天津市耀华中学2012年12月高三第三次月考理科数学试题

天津市耀华中学2023届高三年级第三次月考数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）1.设集{}2,1,0,1,2A =--.集合2{|20}B x x x =--<.则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数3y =）A. B.C. D.4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照[)50,60、[)60,70、…、[]90,100分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A.图中x 的值为0.02B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀5.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --= B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=6.设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（）A.()f x 1+B.()f x 的一个零点为π8x =C.()f x 的最小正周期为πD.()y f x =的图象关于直线3π8x =对称7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率为e ，过1F 的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，若2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e 等于（）A.5-B.5+C.D.2-8.已知0.5x x =，0.5log yy x =，log 0.5zx z =，则（）A.y x z<< B.z x y<< C.x z y<< D.z y x<<9.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=对任意的实数x 都成立，且值域为[0,1].设函数()1g x x m x =---，（1m <），若对任意的11(2,2x ∈-，存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围为（）A.[6,1)- B.51[,]22-- C.[0,1)D.1[,0]2-第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸相应位置上）10.若1z =-+，则1zzz =-___________.11.5323x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．12.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．13.在三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，AB BC AC ===，则三棱锥-P ABC 外接球的体积是______．14.已知正数,x y 满足22831322x xy xy y+=++，则xy 的最小值是_________．15.已知O 为矩形ABCD 内一点，满足5OA = ，4OC = ，7AC =，则OB OD ⋅=__________．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将答案填在答题纸上）16.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.17.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，AE BE ==M 为BE 的中点.（1）求证：CM ∥平面ADE ；（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN所成的角正弦值为21，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为53，且过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若458MP BF m⋅=，求直线l 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()21nn n c a =-，*N n ∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；（3）设223n n d b n =-，记11n n i iT d ==∑，证明：当*n ∈N 时，23722322n n n T a b +≤+⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.已知函数()()()1ln e 0x f x ax a -=->有最大值2-，（1）求实数a 的值；（2）若ln y x =与e x m y -=有公切线()1ln y k x a =++，求()k m k -的值．（3）若有()ln 1ln ex mx k x a -≤++≤，求()k m k -的最大值．天津市耀华中学2023届高三年级第三次月考数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在规定位置）1.设集{}2,1,0,1,2A =--.集合2{|20}B x x x =--<.则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】解不等式得到集合B ，再利用集合的交集求解.【详解】()()2{|20}{|210}{|12}B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<又{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}0,1故选：B2.在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先利用大角对大边得到a b <，进而利用正弦定理将边边关系得到sin sin A B <，即证明了必要性，再同理得到充分性．【详解】在三角形中，若A ＜B ，则边a ＜b ，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin A B <．若sin sin A B <，则由正弦定理sin sin a bA B=，得a ＜b ，根据大边对大角，可知A ＜B ，即sin sin A B <是A ＜B 的充要条件．故选C .【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行sin sin A B <与A B <的转化.3.函数3y =）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用2x =时0y >排除选项D ，利用2x =-时0y <排除选项C ，利用12x =时0y <排除选项B ，所以选项A 正确.【详解】函数3y =的定义域为{}1x x ≠±当2x =时，30y ==>，可知选项D 错误；当2x =-时，30y -==，可知选项C 错误；当12x =时，311220y ⎛⎫-⎪==，可知选项B 错误，选项A 正确.故选：A4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照[)50,60、[)60,70、…、[]90,100分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A.图中x 的值为0.02B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀【答案】D 【解析】【分析】根据统计学的有关原理逐项分析.【详解】对于A ，()0.0050.0350.0300.010101,0.020x x ++++⨯=∴=，正确；对于B ，()0.0050.0200.035100.6++⨯= ，()0.0050.0200.0350.030100.9+++⨯=，∴75%分位数=0.750.68010850.3-+⨯=，正确；对于C ，平均数=550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，正确；对于D ，90分以上的人数为20000.1200⨯=，错误；故选：D.5.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --= B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=【答案】D 【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6.设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（）A.()f x1+B.()f x 的一个零点为π8x =C.()f x 的最小正周期为πD.()y f x =的图象关于直线3π8x =对称【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E 图象与性质进行判定.【详解】2π()(sin cos )cos 21sin 2cos 2124f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎝-⎪⎭，所以()f x 的最小正周期为π，()f x 1，C ，A 正确；当3π8x =时，3ππsin 2184⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线3π8x =对称，D 正确；因为π108f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以π8x =不是函数()f x 的零点，B 错误，故选：B.7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率为e ，过1F 的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，若2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e 等于（）A.5-B.5+C.D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线性质设1MF m =，则22MF m a =+，12NF a =，24NF a =，计算得到()2m a =-，根据勾股定理解得答案.【详解】2MF N 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设1MF m =，则22MF m a =+，12NF a =，2224NF a a a =+=，则22NF =，即)42a m a =+，解得()2m a =-，在直角12MF F △中：()()22242c a ⎡⎤=-+⎣⎦，化简得到2222054c e a -===-故选：A.8.已知0.5x x =，0.5log yy x =，log 0.5zx z =，则（）A.y x z <<B.z x y<< C.x z y<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】将0.5x x =变形为0.5log x x =，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，得到0.51x <<，进而得到1x z <<，()0.5,1y ∈，y x x <，结合0.5log x x =，0.5log y y x =，得到0.50.5log log x y <，x y >，求出y x z <<.【详解】要比较0.5x x =，0.5log yy x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，∵0.5log x x =，由定义域可知0x >，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减，0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >，∴1log 0log x x z >=，∵0.51x <<，∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =，∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<.故选：A.【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，从而确定所比两值的大小关系．