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浙江省绍兴市高三下学期4月适应性考试数学试题一、单项选择题1．集合{0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<<，那么A B =〔 〕A ．()1,-+∞B ．()1,1-C ．(]1,0-D ．[)0,1【答案】C【分析】直接根据交集的运算计算即可.【详解】由题可知：集合{0A x x =≤或}2x ≥，{}|11B x x =-<< 所以(]1,0A B =-应选：C2．i是虚数，假设122=-+z i ，那么2z =〔 〕 A．12-+ B．12-C．12 D．122- 【答案】D【分析】直接按照平方式公式计算即可. 【详解】由题可知：12=z i所以22213112442z i i ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭应选：D3．假设实数x ，y 满足约束条件2301x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么2x y +的最大值是〔 〕A ．73B ．3C ．72D ．4【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，令2z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案． 【详解】由约束条件作出可行域如图，联立302x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得3(2A ，1)2，令2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为72． 应选：C ．【点睛】求解时注意根据直线截距的几何意义，考查数形结合思想的应用.4．函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据根本不等式以及排除法可得结果. 【详解】由+≥a x a xax x =时，取等号又1a >，所以22a x a x +≥>，故()log log 10a a a f x x x ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭所以只有A 正确 应选：A5．某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔 〕A ．8π+B ．83π+ C ．83π+D ．83π+ 【答案】B【分析】画出该几何体的直观图，然后根据三视图的数据以及锥体体积公式以及圆柱的体积公式计算即可. 【详解】如图所以四棱锥的体积为：2182233⨯⨯=半个圆柱的体积为：21122ππ⨯⨯⨯= 故该几何体的体积为：83π+应选：B6．设m R ∈，那么“12m ≤≤〞是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径r =假设直线l 与圆C 有公共点， 那么圆心()1,2到直线的距离d =≤13m ≤<，{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤〞是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点〞的充分不必要条件.应选：A7．无穷数列{}n a 是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为,n S n N *∈，那么〔 〕 A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B ．数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 C ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 D ．数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 【答案】D【分析】计算等差数列的n S 和n a ，然后逐项进行判断即可. 【详解】由题可知：()112n n n dS a n -=+，()11n a a n d +-=，其中10,0a d >> 对A ，112n S n a d n -=+⋅，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2d 等差数列，故A 错 对B ，1121222n d a S a n d d n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅=+，当12d a =时，22n S d n =， 所以数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列，故B 错 对C ，()()11121n n n n da n S a a n d-+=+-，当1a d =时，12n n S n a +=， 所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列，故C 错()()11112nna n d n n d a n a S +-=-+，n n a S 不可能转化为关于n 的一次函数形式， 故数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列，故D 正确 应选：D8．22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，那么a b +的最小值是〔 〕A．B ．3C．D ．4【答案】B【分析】将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令2ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b-23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由3sin 6a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.【详解】因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令2ba θθ⎧-=⎪⎪=，那么sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩，解得203θπ<<，所以)()2222sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin cos θθθθ=-+3cos22θθ=+，23πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<， 所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以sin 23πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭解得242333ππθπ≤+≤， 所以62ππθ≤≤，那么2363πππθ≤+≤，所以3sin 6a b πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以a b +的最小值是3， 应选：B【点睛】关键点点睛：此题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解.9．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和点22,0a b M a ⎛⎫-⎪⎝⎭，假设存在过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，满足102PM MQ λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，那么椭圆C 的离心率取值范围是〔 〕A ．