①理解命题的概念；②了解“若p，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．（2）简洁的规律联结词了解规律联结词“或”、“且”、“非”的含义．（3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．考情分析与预测年份题型考查角度分值难度2022年Ⅰ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁2022年Ⅱ卷选择题第2题集合的并集运算 5 简洁2022年Ⅲ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁2021年Ⅰ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁2021年Ⅱ卷选择题第1题集合的并集运算 5 简洁2022年Ⅰ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁2022年Ⅱ卷选择题第1题集合的交集运算、一元二次不等式的解法 5 简洁2021年Ⅰ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁选择题第5题常用规律用语、命题真假推断 5 简洁2021年Ⅱ卷选择题第1题集合的交集运算 5 简洁2022年Ⅰ卷选择题第1题集合及元素运算 5 简洁2022年Ⅱ卷选择题第1题集合及元素运算 5 简洁考查，难度较低，其中命题的热点仍将以集合的运算为主，通常与不等式紧密联系集合的基本关系的相关命题次之，属送分题．而对常用规律用语的考查频率不高，且命题点分散，多为几个学问点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的推断与命题的真假推断需重点关注，多结合函数的性质、数列、不等式等式内容进行综合命题．样题深度解读考向1元素、集合之间的关系样题1：已知集合{}23,,02+-=mmmA，且A∈2，则实数m的值为（）A．3B．2C．0或3D．0,2,3均可【思路分析】首先依据元素与集合的关系分两种状况建立方程，并通过解方程求出m的值，然后对所得m依据集合的互异性检验是否成立．【解析】由A∈2可知2m=或2322m m-+=，0,2,3m∴=，当0m=时集合为{}0,0,2不满足元素互异性，当2m=时集合为{}0,2,0不满足元素互异性，所以3m=，故选A．样题2：已知集合{|1,1}A x x a a=-≤≤>，5{|1,}2B y y x x A==-∈，2{|,}C z z x x A==∈，若C B⊆，则的取值范围是（）A．1[,1]2B．1[,2]2样题分析1：本题以元素与集合关系为载体，考查集合的互异性、一元二次方程的解法，以及考查规律推理力量、运算求解力量、方程的思想、转化的思想、分类争辩的思想，为基础题．体现《考试大纲》对集合的含义、元素与集合的属于关系的基本考查要求．高考对元素与集合间关系的考查主要以选择题与填空题的形式消灭，经常与方程、函数、不等式等相结合，体现综合力量的考查，难度不大，属送分题．样题分析2：本题以集合间关系为载体，考查一次与二次函数的值域，具有肯定的机敏度，难度一般．解答本题有两个关键：一是正确通过求函数的值域确定出集合,B C；二C ．4[,1]5D ．(1,2]【思路分析】首先依据条件确定集合,B C ，然后依据集合,B C 间的关系通过比较表示集合的两个不等式的端点值的大小建立关于不等式，最终通过解此不等式可求得的取值范围．【解析】由题意75[,1]22B a =--，2[0,]C a =，∵C A ⊆，∴2512a a ≤-，解得122a ≤≤，又1a >，所以12a <≤，故选D ．考向2集合的基本运算 样题3：已知集合{||1|3}A x Z x =∈-<，2{|230}B x x x =+-≥，则()R A C B =（ ）A ．()2,1-B ．()1,4C ．{}2,3D ．{}1,0-【思路分析】首先通过解确定值不等式与二次不等式具体化集合,A B ，然后再进行集合的运算【解析】由于不等式|1|3x -<的解集为24x -<<，所以{|24}{1,0,1,2,3}A x Z x =∈-<<=-．不等式2230x x +-≥的解集为3x ≤-或1x ≥，则{|31}B x x x =≤-≤或，所以{|31}R C B x x =-<<，所以(){1,0}R A C B =-，故选D ．样题4：设全集R U =，集合}23|{x y x M -==，}23|{xy y N -==，则图中阴影部分表示的是（ ）A.}323|{≤<x x B.}323|{<<x xC.}323|{<≤x xD.}223|{<<x x【思路分析】首先分别通过求函数的值域与定义域具体化集合,M N ，然后图示的中阴影部分用集合运算式表示出来，最终进行集是依据集合,B C 间关系建立关于的二次不等式．易错之处是易将所建立的不等式忽视取“＝”的可能性．本题体现了《考试大纲》中对两个集合关系考查要求．解答时通常要通过求函数的定义域、值域，或解不等式、方程化简集合，然后依据集合关系建立不等式或方程进行求解．样题分析3：本题以确定值不等式与二次不等式的解集为背景，难度较小，主要考查集合的交集与补集运算，以及考查规律思维力量、运算求解力量．体现《考试大纲》对集合运算的要求．求此类集合的交、并、补时，一般先通过解不等式具体化集合，再由交、并、补的定义求解．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，要留意端点值的取舍． 