9.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=对任意的实数x 都成立，且值域为[0,1].设函数()1g x x m x =---，（1m <），若对任意的11(2,2x ∈-，存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围为（）A.[6,1)- B.51[,]22-- C.[0,1)D.1[,0]2-【答案】D 【解析】【分析】先根据函数()f x 满足的关系式及奇偶性，值域，得到()1,1,111,1x f x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，再写出1,()21,11,1m x m g x x m m x m x -<⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当1x >时，()11g x m =-+≥及1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 时，()g x 的图象要位于()f x 的下方，得到1122g f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出实数m 的取值范围.【详解】3222[()][()]()0f x f x x f x x --+=变形为[]22[()]()10f x x f x --=，所以()1f x =或22()f x x =，即()1f x =或()f x x =，因为()f x 为偶函数，且值域为[0,1]，所以()1,1,111,1x f x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，因为1m <，所以1,()121,11,1m x m g x x m x x m m x m x -<⎧⎪=---=--≤≤⎨⎪-+>⎩，在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：要想满足若对任意的11(2,)2x ∈-，存在21x x >，使得21()()g x f x =成立，则当1x >时，()11g x m =-+≥，所以0m ≤，且1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 时，()g x 的图象要位于()f x 的下方，故只需1122g f ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12m -≤，解得：12m ≥-，综上：实数m 的取值范围是1[,0]2-.故选：D【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸相应位置上）10.若1z =-+，则1zzz =-___________.【答案】1i 33-+【解析】【分析】代入后利用复数的乘法运算法则计算即可.【详解】由于1z =-+，所以13131333z zz -+==-+-i.故答案为：1i 33-+.11.5323x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．【答案】270-【解析】【分析】写出二项展开式的通项()531523C rrrr T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3(5)2r r -=即可得3r =，代入计算可得其常数项.【详解】由题意可知，其通项为()()533(5)1552231C 3C rrr r r r r rT x x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3(5)2r r -=，得3r =；则常数项为()()3233335523C3C 270x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：270-12.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．【答案】40【解析】【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前12项，相当于已知11215.5, 4.5a a ==，求解5678a a a a +++.【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列{}n a ，设公差为d ，则11215.5, 4.5a a ==所以15.511 4.5d +=，则1d =-，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为567811.510.59.58.540a a a a +++=+++=故答案为：4013.在三棱锥-P ABC中，PA PB PC ===，AB BC AC ===，则三棱锥-P ABC 外接球的体积是______．【答案】1256π【解析】【分析】作出图形，取等边ABC 的中心G ，连接PG ，可知三棱锥-P ABC 外接球球心在直线PG 上，设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，根据几何关系列出关于R 的方程，解出R 的值，进而可求得三棱锥-P ABC 外接球的体积.【详解】取等边ABC 的中心G ，连接PG 、AG，如下图所示：PA PB PC ===，AB BC AC ===，所以，三棱锥-P ABC 为正三棱锥，所以，三棱锥-P ABC 外接球球心O 在直线PG ，设该球的半径为R ，由正弦定理得22sin3ABAG π==，所以，4PG ==，由勾股定理得222OA OG AG =+，即2244R R =-+，解得52R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为334451253326V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：1256π.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，要分析出球心的位置，并结合几何关系列等式求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知正数,x y 满足22831322x xy xy y+=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，将等式22831322x xy xy y +=++化简变形，得到xy 的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.【详解】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++，即322223221)6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222222221691416914383844y yy x xy x x y y y x xyx xxy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++=所以，22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥ ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====时，即52x y ==时，等号成立.故答案为：52【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出xy 的表达式，根据222241691438y x y xyy x x x y++=++可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.15.已知O 为矩形ABCD 内一点，满足5OA = ，4OC = ，7AC =，则OB OD ⋅=__________．【答案】4-【解析】【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.【详解】OB OD ⋅=()()OA AB OC CD +⋅+ OA OC =⋅ OA CD +⋅ AB OC +⋅ AB CD +⋅ OA OC =⋅ OA AB -⋅ AB OC +⋅ AB CD+⋅ OA OC =⋅ ()AB OC OA AB CD +⋅-+⋅OA OC =⋅ AB AC AB CD+⋅+⋅ OA OC =⋅ ()AB AC CD +⋅+OA OC =⋅ AB AD +⋅ OA OC =⋅ ||||cos ,OA OC OA OC =⋅<>222||||||||||2||||OA OC AC OA OC OA OC +-=⋅⋅⋅222||||||2OA OC AC +-=2516492+-=4=-.故答案为：4-.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将答案填在答题纸上）16.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）17-.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin 3sin A B =，再由23A B π+=求出3tan 5B =，再利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-，即222a b c ab +-=∴1cos 2C =，又∵(0,)C π∈∴3C π=；（Ⅱ）∵3a b =，∴由正弦定理得sin 3sin A B =，∵23A B π+=，∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴tan B =∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴2157sin ,cos 1414B B ==，∴5311sin 22sin cos ,cos 21414B B B B ===∴1cos(2)cos 2cos sin 2sin 7B C B C B C +=-=-17.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，AE BE ==M 为BE 的中点.（1）求证：CM ∥平面ADE ；（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN 所成的角正弦值为4621，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.【答案】（1）见解析（2）255（3）22【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解（3）待定系数法表示N 点坐标，由空间向量求解【小问1详解】取AE 中点F ，连接,DF MFM 是BE 的中点，//MF AB ∴，12MF AB =，故//MF CD ，MF CD =，四边形MFDC 为平行四边形，//MC FD ∴，而MC ⊄平面ADE ，FD ⊂平面ADE ，CM ∴∥平面ADE【小问2详解】因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，所以BC ⊥平面ABE ，取AB 中点O ，连接,OD OE ，易得DO ⊥平面ABE ，OB OE ⊥以O 为原点，,,OE OB OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则有(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)E B C D，(0,1,1),1,0)BD BE =-=-，设平面EBD 的一个法向量为1(,,)n x y z =，由1100n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y z y -+=⎧⎪-=，取1x =，得1n =，易知平面BDC 的一个法向量为2(1,0,0)n =，则1212||cos =5||||n n n n θ⋅=，sin 5θ=，故平面EBD 与平面BDC．