⎛ ⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,)T x y 是椭圆上的任一点，求出2||TM ，根据其单调性，将问题转化为2112A M MA <，其中()()1,0,,0a A A a -，得出,a c 不等量关系，即可求解. 【详解】设(,)T x y 是椭圆上的任一点，222242222222||c c c c TM x y x x b a a a a ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为x a =，所以2||TM 在[,]x a a ∈-上单调递减， 设()()1,0,,0a A A a -，由题知：只要2112A M MA <即可， 22222111322c a A M a a c c MA a a-<⇔<⇔<+，所以13e <<.应选：C.【点睛】关键点点睛：把问题转化2112A M MA <是解题的关键. 10．a ，b ，R c ∈，假设关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，那么〔 〕A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D【分析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃， 那么不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，那么11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-， 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 应选：D ．【点睛】关键点点睛：此题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．二、填空题11．《九章算术》中的“两鼠穿墙题〞是我国数学的古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？〞题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，那么3S =___________尺.【答案】354【分析】大、小老鼠每天打洞的距离符合等比数列，分别计算大、小老鼠打洞长度之和，然后简单计算即可.【详解】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以大老鼠前n 天打洞长度之和为122112nn -=--,同理小老鼠前n 天打洞长度之和为111()1221212nn --=--, 所以11112122122n nn n n S --=-+-=-+所以33131512324S -=-+=故答案为：35412．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.【答案】85【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可. 【详解】如图设()()4,0,04M a a ≤≤，()()12,4,0,0,0,4N D()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a z y ⎧-=⎪⎧-+-=⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⋅=+⎪⎩⎩⎪=⎪⎩令8z =，82,4x a y a =-=+，那么()82,4,8n a a =-+ 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n = 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为θ所以(11cos 8n n n n θ⋅===当2412105a ==时，cos θ有最大，那么θ有最小，所以185A M = 故答案为：8513．平面向量,,a b c 满足：12,1,,02a a b b c cb b ⎛⎫=-==-⋅= ⎪⎝⎭，那么12a c -的最大值是___________. 1 【分析】先得到,3b c π=，然后假设坐标，得到b 的终点坐标满足的方程，同时得到c 的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可.【详解】由2110022c b b c b b ⎛⎫-⋅=⇒⋅-= ⎪⎝⎭，又b c =，所以可知1cos ,2b c = 又[],0,b c π∈，所以,3b c π=设()2,0,a =b 的终点为(),B x y ，c 的终点为(),C m n，其中0,0n y ≥≥ 由()22121a b x y -=⇒-+=①，设BOx θ∠=，那么cos θθ==所以32232x mm y xyn x yπθπθ⎧⎧⎛⎫+=+=⎪=⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+=+=⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩②将②代入①并化简可得()(2211m n-+=令设1cossinmnϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以21cos2a c-==当sin1ϕ=时，max1412a c-===1【点睛】关键点睛：利用坐标求解并得到c的终点轨迹方程()(2211m n-+=是关键.三、双空题14．函数()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，那么()0f=___________；关于x的不等式()7f x>的解集是___________.【答案】6 ()16,+∞【分析】根据分段函数直接计算可得()0f，然后分类讨论计算可得不等式的解集. 【详解】由题可知：()()2217,1log3,1x xf xx x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，所以()()200176f=-++=①()21177xxx≤⎧⎪⇒∈∅⎨-++>⎪⎩，②2116log37xxx>⎧⇒>⎨+>⎩所以()7f x>的解集是()16,+∞故答案为：6，()16,+∞15．二项展开式(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，那么a0=___________；a1+a2+a3+a4=___________.(用数字作答)【答案】1 130【分析】根据题意，令x =0，即可求导0a ，根据9(1)x +展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】因为二项展开式(1+x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9， 令x =0，可得a 0=1.又9(1)x +展开式的通项公式为：91991k kk k kk T C x C x -+==，所以a 1+a 2+a 3+a 4=01239999C C C C +++=1+9+36+84=130，故答案为：1；130.16．在锐角ABC 中，内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，假设2,2A B b ==，那么cos aB=___________；边长a 的取值范围是___________. 【答案】4(【分析】依据题意可知()sin sin 2A B =，然后结合正弦定理可知cos aB，然后得到角B 的范围，简单计算即可.