北京市西城区2018届高三数学5月模拟测试二模试题文20180524192

2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，那么集合∁U A等于（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1, 2}2. 点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离是（）A.1 2B.√22C.√2D.√323. 函数f(x)=log a(1−x)的定义域是（）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, 1)D.(−∞, 1)4. 已知向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，那么x等于（）A.−1B.−2C.−3D.−45. 已知点A(3, 4)是角α终边上的一点，那么cosα等于（）A.3 4B.43C.35D.456. 已知圆x2+y2=1与圆(x−3)2+y2=4，那么两圆的位置关系（）A.内切B.相交C.外切D.外离7. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x−π6)的图象（）A.关于直线x=π6对称B.关于点(π6,0)对称C.关于直线x=−π6对称D.关于点(−π6,0)对称8. 给出下列四个函数：①y=−2x−1；②y=x2；③y=lnx；④y=x3．其中在定义域内是奇函数且单调递增函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④9. 在△ABC中，∠C=60∘，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A.√5B.√6C.√7D.2√210. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积是（）A.13B.1C.32D.92 11. 如果幂函数f(x)=x α的图象经过点(3,19)，则α=( )A.−2B.2C.−12D.1212. log 223+log 26等于（ ）A.1B.2C.5D.6 13. 在△ABC 中，已知a =3√2，cosC =13，S △ABC =4√3，则b =( )A.√3B.2√3C.4√3D.3√214. 函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为（ ） A.0B.1C.2D.315. 已知sinα=45，且α∈(π2,π)，那么cos2α等于（ ）A.−725B.725C.925D.−92516. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果m // α，n ⊂α，那么m // n ；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α // β；③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n ⊥β．其中正确的命题是（ ）A.①B.②C.③D.④17. 如图，在△ABC 中，B =45∘，D 是BC 边上一点，AD =√7，AC =3，DC =2，则AB 的长为（ ）A.√22B.3√62C.3√32D.3√2218. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张19. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A.1 5B.25C.35D.4520. 已知向量a→=(0, 2)，b→=(1, 0)，那么向量a→−2b→与b→的夹角为（）A.135∘B.120∘C.60∘D.45∘21. 某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位：min）．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组（）A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，如果直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（）A.±4B.±5C.±8D.±1023. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45∘，沿A向北偏东30∘方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30∘，则水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m24. 如图，在圆O中，已知弦AC=4，那么AO→∗AC→的值为（）A.8B.6C.4D.225. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.5000∼6000元B.6000∼8000元C.8000∼9000元D.9000∼16000元二、解答题（共分）已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R．)=________．(Ⅰ)f(π4brack的最大值和最小值．(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及在x∈[0,π2如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面，AB=AC，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：BC⊥平面A1AD；(Ⅱ)若∠BAC=90∘，BC=A1D=4，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆经过点A(−1, 0)．(Ⅰ)⊙O的方程________；(Ⅱ)设M是直线3x+y−4=0上的一个动点，ME，MF是⊙O的两条切线，切点为E，F．(ⅰ)如果∠EMF=60∘，求点M的横坐标；(ⅱ)求四边形MEOF面积的最小值．已知函数f(x)的定义域是{x|x>0}，并且满足：当x>1时，f(x)>2；∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2（1）求f(1)（2）求证函数f(x)在(1, +∞)上单调递增．（3）当f(2)=5时，求不等式f(x)<17的解集．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】∵全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，∴集合∁U A={2}．2.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式直接求解．【解答】点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离：d=√2=√22．3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由对数式的真数大于0求解得答案．【解答】由1−x>0，得x<1．∴函数f(x)=log a(1−x)的定义域是(−∞, 1)．4.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的共线定理列出方程求x的值．【解答】向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，则−1⋅x−2×2=0，解得x=−4．5.【答案】C【考点】三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】∵点A(3, 4)是角α终边上的一点，∴x=3，y=4，r=|OA|=5，那么cosα=xr =35，6.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系．【解答】圆x2+y2=1的圆心为M(0, 0)，半径为r1=1；圆(x−3)2+y2=4的圆心为N(3, 0)，半径为r2=2；|MN|=3，且r1+r2=3，∴两圆的位置关系是相外切．7.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性【解析】直接利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】利用排除法和代入法求解，当x=π6时，y=2sin(π6−π6)=0，8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】四种基本初等函数，分别是一次函数，二次函数，对数函数，三次函数（幂函数），需要对每种函数的函数性质进行分析即可．【解答】①一次函数y=kx+b的单调性由k决定，k>0时，函数递增，k<0时，函数递减，故y=−2x−1是减函数，且其不是奇函数．不合题意．②二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定，函数y=x2在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)是单调递增，且其不是奇函数，不合题意．③对数函数是非奇非偶函数，不符合题意．④幂函数y=x3，在R是单调递增，且f(−x)=−f(x)，为奇函数，符合题意．9.【答案】C【考点】余弦定理【解析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】∵∠C=60∘，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AB∗AC∗cosC=√4+9−2×2×3×12=√7．10.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由三棱锥的三视图得该三棱锥是三棱锥P−ABC其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，由此能求出该三棱锥的体积．【解答】由三棱锥的三视图得该三棱锥是如图所示的三棱锥P−ABC，其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，∴该三棱锥的体积：V P−ABC=1×S△ABC×PO=13×12×AC×BO×PO=13×12×3×1×3=32．11.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．【解答】幂函数f(x)=xα的图象经过点(3,19)，则3α=19，解得α=−2．