【小问3详解】(0,1,0)A -，(0,1,1)AD = ，设(0,,)AN t AD t t ==，[0,1]t ∈则(0,1,)N t t -，(0,2,)BN t t =-，1,0)BE =-，设平面BEN 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BN n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得(2)0t y tz y -+=⎧⎪-=，得,,2)2n t t =-，而1(,,1)22MD =-- ，故11|2|||4622sin 21||||t t t MD n MD n α--+-⋅== ，21634130t t -+=，解得12t =或138t =（舍去）故1222AN AD ==18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为53，且过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若458MP BF m⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）22194x y +=（2）510944y x =+【解析】【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出,,,M P B F 的坐标，再根据直线与椭圆相切求出,m k 之间的关系式，代入458MP BF m⋅= 可求得,k m ,进而求出直线方程.【小问1详解】(),0F c ，则过F 的垂线为x c =，联立椭圆方程得：22222222221,c y b c b y b y a b a a+=∴=-∴=±弦长=282,3b a =又53c e a ==，联立222a b c =+解之得：3,2,a b c ===所以，椭圆的标准方程为22194x y +=【小问2详解】由（1）知())()50,2,,,0,(0)2BF NP B Fk k N m m ∴=-∴=>，5:,,02NP l y x m P ⎛⎫∴=+∴- ⎪⎝⎭将直线与椭圆联立()222214936094x y x kx m y kx m ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩整理得：()22294189360k x kmx m +++-=相切()()()22222184949360,9 4.km k m m k ∴-+-=∴=+代入()22294189360k x kmx m +++-=解得：9M k x m =-299,k k M m m m ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭()22995,2,,5k k BF MP m m m m ⎛⎫∴=-=-+- ⎪⎝⎭ 222999518525458k k k k m MP BF m m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⋅=⎭解之：51095109,,:4444k m l y x ==∴=+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()21nn n c a =-，*N n ∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；（3）设223n n d b n =-，记11nn i i T d ==∑，证明：当*n ∈N 时，23722322n n n T a b +≤+⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21n a n =-；3n n b =（2）28n （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式进行计算可求出结果；（2）根据()()()()221222128(21)12211141n n n n c c n n n --+=-⋅--+-⋅-⎡=⎣-⎤⎦进行并项求和可求出结果；（3）转化为证明()273142231n n T n ≤-⋅⋅-+，根据()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪ ⎪⋅-⋅-+⎝⎭进行裂项求和可证明不等式成立.【小问1详解】因为{}n a 是公差为2的等差数列，且864S =，所以18782642a ⨯+⨯=，解得11a =，所以()12121n a n n =+-=-；设等比数列{}n b 的公比为()0q q >，因为13b =，3218b b -=，所以23318q q -=，即260q q --=，解得2q =-（舍去）或3q =，所以1333n n n b -=⨯=．【小问2详解】由（1）得()()()221121n n n n c a n =-=-⋅-，则()()()()2212221212211141n n n n c c n n --+=-⋅--+-⋅-⎡⎤⎣⎦()()()()()()22222214314141431688(21)n n n n n n n n =--⋅-+-⋅-=---=-=-，()()()21234212n n n S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++()()2121813521882n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=⨯=⎡⎤⎣⎦．【小问3详解】由（1）可知：2122323n n n d n n b -=-=⋅-．又3n n b =，21n a n =-，所以要证明原不等式成立，只需证明：()273142231n n T n ≤-⋅⋅-+成立．当1n =时，左边=1，右边=1，左边=右边．当2n ≥时，因为()()()212212231112323231n n n n n n d n n n --⎡⎤⋅-+⎣⎦==⋅-⎡⎤⋅-⋅-+⎣⎦()()()2211223111432123231n n n n n n n n --⎡⎤⋅-+=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦，因为223(1)n n ⨯-+22(12)(1)n n =+-+012222(C C 2C 2C 2)(21)n n n n n n n n =+⋅+⋅++⋅-++ 012222(C C 2C 2)(21)n n n n n ≥+⋅+⋅-++222(1222)(21)n n n n n =++--++2321(32)10n n n n =-+=-+>，所以223(1)0n n ⨯-+>，因为143(21)n n -⋅-+14(12)(21)n n -=+-+01111114(C C 2C 2)(21)n n n n n n -----=+⋅++⋅-+ 01114(C C 2)(21)n n n --≥+⋅-+650n =->，所以143(21)0n n -⋅-+>，因为()()2231121022n n n n +-+=-->，所以2221(1)3n n +<+，所以()()221223123(1)022432123(1)33n n n n n n n n -⋅-+⋅-+<<⋅-+⋅⋅-+23=，即()()212313043212n n n n -⋅-+<<⋅-+．所以当2n ≥时，有()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪ ⎪⋅-⋅-+⎝⎭，所以12212111311111112299382323(1)n n n d d d n n -⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-++- ⎪⋅-⋅-+⎝⎭ 231112223(1)n n ⎛⎫=+- ⎪⋅-+⎝⎭即12111n d d d ++⋅⋅⋅+<231112223(1)n n ⎛⎫+- ⎪⋅-+⎝⎭，所以27314223(1)n n T n <-⋅⋅-+，于是，当*n ∈N 时，()273142231n n T n ≤-⋅⋅-+成立．综上所述：当*n ∈N 时，23722322n n n T a b +≤+⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：通过放缩得到()2121311223231n n n d n n -⎛⎫≤- ⎪⋅-⋅-+⎝⎭，并利用它进行裂项求和是解题关键.20.已知函数()()()1ln e0x f x ax a -=->有最大值2-，（1）求实数a 的值；（2）若ln y x =与e x m y -=有公切线()1ln y k x a =++，求()k m k -的值．（3）若有()ln 1ln ex m x k x a -≤++≤，求()k m k -的最大值．【答案】（1）1e a -=（2）()1k m k -=（3）1【解析】【分析】（1）求导根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而根据最大值为2-求解即可；（2）分别对两函数求导，设切点，并结合导数的几何意义列式，分别得出ln k k =-与1ln k m k=-即可求解；（3）转化可得()min e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，构造函数()()e 1R x m u x kx k x -=--+∈，求导分情况讨论k 的范围，从而分析()u x 的最小值可得1ln mk k k ≤-；同理()max ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，构造()()ln 10v x x kx k x =--+>，求导分析最大值可得ln k k -≤，从而得到21mk k -≤即可.【小问1详解】由题意()11e x f x x-'=-为减函数，且()10f '=，故在()0,1上()0f x ¢>，()f x 单调递增，在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减.故()12f =-，即ln 12a -=-，解得1e a -=，经检验，1e a -=符合题意．故1e a -=．【小问2详解】由（1）ln 1a =-，故()1ln e 1x f x x -=--，公切线公切线1y kx k =+-.设ln y x =上切点为()11,ln x x ，则11k x =，代入切线()()1111111ln 1111x k x x x x =+-=+-=，解得ln k k =-①.设e x m y -=上切点为()22,ex m x -，2e x m k -=，切线方程()222e e x m x m y x x ---=-，()222e e 1x m x m y x x --=+-由于公切线()222e e11x m x m k x k --⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得21111k x k k--==-，21x k =因此代回，可得1e m k k -=，1ln k m k =-②再代入①，得1k m k-=-，()1k m k -=【小问3详解】对于e 1x m kx k -≥+-，可得不等式e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，即()min e 10x m kx k ---+≥在R 上恒成立，设()()e 1R x m u x kx k x -=--+∈，则()e x m u x k -'=-，若0k ≤，则()0u x '>，函数()u x 在R 上单调递增，且()e 10x m u x kx k -=--+>，符合题意；若0k >，令()0ln u x x m k '<⇒<+，令()0ln u x x m k '>⇒>+，所以()u x 在(),ln m k -∞+上单调递减，在()ln ,m k ++∞上单调递增，所以()()min ln ln 1u x u m k mk k k =+=--+，由()min 0u x ≥，得ln 10mk k k --+≥，即1ln mk k k ≤-①；对于1ln kx k x +-≥，可得不等式ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，即()max ln 10x kx k --+≤在()0,∞+上恒成立，设()()ln 10v x x kx k x =--+>，则()1v x k x '=-，若0k ≤，则()1120v k =->，不符合题意；若0k >，令()100v x x k '>⇒<<，令()10v x x k'<⇒>，所以()v x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1ln v x v k k k ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由()max 0v x ≤，得ln 0k k --≤，即ln k k -≤②．当0k >时，由①②得，22221ln 11mk k k k k k k -≤--≤+-=，即21mk k -≤，设()ln h k k k =+，则()22e 2e 0h --=-+<，()110h =>，故()h k 存在零点0k ，故21mk k -≤当且仅当0k k =，0001ln k k m k -=时等号成立．综上，2mk k -的最大值为1．【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义解决切线的问题，同时也考查了构造函数解决不等式恒成立的问题.需要根据题意将不等式转化到一边，构造函数，求导分情况讨论分析函数的最值，并结合前后问的关系推导.属于难题.。