【详解】由题可知：2,2A B b ==，所以()sin sin 22sin cos A B B B == 所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可知24cos ab B==,那么4cos a B =， 由ABC 为锐角三角形，所以020202C A B πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0320226402B B B B ππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<<⎪⎩所以cos 22B <<，那么(4cos a B =∈ 故答案为：4, (17．袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(假设摸得白球那么涂成黑球，假设摸得黑球那么不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球，记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，那么()0P ξ==___________；()E ξ=___________.【答案】7929【分析】得到ξ的所有值，并计算相应的概率，然后简单计算即可.【详解】ξ所有可能结果为1，0()2112122233219C C C P C C ξ==⋅=，所以()()70119P P ξξ==-==所以()27210999E ξ=⨯+⨯= 故答案为：79，29四、解答题18．已领函数()22sin cos f x x x x =-〔1〕求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； 〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】〔1〕1；〔2〕最大值2，最小值【分析】〔1〕根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，然后代入计算即可.〔2〕根据〔1〕的条件，以及正弦函数的性质进行计算和判断即可. 【详解】解：〔1〕因为()22sin cos f x x x x =-+1cos 2sin 22xx +=-sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 14236f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔2〕因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 23π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ， 所以，当232x ππ-=，即512x π=时，()f x 取到最大值2； 当233x ππ-=-，即0x =时，()f x取到最小值19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.〔1〕证明：BC ⊥平面11ACC A ；〔2〕设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕33. 【分析】〔1〕根据勾股定理逆定理可知1BC AC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.〔2〕解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可.【详解】〔1〕 证明：如图，连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===，，， 所以22211A B AC BC =+，所以1BC AC ⊥，又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A .〔2〕解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF AE ⊥于F .因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥.在11ACC △中，111ACAC =， D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE . 因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BBDF ⊥， 又因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面11ABB A ，所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠. 在1DA E 中，221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =+=113sin 3DE DA E A E ∠==. 因此，直线1A D 与平面11ABBA 3. 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA CB ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么()()()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭ 因此14326A D ⎛= ⎝⎭，()1434623,2,0,AB AA ⎛=-=- ⎝⎭.设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（）， 由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3020x y x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 可取()2,6,1n =.设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 那么1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅. 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的方法：〔1〕根据线线平行得到线面平行〔线面平行判定定理〕；〔2〕根据面面平行得到线面平行；〔3〕向量法；线面角的一般求法；〔1〕根据定义找到线面角；〔2〕向量法.20．等差数列{a n }的公差不为零，a 4=1，且a 4，a 5，a 7成等比数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，满足S n =2b n ﹣4(n ∈N ). 〔1〕求数列{a n }和{b n }的通项公式；〔2〕假设数列{c n }满足112c =-，c n +1=c n ﹣n n a b (n ∈N )，求使得216n n c ->成立的所有n值.【答案】〔1〕a n =n ﹣3，b n =2n +1；〔2〕n 的值为3，4.【分析】〔1〕根据条件求得d ，由此求得n a ；先求得1b ，然后利用1n n S S --求得n b . 〔2〕利用累加法，结合错位相减求和法求得n c ，由此解不等式62212n nn c n ->-=，求得n 的所有可能取值.【详解】〔1〕设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得25a =a 4a 7， 即(1+d )2=1+3d ，整理得d 2=d ，解得d =1， 所以a n =a 4+(n ﹣4)d =n ﹣3， 因为b 1=S 1=2b 1﹣4，所以b 1=4，当n ≥2时，由b n =S n ﹣S n ﹣1，得b n =2b n ﹣2b n ﹣1，即b n =2b n ﹣1， 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n +1. 