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2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二1．2 直线的方程(二)【课时目标】 掌握直线方程的两点式、截距式及一般式，并能应用它们解决相关问题．1．关于x ，y 的二元一次方程____________(其中A ，B ______________)叫做直线的一般式方程．2．比较直线方程的五种形式(填空) 形式方程局限各常数的 几何意义点斜式 不能表示k 不存在的直线(x 0，y 0)是直线上一定点，k 是斜率 斜截式 不能表示k 不存在的直线k 是斜率，b 是y 轴上的截距两点式 x 1≠x 2，y 1≠y 2(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是直线上两个定点截距式不能表示与坐标轴平行 及过原点的直线a 是x 轴上的非零截距，b 是y 轴上的非零截距一般式 无当B ≠0时，－AB是斜率，－C B是y 轴上的截距一、选择题1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程 B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1 C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 3．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．只可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．只可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 4．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )6．过点(5,2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0二、填空题7．直线x ＋2y ＋6＝0化为斜截式为____________，化为截距式为____________． 8．已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示直线，则m 的取值范围是 ________．9．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是 ________________． 三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．11．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．能力提升12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．1．2 直线的方程(二) 答案知识梳理1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 2． 形式 方程局限各常数的 几何意义点斜式 y －y 0＝k (x－x 0)不能表示k 不存在的直线(x 0，y 0)是直线上一定点，k 是斜率斜截式 y ＝kx ＋b 不能表示k 不存在的直线 k 是斜率，b 是y 轴上的截距两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x 1≠x 2，y 1≠y 2(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是直线上两个定点截距式 x a ＋y b ＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a 是x 轴上的非零截距，b 是y 轴上的非零截距一般式Ax ＋By ＋C＝0无当B ≠0时，－AB 是斜率，－C B是y轴上的截距作业设计1．D 2．A 3．B4．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．] 5．C [将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ， 将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b ≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝1．8．m ∈R 且m ≠1解析 由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m ≠1 且m ≠－32；由m 2－m ≠0，得m ≠0且m ≠1，故m ≠1．9．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1解析 设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x1＋1＋y1＝1，即x 3＋y2＝1或x2＋y ＝1．10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．11．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0． 令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．12．解 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ， 且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限． (2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．直线－＝－(＋)的斜率为，在轴上的截距为，则有( )．＝－，＝－．＝－，＝．＝－，＝－．＝－，＝－解析：原方程可化为＝－－，故＝－，＝－.答案：．直线＝－的图像可能是( )解析：当＞时，－＜，直线过一、三、四象限．当＜时，－＞，直线过一、二、四象限，可得正确．答案：．直线－＋＝，当变动时，所有直线都通过定点( )．()．()．()．()解析：将直线方程化为－＝(－)可得过定点()．答案：．直线不经过第三象限，的斜率为，在轴上的截距为(≠)，则有( )．·＜．·＞．·≤．·≥解析：由题意知≤，＞，所以·≤.答案：二、填空题(每小题分，共分)．过点()，以－为斜率的直线方程为．解析：由已知得，－＝－(－)，即＝－＋＋.答案：＋－－＝．直线的倾斜角为°，且过点(，－)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是．解析：由已知得直线方程＋＝°(－)，即＝－.当＝时，＝－；当＝时，＝.∴被坐标轴所截得的线段长＝＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．求斜率为直线＝＋的斜率的倒数，且分别满足下列条件的直线方程．()经过点(－)；()在轴上的截距为－.解析：直线＝＋的斜率为，由题意知所求直线的斜率为.()由于直线过点(－)，由直线的点斜式方程得－＝(＋)，即－＋＋＝.()由于直线在轴上的截距为－，由直线的斜截式方程得＝－，即－－＝.．若直线的斜率是直线＋－＝斜率的，在轴上的截距是直线－＋＝在轴上截距的倍．求直线的方程．解析：直线方程＋－＝化为＝－＋，其斜率为－，所以，所求直线斜率为－，又∵直线方程－＋＝可化为＝＋，其截距为，所以，所求直线的截距为，∴所求直线的方程为＝－＋即＋－＝.☆☆☆．(分)如图，直线：－＝(－)过定点()，求过点且与直线所夹的锐角为°的直线′的方程．解析：设直线′的倾斜角为α′，由直线的方程：－＝(－)知直线的斜率为，则倾斜角为°.当α′＝°时满足与′所夹的锐角为°，此时直线′的方程为＝；当α′＝°时也满足与′所夹的锐角为°，此时直线′的斜率为，由直线方程的点斜式得′的方程为－＝(－)，即－＋－＝.综上所述，所求′的方程为＝或－＋－＝.。