天津市耀华中学2016届高三第三次月考理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.对于函数(),y f x x =∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.将函数=sin(+) (R)6y x x π∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为A.5=sin(2+) (R)12y x x π∈ B.5=sin(+) (R)224x y x π∈C.=sin() (R)212x y x π-∈ D.5=sin(+) (R)212x y x π∈ 4.执行如图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是A ．9k ≤B ．8k ≤C ．7k ≤D ．6k ≤5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A ．18πB ．36πC ．72πD ．144π6.设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>7.关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个实根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛 物线的离心率，则11b a -+的取值范围是 A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(0,1) 8.下列五个命题中，①若数列{}n a 的前n 项和为32nn S =-，则该数列为等比数列；②若1-≥m ，则函数213log (2)y x x m =--的值域为R ；③函数)2(x f y +=与函数)2(x f y -=的图象关于直线x ＝2对称；④已知向量(2,1)a =--r 与(,1)b λ=r 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是1(,)2-+∞；0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距⑤母线长为2其中正确命题的个数为 A ．B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ．11.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 12.已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b+≥+总能成立，则m 的最大值是 ． 13.已知等差数列{}n a ，若24236n a a a a a +++=L ，132135n a a a a a -+++=L ，且2200n S =，则公差d = ．14.设点O 为ABC ∆的外心，12,3,2=+==y x AC AB ，若)0(≠+=xy AC y AB x AO ，则=∠BAC cos ．三．解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．． 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =,5b =,求向量BA uu u r 在BC uuur 方向上的投影. 16.（本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立,第局甲当裁判. （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望. 17.（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,22,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求PQPB的值．18.（本小题满分13分）如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线的方程为=4x .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=k k k λ？若存在PDCBA求λ的值；若不存在,说明理由.19.（本小题满分14分）设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,{}n a和都是等差数列,且公差相等．125,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求{}n b 的公比q ； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记数列224(121)n n n b c b =-，{}n c 的前n 项和为n T ,求证:对任意*n N ∈，都有2n T <． 20.（本小题满分14分）已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-= （Ⅰ）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时,若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为2-,求a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意1212,0,x x x x >≠,有1212()()2f x f x x x ->--恒成立,求a 的取值范围．天津市耀华中学2016届高三第三次月考（理科）数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

