北京四中2014届九年级数学总复习专练：平行线与相交线 全章复习与巩固(基础)知识讲解

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）撰稿：张晓新审稿：杜少波【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误. 练习：1、（2012重庆市4分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。

平行线及其判定（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列关于作图的语句正确的是（）.A．画直线AB=10厘米.B．画射线OB=10厘米.C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.2．下列判断正确的个数是 ( ).①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ).A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行.D．以上都不对4．下列说法中不正确的是 ( ).A．同位角相等，两直线平行.B．内错角相等，两直线平行.C．同旁内角相等，两直线平行.D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.5．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 ( ).A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行.C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对.6．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠1＝180°；④∠1＝∠3．其中能判定a∥b的序号是( ).A．①② B．①③ C．①④ D．③④二、填空题7.两条射线或线段平行，是指.8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4=，ABCD．11．小军在一X纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．12.已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．三、解答题13.读下列语句，用直尺和三角尺画出图形．(1)点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P，且CD与AB平行；(2)直线AB与CD相交于点O，点P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P，且EF∥AB，与直线CD相交于点E．14．（某某)已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D2.【答案】A【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．3．【答案】C【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．4.【答案】C【解析】同旁内角互补，两直线平行.5.【答案】A【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．6.【答案】A【解析】∠2和∠3，∠1和∠3不是由“三线”产生的角．二、填空题7.【答案】射线或线段所在的直线平行；8．【答案】平行；【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b. 9．【答案】70°；10.【答案】180°，∥；【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.11.【答案】平行;【解析】平行公理的推论12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；【解析】这是平行公理的具体内容.三、解答题13.【解析】解：14．【解析】解：CD∥AB．理由如下：∵ BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∴∠3＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1．∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．15. 【解析】解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°，∠2＝60°，∴∠1＝∠2．∴ AB∥CD．又∵∠3＝∠4＝100°，∴ CD∥EF．∴ AB∥EF．。

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12n A A A 、、在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切. (3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】 类型一、圆的基础知识【高清ID 号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【答案】13；【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝60°，∴∠EOF ＝30°， ∴112EF OE ==，∴223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD =．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 是CA 延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD 等于( )°°°°【答案】本题可先求出∠BAC 的度数，∠BAC 所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数 为360°-120°=240°，所以，因此，.故选B.N MO C BAyxOABDC（第3题）类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号：362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线． 举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x 、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x 的取值X 围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5). 当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，). (2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图所示，已知正方形的边长为a ，求阴影部分的面积．【答案与解析】(几何方法)∵ 正方形边长为a ， ∴2S a =正方形，2221112228a S R a πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭半圆．∵22S S S -=正方形半圆个空白处，∴2222211284S a a a a ππ=-⨯=-个空白处． ∴22421222S S a a π==-个空白处个空白处． ∴22222411222S S S a a a a a ππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭阴影正方形个空白处． ∴ 阴影部分的总面积为2212a a π-． (代数解法)观察图形，可知2个“叶瓣”与1个空白组成1个半圆；4个“叶瓣”与4个空白组成一个正方形．设每个“叶瓣”面积为x ，每个空白面积为y ，则2222,244,a x y x y a π⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪+=⎩①②由①×4-②，得22142x a a π=-，即为阴影部分的总面积． 【总结升华】比较以上两种方法，代数解法更加简捷，在运用此法时，不需把两个未知数求出来，只要求出表示阴影部分面积的代数式的值即可．叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积，则22221144222a S S S a a a ππ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭阴影正方形半圆． 也可以用正方形面积减去四个空白处面积．以上均为几何方法，还可以设每个“叶瓣”面积为x ，每个空白面积为y ，列方程组解答．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴1232AE AB==，EF＝2．设半径为R米，则OE＝(R-2)m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得222(2)(23)R R=-+．解得R＝4．∴ OE＝2，12OE AO=，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