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课时提升作业(十五)直线的倾斜角和斜率一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·西安高一检测)直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜角为( )A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜角为钝角135°. 2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则( )A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，又α与α+45°都是倾斜角，从而有得0°<α<135°.3.(2014·上饶高一检测)直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )A.1B.C.D.-【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.4.(2014·新余高一检测)若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x，0)三点共线，则x=( )A.1B.-1C.0D.7【解析】选B.利用任意两点的斜率相等，k AB=-，k AC=，令=-得x=-1. 【变式训练】已知三点A(1-a，-5)，B(a，2a)，C(0，-a)共线，则a=________. 【解题指南】当三点共线时，若直线斜率存在，则k AB=k BC，若斜率不存在，则三点横坐标相同.【解析】①当过A，B，C三点的直线斜率不存在时，即1-a=a=0，无解.②当过A，B，C三点的直线斜率存在时，则k AB==k BC=，即=3，解得a=2.综上，A，B，C三点共线，a的值为2.答案：2【拓展延伸】揭秘三点共线问题斜率是用来反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的直线方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是可利用斜率证明三点共线的原因，但是利用此方法要特别注意直线的斜率是否存在，如本题，若不考虑斜率是否存在，则解题步骤上出现了严重的遗漏，推理也不能算严谨，有时候还可能出现漏解现象.5.(2013·济南高一检测)直线l过定点C(0，-1)，斜率为a且与连接A(2，3)，B(-3，2)的线段相交，则a的取值范围是( )A.[-1，2]B.(-∞，-1]∪[2，+∞)C.[-2，1]D.(-∞，-2]∪[1，+∞)【解析】选B.直线l过定点C(0，-1).当直线l处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满足a≥或a≤，即a≥2或a≤-1.6.(2014·济源高一检测)直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取值范围是( )A.[1，+∞)B.(-∞，+∞)C.(-∞，1)D.(-∞，1]【解析】选D.由于直线l经过点A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)，根据两点的斜率公式可知：k AB==1-m2，因为m∈R，m2≥0，所以-m2≤0，即1-m2≤1，则有k AB≤1，所以直线l的斜率的取值范围是(-∞，1].二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________.【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，所以k=a2+2a<0，-2<a<0. 答案：(-2，0)8.(2014·铜川高一检测)若直线的斜率为k，并且k=a2-1(a∈R)，则直线的倾斜角α的范围是________.【解析】因为a2-1≥-1，即k≥-1.所以l的倾斜角α的范围是0°≤α<90°或135°≤α<180°.答案：0°≤α<90°或135°≤α<180°9.若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则+=________.【解析】由于点A，B，C共线，则k AB=k AC，所以=.所以ab=3a+3b.即+=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·南昌高一检测)过两点M(a2+2，a2-3)，B(3-a-a2，2a)的直线l的倾斜角为45°，求a的值.【解析】由题意得：直线l的斜率k=tan45°=1，故由斜率公式得k==1，解得a=-1(舍去)或a=-2.【变式训练】已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1，2)和Q(x，0)，求该直线的斜率和x的值.【解析】该直线的斜率k=tan30°=.又l过点P(1，2)和Q(x，0)，则=，解得x=1-2.11.从M(2，2)射出的一条光线，经x轴反射后过点N(-8，3)，求反射点P的坐标.【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系，找到直线MP与NP的斜率间的关系即可.【解析】如图.设P(x，0)，因为入射角等于反射角，所以k MP=-k PN，即=，解得x=-2，所以反射点P(-2，0).一、选择题(每小题4分，共16分)1.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A.所有的直线都有倾斜角和斜率B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在D.所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角【解析】选B.当直线的倾斜角为直角时，不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角，故选B.2.(2014·商洛高一检测)已知直线l过A(-2，(t+)2)，B(2，(t-)2)两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为( )A.1，135°B.-1，-45°C.-1，135°D.1，45°【解析】选C.因为k==-1，所以直线的倾斜角是钝角，又tan45°=1，所以直线的倾斜角为180°-45°=135°.3.(2014·西安高一检测)直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A.0°≤α≤45°B.90°<α<180°C.45°≤α<90°D.90°<α≤135°【解析】选C.直线l的斜率k=tanα==m2+1≥1，所以45°≤α<90°.【变式训练】若ab<0，则过点P(0，-)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________.【解析】因为k PQ==，又因为ab<0，所以k PQ<0.所以α为钝角，即90°<α< 180°.答案：90°<α<180°4.将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a+4，b-5)，由题意知这两点都在直线l 上，所以直线l的斜率k==-.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·南昌高一检测)若直线l与直线y=1，x=7分别交于P，Q，且线段PQ 的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为__________.【解析】设P(x P，y P)，由题意及中点坐标公式得x P+7=2，解得x P=-5，即P(-5，1)，所以k=-.答案：-【变式训练】三点A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是________.【解析】由题意得k AB≠k AC，则≠，整理得b≠.答案：b≠6.已知直线l的倾斜角为α=45°，点P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线l上，则m=________，n=________.【解题指南】条件中直线的倾斜角已知，可以考虑倾斜角与斜率的关系构造方程求解.【解析】因为α=45°，所以直线的斜率k=1，又点P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线l上，所以==1，即==1，解得m=0，n=7.答案：0 7三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·临沂高一检测)a为何值时，过点A(2a，3)，B(2，-1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？【解题指南】根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则斜率不存在.【解析】当过点A，B的直线的倾斜角是锐角时，k AB>0，根据斜率公式得k AB==>0，所以a>1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB<0，即<0，所以a<1.