12.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质即可得出．【解答】原式=log 2(23×6)=log 222=2．13.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】∵ cosC =13，∴ sinC =√1−cos 2C =2√23， 又∵ 由已知可得S △ABC =4√3=12absinC =12×3√2×b ×2√23， ∴ 解得b =2√3．14.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】作出函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 的图象如图，由图可知，函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为2． 15.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】∵ sinα=45，且α∈(π2,π)，∵ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(45)2=−725．16.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】①如果m // α，n ⊂α，m 与n 平行或异面，故①错误；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α // β，故②正确； ③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β或m ⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n 与β相交，平行或n ⊂β，故④错误． 17.【答案】B【考点】解三角形【解析】先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】在△ADC 中，AD =√7，AC =3，DC =2，由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =9+4−72×3×2=12， ∴ ∠C =60∘，在△ABC 中，AC =3，∠B =45∘，∠C =60∘，由正弦定理得 AC sinB =AB sinC ，∴ AB =ACsinC sinB =3×√32√22=3√62， 18.【答案】B【考点】分布和频率分布表 【解析】观察两个表中前五位的行业，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，观察物流行业是物流行业是供大于求，得到结论． 【解答】∵ 用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， ∴ 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280， 建筑行业人才是供不应求，∵ 物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436， ∴ 物流行业是供大于求，∴ 就业形势是建筑行业好于物流行业， 19.【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种取法， 其中号码为偶数的为：2，4，共两种 由古典概型的概率公式可得： 其号码为偶数的概率是25. 故选B . 20.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的坐标运算转化求解向量的夹角即可． 【解答】向量a →=(0, 2)，b →=(1, 0)， 向量a →−2b →=(−2, 2)， 向量a →−2b →与b →的夹角为θ， cosθ=(a →−2b →)∗b→|a →−2b →||b →|=2√2×1=−√22． 可得θ=135∘． 21.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5，从而求得旅客购票用时的平均数，由此得到旅客购票用时的平均数落第四小组．【解答】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：1−0.1−0.1−0.3=0.5，由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.3=17.5，∴旅客购票用时的平均数落第四小组．22.【答案】D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．【解答】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．∴=2，解得m=±10．√32+(−4)223.【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，可得OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，利用余弦定理即可得出．【解答】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，则OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，OC2=OD2+CD2−20D⋅CD⋅cos60∘．∴(√3ℎ)2=ℎ2+1002−2×ℎ×100×1，2化为：ℎ2+50ℎ−5000=0，解得ℎ=50．因此水柱的高度是50m．24.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由已知结合向量在向量上投影的概念求解．【解答】∵O为三角形ABC的外接圆的圆心，∴AO→在AC→上的投影为12|AC→|，又AC=4，∴AO→∗AC→=|AO→|∗|AC→|cos∠OAC=12|AC→|2=12×16=8．25.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+(x−8000)×20%−(x−7000)×3%=332，整理，得：0.17x=1377，解得x=8100.故选C.二、解答题（共分）【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用函数的关系式求出函数的值．(Ⅱ)首先通过三角函数关系式的恒等变换，求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R，所以f(π4)=√3．(Ⅱ)因为f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2(sin2xcosπ6+cos2xsinπ6)=2sin(2x+π6)．所以函数f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π．由x∈[0,π2brack，可得2x+π6∈[π6,7π6brack，所以−12≤sin(2x+π6)≤1．所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，所以当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为−1；当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为2．【答案】证明：(Ⅰ)因为D是BC的中点，AB=AC，所以BC⊥AD．因为A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AA1∩AD=D，所以BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)因为∠BAC=90∘，BC=A1D=4，D是BC的中点，所以AD=12BC=2，AB=AC=2√2．因为A1A⊥底面ABC，所以AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC∗AA1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出BC⊥AD，A1A⊥BC，由此能证明BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)推导出AD=12BC=2，AB=AC=2√2．由A1A⊥底面ABC，得AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3，由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．【解答】证明：(Ⅰ)因为 D 是BC 的中点，AB =AC ， 所以 BC ⊥AD ．因为 A 1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以 A 1A ⊥BC ，又因为 AA 1∩AD =D ， 所以 BC ⊥平面A 1AD ．(Ⅱ)因为∠BAC =90∘，BC =A 1D =4，D 是BC 的中点， 所以 AD =12BC =2，AB =AC =2√2． 因为 A 1A ⊥底面ABC ，所以 AA 1=√A 1D 2−AD 2=√42−22=2√3． 所以三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积：V =S △ABC ∗AA 1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【答案】 x 2+y 2=1 【考点】圆的切线方程 【解析】(Ⅰ)由|OA|=1，直接得到圆O 的方程为x 2+y 2=1．(Ⅱ)(ⅰ)连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形．可得|OM|=2|OE|=2．由M 是3x +y −4=0直线上的动点，设点M 的坐标为(t, −3t +4)．结合|OM|=2，解得t ．则点M 的横坐标可求．(ⅱ)|OM|的最小值即为原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，由△OEM为直角三角形，可得|ME|2=|OM|2−12≥35．即|ME|最小值是√155．代入面积公式可得四边形MEOF 面积的最小值． 【解答】（1）∵ |OA|=1，∴ 圆O 的方程为x 2+y 2=1， 故答案为：x 2+y 2=1． (2)(ⅰ)如图，连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形． ∵ ∠EMF =60∘，∴ ∠OME =30∘． ∴ |OM|=2|OE|=2．