样题分析4：本题是以函数为背景考查集合表示与运算、函数的定义域、指数函数的值域，以及考查规律思维力量、转化力量、数形结合思想的应用，集合与函数的交汇主要体现为以函数的定义域与值域为集合问题，此类题解答关键是要正确确定函数的定义域与值域，使集合得到简化，进而再进行集合间的合运算．【解析】由题意得：集合3{|32}=|2M x y x x x ⎧⎫==-≤⎨⎬⎩⎭，{}{|32}=|3x N y y y y ==-<；图中阴影部分表示的是{}3()||32U C M N x x y y ⎧⎫=><⎨⎬⎩⎭＝3|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选B ． 考向3充要条件的推断 样题5：“1a =”是“函数()222f x x ax =+-在区间(],1-∞-上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】首先考虑二次函数()f x 的对称轴，由此确定出函数的递减区间，然后依据所给区间与此区间的关系建立简洁的不等式可确定出的取值范围，由此可推断出条件关系了．【解析】22()()2f x x a a =+--，对称轴为x a =-，其递减区间为(,]a -∞-，则当()f x 在(,1]-∞-上递减，则必有1a -≥-，1a ≤，所以“1a =”是“函数()222f x x ax =+-在区间(],1-∞-上单调递减”的充分不必要条件．故选A ．考向4 命题真假的推断样题6：命题11:sin tan tan sin p θθθθ-=-（04πθ<<）无实数解，命题x x e x x e q 1ln ln 1:+=+无实数解. 则下列命题错误的是（ ）A ．p 或 B ．（¬p ）或()q ⌝C ．p 且（¬）D ．p 且【思路分析】首先利用函数1y x x =+的单调性推断命题p 的真假，然后利用数形结合法推断命题的真假，最终利用复合命题的真值基本运算．样本分析5：本题以二次函数为背景考查充要条件的推断、二次函数的单调性，以及考查规律推理力量、力量求解力量、转化的思想，体现《考试大纲》对必要条件、充分条件与充要条件的意义的基本要求的考查．推断必要条件、充分条件与充要条件重在“从定义动身”，利用命题“若p ，则”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要留意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．假如条件与结论涉及范围时，可用集合的包含关系来推断．样题分析6：本题以三角函数与对数和指数构成的方程的解为背景考查复合命题的真假推断，以及考查规律推理力量、等价转化力量，体现《考试大纲》对p 或、p 且、表推断四个选项的真假，作出正确选择．【解析】由于x x x f 1)(+=在)1,0(单调递减，由1tan sin 0<<<θθ得11sin tan sin tan θθθθ+<+（04πθ<<）,命题p 为真；又 11ln ln ln ln ln x x xx xx e e x e x x e e x -+=+⇒-=,当0x >时,易知ln 0x e x ->,∴1ln xx e =-,由同一坐标系中ln y x =,1x y e =-的图像知,存在0(0,1)x ∈,使001ln x x e =-，故11ln ln x xe x x e +=+有实数解,命题为假．故D 正确．考向5特称命题与全称命题样题7：已知命题:(0,),sin 2P x x xπ∀∈<，则（ ） A ．p 是真命题，:(0,),sin 2P x x xπ⌝∀∈≥B ．p 是真命题，000:(0,),sin 2P x x x π⌝∃∈≥C ．p 是假命题，:(0,),sin 2P x x xπ⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，000:(0,),sin 2P x x x π⌝∃∈≥【思路分析】首先构造新函数x x x f -=sin )(，然后利用导数争辩此函数的单调性，并由此推断命题p 的真假，最终将命题p 的量词改写，同时将符号小于改写为大于或等于符号．【解析】设x x x f -=sin )(,因()cos 10f x x '=-<,故x x x f -=sin )(在 )2,0(π上单调递减，所以0)0()(=<f x f ,即x x <sin 恒成立,故p 是真命题,而该命题的否定应为存在型命题，故选B ．¬p 命题的基本要求的考查．推断复合的真假主要有两种题型：（1）推断两个已知简洁构成的复合命题的真假时，主要是利用真值表进行推断；（2）依据复合命题的真假，求参数的取值范围，解答时一般先求简洁命题为真或假时的参数的取值范围，最终通过集合运算可求得参数的取值范围．样本分析7：本题以三角函数载体考查全称命题、特称命题、及含有一个量词的命题的考查，符《考试大纲》的要求．合对含有一个量词命题的否定一般要对“量词”和“推断词”同时进行否定，全称命题与存在性命题互为否定，确定与否定互为否定．而对一个命题的否定时，留意区分命题的“否定”与“否命题”，命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件，否命题则是既要否定结论，又要否定条件．押题：已知全集为R ，集合{}{}21,0,1,5,N |20M x x x =-=--≥，则()R MC N =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,5D ．{}1,1-【答案】A。