当倾斜角为直角时，A，B两点的横坐标相等，即2a=2，所以a=1.8.设直线l过点A(7，12)，B(m，13)，求直线l的斜率k及倾斜角α的范围. 【解题指南】根据斜率公式求出斜率的范围，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围，注意斜率公式应用的前提条件.【解析】(1)当m=7时，直线l与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°.(2)当m≠7时，k==.当m>7时，>0，即k>0，0°<α<90°；当m<7时，<0，即k<0，90°<α<180°.【变式训练】已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k=(x2≠x1).求的取值范围.【解析】设k=，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率.如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由k BQ增大到k AQ，因为k BQ==1，k AQ==3，所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3].【拓展延伸】巧用斜率公式的几何意义解题由于斜率公式k=(x2≠x1)具有把几何问题代数化的功能，因此在解答过程中，可首先借助斜率公式的几何意义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界.求解过程充分体现了数与形的完美结合，渗透了解析几何的思想.关闭Word文档返回原板块。
直线方程的点斜式 课时作业一、选择题1．经过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．x －y ＋5＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x ＋y －5＝0解析：过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线的斜率为4－0－1－3＝－1.所求的直线方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.答案：C2．一直线过点A (0,2)，它的倾斜角等于直线y ＝33x 的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是( )A ．y ＝33x ＋2 B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝33x －2 D ．y ＝3x －2 解析：因为直线y ＝33x 的斜率为33，所以其倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k ＝ 3.直线过点A (0,2)，即直线在y 轴上的截距为2. 由斜截式易得直线的方程为y ＝3x ＋2.另解：所求直线斜率为3，过点A (0,2)，则点斜式方程为y －2＝3(x －0)，即y ＝3x ＋2.答案：B3．已知直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0 D ．k <0，b <0解析：若y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则必有斜率k >0，在y 轴上的截距b <0，选B.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．故选B. 答案：B5．已知三角形的三个顶点A (4,3)，B (－1,2)，C (1，－3)，则△ABC 的高CD 所在的直线方程是( )A ．5x ＋y －2＝0B ．x －5y －16＝0C ．5x －y －8＝0D ．x ＋5y ＋14＝0 解析：△ABC 的高CD 与直线AB 垂直，故有直线CD 的斜率k CD 与直线AB 的斜率k AB 满足k CD ·k AB ＝－1，k AB ＝2－3－1－4＝15，所以k CD＝－5.直线CD 过点C (1，－3)，故其直线方程是y ＋3＝－5(x －1) 整理得5x ＋y －2＝0，选A. 答案：A6．已知直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a 的值为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．1 D ．－1解析：直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，所以a 2－2＝－1,2≠2a ，解得a ＝－1.故选D.答案：D7．已知直线l 1：y ＝－m 4x ＋12与直线l 2：y ＝25x ＋n5垂直，垂足为H (1，p )，则过点H 且斜率为m ＋p m ＋n的直线方程为( )A ．y ＝－4x ＋2B ．y ＝4x －2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝－2x －2解析：∵l 1⊥l 2，∴－m 4×25＝－1，∴m ＝10，所以直线l 1的方程为y ＝－52x ＋12.又点H (1，p )在l 1上，∴p ＝－52×1＋12＝－2，即H (1，－2)．又点H (1，－2)在l 2上，∴－2＝25×1＋n5，∴n ＝－12，∴所求直线的斜率为m ＋pm ＋n＝－4，其方程为y ＋2＝－4(x －1)，即y ＝－4x ＋2，选A.答案：A二、填空题8．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：(0,3)9．经过点(－4,1)且倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角一半的直线方程为________． 解析：因为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，斜率k ＝3，故所求直线方程为y ＝3x ＋43＋1.答案：y ＝3x ＋43＋110．已知点A (1,3)，B (5,7)，C (10,12)，则过点A 且垂直于BC 的直线的方程为________．解析：因为k BC ＝12－710－5＝1，所以所求直线的斜率为－1，又因为直线过点A (1,3)，所以方程为y －3＝－(x －1)，即y ＝－x ＋4.答案：y ＝－x ＋411．已知△ABC 在第一象限，若A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则边AB ，AC ，BC 所在直线的方程分别为________．解析：AB 边的方程为y ＝1；因为AB 平行于x 轴，且△ABC 在第一象限，k AC ＝tan 60°＝3，k BC ＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －3＋1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)，即y ＝－x ＋6.答案：y ＝1，y ＝3x －3＋1，y ＝－x ＋612．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2的方程为y ＝－2b x －1b，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．解析：由直线l 的倾斜角为135°，得直线l 的斜率为－1.由A (3,2)，B (a ，－1)得直线l 1的斜率为33－a.∵直线l 与l 1垂直，∴33－a ×(－1)＝－1，解得a ＝0.又直线l 2的斜率为－2b ，l 1∥l 2，∴－2b＝1，解得b ＝－2.因此a ＋b ＝－2.答案：－2 三、解答题13．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝33x 的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．解析：∵直线y ＝33x 的斜率为33，∴它的倾斜角为30°，∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3. 又直线经过点A (2，－3)，∴这条直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －2)．14．