∵ M 是3x +y −4=0直线上的动点， ∴ 设点M 的坐标为(t, −3t +4)．∴ |OM|=√(t −0)2+[(−3t +4)−0]2=2，解得t =6−√65，或t =6+√65．∴ 点M 的横坐标为6−√65或6+√65．(ⅱ)∵ 原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，∴ |OM|的最小值是√10．∵ △OEM 为直角三角形，∴ |ME|2=|OM|2−12≥35． ∴ |ME|最小值是√155．∵ S 四边形MEOF =2S △MEO =2×12×1×|ME|=|ME|， 四边形MEOF 面积的最小值是√155．【答案】∀x 1，x 2∈(0, +∞)，都有f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)−f(x 1)−f(x 2)+2， 则令x 1=x 2=1，则f(1)=f 2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x >1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立， 故有f(1)=2；证明：令1<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由于当x >1时，f(x)>2，则有f(x2x 1)>2，则f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)⋅f(x 2x 1)−f(x 1)−f(x 2x 1)+2=f(x 2x 1)(f(x 1)−1)−f(x 1)+2 >2f(x 1)−2−f(x 1)+2=f(x 1)， 则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x 1=x 2=2，则f(4)=f 2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17， 则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x ∗1x )=f(x)f(1x )−f(x)−f(1x )+2=2， 即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，则f(1)=1或2，检验得到f(1)不成立，f(1)=2；（2）令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)再由条件即可得到得证；（3）令x1=x2=2，则f(4)=17，不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，即可解出不等式．【解答】∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2，则令x1=x2=1，则f(1)=f2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x>1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立，故有f(1)=2；证明：令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)⋅f(x2x1)−f(x1)−f(x2x1)+2=f(x2x1)(f(x1)−1)−f(x1)+2>2f(x1)−2−f(x1)+2=f(x1)，则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x1=x2=2，则f(4)=f2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17，则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x∗1x )=f(x)f(1x)−f(x)−f(1x)+2=2，即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．。

北京市西城区2018年高三二模试卷数学（文科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 （A ）2 （B ）1（C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=正(主)视图俯视图侧(左)视图（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n =，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,O BD AC =⋂.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面M D O ； （Ⅲ）求三棱锥M A B D -的体积.17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；ABCCMOD（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e x f x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()e g x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且,,BD BE DE 成等比数列，求2k 的值.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P . （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)x y a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意}1,,3,2,1{-⋅⋅⋅∈n i 有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷(文科)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设全集U=Z ，A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，则B （ U A ）等于（ ）A ．{0，4，5}B ．{0，1}C ．{4，5}D ．{2，3} 2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（ ）A ．xy )21(=B ．x y 21log =C ．x y sin =D ．xy 1=3．已知a =（3，4），b =（－8，6），则向量a 与b（ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60°4．在同一坐标系中，函数x y y x 2log 2-==-与的图象都正确的是 （ ）5．若球的表面积为16π，则与球心距离为3的平面截球所得的圆面面积为 （ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π 6．下列判断正确的是（ ）A ．“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题B ．“22bc ac >”的充要条件是“b a >”C ．若“p 或q ”是真命题，则p ，q 中至少有一个真命题D ．不等式111>-x 的解集为}2|{<x x 7．已知A （7，1），B （1，4），直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2=，则a等于（ ）A ．2B ．1C ．54 D ．35 8．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有（ ）A ．56种B ．49种C ．42种D ．14种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

9．62)1(xx -的展开式中第四项的系数为 .（用数字作答） 10．等差数列110954,28,8,}{a a a a a a n 则中=+=+等于 .11．设正棱锥V —ABC 的底边长为23，高为2，则侧棱与底面所成的角的大小为 . 12．在△ABC 中，∠BAC=60°，4||,1||==AB AC ，则△ABC 的面积为 ，||= .13．已知双曲线,14:22=-y x C 以C 的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为 ，定点（3，0）与C 上动点距离的最小值为 .14．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为高斯函数或取整函数. 计算=++-)3.1()1()3.0(f f f ；若∈=n n f a n ),3(N *，n S 为数列{n a }的前n 项和，则S 30= .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知.53sin ),,2(=∈αππ且a （I ）求)4cos(πα-的值；（II ）求)4tan(2sin2παα++的值.16．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1=2. （I ）证明：AB 1⊥BC 1；（II ）求二面角C —AC 1—B 的大小； （III ）求点B 到平面AB 1C 1的距离. 17．（本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中的概率为32，乙每次投中的概率为43.求： （I ）甲恰好投中2次的概率；（II ）乙至少投中2次的概率；（III ）甲、乙两人共投中5次的概率. 18．（本小题满分13分）已知函数∈-=a x x ax f (3)(3R ，0≠a ）. （I ）求)(x f 的单调区间；（II ）曲线)(,()(33a f a x f y 在点=）处的切线恒过y 轴上一个定点，求此定点坐标； （III ）若3,01ax a >>，曲线))(,()(11x f x x f y 在点=处的切线与x 轴的交点为（0,2x ），试比较21x x 与的大小，并加以证明.19．（本小题满分14分）椭圆)0(14222>=+b by x 的焦点在x 轴上，其右顶点关于直线04=+-y x 的对称点在 椭圆的左准线上.（I ）求椭圆的方程；（II ）过椭圆左焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交椭圆左准线于点C. 设O 为坐标原点，且,2=+求△OAB 的面积.20．