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高考数学普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N =（ ）（A ）{0,1,2}（B ）{1,0,1,2}-（C ）{1,0,2,3}-（D ）{0,1,2,3} 2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ） （A ）1i -+（B ）1i --（C ）1i +（D ）1i -3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） （A ）13（B ）13-（C ）19（D ）19- 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α（B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）（A ）4-（B ）3-（C ）2-（D ）1-6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）11112310+++⋅⋅⋅+（B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+（C ）11112311+++⋅⋅⋅+（D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B)(C)(D)8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ） （A ）c b a >>（B ）b c a >>（C ）a c b >>（D ）a b c >>9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ） （A ）14（B ）12（C ）1（D ）2 10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x =（B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x =（D ）22y x =或216y x =12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） （A ）(0,1)（B）1(1)22-（C）1(1)23-（D ）11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。
近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。
选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。
选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。
一、近五年高考数学考点分布统计表：从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。
具体来说几个方面：1．整体稳定，覆盖面广高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。
有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
2．重视基础，难度适中试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。
理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。
填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。
解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。
4．全面考查新增内容，体现新课改理念如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。
5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。
绝密★启用前2021年高考数学真题名师评析（新高考全国2卷带解析）一、试卷使用地区海南、辽宁、重庆二、试卷总评2021年新高考数学全国2卷命题,坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,命制具有教育意义的试题,试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境,深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材,引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族自豪感与自信心,增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀.如本卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题,考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养；本卷第21题取材于生命科学中的真实问题,考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养,体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求；本卷第6题,以某物理量的测量为背景,考查正态分布基本知识的理解与应用,引导考生重视数学实验,重视数学的应用.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和“机械刷题”现象.2本卷命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如本卷第14题的答案是开放的,给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间,在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用；本卷第18题基于课程标准,重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解题能力,在体现开放性的同时,也考查了考生思维的准确性与有序性；本卷第22题第（2）问是一道“结构不良问题”,对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查,体现了素养导向、能力为重的命题原则.