天津外国语大学附属滨海外国语学校 Lesson 39 A Class Calendar Lead-in What’s the date? It’s_______ January February Presentation March April May June It’s _______. On this day, we have a class party. It’s _______. We have Sports Day at our school. It’s_______. We have a basketball game against Class 6. one first January two second February three
third March four fourth April five fifth
May six sixth June Cardinal Ordinal Months 1. What is the date today? 今天几月几日？ 【巧解句构】本句是由what引导的特殊疑问句，用来对“日期”进行提问，date 名词，意为“日期”。

What’s the date today?是询问日期的固定句式，也可以说成：What date is it today？ 答语常用“It’s+日期”或者“Today is+日期”。

Language Points What is the date today?今天是几月几日？ Today is December 19. 今天12月19日。

* * 天津外国语大学附属滨海外国语学校。

天津耀华中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个 B．4个 C．6个 D．8个参考答案：B2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布＞，若在（0，2）内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8参考答案：C3. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（） B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）参考答案：考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．4. ，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为参考答案：B略5. 函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知向量，，，则（）A． B． C． D．参考答案：C7. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（）A. B.C. D.参考答案：B8. 已知向量，若，则等于( )A． B． C．D．参考答案：答案：C9. 等差数列{a n}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和韦达定理求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3和a9是关于x的方程x2﹣16x+c=0（c＜64）的两实根，∴a3+a9=16，∴该数列前11项和S11===88．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．10. 已知设函数F(x)= f(x+4)，且F(x)的零点均在区间[a,b] (a<b,a,b) 内，,则x2＋y2＝b－a的面积的最小值为( )(A) (B).2 (C).3 (D). .4参考答案：A验证，易知时，；时，所以在上恒成立，故在上是增函数，又，∴只有一个零点，记为，则.故的零点即将向左平移个单位，，又函数的零点均在区间内，且，故当，时，即的最小值为，即圆的半径取得最小值，所以面积取得最小值，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设表示不超过的最大整数，如，给出下列命题：（1）对任意的实数，都有；（2）若，则；（3）。