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解析：因为直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， 所以其倾斜角α＝120°.由题意得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33. (1)因为所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， 所以所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)因为所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， 所以所求直线的方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.15.是否存在过点(－55？若存在，求直线l 的方程．解析：假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成面积为5的三角形．显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋5)． 分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫－5k ＋4k，0，与y 轴的交点为(0,5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5k ＋4k ·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5)．可化为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.16．如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1,2)，求过点P 且与直线l 所夹的锐角为30°的直线l ′的方程．解析：设直线l ′的倾斜角为α′，由直线l 的方程：y －2＝3(x －1)知直线l 的斜率为3，则倾斜角为60°.当α′＝90°时满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的方程为x ＝1.当α′＝30°时也满足l 与l ′所夹的锐角为30°，此时直线l ′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l ′的方程为y －2＝33(x －1)，即x －3y ＋23－1＝0. 综上所述，所求l ′的方程为x ＝1或x －3y ＋23－1＝0.。
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课时提升作业(十六)直线方程的点斜式一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·西安高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3.3.已知直线l的方程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C. log26 D.0【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以log a b=log24=2.4.(2018·赣州高一检测)直线l：y-1=k(x+2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )A.1B.-1C.D.-2【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(x+2)，令x=0得y=-1.5.(2018·济源高一检测)经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是( )A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=.则所求直线方程为y-1=(x+1).6.(2018·济南高一检测)若ab<0，bc<0，则直线ax+by-c=0通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选C.因为ab<0，bc<0，所以->0，<0，原直线可化为y=-x+，则过第一、三、四象限.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2018·佛山高一检测)已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=________，b=________. 【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.答案：-2 -28.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l：y=k(x-1)+2不经过第二象限，则k的取值范围是________.【解题指南】由直线方程知直线过定点(1，2)，数形结合即可求解.【解析】由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则k OA=2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件.答案：k≥2【变式训练】直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________.【解析】将直线方程变形为y-2=a(x-3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2).答案：(3，2)【拓展提升】揭秘“直线过定点”的问题含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(x-3)a+2-y=0，上式对任意的a都成立，所以解得所以直线过定点(3，2).9.经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2的直线方程为________________.【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2)，因为点A(3，4)在直线上，所以k=4，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.答案：y=4x-8【一题多解】由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，则直线的斜率k==4，由直线的点斜式方程得y-0=4(x-2)，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.【变式训练】直线l经过点(-1，1)，且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为________. 【解析】因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，故可设l的方程为y=kx+6，又点(-1，1)在l上，所以k=5，即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6.答案：y=5x+6【一题多解】因为直线y=x+6与y轴的交点坐标为(0，6)，从而直线l的斜率k==5，所以直线l的斜截式方程为y=5x+6.三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·合肥高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解题指南】由题设可得直线l的斜率与在y轴上的截距，进而可根据直线的斜截式方程求出直线的方程. 【解析】由直线斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2.又因为直线l与l1的斜率相等，所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2，所以l在y轴上的截距为-2，所以由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.11.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(2)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.(3)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.