〔2〕由c n +1=c n ﹣n n a b ，得c n +1﹣c n =﹣132n n +-， 所以c n =(c n ﹣c n ﹣1)+(c n ﹣1﹣c n ﹣2)+…+(c 2﹣c 1)+c 1=﹣12﹣(232122--++……+42n n -)， 设T n =232122--++……+42n n -，那么12T n=342122--++……+142n n +-， 两式相减得12T n =232122-++412+ (12)﹣142n n +-=﹣31111221212n +-+-﹣142n n +-=﹣14﹣122n n +-， 所以T n =﹣12﹣22n n -，所以c n =﹣12﹣T n =22n n -，因为62212n nn c n ->-=，所以(n ﹣2)(24﹣n ﹣1)> 0， 当n =1时，不满足题意； 当n =2时，不满足题意；当n ≥3时，24﹣n ﹣1≥0，解得3≤n ≤4， 所以满足题意的所有n 的值为3，4.【点睛】当1n n a a --不是常数时，可利用累加法来求数列的通项公式.21．抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F 的直线l分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P .〔1〕求点P 的纵坐标；〔2〕设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T .记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，.〔i 〕求证：Q 为线段PM 的中点；〔ii 〕假设1287S S =，求直线l 的方程. 【答案】〔1〕1-；〔2〕〔i 〕证明见解析；〔ii 〕1y x =+或1y x =-+.【分析】〔1〕假设点,A B 坐标并得到直线l 的方程，同时得到点A ，B 处的切线方程，然后得到点P 的坐标，根据直线l 与抛物线联立方程，使用韦达定理可知结果. 〔2〕〔i 〕得到,,P M Q 的坐标，然后根据中点坐标公式可得结果; 〔ii 〕依据23TABPAB SS =，得到1283CD S S AB=⋅，然后利用弦长公式计算,CD AB ，最后根据等式进行计算即可.【详解】〔1〕解：设点221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为1y kx =+.22442x xx y y y =⇒=⇒'=，可知抛物线在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,22x x 抛物线1C 在点A ，B 处的切线方程分别为221122,2424x x x x y x y x =-=-，联立方程组，解得点P 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭. 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得22144016(1)0x kx k --=∆=+>，， 所以12144x x k x x +==-2，，所以点P 的坐标为(21)k -，， 即点P 的纵坐标为1-.〔2〕〔i 〕证明：由〔1〕得()()()22212,21,2,P k M k k Q k k -+，,， 因为22(21)(1)2k k ++-=， 所以，点Q 是线段PM 的中点.〔ii 〕解：因为M ，Q 分别为线段AB PM ，的中点，所以2AT TP = 所以23TABPAB SS =，所以2113248QBPMBPPABTAB S SS S S ====，所以12883338TCD TCD TAB TAB CD S S S S S ABS ==⋅=⋅. 设点C ，D 的横坐标分别为34x x ，，由22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得()()222243880,96210k x kx k ++-=∆=+>， 所以34342288,4343k x x x xk k +=-=-++，所以CD==由〔1〕得()241ABk ==+.所以，1283CD S SAB =⋅= =设()()()()2210431x f x x x x +=≥++，那么()()()232162050431x x f x x x ---'=<++，所以()f x 在[)0,+∞上单调递减.因为1287S S ==，所以()22327f k =⨯，所以21k =，即1k =±，经检验，符合条件，所以直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+.【点睛】思路点睛：第〔1〕问，①假设直线l 的方程并与抛物线方程联立，使用韦达定理；②得到在A,B 处切线方程并联立得到点P 坐标；③计算即可.第〔2〕问，①得到面积的比值1283CD S S AB=⋅；②利用弦长公式得到,CD AB ；③计算得到k . 22．函数()(xf x ax e -=(其中02a <<，e 为自然对数的底数).〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕设函数()f x 的极小值点为m ，极大值点为n ，证明：当(,)x m n ∈时，()1ln a f x x x e--<. 【答案】〔1〕递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；〔2〕证明见解析.【分析】〔1〕首先确定函数的定义域，接着求导，求解()0f x '>得到函数单调增区间，求解()0f x '<得到函数的单调减区间；〔2〕由〔1〕知21212m n a==+，，构造函数()(1ln x a g x ax e x x e--=--，经过推导判断()0g x '<得到()()10g x g <=，所以原不等式得证.【详解】〔1〕解：由得12x ≥()(x xx f x a e ax e a ax e ---⎛⎛'=-=- ⎝⎝()1x xa ax e x a e --⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由()0f x '>解得21212x a <<+ 所以()f x 的递减区间的2112,1,,22a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间的2121,2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.〔2〕证明：由〔1〕可知21212m n a ==+，，即2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭. 设()(1ln xa g x ax e x x e--=---，那么()()1ln 1x g x x a e x -⎫'=----⎪⎭. 当2121,2x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，因为022a a <-<-<， 所以()()21ln 1x g x x ex -'<---. 设()()21ln x h x x e x -=--，那么()242x x e x x h x xe-+'=- 当(),x m n ∈时，因为()()22421421210x e x x x x x x x -+>+-+=-->， 所以()0h x '<，所以()()10h x h <=，所以()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以，当(),x m n ∈时，()1ln a f x x x e--<. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增〔或递减〕区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