总之,2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用. 三、考点分布细目表四、试题深度解读1.在复平面内,复数213ii--对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【命题意图】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易因为()()()()21325511=1313131022i i i i i i i i -+-+==+--+,所以该复数在复平面内对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,在第一象限,故选A.点评：复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算. 知识点：解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R)的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,3,6A =,{}2,3,4,B =则UA B =（ ）A.{}3B.{}1.6C.{}5,6D.{}1,3【命题意图】本题考查集合的交集与补集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易 答案：B因为{}1,2,3,4,5,6U =,{}2,3,4,B =所以{}1,5,6UB =,因为{}1,3,6A =,所以UAB ={}1.6,故选B.点评：集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合,都是离散的数集,无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集与补集概念的考查.知识点：求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的．； (2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn). 3. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+,则p =（ ）A.1B.2C.3D.4【命题意图】本题考查抛物线的方程与几何性质及点到直线距离公式,考查数学运算的核心素养.难度：容易. 答案：B抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭到直线1y x =+的距离1pd +==所以2p =,故选B.点评：解析几何中抛物线是必考知识点,或在客观题中,或在解答题中. 知识点：(1)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 ①x 1x 2＝p 24,y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p ,通径是过焦点最短的弦．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．4. 卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）,把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ）,则S 占地球表面积的百分比为（ ）A.26%B.34%C.42%D.50%【命题意图】本题考查与求有关的计算问题,考查直观想象与数学建模的核心素养.难度：容易 答案：C由题意可得64008cos ==+36000+640053α=地球半径地球半径卫星高度,所以S 占地球表面积的百分比为()2221cos 1cos 4542105r r πααπ--==≈42%,故选C. 点评：本题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题,考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养,同时又能引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族自豪感与自信心,增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀. 【知识素养】球的表面积与体积公式：2344,3S R V R ππ==5. 正四棱台的上、下底面边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为（ ）A.20+3 D.563【命题意图】本题考查棱台的体积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易. 答案：C如图,设上下底面的中心分别为12,O O ,过1B 作1B M OB ⊥,垂足为M,则11O B OB BM ===,所以该棱台的高1h B M ===所以该四棱台的体积为(+3h S S +下上=(222+4=33,故选C.点评：往年立体几何在高考中一般有2道客观题,1道解答题,本题试卷除了第4题的实际应用,也恰好符合这一规律,客观题中立体几何考查的热点是几何体中元素的位置关系与数量关系、几何体的表面积与体积、球与几何体的切接等. 知识点：空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等,它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法,应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题．6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ,则下列结论中不正确的是（ ） A ．σ 越小,该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大. B ．σ越小,该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5.C ．σ越小,该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等.D ．σ越小,该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等. 