【解析】(1)令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=，当m=-1时，方程表示的直线不存在，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x=，它表示一条垂直于x轴的直线.(2)依题意，有=-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3(舍去)，或m=-，故m=-.(3)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率k=1.故由-=1，解得m=或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·渭南高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线y=-2x-1的斜率相等，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10【解析】选B.因为直线y=-2x-1的斜率为-2，所以=-2，解得m=-8.2.(2018·蚌埠高一检测)等边△PQR中，P(0，0)，Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )A.y=±xB.y=±(x-4)C.y=x和y=-(x-4)D.y=-x和y=(x-4)【解题指南】数形结合可知两直线的倾斜角，进而可知两直线的斜率，由直线方程的点斜式可得两直线的方程. 【解析】选D.如图，可得k PR，k QR的斜率分别为-，且分别过点P(0，0)，Q(4，0).由点斜式得方程.3.(2018·南阳高一检测)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有( )A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc<0C.ab<0，bc>0D.ab<0，bc<0【解析】选D.由题意知直线的斜率存在，即直线的斜截式方程为y=-x-，所以->0，->0，即ab<0，bc<0. 【举一反三】直线过第二、三、四象限呢？【解析】可知-<0，-<0，即ab>0，bc>0.4.(2018·新余高一检测)直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( ) A.(0，0) B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)【解析】选C.将直线方程化为y-1=k(x-3)可得过定点(3，1).二、填空题(每小题5分，共10分)5.直线l的倾斜角为45°，且过点(4，-1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是______【解析】由已知得直线方程为y+1=tan45°(x-4)，即y=x-5.当x=0，y=-5，当y=0，x=5.所以被坐标轴所截得的线段长为=5.答案：56.已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，则直线AB的方程是________________.【解题指南】将x的值代入y=log2x可得A，B两点的坐标，进而根据直线的斜率公式可得直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线AB的方程.【解析】当x=2时，y=log22=1，即A(2，1)，当x=4时，y=log24=2，即B(4，2)，所以直线AB的斜率k==，所以方程为y-1=(x-2)，即x-2y=0.答案：x-2y=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·临沂高一检测)求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程.【解析】设直线方程为y=-x+b，令y=0得x=b，由题意知·|b|·=12，所以b2=36，所以b=±6，所以所求直线方程为y=-x±6.即3x+2y±12=0.【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.【变式训练】斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程.【解析】设直线的斜截式方程为y=-x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=b，所以|b|+|b|+=9，即|b|=9，得|b|=3，即b=±3，所以所求直线的方程为y=-x±3.即4x+3y±9=0.8.如图，直线l：y-2=(x-1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程.【解题指南】由直线l的点斜式方程可得直线l的倾斜角，数形结合可求得所求直线的倾斜角，进而可得所求直线的斜率，然后可根据点斜式求出直线方程.【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y-2=(x-1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′=90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x=1；当α′=30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为：y-2=(x-1)，即x-y+2-1=0.综上，所求l′的方程为x=1或x-y+2-1=0.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(十六)直线方程的点斜式一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014²西安高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3. 3.已知直线l的方程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C. log26 D.0【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以log a b=log24=2.4.(2014²赣州高一检测)直线l：y-1=k(x+2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )A.1B.-1C.D.-2【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(x+2)，令x=0得y=-1.5.(2014²济源高一检测)经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是( )A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2〓=.则所求直线方程为y-1=(x+1).6.(2014²济南高一检测)若ab<0，bc<0，则直线ax+by-c=0通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选C.因为ab<0，bc<0，所以->0，<0，原直线可化为y=-x+，则过第一、三、四象限.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014²佛山高一检测)已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=________，b=________.【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.答案：-2 -28.(2014²蚌埠高一检测)已知直线l：y=k(x-1)+2不经过第二象限，则k的取值范围是________.【解题指南】由直线方程知直线过定点(1，2)，数形结合即可求解.【解析】由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则k OA=2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件.答案：k≥2【变式训练】直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________.【解析】将直线方程变形为y-2=a(x-3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2).