（本小题满分14分）已知数列)1(1),1,0(}{1n n n a aaS n a a a a a --=≠≠=项和其前且满足. （I ）求证：{n a }为等比数列；（II ）记∈=n a a b n n n (||lg N *），T n 为数列{n b }的前n 项和. （i ）当a =2时，求T n ； （ii ）当37-=a 时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n 都有m n b b ≥？ 如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由.西城区数学（文）参考答案及评分标准一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）9．－20 10．－3 11．45° 12．13,3 13．552,1)5(22=+-y x 14．1；145 三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）15．解：（1）因为53sin ),,2(=∈αππα，所以54cos -=α，…………………2分所以，.102)cos (sin 22)4cos(-=+=-ααπα …………………5分（2）,43tan -=α…………9分 )4tan(2sin 2παα++ ………………11分7073tan 11tan cos 1=-++-=αααα………………13分16．解法一：（I ）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AC ， 因为BC=CC 1，所以BCC 1B 1为正方形. 又︒=∠90ACB，所以AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，………………2分连结B 1C ，则B 1C 为AB 1在平面BCC 1B 1上的射影， 因为B 1C ⊥BC 1，所以AB 1⊥BC 1.………………4分 （II ）连A 1C 交AC 1于点H ，连BH ，因为BC ⊥AC ， BC ⊥CC 1，BC ⊥平面ACC 1A 1，…………6分 所以CH 为BH 在平面ACC 1A 1上的射影， 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以CH ⊥AC 1， 所以BH ⊥AC 1，所以，∠CHB 为二面角C —AC 1—B 的平面角. …………7分 在直角△BCH 中，CH=2，BC=2，所以tan ∠CHB=2，…………8分所以，二面角C —AC 1—B 的大小为2arctan.…………9分（III ）因为BC//B 1C 1，BC ⊄面AB 1C 1，所以BC//面AB 1C 1，所以点B 到平面AB 1C 1的距离等于点C 到平面AB 1C 1的距离. ………6分 因为BC ⊥CH ，所以B 1 C 1⊥CH ， 又CH ⊥AC 1，所以CH ⊥平面AB 1C 1 所以CH 的长度为点B 到平面AB 1C 1的距离，2211==C A CH…………8分 解法二：（I ）如图建立直角坐标系，其中C 为坐标原点.依题意A （2，0，0），B （0，2，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），………2分因为0)2,2,0()2,2,2(11=-⋅-=⋅BC AB ，所以AB 1⊥BC 1. ……………………4分 （II ）因为BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，所以 为平面ACC 1的法向量，=（0，2，0）， …………5分设),,(1111z y x n =是平面ABC 1的法向量，由0,01111=⋅=⋅AC n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-,0,01111z x y x 所以⎩⎨⎧==,,1111z x y x 令11=z ，则)1,1,1(1=n ，………………6分因为,33232||||,cos 111=⨯=>=<n CB n …………8分所以，二面角C —AC 1—B 的大小为33arccos.…………9分 （3）设),,(2222z y x n =是平面AB 1C 1的法向量.由0,01212=⋅=⋅AC n AB n 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=++-,,0.0,022222222z x y z x z y x 所以 令1z =1，则),1,0,1(2=n ………………11分因为)0,2,2(-=AB ，所以，B 到平面AB 1C 1的距离为2||22=n .……13分17．解：（I ）甲恰好投中2次的概率为9431)32(223=⋅C …………4分 （II ）乙至少投中2次的概率为3227)43()41()43(333223=+⋅C C .…………8分（III ）设甲、乙两人共投中5次为事件A ，甲恰投中3次且乙恰投中2次为事件B 1，甲恰投中2次且乙恰投中3次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.,81)41()43()32()(2233331=⋅⋅=C C B P…………10分,163)43(31)32()(3332232=⋅⋅=C C B P…………12分,165)()()(21=+=B P B P A P 所以，甲、乙两人共投中5次的概率为165.……13分 18．解：（I ）19)(2-='x ax f …………2分 当)(,019)(,02x f x ax f a 所以时<-='<在R 上是减函数； …………3分当;33,019,02a x a x x a a -<>>->或得解时 ,33,0192a x a x a <<-<-得解所以，区间)()3,3(x f aa 为-的减区间，区间)(),3()3,(x f a a 为和+∞--∞的增区间.…5分（II ）在点))(,(33a f a 处曲线切线的斜率为1932-a a，…………6分 切线方程),)(19()3(3323a x a aa y --=-- …………7分令x =0，可得y=－6， 所以切线恒守定点（0，－6）…………9分（III ）点))(,(11x f x 处曲线的切线方程为))(19()3(121131x x x ax x a y --=--，令ax x x y -==2131296,0得， …………10分ax x a x x a x x x x --=--=-2121112131129)3(96，因为03,09,0,3,0212111<->->>>x a a x x ax a所以，…………12分所以1221211,09)3(x x ax x a x <<--所以 19．解：（1）椭圆的右顶点为（2，0）， 设（2，0）关于直线04=+-y x 的对称点为（),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-+,12,042220000x yy x ………………3分 解得,1,44a ,420===-=c cc x 所以则,3=b 所求椭圆方程13422=+y x ……5分 （2）设A ),,4(),,(),,(32211y C y x B y x -由,01248)4k (3),1(,1443222222=-+++⎩⎨⎧+==+k x k x x k y y x 得所以,4382221k k x x +-=+…………① ，,431242221kk x x +-=…………②…………5分 因为,2OB OCOA =+即),(2),4(),(22311y x y y x =-+，所以4212-=-x x ……③…6分由①③得.434,438421222k x k k x +=++= 代入②得，22222431244344384k k k k k +-=+⋅++-，整理得,05424=--k k …………9分所以,452=k 所以,47,2121-==x x ……11分由于对称性，只需求25=k 时，△OAB 的面积.此时，,583,54321-==y y 所以.5169||||2121=-⋅=∆y y OF S OAB ……13分 20．证明：（1）当2≥n 时，)1(1)1(111-------=-=n n n n n a aa a aa S S a ，……1分整理得a a a n n=-1，所以}{n a 是公比为a 的等比数列，又,1a a =所以.n n a a =……3分 （2）因为|,|lg ||lg ||lg ,a na a a a a b a a n n n n n n n n ==== （i ）当2=a 时，,2lg )2222(2n n n T ⋅++⋅+= ………………4分,2lg )22)1(222(2132+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T …………5分两式相减，整理得.2lg ]22222[132+⋅-++++=-n n n n T ……………………7分 整理得2lg ]2)1(1[2n n n T ⋅--=……………………9分（ii ）因为.01<<-a 所以，当n 为偶数时，0||lg <=a na b n n ；当n 为奇数时， .0||lg >=a na b n n 所以，如果存在满足条件的正整数m ，则m 一定是偶数. ),(|,|lg )1)(1(2*2222222N k a aa k a ab b kkk ∈---=-+……………………11分 当37-=a 时，9212-=-a ，所以.0||lg )1(222>-a aa k 又27122=-a a ，所以，当27>k 时，,222k k b b >+即 <<<12108b b b ，当27<k 时，,222k k b b <+即2468b b b b <<<，即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n 都有.8b b n ≥……………………14分。