天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数=++-ii i 111 A. i -B.C. i -1D. i +1【答案】D 【解析】2211(1)1221(1)(1)12ii i i i i i i i i i i ++-++-++====+-+-,选D. 2. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当⎩⎨⎧<<<<3210y x 能得到⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但当⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 时，不妨取21x y ==，满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但⎩⎨⎧<<<<3210y x 不满足，所以甲是乙的必要而不充分条件 选C.3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】由y x z +=得y x z =-+.做出不等式对应的平面区域阴影部分，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点C (2,0)时，直线的截距最小，此时z 最小，为202z x y =+=+=，无最大值，选B.4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】第一次循环为00,021,1S S k ==+==;第二次循环为11,123,2S S k ==+==;第三次循环为33,3211,3S S k ==+==;第四次循环为1111,112100,4S S k ==+>=;第五次循环，不满足条件，输出4k =.选A.5. 已知等比数列{a n }的首项为1，若1234,2,a a a 成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为 A.1631B. 2C.1633 D.3316 【答案】A【解析】因为1234,2,a a a 成等差数列，所以13244a a a +=，即211144a a q a q +=，所以2440q q -+=，即2(2)02q q -==，，所以1112n n n a a q --==，所以111()2n n a -=，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和55511(1())13122[1()]121612S -==-=-，选A. 6. 将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 A.8πB.83π C.43π D.2π【答案】B【解析】函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位得到2sin[2()]2sin(22)44y x x ππϕϕ=-+=+-，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍得到2sin(42)4y x πϕ=+-，此时 关于直线4π=x 对，即当4π=x 时，4242,4442x k k Zππππϕϕπ+-=⨯+-=+∈，所以324k πϕπ=+，3,82k k Z ππϕ=+∈，所以当0k =时，ϕ的最小正值为38πϕ=，选B. 7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 5【答案】D【解析】由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y x a y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A p x =，即2222pa p x b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以225c a =，即25e =，所以离心率e = D.8. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】C【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=---=-+, 若P 、Q 关于原点对称，可知，函数为奇函数，可有2()4()f x x x f x -=-+=-，即2()4,(0)f x x x x =->，则函数24,(0)y x x x =--≤的图象关于原点对称的函数是2()4,(0)f x x x x =->,由题意知，作出函数2()4,(0)f x x x x =->的图象，看它与函数2()log ,(0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．由图象可知它们的图象交点个数为2个，所以此函数的“友好点对”有2对，选C.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______； 【答案】18【解析】由题意知，中年职工和老年职工共有270人，则老年职工人数为90人.则抽出老年职工人数为x ，则3290160x =，解得18x =. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________；【答案】8011. 若⊙1与⊙2相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是____________________； 【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ，所以452052=⋅⋅=AB . 12. 已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为________________； 【答案】215-【解析】函数的导数为2'()32f x x bx c =++，因为函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，所以2'()320f x x bx c =++≤在[1,2]-上横成立.则有'(1)0'(2)0f f -≤⎧⎨≤⎩，即3201240b c b c -+≤⎧⎨++≤⎩，设z b c =+，则c b z =-+.做出不等式对应的平面区域BCD,如图，平移直线c b z =-+，由图象平移可知当直线c b z =-+经过点B 时，直线c b z =-+的截距最大，此时z 最大.由3201240b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得326b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即3(,6)2B --，代入z b c =+得315(6)22z =-+-=-，即b c +的最大值为215-.13. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ，则⋅=_______；【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.14. 设{a n }是等比数列，公比2=q ，S n 为{a n }的前n 项和.记1217+-=n nn n a S S T ，*N n ∈，设0n T 为数列{T n }的最大项，则n 0=__________； 【答案】4【解析】设首项为1a，则n S =，2n S =11n n a a +=，所以1217+-=n nn n a S ST =2(2)17(n -=[(2)17](n =+-，因为8n≥=，当且仅当n =，即4n=，4n =时取等号，此时[(2)17](817)(n n T =+-≤-=有最大值，所以04n =.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知21)(=A f ，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值.16. （本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51. （1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，︒90=ABC ∠，AB=PB=PC=BC=2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD.（1）求证：AB ⊥平面PBC ；（2）求平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小； （3）在棱PB 上是否存在点M 使得CM//平面PAD ？若存在，求PBPM的值；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）如图F 1、F 2为椭圆1:2222=+by a x C 的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2312-=∆DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F 1的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知函数x x ppx x f ln )(--=，)21(ln )(22p e e x p x x g -+-=，其中无理数e=2.71828….（1）若p=0，求证：x x f -≥1)(；（2）若)(x f 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p ，是否存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立？若存在，求出符合条件的一个x 0；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=.（1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.数学发展性试题（理科）：（15分）1. 若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为（ ）A. 13-B. 13+C. 232+D. 232-2. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i ⋯（n 是不小于3的正整数），若对任意的p ，},,3,2,1{n q ⋯∈，当q p <时有q p i i >，则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2.若数组),,,,(321n i i i i ⋯的逆序数为n ，则数组),,,(11i i i n n ⋯-的逆序数为_________；3. 定义在)1,1(-上的函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时0)(>x f .若)0(,21,11151f R f Q f f P =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=，则P,Q,R 的大小关系为_____________.【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBA ABDC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 18 10. 8011. 4 12. 215-13. 18 14. 4三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15. 解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π)62sin(2cos 212sin 23π+=+=x x x 令)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ )(x f 的单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）由21)(=A f ，得21)62sin(=+πA ∵62626ππππ+<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A 由b,a,c 成等差数列得2a=b+c∵9=⋅AC AB ，∴9cos =A bc ，∴18=bc由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= ∴183422⨯-=a a ，∴23=a16. 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为614132=⨯ 丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=-， 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯ （2）ξ可能取的值为0,3,6.41)411)(321()0(=--==ξP127)321(41)411(32)3(=-+-==ξP 614132)6(=⨯==ξP 所以ξ的分布列为ξ0 3 6P41 127 61 E ξ=4116161273410=⨯+⨯+⨯17. 解：（1）证明：因为o 90=∠ABC ，所以AB ⊥BC因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC. （2）如图，取BC 的中点O ，连接PO ，因为PB=PC ，所以PO ⊥BC.因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ，因为平面PBC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD 得，)0,2,1(),0,1,1(),3,0,0(A D P -.所以)0,1,2(),3,1,1(=-=DA DP ， 设平面PAD 的法向量为),,(z y x =.因为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DA m ，所以⎩⎨⎧=+=+-0203y x z y x令1-=x ，则3,2==z y .所以)3,2,1(-=m .取平面BCP 的一个法向量)0,1,0(=， 所以22,cos =>=<n m 所以平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小为4π （3）在棱PB 上存在点M 使得CM//平面PAD ，此时21=PB PM .取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ，则MN//PA ，AN=21AB.因为AB=2CD ，所以AN=CD ，因为AB//CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以CN//AD.因为MN ∩CN=N ，PA ∩AD=A ，所以平面MNC//平面PAD. 因为CM ⊂平面MNC ，所以CM//平面PAD. 18. 解：（1）由题意得23==a c e ，故ab ac 21,23==，231)231(412)23(21)(2122-=-⨯=⨯-=⨯-⨯=∆a a a a b c a S DEF ， 故42=a ，即a=2，所以b=1，c=3，故椭圆C 的标准方程为1422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(),21,3(---B A ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---Q P .而021≠=⋅. 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y ，消去y 得：041238)14(2222=-+++k x k x k设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y xQ y x P ，由根与系数的关系可得：14382221+-=+k k x x ，144122221+-=k k x x 若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ， 而),2(),,2(2211y xOQ y x OP ==，因此0=⋅， 即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即141222+-k k =0，解得22±=k所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y 19. 解：（1）证明：当p=0时，x x f ln )(-=.令)0(1ln )(>+-=x x x x m ，则xxx x m -=-='111)( 若10<<x ，则0)(>'x m ，)(x m 在区间)1,0(上单调递增； 若1>x ，则0)(<'x m ，)(x m 在区间),1(+∞上单调递减. 易知，当x=1时，)(x m 取得极大值，也是最大值.于是0)1()(=≤m x m ，即01ln ≤+-x x ，即x x -≥-1ln 故若p=0，有x x f -≥1)(（2）2221)(xp x px x x p p x f +-=-+='，令)0()(2>+-=x p x px x h ①当p=0，01)(<-='xx f ，则)(x f 在),0(+∞上单调递减，故当p=0时符合题意； ②若p>0，pp p p p x p p x px x h 4141)21()(22-≥-+-=+-= 则当041≥-p p ，即21≥p 时，0)(≥'x f 在x>0上恒成立，故当21≥p 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；③若p<0，p p p x p p x px x h 41)21()(22-+-=+-=的图像的对称轴为021<=px ，0)0(<=p h ，则0)(<'x f 在x>0上恒成立，故当p<0时，)(x f 在),0(+∞上单调递减.综上所述，),21[]0,(+∞-∞∈U p（3）令pxee x px x g xf x F 2ln 2)()()(2-+-=-=，则原问题等价于是否存在x 0>0使得0)(0≤x F 成立，故只需满足0)]([min ≤x F 即可.因为)2)(()2)((22)(2222p ex p e x xp px e px e px px e e x p x F ---=+--=---=' 而21,0<<>p x ，故02,0<->pep e ， 故当p e x <<0时，0)(<'x F ，则)(x F 在),0(p e 上单调递减；当pex >时，0)(>'x F ，则)(x F 在),(+∞pe上单调递增. 易知04ln 222ln 22)()(min >-+=-++-==p e e p e pe F x F 与上述要求的0)]([min ≤x F 相矛盾，故不存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立.20. 解：（1）在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=a 当2≥n 时，2)21(211+--=---n n n a S ，∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ， ∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴nn n a 2=. （2）由（1）得n n n n a n n c )21)(1(1+=+=，所以 n n n T )21)(1()21(4)21(321232++⋯+⨯+⨯+⨯= ①1432)21)(1()21(4)21(3)21(221+++⋯+⨯+⨯+⨯=n n n T ② 由①－②得132)21)(1()21()21()21(121++-+⋯+++=n n n n T1112323)21)(1(211])21(1[411++-+-=+---+=n n n n n∴nn n T 233+-= )12(2)122)(3(125233125+--+=+-+-=+-n n n n n n n n T n n n n 于是确定T n 与125+n n 的大小关系等价于比较n2与2n+1的大小 由⋯⨯<+⨯<+⨯<+⨯<+⨯<;522;1422;1322;1222;11225432可猜想当3≥n 时，122+>n n .证明如下： 证法1：①当n=3时，由上验算显示成立. ②假设n=k+1时1)1(2)12(1)1(224)12(22221++>-+++=+=+>=+k k k k k g k k所以当n=k+1时猜想也成立综合①②可知，对一切3≥n 的正整数，都有122+>n n . 证法2：当3≥n 时1222)11(21101210+>+=+++≥++⋯+++=+=--n n C C C C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n 综上所述，当n=1,2时125+<n n T n ，当3≥n 时125+>n nT n（3）∵n n nnn nn a n c 2)1(3)1(311⋅-+⋅-+=--λλ∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①当n=2k －1，k=1,2,3,……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴1<λ当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k=1,2,3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.数学发展性试题1. D2. 232nn - 3. Q R P >>。