答案：(3，2)【拓展提升】揭秘“直线过定点”的问题含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(x-3)a+2-y=0，上式对任意的a都成立，所以解得所以直线过定点(3，2).9.经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2的直线方程为________________.【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2)，因为点A(3，4)在直线上，所以k=4，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.答案：y=4x-8【一题多解】由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，则直线的斜率k==4，由直线的点斜式方程得y-0=4(x-2)，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.【变式训练】直线l经过点(-1，1)，且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为________.【解析】因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，故可设l的方程为y=kx+6，又点(-1，1)在l上，所以k=5，即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6. 答案：y=5x+6【一题多解】因为直线y=x+6与y轴的交点坐标为(0，6)，从而直线l的斜率k==5，所以直线l的斜截式方程为y=5x+6.三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014²合肥高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解题指南】由题设可得直线l的斜率与在y轴上的截距，进而可根据直线的斜截式方程求出直线的方程.【解析】由直线斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2.又因为直线l与l1的斜率相等，所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2，所以l在y轴上的截距为-2，所以由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.11.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(2)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.(3)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.【解析】(1)令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=，当m=-1时，方程表示的直线不存在，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x=，它表示一条垂直于x轴的直线.(2)依题意，有=-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3(舍去)，或m=-，故m=-.(3)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率k=1.故由-=1，解得m=或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014²渭南高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线y=-2x-1的斜率相等，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10【解析】选B.因为直线y=-2x-1的斜率为-2，所以=-2，解得m=-8.2.(2014²蚌埠高一检测)等边△PQR中，P(0，0)，Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )A.y=±xB.y=±(x-4)C.y=x和y=-(x-4)D.y=-x和y=(x-4)【解题指南】数形结合可知两直线的倾斜角，进而可知两直线的斜率，由直线方程的点斜式可得两直线的方程.【解析】选D.如图，可得k PR，k QR的斜率分别为-，且分别过点P(0，0)，Q(4，0).由点斜式得方程.3.(2014²南阳高一检测)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有( )A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc<0C.ab<0，bc>0D.ab<0，bc<0【解析】选D.由题意知直线的斜率存在，即直线的斜截式方程为y=-x-，所以->0，->0，即ab<0，bc<0.【举一反三】直线过第二、三、四象限呢？【解析】可知-<0，-<0，即ab>0，bc>0.4.(2014²新余高一检测)直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( ) A.(0，0) B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)【解析】选C.将直线方程化为y-1=k(x-3)可得过定点(3，1).二、填空题(每小题5分，共10分)5.直线l的倾斜角为45°，且过点(4，-1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是______【解析】由已知得直线方程为y+1=tan45°(x-4)，即y=x-5.当x=0，y=-5，当y=0，x=5.所以被坐标轴所截得的线段长为=5.答案：56.已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，则直线AB的方程是________________.【解题指南】将x的值代入y=log2x可得A，B两点的坐标，进而根据直线的斜率公式可得直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线AB的方程.【解析】当x=2时，y=log22=1，即A(2，1)，当x=4时，y=log24=2，即B(4，2)，所以直线AB的斜率k==，所以方程为y-1=(x-2)，即x-2y=0.答案：x-2y=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014²临沂高一检测)求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程. 【解析】设直线方程为y=-x+b，令y=0得x=b，由题意知〃|b|〃=12，所以b2=36，所以b=〒6，所以所求直线方程为y=-x〒6.即3x+2y〒12=0.【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.【变式训练】斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l 的方程.【解析】设直线的斜截式方程为y=-x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=b，所以|b|+|b|+=9，即|b|=9，得|b|=3，即b=〒3，所以所求直线的方程为y=-x〒3.即4x+3y〒9=0.8.如图，直线l：y-2=(x-1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程.【解题指南】由直线l的点斜式方程可得直线l的倾斜角，数形结合可求得所求直线的倾斜角，进而可得所求直线的斜率，然后可根据点斜式求出直线方程. 【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y-2=(x-1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′=90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x=1；当α′=30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为：y-2=(x-1)，即x-y+2-1=0.综上，所求l′的方程为x=1或x-y+2-1=0.关闭Word文档返回原板块。