(D)1 i i(B) (C )(D)3 (D)312(A) ya \_(A)(B)(D) 2共线，则实数 (C ) 11 i -+2 2 2 22 21 i (A)1 (A) 12 2 （D ）严(B)乜2(CT西城区高三模拟测试第I 卷（选择题共40 分）1.若集合A ={x|0 :：:x ：；： 1}，B ={x|x 2 -2x ：：：0}，则下列结论中正确的是2 •若复数z 满足（1 —i ）・z =：1，贝U z =(C ) 12 22018.5选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题(A) A 「|B 壬 (B) AUB 二 R(C ) A -B侧面积是 —2^2 — 正（主）视图(D) 8 5俯视團2 26.已知点A （0,0） , B （2,0）.若椭圆W: - y 1上存在点C ，使得△ ABC 为等边三角形,2 m 则椭圆W 的离B 二 A4•某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的(B) 4.105.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b 与c1 (A) y =— x2(B) y 二x(C ) y = 2|x|y = cosxF 列函数中，既是偶函数又在区间 （0,1）上单调递减的是7•函数f (x)=叩-x2 a •则“ a> 0 ”是“ x o・[-1,1],使f(x o) > 0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件&在直角坐标系xOy中，对于点(x,y)，定义变换二：将点(x, y)变换为点(a,b)，使得［x-tana,其中玄山€(_二上).这样变』=tanb, 2 2换二就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线. 则四个函数y t =2x (x . 0) , y =x2 (x 0) , y^e x (x 0),y4 =1 nx(x 1)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线(如图)依次是(A ［②，③，①，④(C)②，③，④，①(D ［③，②，①，④第n 卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.x =2 ■ cosv,9 .已知圆C的参数方程为f 小(日为参数)，则圆C的面积为__________ ;圆心C到直线(y =s in 6|：3x—4y=0的距离为_____ .10. (x2+l)4的展开式中x2的系数是 _.xn11 .在△ ABC 中，a =3 , b =2，厶A=—，则cos2B = .312.设等差数列｛%｝的前n项和为S n.若d =1 , S2 S3，则数列｛a n｝的通项公式可以是___J x > 1,13 .设不等式组x y > 3,表示的平面区域为D •若直线ax — y=0上存在区域D上的点，则2x 亠y < 5实数a的取值范围是14 .地铁某换乘站设有编号为 A , B , C, D, E的五个安全出口 .若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A , B B, C C, D D, E A, E疏散乘客时间(s) 120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数f(x) =(1 tanx) sin2x .(I)求f (x)的定义域；(n)若：；三(0, n，且f(〉)=2，求〉的值.16. (本小题满分14分)如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB〃CD // EF , AB_AD . CD =DA 二AF =FE =2 , AB =4 .(I)求证：DF//平面BCE;(n)求二面角C -BF -A的余弦值；(川)线段CE上是否存在点G，使得AG _平面BCF ?请说明理由.17. (本小题满分13分)在某地区，某项职业的从业者共约 8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种 职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了 100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图:(n)在该指标检测值为 4的样本中随机选取 2人，求这2人中有患病者的概率; (III )某研究机构提出，可以选取常数X 。

2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分 （Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1： 因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ． （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212b =， 所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分 【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】 （16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ． （16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分 因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即1(31)2nn T =-．…………………13分 【昌平二模】 16.（本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分 【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】 （15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。

西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1（A（B（C（D2（A（B（C（D3（A（B（C（D4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C（D5（A（B（C（D6（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．设不等式组（A（B（C（D8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9____．10____．11．12____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5．14．范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）19．（本小题满分13分）20．（本小题满分14分）全优试卷．．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.910111213．25% 14注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：依题意，得 (2)分解得或 (4)分所以 (6)分（Ⅱ）因为 (7)分所以 (9)分 (11)分 (13)分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 (2)分得 (3)分所以 (4)分 (5)分（Ⅱ）因为 (7)分 (9)分 (11)分由（Ⅰ）得所以 (12)分所以 (13)分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 (2)分 (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5 (8)分100个样本数据中， (10)分 (12)分 (13)分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为所以所以……2分因为3分所以4分因为所以所以 (6)分因为所以所以所以所以 (7)分因为所以所以 (8)分所以 (9)分所以 (10)分（Ⅲ）设由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得所以所以 (11)分由（Ⅱ）得所以 (12)分 (14)分19．（本小题满分13分）解： (2)分依题意，有即 (4)分解得 (5)分所以 (8)分因为所以 (9)分设 (10)分则故 (11)分所以即 (12)分故 (13)分20．（本小题满分14分）解：且 (2)分解得 (3)分所以 (4)分（Ⅱ）（ⅰ）由 (5)分由得 (6)分设则 (8)分由 (9)分所以 (10)分因为所以所以 (12)分 (14)分。

2018北京西城二模高三化学试题及答案(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除西城区高三模拟测试理科综合2018.5本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

6A ．过滤豆浆B ．酿酒蒸馏C ．精油萃取D ．海水晒盐7．4种短周期元素在周期表中的位置如下图，X 原子最外层有6个电子。

下列说法不正确．．．的是 A ．离子半径：X 2−＜Y 2− B ．非金属性：W ＜XC ．还原性：Y 2−＜Z −D ．酸性：H 2YO 4＜HZO 48．下列关于pH ＝3的CH 3COOH 溶液的叙述正确的是 A ．溶液中H 2O 电离出的c (OH −)＝1.0×10−3 mol·L −1 B ．加入少量CH 3COONa 固体后，溶液pH 升高C ．加0.1 mol·L −1 CH 3COONa 溶液使pH ＞7，则c (CH 3COO −)＝c (Na +)D ．与等体积pH ＝11的NaOH 溶液混合，所得溶液呈中性 9．下列说法正确的是A ．分别向等物质的量浓度的Na 2CO 3和NaHCO 3溶液中滴加2滴酚酞溶液，后者红色更深B ．分别向2 mL5%H 2O 2溶液中滴加1 mL 0.1 mol·L −1FeCl 3和CuSO 4溶液，产生气泡快慢不相同C ．蛋白质溶液遇饱和Na 2SO 4溶液或醋酸铅溶液均产生沉淀，沉淀均可溶于水W XYZD．加热NH4Cl和Ca(OH)2固体的混合物，可将二者分离10．聚氨酯类高分子材料PU用途广泛，其合成反应为：下列说法不正确．．．的是A．HO(CH2)4OH的沸点高于CH3CH2CH2CH3B．高分子材料PU在强酸、强碱中能稳定存在C．合成PU的两种单体的核磁共振氢谱中均有3个吸收峰D．以1,3-丁二烯为原料，可合成HO(CH2)4OH11．在金属Pt、Cu和铱（Ir）的催化作用下，密闭容器中的H2可高效转化酸性溶液中的硝态氮（NO3−）以达到消除污染的目的。