数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）． 1．复数i 34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是（ ）．A ．43-B ．43C ．34D ．34-2．下列有关命题的说法正确的是（ ）． A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．3．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（ ）．A ． 21B ．26C ． 30D ． 554．在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=， 那么该数列的前14项和为（ ）．A ．20B ．21C ．42D ．845．若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项系数最大，则展开式中的常数项是（ ）．A ．150B ．210C ．220D ．2506．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y ab-= （a＞0，b ＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）．（第3题图）A ．BC2D ． 27．若()1e ,1x -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln exc =，则（ ）．A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>8．设()y f x =在(,1]-∞上有定义，对于给定的实数K ，定义(),()(),()K f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩，给出函数1()24x x f x +=-，若对于任意(,1]x ∈-∞，恒有()()K f x f x =，则（ ）． A ．K 的最大值为0 B ．K 的最小值为0 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1二、填空题（每题5分，共30分）．9．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________________．10．如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是______________．（第10题图）11．若曲线1C ：cos 1sin x r y r θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >）与曲线2C：2x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）有公共点，则r 的取值范围是____________．12．如图，P A 是圆O 的切线，A 是切点，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，D 是O C 的中点，连结A D 并延长交圆O 于点E，若PA =，∠30APB = ，则AE =________．13．如图，在△ABC 中，AN =31NC ，P 是BN 上的一点，若AP =m AB +112AC ，则实数m的值为___________．14．已知函数()f x 的定义域为[1,5-()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示：（第14题图）下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是_______________．二、填空题（每题5分，共30分）．9．_____________ 10．_____________ 11．_____________12．_____________ 13．_____________ 14．_____________ 三、解答题．15．（本小题满分13分）已知函数()f x =4x ⋅cos4x 2cos4x +．（Ⅰ）若()1f x =，求2cos()3x π-的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．16（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分. 现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA = 1，PD＝ 2 ，E为PD上一点，PE = 2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．EPD BA18．（本小题满分13分）已知曲线)0()0,0(1:222222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a by ax C ：和曲线都过点A（0，－1），且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为23.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）设2n n n T S S =-，求证：1n n T T +>； （Ⅲ）求证：对任意的n N *∈都有21122n n S n ++≤≤成立．20．（本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x ax =+-的图象在1x =处的切线与直线210x y +-=平行． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若方程()()134f x m x =-在[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设常数1p ≥，数列{}n a 满足()1ln n n n a a p a +=+-（n ∈+N ），1ln a p =．求证：1n n a a +≥．数学答案（理科）一、选择题1—4 BDCB 5---8 BADD二、填空题9.18 10.π12836+11. 2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭12.7710 13.113 14.②三、解答题15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意得：2()coscos 444x x x f x =+111cossin()22222262x x x π=++=++……3分若()1f x =，可得1sin()262x π+=，则22cos()2cos ()1332x x ππ-=--212sin ()1262x π=+-=-………6分（Ⅱ）由1cos 2a c cb +=可得222122a b ca cb ab+-+=,即222b c a bc +-=2221cos 22b c aA bc+-∴==，得2,33A B C ππ=+=……9分2003236262B BB πππππ<<⇒<<⇒<+<13()sin()(1,)2622B f B π∴=++∈ ………13分16、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）12713937=-=CC P ………….. 3分（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C ，则 122123243399C C C C 5()()()C C 42P B C P B P C +=+=+=. ………….. 6分（Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，. ………….. 7分 3639C 5(0)C 21P ξ===， 123639C C 45(1)C 84P ξ===，213639C C 3(2)C14P ξ===， 3339C 1(3)C84P ξ===. ………….. 11分ξ的分布列为:ξ的数学期望545310123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= . …13分17、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,∴ PA 2 + AD 2 = PD 2, 即：PA ⊥ AD ---2分 又PA ⊥ CD , AD , CD 相交于点D,∴ PA ⊥ 平面ABCD -------4分 （Ⅱ）过E 作EG//PA 交AD 于G ， 从而EG ⊥ 平面ABCD ，且AG = 2GD , EG = 13 PA = 13 , ------5分 连接BD 交AC 于O, 过G 作GH//OD ，交AC 于H ， 连接EH ． GH ⊥ AC , ∴EH ⊥ AC ,∴∠ EHG 为二面角D —AC―E 的平面角． -----6分∴tan ∠EHG =EG GH = 22 ．∴二面角D —AC―E 的平面角的余弦值为36-------8分 （Ⅲ）以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A （0 ，0， 0），B （1，0，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,13 ）,AC = （1,1,0）,AE = （0 , 23 ,13） ---9分设平面AEC 的法向量n = （x, y,z ） , 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AE n AC n ，即：⎩⎨⎧=+=+020z y y x ， 令y = 1 , 则n = （- 1,1, - 2 ） -------------10分 假设侧棱PC 上存在一点F, 且CF ＝λCP ， （0 ≤ λ ≤ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则BF ⋅n ＝ 0．又因为：BF ＝ BC + CF ＝ （0 ，1，0）+ （-λ,-λ,λ）= （-λ,1-λ,λ）,∴BF ⋅n ＝λ+ 1- λ- 2λ = 0 , ∴λ = 12, 所以存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ． ----------------13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得21b =，24a =，21r =． ……2分 所以曲线1C 的方程为2214xy +=（0x ≥）． ……3分曲线2C 的方程为221x y +=（0x ≥）． ……4分 （Ⅱ）将11y k x =-代入2214xy +=，得()22111480k xk x +-=．……5分设()11,A x y ，()22,B x y ，则10x =，1221841k x k =+，212122141141k y k x k -=-=+．所以2112211841,4141k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……7分 将21y k x =-代入221x y +=，得()2222120k x k x +-=． 设()33,C x y ，则232221k x k =+，2232322111k y k x k -=-=+，所以212222221,11k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……9分因为214k k =，所以21122118161,161161k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭则直线BC 的斜率2211221111122111614116141188416141BC k k k k k k k k k k ---++==--++， ……11分所以直线BC 的方程为：21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，即1114y x k =-+．…12分 故BC 过定点()0,1． ……13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+整理得11n n n n b b b b ++-=，----------------------------------------------------------------1分 ∵0n b ≠否则1n a =，与12a =矛盾 从而得1111n nb b +-=, ---------------------------------------------------------------------3分∵1111b a =-= ∴数列1{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列------------------4分（Ⅱ）∵1nn b =，则1n b n=． 111123n S n=++++∴2n n n T S S =-＝111111111(1)231223nn nn+++++++-+++++＝111122n n n +++++ ---------------------------------------------------6分 证法1：∵1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++＝11121221n n n +-+++＝11102122(21)(22)n n n n -=>++++∴1n n T T +>．-----------------------------------------------------------------8分证法2：∵2122n n +<+ ∴112122n n >++∴1111022221n n T T n n n +->+-=+++∴1n n T T +>．---------------------------------------------------------------8分（Ⅲ）用数学归纳法证明：①当1n =时2111111,1,122222nn S n +=+=++=+，不等式成立；-----------9分②假设当n k =（1k ≥，k N *∈）时，不等式成立，即 21122k k S k +≤≤+，那么当1n k =+时1121111222k kk S ++=+++++11112212kk k +≥+++++ 112111222kk k k ++>++++个1122k =++112k +=+---------------------------------------------------------12分1121111222k kk S ++=+++++11112212kk k +≤+++++ 2111222kk kk <++++个＝1(1)2k ++ ∴当1n k =+时，不等式成立由①②知对任意的n N *∈,不等式成立．---------------------------------------------------14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）a x x f -+=11)('， 1a 21-a -2121)1(f '=∴=-=∴由题意知a ---------3分（Ⅱ）由（1）m x x x x x f =-+∴-+=)1(ln 4,)1ln()(原方程为， 设x x x g -+=))1ln(4)(，得xx xx g +-=-+=13114)('，0)3(',0)('g 3x 2,0)('g 4x 3=>≤≤<≤≤∴g x x 时，当时当， 上是减函数。

