弹性力学-06

ci ci (i, j, m) 1 bi （平面应力） 2
注意：在每个单元中，应力分量也是常量。由于相邻单元一般将具有不同的
应力，因而在它们的公共边上，应力并不连续。
§6-5 单元的结点力列阵和劲度矩阵
由于单元产生了应力，则在单元的内部及边界作用有与之平衡的体力和
（2）应用几何方程，求出单元的应变，即：
uj
B
e
O
x
其中[ B ]称为应变转换矩阵。
（3）应用物理方程，求出单元的应力，即：
S
e
其中[ S ]称为应力转换矩阵。
（4）由于单元产生了应力，则在单元的边界及内部作用有与之平衡的面力和
体力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，作为结构其它 部分通过结点对此单元的作用力，称单元结点力，再利用虚功方程，得：
1 br cs cr bs 2 (r, s i, j, m) 1 cr cs br bs （平面应力） 2
§6-1 基本量及基本方程的矩阵表示
体力列阵：
fx fx 面力列阵： f fy
位移列阵：
fy
T
x T 应力列阵： y ζ x y xy xy
u T d u v v
称为弹性矩阵。 弹性矩阵[D ]中的E、分别
（平面应力问题） 换成
E 即可。 、 1 2 1
几何方程：
u x
v y
v u x y
T
此外，用限单元法还要用到虚功方程：

A
( f x u f y v)dxdy ( f x u f y v)ds
* e
则有：

t d
A
ui
*
vi
*
uj
vj
um
um
* T
j
T e
F
e
t d
A
* T
f dxdy t d f ds

* T s
O
x （ t — 单元厚度）
T

另一方面，由虚功方程有
* T
f dxdy t d f ds t ε ζ dxdy
j
Fjx
移置到单元各结点处，成为单元结点荷载：
FL
e
T F Li
F F
T Lj Lm
T

T
O
x
FLix
3、整体分析：
FLiy
FLjx
FLjy
FLmx
FLmy
T
得到整体结点平衡方程组：
K δ FL
对各结点进行平衡分析，列平衡方程并组集 其中[ K ]称整体劲度矩阵。
再将单元的应变代入物理方程，得到用结点位移表示的单元应力
可简写为： 其中： 可写成分块形式
D D B e S S D B
Sm
e
称应力转换矩阵。
S Si
Sj
bi E bi Si 2 2(1 ) A 1 ci 2
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
一、位移模式： 对三结点三角形单元，假设位移分量只是坐标的线性函数，即：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
在i、j、m三个结点，位移应当等于结点位移，即：
y vj j i uj
vi ui vm m u
m
1 2 xi 3 yi ui 4 5 xi 6 yi vi
x y 应变列阵： x xy
1 E D 2 1 0
y
xy
T
物理方程：
ζ D

1 0
0 0 1 2
对于平面应变问题，只需将
或简写为
u Ni ui N j u j N mum d v N i vi N j v j N m vm
0 cj bj bm 0 cm
B
Bj
e
ui v 0 i u j cm vj bm u m vm
ui vm m
u
m
为单元 i j m 的面积。为使面积不致为负，在图示 坐标系中i → j → m 的次序须是逆时针的。
x
ai
xj xm
yj ym
bi
1
yj
1 ym
ci
1 xj 1 xm
(i, j , m)
分别为系数行列式第一、二、三列各元素的代数余子式。 则单元内任一点的位移可用矩阵表示为：
T A

B δ
T * e

ε Bδ
*
e
* e
代入上式：
D B δ d x d y
e
由于虚位移可以是任意的，再令：
k t A B D B d x d y
则：
对三结点三角形单元 i j m ， [ k ] 可写成分块形式：
其中[ B ]称应变转换矩阵，可写成
B Bi
Bm
bi 1 Bi 0 2A ci
0 ci bi
(i, j, m)
注意：由于矩阵[ B ]的元素都是常量，可见应变{ }的元素也是常量。因此 三结点三角形单元也称为平面问题的常应变单元。
s
( x x y y xy xy )dxdy
A
对连续变形体，它可以代替平衡微分方程和应力边界条件。 现将虚位移及与该虚位移相应的虚应变表示为：
d u
*
*
v
* T
ε
*
* x

* y

* xy
T
则虚功方程可用矩阵表示为：
Ni APjm A
(i, j, m)
(i, j, m)
由此几何意义容易看出形函数具有如下性质：
(Ni )i 1 (Ni ) j 0 (Ni )m 0
Ni +N j +Nm 1
在 i j 及i m 两边的中点，
y
vj j i uj
vi ui vm m u
m
Ni 1 2
在三角形 i j m 的形心，
1 ij Ni d s 2 ij ,
Ni 1 3 A A Ni d x d y 3
1 jm Ni d s 0 , mi Ni d s 2 mi O
x
三、解答的收敛性： 解答的收敛性是指：当单元的尺寸逐步取小时有限单元法的解答收敛 于真实的解答。 为了保证有限单元法解答的收敛性，必须使位移模式能够正确反映物体 的真实位移形态，具体说来，就是要满足下列三方面的条件。 ① 位移模式必须能反映单元的刚体位移。 ② 位移模式必须能反映单元的常量应变。 注意：① ＋ ② 为必要条件，

* T s

A
于是由以上两式，得
F t ε ζ dxdy
T e e T A
注意到：
D B
T e
e



F t
e
δ
T

A
T * e
t B D B d x d y δ
T j m
T
பைடு நூலகம்

T
y
vj
T
vi i uj m ui vm u
m
vi
uj
vj
um
vm
为单元结点位移列阵。
j
Ni N 0
为形函数矩阵。
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
O
x
二、形函数的几何意义及性质：
记三角形单元 i j m 内的任一点为P (x , y)，则知形函数的几何意义为：
面力；现将其按虚功相等的原则移置到单元各个顶点处，成为单元结点力：
F
e
F i Fix
T
F F
T j m
T

T
y
Fiy Fjy
Fiy
Fjx
F jy
*
Fmx
*
Fmy
*
T
i
Fjx
Fix
Fmy m Fmx
δ
设单元结点 i 、j 、m 发生了虚位移，即：
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7 §6-8 §6-9 §6-10 基本量及基本方程的矩阵表示 有限单元法的概念 单元的位移模式与解答的收敛性 单元的应变列阵和应力列阵 单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵 结构的整体分析 结点的平衡方程组 解题的具体步骤 单元的划分 计算成果的整理 计算实例
d f dxdy d f ds ε ζ dxdy
* T * T T A s A
§6-2 有限单元法的概念
有限单元法是用由有限多个、有限大小的单元在有限个结点相互连接的
集合体来近似原来的连续体，当上述单元足够小从而划分网格足够密时，就
可以真实地模拟原连续体。 有限单元法分析的基本步骤： 1、对连续体进行离散化。
对于平面问题，最简单而
常用的单元是三角形单元。在 平面应力问题中，它们是三角 板，在平面应变问题中，它们 是三棱柱。 结点——铰接点 2、单元分析：