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市西城区2018届高三数学5月模拟测试（二模）试题 文第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅I （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是（A ）1[,2]2（B ）1[,3]2（C ）[1,2]（D ）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安 全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A （B ）B （C ）D （D ）E第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1||2y x =+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k 值为____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，4cos 5B =，则sin A =____．12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C 的渐近线相切，则r =____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12 10．511．91012．10，35 13．25% 14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意，得 21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩ (2)分解得 2,3,d q =⎧⎨=⎩或 1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去） (4)分所以 21n a n =-，13n n b -=． (6)分（Ⅱ）因为 1213n n n a b n -+=-+， ……………… 7分所以 21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++L L ………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分2312n n -=+． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……………… 2分得π)04x +≠， ………………3分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ………………4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ． ………………5分（Ⅱ）因为 22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ ………………7分cos sin x x =- ……………… 9分π)4x =+． ………………11分由（Ⅰ）得 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ， 所以 π1cos()14x -<+<， ………………12分所以 ()f x 的取值范围是(． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．………………6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人．………………8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， (10)分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分（Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． ………………6分因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． ………………7分因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． ………………8分所以 BF ⊥平面GCE ． ………………9分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． ………………11分由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ ………………12分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ………………2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． (8)分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =， 1b =， 且 222a b c =+． ……………… 2分解得 a =． ………………3分所以 椭圆C 的方程是 2213x y +=． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由 22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A ，(B ． ……………… 5分1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由 22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2246330x tx t -+-=． ……………… 6分令223648(1)0t t ∆=-->，解得 24t <． 设 1122(,),(,)M x y N x y ，则 1232t x x +=，212334t x x -⋅=． (8)分由 ,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩ 得(,)22t tP ． ………………9分所以 23||||2t PA PB -==． ………………10分因为 1||PM x ==-，同理2||PN x =-．所以 12||||222t tPM PN x x =-⋅-2233324224t t t t -=-⋅+232t -=.所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分（ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+． ………………14分。

北京市西城区 2018年高三二模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1 ．已知会合 A { x | x2 0} ， B { x | x a} ，若A B A ，则实数 a 的取值范围是（）（A）(, 2]（B）[2,)（C）(,2]（D）[2,) 2．在复平面内，复数z=(1 2i) 2对应的点位于（）（ A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（D ）第四象限3 ．直线y2x 为双曲线 C：x2y21(a 0, b 0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率a2b2是（）（A）5（ B ）5（C）3（ D）3 221/154．某四棱锥的三视图以下图，记 A 为此棱锥全部棱的长度的会合，则（）（A）2? A，且4? A（B）2? A，且4? A（C）2? A，且25? A44（D）2? A，且17? A1111正 (主 )视图侧 (左 )视图俯视图5．设平面向量 a ，b， c 均为非零向量，则“ a (b c)0 ”是“b c ”的（）（ A ）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件6．如图，暗影地区是由函数y cos x的一段图象与xy轴围成的关闭图形，那么这个暗影地区的面积是（）Oπ3π x22（ A ）1（B）2（C）π（D）π2x≥0,7. 在平面直角坐标系≥所表示的平面地区是，不等式组xOy 中，不等式组y 0,x y8≤0≤ ≤0 x 4,所表示的平面地区是. 从地区中随机取一点P(x, y) ，则P为地区内的点的0≤ y≤10概率是（）（A）1（B）3（C）3（D）1 45452/158. 设为平面直角坐标系xOy 中的点集，从中的随意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M ， N ，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为x( ) ，点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y() .若是边长为 1 的正方形，给出以下三个结论：○x() 的最大值为 2 ；1○x()y()的取值范围是 [2, 22] ；2○x()y() 恒等于0.3此中全部正确结论的序号是（）○○○○○○ ○○（A） 1（B）2 3（C）1 2（D）1 2 3第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．( x1) 6的二项睁开式中，常数项为______．x110. 在△ ABC 中，若a 4 ， b 3 ，cos A_____；B_____．，则 sin A311 ．如图， AB 和 CD是圆 O 的两条弦，AB 与 CD 订交于点E，且CE DE 4 ，AE: BEAC______.开始4:1 ，则 AE ______；BDa =3,i=1A是i>10否. O1a输出 aaaC D1结束EB i=i+112．履行以下图的程序框图，输出的 a 值为 ______．13. 设抛物线C：y24x 的焦点为F，M为抛物线C上一点，3/15N (2,2) ，则 | MF | | MN |的取值范围是.14. 已知 f 是有序数对会合M = {( x, y) | x 挝N* , y N*}上的一个映照，正整数数对( x, y) 在映射 f 下的象为实数 z，记作 f ( x, y) = z .对于随意的正整数m, n (m > n)，映照f由下表给出：( x, y)(n, n)(m, n)(n, m)f ( x, y)n m - n m+ n则 f (3,5) = __________，使不等式 f (2 x, x) ≤ 4 建立的x的会合是_____________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A(cos , 2 sin) ， B(sin,0) ，此中R .2πAB 的坐标；（Ⅰ）当时，求向量3（Ⅱ）当[0,π]时，求 | AB |的最大值. 216．（本小题满分13 分）为认识某校学生的视力状况，现采纳随机抽样的方式从该校的 A ，B 两班中各抽 5 名学生进行视力检测．