………○…………装…………○…………学校:___________姓名：___________班级：________………○…………装…………○…………浙江省绍兴市2022届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则()U A B =（ ） A ．{}0 B ．{}2,4 C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,42．若复数z 满足i 1i z =-+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．若实数x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =-的最大值是（ ）A ．3B ．0C ．1-D ．3-…○…………装………○…………订…………○…………学校:___________姓名：________班级：___________考号：___________…○…………装………○…………订…………○…………()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1CD 上的动点，则（ ）A ．AP ∥平面1BC DB ．AP ∥平面11A BC C ．AP ⊥平面1A BDD ．AP ⊥平面11BB D8．若存在a R ∈，对任意的0x >，恒有()sin f x a x -≥，则函数()f x 不可能是（ ） A ．()f x B ．()22f x x x =-+○…………装………学校:___________姓名：______○…………装………9．已知1F、2F为双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点，满足1245F PF∠=︒，12OP F=(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A．7B C D10．已知各项均为正数的数列{}n a满足11a=，()1*111n nn nna a n Na+++=-∈，则数列{}na （）A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项第II卷（非选择题）二、填空题11．我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面4⨯=径周．现有一宛田的面积为1，周为2，则径是__________．12．已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cosα=__________，tanα=__________．13．如图，在平行四边形ABCD中，1P，2P，3P依次为边BC的四等分点，1Q，2Q，3Q依次为边DC的四等分点，若111AP AQ⋅=，332AP AQ⋅=，则22AP AQ⋅=__________．线…………线…………14．已知a ，b ∈R ，若1x ，2x ，3x 是函数()32f x x ax b =++的零点，且123x x x <<，123x x x +=，则6a b +的最小值是__________． 三、双空题 15．在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则正整数n =__________．常数项是__________．16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作圆()22114x y ++=的一条切线，切点为A ，且PA PF =，则点F 的坐标是__________，PF =__________． 17．在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为1ξ（若互不相邻，则11ξ=；有且仅有2人相邻，则12ξ=；3人连在一起，则13ξ=），2位护士中相邻人数为2ξ，记112212,,ξξξξξξξ≥⎧=⎨<⎩，则()13P ξ==__________；()E ξ=__________． 四、解答题 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0c A C =． (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，且2ab =，求b 的取值范围．19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △是边长为2的正三角形，BA AC ⊥，BA =2BP =，D 为BC 的中点．………○…………装……线…………学校:___________姓名：………○…………装……线…………(1)证明：AC PD ⊥；(2)求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和是n S ，且21n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设1n n n c +=m ，使得()22221232313n m n n a c c c c x b +-++++>对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，焦距为()2,2B 的直线交椭于点M ，N ，直线BO 与线段AM 、线段AN 分别交于点P ，Q ，其中O 为坐标原点．记△OMN ，△APQ 的面积分别为1S ，2S ．(1)求椭圆的方程； (2)求12S S ⋅的最大值．22．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程（△）求a 的取值范围； （△）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可. 【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =， 所以{}0,2,4UA =，所以(){}{}{}0,2,40,10U AB ==.故选：A 2．D 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则即可求解. 【详解】解：因为复数z 满足i 1i z =-+（i 为虚数单位），所以()()1i i 1i 1i i 1z -+--+===+，故选：D. 3．B 【解析】 【分析】由三视图还原几何体后求体积 【详解】由三视图可知，该几何体由一个正方体与一个三棱柱组合而成 1311111122V =⨯⨯+⨯⨯⨯=……○…………装……○…………线…………○…学校:___________姓名：_______……○…………装……○…………线…………○…故选：B 4．C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z 最大，则直线在y 轴上的截距最小，结合可行域可知当直线y x z =-过点A 时z 最大，求出A 的坐标，代入z x y =-得答案． 【详解】解：令z x y =-，则y x z =-，由题意作平面区域如下，由z x y =-，得y x z =- ．要使z 最大，则直线y x z =-的截距最小， 由图可知，当直线y x z =-过点A 时截距最小．联立20 30x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得()1,2A ，△z x y =-的最大值为121-=-． 故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】先将函数化简为()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数奇偶性判断即可.【详解】根据题意()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；先判断充分性，因为34πϕ=，所以()()=f x x x ωπω=+，所以函数()f x 为奇函数，故充分性成立；再判断必要性，因为()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()+4k k Z πϕπ=∈，因为[)0,2ϕπ∈，所以当1k =时，解得34πϕ=，符合题意；当2k =时，解得74πϕ=，符合题意，故必要性不成立. 故选：A. 6．C 【解析】 【分析】由函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称， 所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.