一、 根据课文内容回答问题。

? 1. Where did Mr. Chen first live?____________________________________________________.? 2. When did he move away? Why?_____________________________________________________.? 3. Why did he move last year?_____________________________________________________.? 4. Has the government turned the place where Mr. Chen lived in the past into a zoo? ____________________________________________________.? 5. Does Mr. Chen often meet his friends in the park? ____________________________________________________.? 6. What did they do in the park?_____________________________________________________.? 7. Was water pollution a problem before? ____________________________________________________.? 8. Why was the pollutionterrible?_____________________________________________________.? 9. Does Mr. Chen think life is better now than before? ____________________________________________________.? 10. Does he feel lonely from time to time now? ____________________________________________________.二、根据句意和首字母提示补全单词。

天津市耀华中学2012届高三年级寒假验收考试数学理 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。

1．已知i 是虚数单位，则复数(12)(1)2i i i+--等于（ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i2．阅读程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序 框图中的判断框内应填写的条件是 （ ） A ．5?i > B ．6?i > C ．7?i > D ．8?i > 3．已知数121,,,4a a --成等差数列，-1、b 1、b 2、-8成等 比数列，则212a ab - （ ）A ．12B ．12-C ．1122-或D ．144．已知函数()sin()(0,0,,||)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>>∈<的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()5sin()36f x x ππ=+ B ．()5sin()66f x x ππ=- C ．()5sin()66f x x ππ=+ D ．()5sin()36f x x ππ=-5．已知0,0a b >>，若不等式212ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．如下图所示，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图（1）、（2）、（3）中的双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则 （ ）A ．123e e e >>B ．123e e e <<C ．123e e e =<D ．132e e e =>7．有2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） A ．72 B ．48 C ．36 D ．24 8．设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中正确命题的序号有（ ）①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数； ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于（0，c ）对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根。

天津一中2012—2013学年高三数学三月考试卷(理科)一、选择题：1．复数2i2i -=+ A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,选A. 2．“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0m =，两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线垂直。

若12m =，两直线方程为2x =-和13302x y ++=，此时两直线相交。

当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为11212m y x m m =+--和33y x m m =--，两直线的斜率为12m m -和3m-。

若两直线垂直，则有3()112m m m⨯-=--，解得1m =-，所以直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直时的条件为1m =-或0m =。

所以1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的充分不必要条件，选A.3．执行右图所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．-1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】第一次循环，21,224S i ==-=-;第二次循环，22,32(1)3S i ===--;第三次循环，23,42223S i ===-;第四次循环，24,5322S i ===-;所以该循环是周期为4的周期循环，所以当9i =时，和第四次循环的结果相同，所以4S =.选D. 4．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1( 【答案】C【解析】因为2(1)21log 110f =-+=>，2011()21log 10222f =⨯-+=-<，所以根据根的存在性定理可知函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的区间为1(,1)2，选C.5．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是A ．36-B ．36C ．84-D ．84【答案】C【解析】展开式的通项公式为93921991()(1)kkkk k kk T C C x x --+=-=-，令9302k -=得3k =。