检测的数据以下：A 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.9.B 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的均匀数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A班的上述5 名学生中随机选用 3 名学生，用X 表示此中视力大于 4.6 的人4/15数，求 X 的散布列和数学希望.17．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，AC BC ，H为PC的中点，M 为AH 的中点，PA AC 2 ， BC 1.（Ⅰ）求证：AH平面PBC；（Ⅱ）求 PM 与平面AHB成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB上，且PN，MN //平面ABC，务实数的值. PBPHMACB18．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)e x 1，此中a R. ax24x 4（Ⅰ）若 a0，求函数 f (x) 的极值；（Ⅱ）当 a1时，试确立函数 f ( x) 的单一区间. 19．（本小题满分14 分）设 A, B 是椭圆 W : x2y 21上不对于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x轴于点 M 43（与点 A, B 不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）假如点M 是椭圆W的右焦点，线段MB 的中点在y轴上，求直线AB 的方程；5/15（Ⅱ）设 N 为x轴上一点，且OM ON 4 ，直线AN与椭圆W的此外一个交点为C，证明：点 B 与点 C 对于x轴对称.20．（本小题满分 13分）在无量数列 { a n }中， a1 1 ，对于随意 n N*，都有 a n N*， a n a n 1.设 m N*，记使得 a n≤ m 建立的n 的最大值为 b m.（Ⅰ）设数列 {a n } 为1，，，，，写出 b1， 2 ， 3 的值；357b b（Ⅱ）若 { b n } 为等差数列，求出全部可能的数列{ a n } ；（Ⅲ）设 a p q ， a1a2a p A ，求 b1b2b q的值.（用 p, q, A 表示）北京市西城区2018 年高三二模试卷参照答案及评分标准6/15高三数学 （理科）8540.1 D2 B3 A4 D5 B6 B7 C8 D6530.9 202 2π 103 411 82121313 [3,+ )14 8{1,2}10 11 142 3 .680 . .1513AB(sincos , 2 sin )22πcossin2π 2π 1 34sin3cos33 22 sin2π62 sin32AB (13 , 6) .62 2AB(sincos , 2 sin )| AB |2 (sincos ) 2 (2 sin )27 1 sin 22sin 28 1 sin 2 1 cos2922 sin(2 π10) .47/150 ≤≤π2 π π 5π114 ≤ 2≤.442π 5π 222 (2) 3 124|AB||AB| 242π3 .132 |AB |1613A 5x A =25B 5 x B =35=4.5 .A .4 B 5.7A52.X012.8P(XC 33190)3C 510P( XC 32C 123 101)C 535P( XC 13 C 223 112).C 5310XX0 1 2P1 3 3 1051012E(X) 01 1 32 36 . 1310 510 517148/15PA ABC BC ABCPA BC1 AC BC PA AC ABC PAC2 AH PACBC AH.3PA AC，PCHAH PCPC BC CAH PBC .5ABC A AD // BC，BC PACAD PACPA ABCPA AC ADAADAC AP xyzA(0,0,0)P(0,0,2)B(1,2,0) C (0,2,0)H (0,1,1)11) .M (0,,226AHB n( x, y , z)zAH(0,1,1) AB(1,2,0)P n AH0,y z0,x 2 y0,H n AB0,z 1n (2,1,1) .8MA NPMAHB C yD(0,1,3)x BPM229/1520( 1)13)PM n 1(sin cos PM , n22PM n562sin215 .1015PB(1,2,2)PN PBPN(,2 , 2 )PM(0, 1,3)221,32 ).MN PN PM( ,21222MN //ABCABCAP(0,0, 2)MN AP 3 40314.418.13e x1{ x | x R x1} .1 f ( x)44xf (x)e x 1(4 x 4) 4e x 14xe x 1(4 x4)2(4 x4)2 .3f( x)0x0x f (x) f( x)x( ,1)( 1,0) f (x)f ( x)0(0,)510/15故 f (x) 的单一减区间为(, 1)，(1,0) ；单一增区间为(0,) ．因此当 x0 时，函数 f (x)有极小值 f (0)e6 分.4（Ⅱ）解：由于 a 1 ，因此 ax24x 4 ( x 2) 2(a 1)x20 ，因此函数 f (x) 的定义域为R，7 分求导，得 fe x 1 (ax24x4)e x 1 (2ax4)e x 1 x(ax42a)8 分( x)(ax24x4)2(ax24x4) 2，令 f (x)0，得 x10 ， x2249 分，a当 1a2时， x2x1，当 x 变化时， f (x)和 f( x) 的变化状况以下：x(, 24)24( 24,0)0(0,)a a af ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为 (, 24) ，(0,) ．a a11 分当 a2时， x2 x1 0 ，由于 f(x)2e x 1x2≥ 0 ，（当且仅当x0时， f(x)0 ）(2 x24x4) 2因此函数 f ( x) 在R单一递加.12 分当 a 2 时，x2x1，当 x 变化时， f (x) 和 f ( x) 的变化状况以下：x( ,0)0(0, 24)24(24,)a a a11/15f ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为 ( 0,24) ，单一增区间为( ,0)，(24) ．,a a综上，当 1 a 2 时， f ( x)的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为(, 24) ，a a(0,) ；当 a 2 时，函数 f ( x) 在R单一递加；当a 2 时，函数 f ( x)的单一减区间为( 0,24) ；单一增区间为(,0) ，(24,)．13 分a a19．（本小题满分14 分）（Ⅰ）解：椭圆 W 的右焦点为M (1,0) ， 1 分由于线段 MB 的中点在y轴上，因此点 B 的横坐标为1，由于点 B 在椭圆W上，将 x 1 代入椭圆W的方程，得点 B 的坐标为( 1,3) . 3 分2因此直线 AB （即 MB ）的方程为3x 4 y 3 0 或 3x 4 y 3 0 . 5 分（Ⅱ）证明：设点 B 对于 x 轴的对称点为B1（在椭圆W上），要证点 B 与点 C 对于x轴对称，只需证点 B1与点C重合，.又由于直线AN 与椭圆W的交点为C（与点 A 不重合），因此只需证明点A， N ，B1三点共线.7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为y kx m(k 0) , A( x1 , y1) , B(x2, y2 ) ，则 B1 ( x2 ,y2 ) .12/153x2 4 y212,y kx m,(34k 2 ) x28kmx4m2 12 09(8 km) 24(34k 2 )(4 m212)0x1x28kmx1x24m 2 1210 34k 234k2.y kx my0M(m,0)4k,0)kOM ON4N(11mNA NB1k NA k NB1y1y2x2 y1y14kx1 y2y24kk NA kNB m m 4k4k4k 14kx1x2(x1)( x2)m m m4k4kmx2 y1 y1x1 y2y2m m4k m) 4kx2 (kx1m)(kx1m)x1( kx2 m)(kx2m m2kx1x2(m4k 2)( x1x2 ) 8km122k( 4m212 )( m4k2)(8km) 8k34k2m34k 28m2k24k8m2k32k 324k32k 334k 2013k NA kNB10A N B1B C x.1413/152013b1 1 b2 1 b3 2 .31 a1a2a3a na n N*a n≥n.4a n≤m nb m a n≤m 1n b m 1b1 1 b m≤ b m 1 (m N*).5 a2 kk≥2 .k2a2k >2n≥2a n 2≥≥k 1 . n3a nb2 1 b k 2 .{ b n }d b2b10b n1n N*.b k2( k 2)a2 2 .6a1a2a3a nb22{b n }b n nn N*.7 a n≤ mnb ma n≤na n≥n a n n .814/15a2 k ( k1)a1a2a3a nb1b2bk 11b k2{ b n }1k1a2a19 a3l ( l k)b k bk 1bl 12b l3{ b n }2l k a3a210{ b n}p1a p a p 1.11b1b2b q(a2a1 ) 2( a3a2 )( p 1)(a p a p 1 ) pa1a2ap 1( p 1)a p ppa p p (a1a2a p 1a p ) p(q1) A .b1b2b q p( q 1) A .1315/15。