【命题意图】本题考查正态分布,考生数学建模与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易 答案：D正态曲线的对称轴为10x =,B,C 正确,σ 越小,正态曲线越瘦高,总体分布也集中在对称轴附近,A 正确；()9.9,10.2与()10,10.3不关于对称轴对称,D 错误,故选D. 点评：注意本题是判断：“结论中不正确的是”. 知识点：1.能熟练应用正态曲线的对称性解题,并注意以下几点： (1)正态曲线与x 轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称,从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等； (3)几个常用公式： ①P (X <a )＝1－P (X ≥a )；②P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )(即第(2)条)； ③若b >0,则P (X <μ－b )＝1－P （μ－b <X ≤μ＋b ）2.2.无论是正态分布的正向或逆向的应用问题,关键都是先确定μ,σ,然后利用对称性,将所求概率转化到三个特殊区间． 7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） A.c b a << B .b a c << C.a c b << D.a b c <<【命题意图】本题考查数式大小的比较,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中点偏易 答案：C解法一：558811log 2log ,log 3log 22a b =<==>=,故选C. 解法二：548911log 2log 2,log 3log 322a b =<==>=,故选C.点评：指数式与对数式大小的比较高考热点,高考考查频率非常高. 知识点：1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函 数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比 较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于 三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一 类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.2.比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． 8. 设函数()f x 的定义域为R ,且()2f x +是偶函数,()21f x +为奇函数,则（ ）1A.02f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()B.10f -= ()C.20f = ()D.40f =【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等 答案：B解法一：由()21f x +为奇函数,可得()()2121f x f x -+=-+,取1x =得()()15f f -=-,由()2f x +是偶函数得()()22f x f x -+=+,取3x =得()()15f f -=,所以()()()55,50f f f =-=,所以()10f -=,故选B.解法二：构造一个符号条件的函数：()πcos2f x x =,可以验证只有()10f -=,故选C. 点评：注意()2f x +是偶函数,可得()()22f x f x -+=+,而不是()()22f x f x --=+. 知识点：本题的背景涉及函数的奇偶性、对称性与周期性的关系,下面给出几个结论：(1)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(2)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(3)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.9. 下列统计量可用于度量样本12,,n x x x ⋅⋅⋅离散程度的有（ ）12A.,,n x x x ⋅⋅⋅的标准差 12B.,,n x x x ⋅⋅⋅的中位数12C.,,n x x x ⋅⋅⋅的极差 12D.,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数【命题意图】本题考查样本的数字特征,考查数学抽象的核心素养.难度：容易 答案：AC标准差是方差的算术平方根.它反映一个数据集的离散程度.极差是最大值与最小值的差,可反应数据的离散程度,中位数是通过排序得到的,它不受最大、最小两个极端数值的影响,不可用于度量样本12,,n x x x ⋅⋅⋅离散程度,平均数反应数据的平均水平,它是反映数据集中趋势的一项指标,不可用于度量样本12,,n x x x ⋅⋅⋅离散程度,故选AC.点评：求解本题的关键是利用标准差、中位数、平均数、极差的概念逐个进行判断. 知识点：1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大,数据的离散程度越大；标准差、方差越小,数据的离散程度越小．因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差都是测量样本数据离散程度的工具,但在解决实际问题时,一般多采用标准差．2.有关平均数、方差的一些结论若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2. 则ax 1,ax 2,…,ax n 的平均数为ax ,方差为a 2s 2.数据mx 1+a,mx 2+a,…,mx n +a 的平均数为mx a +,方差为m 2s 2.10. 如图,下列各正方体中,O 为下底的中点,,M N 为顶点,P 为所在棱的中点,则满足MN OP ⊥的是（ ）(A) (B) (C) (D)【命题意图】本题考查线线垂直的判断,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易. 答案：BC对于A,如图,MN ∥EF,但EF 与OP 不垂直,所以A 不符合条件对于B,如图,点Q 是所在棱的中点,可得MN ⊥平面OPQ,所以MN OP ⊥,所以B 符合条件；对于C,图中的MN 与B 图中PQ 平行,所以C 符合条件； 对于D,易得MN 与OP 不垂直,故选BC.点评：要说明一个命题正确,要给出证明,不能想当然.