相交线与平行线全章知识点复习及巩固练习班级________姓名_______一、知识梳理1.邻补角的定义： ． 对顶角的定义： ． 对顶角的性质： ．2.当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．如图，用几何语言表示：方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD ，垂足是_____ 方式⑵∵ AB ⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______3.在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形.点到直线的 距离是 的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离.4.识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”， 只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；5. 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）.6.平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线. 平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.a bc平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 .7.两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性，⑶平行线的判定公理：⑷平行线的判定定理1：⑸平行线的判定定理2：⑹平行线的判定推论：8.两条直线平行的性质：⑴根据平行线的定义⑵平行线的性质公理：⑶平行线的性质定理1：⑷平行线的性质定理2：⑸平行线间的距离．9.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题.每个命题都是由_______和______组成.每个命题都可以写成.“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部份是，用“那么”开始的部份是，正确的命题叫做______，错误的命题叫做______.从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做，通过正确的推理得出的真命题叫做 .10.平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是；(3)连接各组对应的线段 .即，在平面内，将一个图形沿移动一定的，图形的这种移动，叫做平移变换，简称.图形平移的方向，不一定是水平的.图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)二、巩固练习1.如图1，直线a，b相交于点O，若∠1=40°，•则∠2 等于_______．图1 图2 图32.如图2，直线a∥b，∠1=123°30′，则∠2=______．3.如图3，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____．A．65° B．75° C．105° D．115°图5 图6 图74.如图5，直线L1与L2相交于点O，OM⊥L1，若α=44°，则β为（• ）A．56° B．46° C．45° D．44°5.如图6，AB∥CD，直线PQ分别交AB，CD于点E，F，FG•是∠EFD的平分线，交AB于点G，若∠FEG=40°，那么∠FGB等于（）A．80° B．100° C．110° D．120°6.如图7，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数为（）A．55° B．75° C．105° D．125°7．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是( )．(A)144°(B)135°(C)126°(D)108°8．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．(A)30°(B)60°(C)150°(D)30°或150°9．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB＝α，则∠EFG等于( )．(A)180°－α(B)90°＋α(C)180°＋α(D)270°－α10．以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有( )．①对顶角的平分线②邻补角的平分线③平行线截得的一组同位角的平分线④平行线截得的一组内错角的平分线⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个11．如图，在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有( )．(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个12．在5×5的方格纸中，将图a中的图形N平移后的位置如图b所示，那么正确的平移方法是( )．(A)先向下移动1格，再向左移动1格(B)先向下移动1格，再向左移动2格(C)先向下移动2格，再向左移动1格图a 图b(D)先向下移动2格，再向左移动2格13．在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( )．图① 图② 图③ 图④ (A)①②(B)①③ (C)②③(D)③④14．如图，AB ∥CD ，若EM 平分∠BEF ，FM 平分∠EFD ， EN 平分∠AEF ，则与∠BEM 互余的角有( )．(A)6个 (B)5个 (C)4个(D)3个15．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕， 若∠EFB ＝32°，则下列结论正确的有( )．(1)∠C ′EF ＝32° (2)∠AEC ＝148° (3)∠BGE ＝64° (4)∠BFD ＝116° (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个16．若角α与β 互补，且 2031=-βα，则较小角的余角为＿＿°． 17．如下左图，已知AB CD //，∠α等于（ ）A ．75B ． 80C ． 85D ． 9518．如下中图，DC ∥EF ∥AB ，EH ∥DB ，则图中与∠AHE 相等的角有___________________-_______________________________________________．19．如下右图，若AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E ，F ，EP 与∠EFD 的平分线相交于点P ，且∠EFD ＝60°，EP ⊥FP ，则∠BEP ＝______°．20．王强从A 处沿北偏东60°的方向到达B 处，又从B 处沿南偏西25°的方向到达C 处，则王强两次行进路线的夹角为______°．21、如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两角的数量关系为______________________________________.AB 120° α 25°CDAB CEDF123422．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）比较线段PE，PF，AO三者的大小关系,并简述理由。

《平行线与相交线》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105知识结构】【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°要点诠释：1 2 ∠1与∠2⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0．(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C．分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?【答案与解析】解： (1)邻补角是∠DOA与∠AOC，∠AOE与∠EOB，∠BOC与∠COA，∠COE与∠DOE，∠DOA 与∠DOB，∠DOB与∠BOC；对顶角是∠AOD与∠COB，∠AOC与∠DOB.(2)邻补角是∠ACB与∠ACD，∠ECD与∠DCA，∠DCE与∠ECB，∠ECB与∠ACB；对顶角是∠ACB与∠DCE，∠BCE与∠ACD．【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.2.直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数. 【答案与解析】解：分两种情况.第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.∵∠COE＝40°,∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∴∠BOD＝∠AOC＝130°.【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况为∠BOD是锐角，第二种情况是∠BOD是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质.举一反三：【变式1】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．【答案】证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)，即直线AB、CD相交于点O，所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)．提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105 经典例题4】【变式2】已知: 如图, ∠1 = ∠B, ∠2 = ∠3, EF⊥AB于F ，求证: CD⊥AB .【答案】证明：∵∠1＝∠B，∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）,又∵∠2 ＝∠3（已知）,∴∠3＝∠BCD.∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.又∵EF⊥AB（已知）,∴CD⊥AB.类型二、平行线的性质与判定3.（2015•宁德）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°【思路点拨】根据平移的性质得出l1∥l2，进而得出∠2的度数．【答案】B．【解析】解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，∴l1∥l2，∵∠1=50°，∴∠2的度数是50°．【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出l1∥l2是解题关键．举一反三：【变式1】（2016·滨州）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M、N，过点N 的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是 ().A．∠EMB＝∠ENDB．∠BMN＝∠MNCC．∠CNH＝∠BPGD．∠DNG＝∠AME【答案】D【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC.【答案】证明：∵∠ABC＝∠ADC,∴11ABC ADC22∠∠＝（等式性质）.又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1＝ABC 21∠，∠2＝ADC 21∠（角平分线的定义）. ∴∠1＝∠2 （等量代换）.又∵∠1＝∠3（已知）, ∴∠2＝∠3（等量代换）.∴AB ∥DC(内错角相等，两直线平行). 类型三、命题及平移4.在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于180°，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗? 【答案与解析】 已知：三角形ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证明：过A 点作EF ∥BC ．则∠EAB=∠B ，∠FAC=∠C （两直线平行，内错角相等）． ∵ ∠B+∠BAC+∠C=∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定义)， ∴ ∠A+∠B+∠C=180°．【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明.5.（吉林）如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是( )A ．18B ．16C ．12D ．8【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求． 【答案】B 【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.举一反三： 【变式】（2015.镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）A.48B.96C.84D.42【答案】A类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF=∠EFG=30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF=∠DEF=30°，所以∠DEG=2∠DEF=60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC=180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF=∠EFG=30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF=∠DEF=30°（对折后重合部分相等），所以∠DEG=2∠DEF=60°.所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）A．60° B．30° C．45° D．90°【答案】C附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