2018年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝﹣ln|x| 4．（5分）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（）A．B．C．D．5．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（5分）设a，b∈R，且ab≠0．则“ab＞1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．[2，3]8．（5分）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数的最大值是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为．11．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝2，，则sin A＝．12．（5分）双曲线的焦距是；若圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，则r＝．13．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a，则a＝．14．（5分）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，2+a4＝b3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的取值范围．17．（13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，可以选取常数X0＝4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，G为AB的中点．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．19．（13分）已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，经过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线y＝x与椭圆C交于A，B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线y＝x交于点P（点P与点A，B，M，N不重合）．（ⅰ）当k＝﹣1时，证明：|P A||PB|＝|PM||PN|；（ⅱ）写出以k为自变量的函数式（只需写出结论）．2018年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴A⊆B．故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：原式＝＝i．故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝﹣ln|x|【解答】解：y＝为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减；y＝x2为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增；y＝cos x为偶函数，且在区间（0，+∞）上不具单调性；y＝﹣ln|x|为偶函数，且在区间（0，+∞）上y＝﹣lnx单调递减．故选：D．4．（5分）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为：3，所以正四棱锥的侧棱长为：＝．故选：B．5．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：根据图形可看出；满足与共线；∴λ＝2．故选：D．6．（5分）设a，b∈R，且ab≠0．则“ab＞1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．[2，3]【解答】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax﹣y＝0过定点O（0，0），要使直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则直线ax﹣y＝0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴，．∴a，故选：B．8．（5分）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数的最大值是．【解答】解：函数是偶函数，x＜0时是增函数，x＞0时是减函数，所以x＝0时函数取得最大值：．故答案为：．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为5．【解答】解：在执行首次循环时，S＝1+12＝2，k＝1则：在执行第二次循环时，S＝2+32＝11，k＝3，在执行第三次循环时，S＝11+52＝36，k＝5．由于：S＞20，所以：输出k＝5．故答案为：511．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝2，，则sin A＝．【解答】解：在△ABC中，a＝3，b＝2，，sin B＝＝，由正弦定理可得：，可得sin A＝＝．故答案为：．12．（5分）双曲线的焦距是10；若圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，则r＝．【解答】解：双曲线的焦距是：2c＝2×＝10；双曲线的渐近线方程为：3x±4y＝0，圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，可得：r＝＝．故答案为：10；．13．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a，则a＝25%．【解答】解：由题意可知6.4（1+a）3＝12.5，∴（1+a）3＝，∴1+a＝，故a＝＝25%．故答案为：25%．14．（5分）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是．【解答】解：x≤1时，y＝a+2x∈（a，2+a]，x＞1时，y＝+a∈（，+∞），两个函数都是增函数，函数f（x）恰有两个零点，可得：，解得a∈[﹣2，）．故答案为：[﹣2，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，2+a4＝b3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．依题意，得………………（2分）解得或（舍去）………………（4分）所以a n＝2n﹣1，．………………（6分）（Ⅱ）因为，………………（7分）所以………………（9分）＝………………（11分）＝．………………（13分）16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由sin x+cos x≠0，得所以，其中k∈Z．所以f（x）的定义域为（Ⅱ）因为＝cos x﹣sin x＝由（Ⅰ）得，其中k∈Z，所以，所以f（x）的取值范围是．17．（13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，可以选取常数X0＝4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为人．………………（2分）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.25﹣0.15﹣0.10＝0.05，b＝1﹣0.10﹣0.20﹣0.30＝0.40．………………（4分）（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40×（0.30+0.40）＝28人，未患病者60×（0.10+0.05）＝9人，共37人．………………（6分）此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为人．………………（8分）（Ⅲ）当X0＝4.5时，在100个样本数据中，有40×（0.10+0.20）＝12名患病者被误判为未患病，………………（10分）有60×（0.10+0.05）＝9名未患病者被误判为患病者，………………（12分）因此判断错误的概率为．………………（13分）18．（14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，G为AB的中点．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE．……（2分）因为DF⊄平面BCE，……（3分）所以DF∥平面BCE．……（4分）（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，所以BF⊥AD．………………（6分）因为G为AB的中点，所以AG∥CD，且AG＝CD；EF∥BG，且EF＝BG，所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以AD∥CG，所以BF⊥CG．………………（7分）因为EF＝EB，所以四边形BEFG为菱形，所以BF⊥EG．………………（8分）所以BF⊥平面GCE．………………（9分）所以平面BCF⊥平面GCE．………………（10分）（Ⅲ）设BF∩GE＝O．由（Ⅰ）得DF∥CE，所以DF∥平面GCE，由（Ⅱ）得AD∥CG，所以AD∥平面GCE，所以平面ADF∥平面GCE，所以几何体ADF﹣GCE是三棱柱．………………（11分）由（Ⅱ）得BF⊥平面GCE．所以多面体AFEBCD的体积V＝V ADF+V B﹣GCE………………（12分）﹣GCE＝＝．………………（14分）19．（13分）已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………（2分）所以f'（1）＝1﹣a．依题意，有，即，………………（4分）解得a＝1．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………（8分）因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………（9分）设，其中b＞1．………………（10分）则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………（11分）所以h（b）＞h（1）＝0，即，………………（12分）故f（x）最小值为．………………（13分）20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，经过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线y＝x与椭圆C交于A，B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线y＝x交于点P（点P与点A，B，M，N不重合）．（ⅰ）当k＝﹣1时，证明：|P A||PB|＝|PM||PN|；（ⅱ）写出以k为自变量的函数式（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．依题意，得，b＝1，且a2＝b2+c2．解得．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）证明（ⅰ）由得，．k＝﹣1时，设直线l的方程为y＝﹣x+t．由得4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0．令△＝36t2﹣48（t2﹣1）＞0，解得t2＜4．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．由得．所以|P A|•|PB|＝•|﹣||+|＝|．因为，同理．所以＝＝．所以|P A|•|PB|＝|PM|•|PN|．（ⅱ）．。