知识点：判断线性垂直一是利用平面几何知识判断,如等腰三角形底边中线与底边垂直等,二是利用线面垂直的性质定理来判断.11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:,C x y r +=点(),A a b ,则下列说法正确的是（ ）A.若点A 在圆C 上,则直线l 与圆C 相切 B .若点A 在圆C 内,则直线l 与圆C 相离 C.若点A 在圆C 外,则直线l 与圆C 相离 D.若点A 在直线l 上,则直线l 与圆C 相切【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度：中等. 答案：ABD对于A,若点A 在圆C 上,则222a b r +=,则圆心到直线l 距离2d r ==,所以直线l 与圆C 相切,A 正确；对于B,若点A 在圆内,则222a b r +<,则圆心到直线l 距离2d r =<,所以直线l 与圆C相交,B 正确；对于C,若点A 在圆外,则222a b r +>,则圆心到直线l 距离2d r =>,所以直线l 与圆C相离,C 错误；对于D,若点A 在直线l 上,则222a b r +=,直线l 与圆C 相切,D 正确,故选ABD. 点评：判断直线与圆的位置关系,常通过圆心到直线距离与半径大小进行判断.知识点：在处理直线与曲线的位置关系时,一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法),但若曲线是圆,则属例外情形,此时我们一般不讨论Δ>0,Δ＝0,Δ<0,而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系,即d <r ,d ＝r ,d >r ,分别确定相交、相切、相离． 12.设正整数0110112222,k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅其中{}0,1,i a ∈记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+则（ ）()()A.2n n ωω= ()()B.231n n ωω+=+()()C.8543n n ωω+=+ ()D.21nn ω-=【命题意图】本题考查数的转化及等比数列,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难 答案：ACD 对于A,因为0110112222,k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅所以01210112022222,k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅所以()()0120k n a a a n ωω=++++=；对于B,取2n =,则012237121212n +==⨯+⨯+⨯,所以()51113ω=++=,而()21ω=,所以B 不一定成立；对于C,3430120185222120212k k n a a a ++=⋅+⋅++⋅+⨯+⨯+⨯ =()2n ω+,同理,2320101432221212k k n a a a ++=⋅+⋅++⋅+⨯+⨯=()2n ω+,所以C 正确；对于D,01121121212nn --=⨯+⨯++⨯ ,所以()21n n ω-=,D 正确,故选ABD.点评：本题的背景是十进制与二进制的转化.知识点：本题中,()n ω是把一个十进制数转化为二进制后各位数字之和,确定01,,,k a a a 所用的方法是除2取余法.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>,离心率2e =,则双曲线C 的渐近线方程为【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,考查数学运算的核心素养.难度：容易答案：y =因为2c e a ===,所以b a =,所以双曲线C 的渐近线方程为y =. 点评：双曲线是高考必考问题,一般作为客观题考查,若单独考查双曲线的定义与几何性质,一般为基础题,若与其他知识交汇考查,可能会出现难度较大的客观题. 知识点：双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)中,离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x①()()()1212;f x x f x f x = ②当()0,x ∈+∞时,()'0f x >；③()'f x 是奇函数.【命题意图】本题考查幂函数的运算法则及奇偶性、单调性.难度：容易. 答案：2y x = （答案不唯一）幂函数满足①,满足②,()f x 在()0,+∞是增函数 ,满足③,()f x 是偶函数,所以符合条件的一个函数是2y x = （答案不唯一）.点评：本题答案是开放的,给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间,在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用.知识点：若()()(),,f x g x h x 分别是幂函数、指数函数、对数函数,则：()()()()()()()()(),g ,f ab f a f b a b g a g b h ab h a h b =+==+.15. 已知向量0,1,2,a b c a b c ++====则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=【命题意图】本题考查平面向量的数量积,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易 答案：92-解法一：因为0,1,2,a b c a b c ++====所以()()2222+2a b ca b c a b b c c a ++=++⋅+⋅+⋅= ()920a b b c c a =+⋅+⋅+⋅=,所以a b b c c a ⋅+⋅+⋅=92-.解法二：因为0,1,2,a b c a b c ++====所以()2222520a ba ab b a b +=+⋅+=+⋅=,所以52a b ⋅=-,所以()25922a b b c c a a b b a c c ⋅+⋅+⋅=⋅++⋅=--=-.点评：平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.