《平行线与相交线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105知识结构】【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠21 2 ∠1与∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°要点诠释：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,所以∠AOC是∠BOC的补角.因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,∠AOD=∠BOC（已知）,所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠B OC没有对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.【答案与解析】解：∵a⊥b,∴∠2＝∠1＝90°.又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,又∠3与∠4互为邻补角，所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.所以∠4＝135°.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．类型二、平行线的性质与判定3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题3】举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∴∠5＝∠3.又∠3=∠B,∴∠5＝∠B.∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).类型三、命题及平移4.(某某中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.【解析】解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.举一反三：【变式】下列命题真命题是( )A．互补的两个角不相等 B．相等的两个角是对顶角C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．同角或等角的补角相等【答案】D5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离．【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C．举一反三：【变式】下列说法错误的是（）A．平移不改变图形的形状和大小B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D．经过平移，图形对应点的连线段相等【答案】B类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.。

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15相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图余角余角补角补角角 两线相交 对顶角同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理 （一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.相交线与平行线5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1)00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠（同角的余角或补角相等).（2)00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=且14,∠=∠则23∠=∠（等角的余角（或补角）相等）。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

（二)对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.3、对顶角的性质:对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

平行线及其判定（提高）知识讲解【学习目标】1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点三、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行线的定义及表示1．下列说法正确的是 ( )A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．类型二、平行公理及推论2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

《平面直角坐标系》全章复习与巩固(基础)知识讲解【学习目标】1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：要点诠释：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.要点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．要点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x ，y+b)(或(x ，y-b))． 要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．【典型例题】类型一、有序数对1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的数：21a b ++．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m ，再将数对(m ，1)放入其中，得到的数是________． 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入21a b ++求值即可． 【答案】66 .【解析】解：将(-2，3)代入，21a b ++，得(-2)2+3+1＝8， 再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66， 故填：66．【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，解出m 的值，即可求出把（m ，1）放入其中得到的数．举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.类型二、平面直角坐标系2. (滨州)第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________．【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值．【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．举一反三：【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为() ．A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】C.【变式2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为() ．A．(5，2)B．(-6，3)C．(-4，-6)D．(3，-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用3.如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标．【思路点拨】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定x轴、y轴，建立不同的直角坐标系，各顶点的坐标也不同．【答案与解析】解：建立直角坐标系如图所示，则各点的坐标为(-4，0)，(-3，0)，(-3，-4)，(3，-4)，(3，0)，(4，0)，(0，3)，再建立不同的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标．(读者自己试试看)【总结升华】选择适当的直角坐标系可方便解题，一般尽可能使大多数的点的坐标为整数且易表示出来．【高清课堂：平面直角坐标系单元复习 8（1）】4.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积.【思路点拨】观察图形可知，三角形ABC的边AB在x轴上，根据点A、B两点横坐标的差可计算出AB的长，AB边上的高等于点C的纵坐标的绝对值，由此可计算出△ABC的面积．【答案与解析】解：由图可知，AB＝5－（﹣1）＝6，高＝44-=，所以△ABC的面积＝16412 2⨯⨯=.答：△ABC的面积为12平方单位.【总结升华】本例通过图形的转化，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题．点的坐标能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分广泛．5.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．(1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?(3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．【高清课堂：平面直角坐标系单元复习 5】举一反三：【变式】（1）将点P（325,-5）向左平移35个单位，再向上平移4个单位后得到的坐标为 .（2）将点P向左平移35个单位，再向上平移4个单位后得到1P(2，-1)，则点P的坐标为 .（3）将点P(m-2，n+1)沿x轴负方向平移3个单位，得到1P (1-m，2)，则点P坐标 .(4)把点P1(2，-3)平移后得点P2(-2，3)，则平移过程是________________.【答案】（1）（2，-1）（2）（325,-5）（3）（1,2）（4）先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度；类型四、综合应用6.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）求出三角形A1B1C1的面积．【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．∴△A1B1C1的面积=3.25．【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) .A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在B EFC H DA G 面上的影长为40米，则古塔高为________.13. 若, 则的值为 .14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________.15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。