知识点：平面向量数量积求解问题的策略 ①求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a||b |,要注意θ∈[0,π]． ②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. ③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ;|a ±b |＝a 2±2a ·b ＋b 2;若a ＝(x ,y ),则|a |＝x 2＋y 2.16. 已知函数()121,0,0,xf x e x x =-<>函数()f x 的图像在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于,M N 两点,则AMBN的取值范围是 【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难. 答案：()0,1当0x >时()()1,xxf x e f x e '=-=,所以2x BN k e =,同理可得1xAM k e ==-,因为两条切线互相垂直,所以()211210x x ee x x -=-⇒+=,所以21x AM BM e ===,因为20x >,所以2101x e <<,即AM BN 的取值范围是()0,1.点评：导数的几何意义是高考热点,考查方式主要有：求曲线在某点处的切线方程,确定曲线的条数,求公切线,根据曲线满足条件求参数范围. 知识点：(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )；②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.(3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.17. 记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,若35244,.a S a a S =⋅= （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求n n S a >成立的n 的最小值.【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,试题难度：中等偏易.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ()0d ≠ ,由35244,a S a a S =⋅=得()()111112510346a d a da d a d a d+=+⎧⎨++=+⎩,解得14,2,a d =-= 所以()()1142126n a a n d n n =+-=-+-=-. （2）解法一：由（1）知()2126,4252n n n n a n S n n n -=-=-+⨯=-, 所以由n n S a >得2526n n n ->-,解得6n >,所以n 的最小值为7. 解法二：由n n S a >得()102n S n ->≥,即()()11102n a a n -+-> ,所以112120n a a n -+=->,解得6n >,所以n 的最小值为7.点评：数列解答题是新高考必考题.通常考查数列的通项与求和,难度一般为中等偏易或中等. 知识点：等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．②等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题．18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长为,,a b c ,1, 2.b a c a =+=+ （1）若2sin 3sin ,C A =求ABC ∆的面积；（2）是否存在正整数a ,使得ABC ∆为钝角三角形？若存在,求出a 的值；若不存在,说明理由. 【命题意图】本题考查三角形面积公式、正弦定理及余弦定理的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.由2sin 3sin ,C A =及正弦定理得23c a =,由1, 2.b a c a =+=+可得()223a a +=, 所以4,5,6a b c ===,所以2222536161cos ,sin 22568b c a A C bc +-+-=====⨯⨯,所以ABC ∆的面积11sin 4522S ab C ==⨯⨯=. （2）由,1,2b a c a =+=+可得c b a >>,所有C B A >>,若ABC ∆为钝角三角形,则()()()22212cos 021a a a C a a ++-+=<+ ,整理得2230a a --<,解得03a <<, 又12a a a ++>+,所以1a >, 因为a 为正整数,所以a =2.所以a =2使得ABC ∆为钝角三角形.点评：解三角形是高考必考题,今年的解三角形题难度比较小,只相当于课本习题难度,属于得分题. 知识点：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想．19. 在四棱锥Q ABCD -中,底面ABCD 是正方形,若2, 3.AD QD QA QC ==== （1）求证：平面QAD⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值.【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及二面角的计算,考查直观想象及逻辑推理的核心素养(1)因为2,3QD CD QC ===,所以222QC QD CD =+,所以CD QD ⊥,因为底面ABCD 是正方形,所以CD AD ⊥, 因为ADQD D =,所以CD QAD ⊥平面,因为CD ABCD ⊂平面,所以平面QAD⊥平面ABCD .(2)解法一：由CD QAD ⊥平面及底面ABCD 是正方形, 可得BA QAD ⊥平面, 作AM ⊥DQ,垂足为M,连接BM,则AMB ∠就是二面角B QD A --的平面角,由2QA QD AD ===,可得3cos 5AQD ∠==,4sin 5AQD ∠=,sin AM AQ AQD =∠=BM ==所以二面角B QD A --的平面角的余弦值为23AM BM =.解法二：以AD 中点E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -,则()()()2,1,0,0,0,2,0,1,0B Q D -,()()2,1,2,0,1,2BQ QD =-=-平面QDA 的一个法向量()1,0,0m =, 设平面BQD 的一个法向量(),,n x y z =,则00n BQ n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y z y z -++=⎧⎨-=⎩,取1z =得()2,2,1n =,所以 二面角B QD A --的平面角的余弦值为23mn m n⋅=.点评：立体几何解答题在高考中难度一般低于解析几何题,属于得分题,第1问一般为线面位置关系的证明,书写时要注意步骤的规范,第2问一般用空间向量求空间角,运算失误是失分主要原因. 知识点：1.证明线面位置关系应注意的问题(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． 2.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．20. 已知椭圆C 的方程为()222210,0,x y a b a b+=>>右焦点为)F,且离心率为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设点,N M 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线()2220x y b x +=>相切.证明：,,M N F 三点共线的充要条件是MN =【命题立意】本题考查椭圆的方程直线与圆锥曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养(1)设c =由右焦点为)F ,得c =由离心率为33c a =,所以a =,1b =,所以椭圆C 的方程为2213x y +=.(2)先证明必要性.若,,M N F 三点共线,则直线MN 的斜率不为零,可设直线MN的方程为x my =+因为直线MN 与曲线()2220x y bx +=>相切,所以圆心到直线MN的距离1d == ,所以21m =,由椭圆与曲线()2220x y bx +=>相切都关于x 轴对称,不妨假设1m =由2213x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2410y +-=, 设()()1122,,,M x y N x y ,则121214y y y y +==-,所以12MN y y =-===再证明充分性.若MN =设直线MN 的方程为()0x my n n =+>, 因为直线MN 与曲线()2220x y bx +=>相切,所以圆心到直线MN的距离1d == ,所以221n m -=,由2213x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2223230m y mny n +++-=, 设()()1122,,,M x y N x y ,则212122223,23mn n y y y y m m -+=-=-++,所以12MN y =-===12MN y =-===,解得21,m n ==,所以直线MN 过点),即,,M N F 三点共线.点评：解析几何解答题是每年必考题,该题一般分2问,第1问一般考查曲线的方程,第2问一般考查弦长、三角形面积、定点、定值及最值问题.知识点：本题第2问实质是证明直线MN 过定点F .下面给出圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代⋅⋅⋅⋅⋅⋅,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,()()0,1,2,3.i P X i p i === （1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====,求()E X ； （2）设p 表示该微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,求证：当()1E X ≤时,1p =,当()1E X >时,1p <；(3)根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.【命题意图】本题考查随机变量的分布列及不等式证明,考查数学建模及逻辑推理的核心素养.难度：难(1)因为01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====,所以()0123012300.410.320.230.11E X p p p p =+++=⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)()12323E X p p p =++,设()()23012301f x p p x p x p x x x =+++-<≤,则()2123231f x p p x p x '=++-在(]0,1上是增函数,且()()11f E X '=-,若()1E X ≤,则()()10f x f ''≤≤,()f x 在(]0,1上是减函数,且()10f =,所以1p =. 若()1E X >,则()10f '>,且()1010f p '=-< （若11p =,则()1E X =与()1E X >矛盾,所。
高考全国Ⅱ卷数学试题综合解析_年高考数学试题设计围绕高中数学的核心内容,重点知识重点考查,通性通法着力考查;围绕学生的学习和生活实际,考查数学知识的综合与应用,体现数学的文化及教育价值.下面是小编为大家带来的_高考全国Ⅱ卷数学试题综合解析,希望你喜欢._年高考数学科目考试结束后,省教育考试院邀请西安电子科技大学数学与统计学院部分教授和部分中学特.高级数学教师对我省数学科目试题进行了简要分析.本年度陕西省高考数学试题依然采用全国Ⅱ卷,从大多数考生的答题情况分析得1_分容易,_0分以上难,特别是阅读量的增加,解答题顺序的调整,不难感受到学科素养下命题的导向新变化.试题特点一:试题相对稳定,顺序有所调整_年试题仍然延续了全国高考数学新课标卷稳中求变的风格,主干知识保持不变.试题注重对基础知识与基本技能的考查,贴近教学实际,〝三角函数〞〝立体几何〞〝概率统计〞〝解析几何〞〝函数与导数〞等六大板块依旧是考查重点,体现了高考对主干知识的重视程度,如理科试题中,概率统计_分.立体几何_分.解析几何_分.纯粹三角_分,参数方程与极坐标_分.绝对值不等式_分.函数与导数37分,导数与三角结合与往年不同,但一.二问难度不大,较往年分值增加,尽管放_题的位置,但难度稳定.变化较大的还是解答题顺序上有调整,_题由立体几何换成解析几何,与往年相比运算量减小,_题由常规的解析几何变更为立体几何题,但难度不大,问题的设置常规,证明线线平行.面面垂直及线面夹角的正弦值,只要考生有较好的运算能力和问题分析能力就能解决.压轴_题的导数问题在预料之中,相比_年难度略有提高,但第一.第二问容易入手,难度适中,所以可以看到试题在整体平稳的基础上,试题顺序进行动态调整,排列顺序上依然是由易到难,循序渐进.试题特点二:创设生活情境落实科学育人全国Ⅱ卷发挥学科特色,以中国抗击新冠肺炎疫情中的真实素材设计数学试题的问题情境.理科第3题(文科第4题)以志愿者参加某超市的配货工作为背景设计,疫情防控期间大规模的网购.配货,是考生身边的真实情境,试题考查的知识和方法很基本,考生只要读懂了试题内容,运用概率的基本知识便可求得问题的答案,对考生提高获得感及稳定考试心态都有良好的作用.试题考查考生分析问题和解决问题的基本能力,体现了对核心素养与关键能力的考查;同时,试题的情境具有时代性,对考生具有积极的教育意义.这些材料试题考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力,同时也较好地考查学生的知识迁移水平和应用能力,对推理步骤的严谨性,答题过程的条理性,解题过程的探索性都有较高的要求,具有浓厚的时代气息,体现了数学与社会的密切联系.试题特点三:聚焦数学思想突出核心素养试题整体运算量不大,注重了数学思维的考查,侧重对逻辑推理.分析和解决问题能力的考查,如理科第 4.5.7.8.9._._._题等;注重通性通法和对数学思想的考查,淡化了特殊方法.技巧解题,如理科第1.2. 6._._._._(1)题等.蕴含数形结合思想的试题有:理科第 5.9._题,文科第8._._题;蕴含转化与化归思想的试题有:理科第_._._题,文科第_._题;考查直观想象素养的试题有:理科第7._._._题,文科第_._._题;考查数学运算素养的试题有:理科第5.6.8._._._._._._题,文科第 5.6.8.9._._._._._题;考查逻辑推理素养的试题有:文科第_._题,理科第_题的二三问.总之命题从知识立意到能力立意,再到学科素养立意,都是以数学知识为载体,培养学生的理性思维和数学品质,考查学生理性思维的广度和深度,体现了数学思想.通性通法的重要性.高中历史重要知识点高中的历史的学习重点是掌握课本知识,所以我们在学习必修一的历史课本时,就要理解好_全国1卷高考语文作文范文精选5篇关注语文教学发展,解决语文学习困惑.从_年的高考语文作文可以看出,我们的作文_全国1卷语文作文范文精选 _年备受关注的高考语文作文试题已经出炉,_全国1卷语文作文是〝对齐桓公.中国面孔高考满分作文范文5篇每一个口罩下都是一张美丽的面孔,_年让我们致敬奋斗战役一线的工作者吧,下面就是。
（全国卷Ⅱ）2021年高考数学压轴卷 文（含解析）一、 选择题（本大题共12小题. 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B ( ) A. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)2.已知复数z 的共轭复数112iz i -=+，则复数z 的虚部是（ ） A.35B. 35iC.35D. 35i -3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题4.角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+--（ ）A.13B. 1C. 3D. －15. 已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若向量a -与b a -的夹角为4π，则实数m =（ ） 3 B. 1C. －1D. 36.设变量想x 、y 满足约束条件为2600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 217.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 3C. 6D. 28.执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A. 36B. 45C. －36D. －459.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
目录2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 1 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 9 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）. (18)绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）8．点(0)1-，到直线()1y k x =+距离的最大值为 A ．1BCD ．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．10．设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学全国I II III三套试卷真题解析考试简介本文为2023年高考数学全国I、II、III三套试卷的真题解析。
以下将分别对每套试卷的重点内容和解题思路进行讲解，帮助同学们更好地理解考试题目。
全国I卷题目1这道题目考察的是概率与统计知识，需要运用排列组合的思想求解。
首先需要计算出所有可能的情况数，然后再计算出符合条件的情况数，最后通过两者的比值得到最终的概率值。
关键在于正确理解题意，并使用正确的概率计算公式。
题目2这道题目考察的是函数与图像的关系，需要用到函数的基本性质和对称性。
要正确理解函数的定义和性质，并运用图像对函数进行分析和判断。
注意题目中给出的条件和要求，并结合函数图像来解答问题。
题目3这道题目考察的是立体几何和空间几何的知识，需要运用到向量和平面几何的相关概念。
解题关键在于正确理解题目中的几何关系，并进行几何图形的分析和求解。
注意计算过程的准确性和推理的严谨性。
全国II卷题目1这道题目考察的是函数与方程的关系，需要运用到函数的性质和方程的求解方法。
关键在于正确理解题目中给出的方程，并结合函数的图像或表达式进行求解。
注意方程求根的准确性和解的存在性。
题目2这道题目考察的是立体几何和空间几何的知识，需要运用到三角函数和几何图形的相关概念。
解题关键在于正确理解题目中给出的几何关系，并进行几何图形的分析和求解。
注意计算过程的准确性和推理的严谨性。
题目3这道题目考察的是概率与统计知识，需要运用到事件的概率和频率的概念。
解题关键在于正确理解题目中给出的条件和要求，并利用概率计算的方法进行推理和求解。
注意概率计算过程的准确性和逻辑的合理性。
全国III卷题目1这道题目考察的是函数与导数的关系，需要运用到导数的定义和基本性质。
关键在于正确理解题目中给出的函数和导数的要求，并利用导数的性质进行求解。
注意运用导数计算的准确性和推理的严谨性。
题目2这道题目考察的是数列与数性质的知识，需要运用到数列的通项公式和数列求和的方法。