………装…………○……__________姓名：___________班级：__………装…………○……7．B 【解析】 【分析】正方体中证明平面1//AD C 平面11A BC 后可得线面平行，从而得正确选项． 【详解】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，由1AA 与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ，得11//A C AC ，AC ⊄平面11A BC ，11A C ⊂平面11A BC ，得//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，而1,AD AC 是平面1AD C 内两条相交直线，因此有平面1//AD C 平面11A BC ，AP ⊂平面1AD C ，所以//AP 平面11A BC ，故选：B ．8．D 【解析】 【分析】对选项ABC 分别让a 取一个值，使得不等式恒成立即可，从而排除ABC ，得正确选项． 【详解】对于选项A ，1a =-11sin x ≥≥，不等式恒成立；对于选项B ，2a =时222(1)11x x x -+=--+≤，2()(1)11f x a x -=---≤-，()21sin f x x -≥≥，不等式恒成立，对于选项C ，1a =-时，2211x x a -=+>，()1sin f x a x ->≥，不等式恒成立， 对于选项D ，函数()ln f x x =(0x >)的值域是R ，因此不存在实数a ，使得不等式恒成立， 故选：D ． 9．A 【解析】 【分析】设,b P m m a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，根据12OP F =求出m ；在12PF F △中，根据余弦定理即可求出离心率.【详解】由题可知，()1,0F c -，()2,0F c ， 根据对称性，设P 为渐近线y ＝b x a 上一点，且坐标为,b m m a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，m ＞0， 222122212b OP F c m c m a ⎛⎫=⇒=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭，故)P，在12PF F △中，根据余弦定理得，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++-+2- 即22224424c a c b =++ 即22c 即4422298c c a c =-， 即22487a c c =， 即2287a c =，即2287c a =， △c e a ==10．D 【解析】 【分析】由数学归纳法得数列{}n a 从第2项开始都大于1，这样1a 是最小项，利用不等式放缩得出1nn a n ≤，引入函数1xy x =利用导数证明其在3x ≥时是减函数，得数列{}n a 有上界，8n ≥时，188n a <，再引入函数3()1f x x x =--，由零点存在定理说明1828a >，从而确定234567,,,,,a a a a a a 这6项中的最大值是数列{}n a 的最大项．【详解】数列{}n a 各项均为正，11a =，由21221a a a =-得21a >，一般地由数学归纳法知当1n a >时，由1111n n n n n a a a +++=-得11n a +>（否则若11n a +≤，则111n na ++≤，111n a +>，11111n n n n n a a a +++=-<，1n a <矛盾）， 所以数列{}n a 中，2n ≥时，1n a >，11a =是最小项．又1111111n n n n n n n a a a a +++++=->-，111n n n n a a ++-<，所以nn a n ≤，1n n a n ≤， 记1xy x =，则ln ln x y x =，两边求导得21ln y x y x '-=，即12(1ln )xx x y x -'=， e x >时，0y '<，1x y x =是减函数，所以3n ≥时，1{}n n 是递减数列，因此{}n a 有上界，8n ≥时，188n a <，22211a a -=即32210a a --=， 设3()1f x x x =--，2()31x f x '=-，1≥x 时，()0f x '>，()f x 是增函数，经过计算，得188 1.29684≈，而18(8)0.115820f ≈-<，所以1x >时满足()0f x =的x 满足188x >，即1828a >，从而28a a >，而234567,,,,,a a a a a a 这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列{}n a 的最大项．【点睛】本题考查由数列的递推关系确定最大项和最小项，解题关键一是由数学归纳法证明数列有下界，再利用不等式的性质确定数列每一项满足1n n a n ≤，难点在于引入函数1x y x =，利用导数证明1{}nn 在3n ≥时是单调递减数列，再引入函数利用零点存在定理证明1828a >，从而说明{}n a 有上界并在最大项．对学生的逻辑思维能力，创新意识要求较高，属于困难题． 11．2 【解析】 【分析】 根据扇形面4⨯=径周代入数值计算即可.【详解】根据题意，因为扇形面4⨯=径周，且宛田的面积为1，周为2， 所以14径2⨯=，解得径是：2. 故答案为：2. 12．13【解析】 【分析】利用诱导公式结合1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求cos α，根据2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭可知sin α据sin tan cos ααα=即可求出tan α﹒【详解】11sin cos 233παα⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭，△2,0πα⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，△sin α==sin 3tan 1cos 3ααα===，故答案为：13；13．1913【解析】 【分析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC =，AD BC =， 所以1=4AD AP AB +，1=4AB AQ AD +，334ADAP AB =+，334AB AQ AD =+，再根据条件得到22AB AD +和AB AD ⋅的值， 因为22AD AB AP =+，22AB A A D Q =+，带公式计算即可求解. 【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC =，AD BC =， 所以144BC AD AP AB AB +=+=，144DC ABAQ AD AD +=+= 33344BC AD AP AB AB +=+=，33344DC ABAQ AD AD +=+=， 所以221117144416AB AD AD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 所以2233333325244416AB ADAD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭， 设22AB AD x +=，AB AD y ⋅=，则17181416133258241613x y x x y y ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩， 又222BC AD AB AB AP =+=+，222DC ABAD D Q A A =+=+， 所以2222AD AB AP AQ AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭ 22511858192421341313AB ADAB AD +=+⋅=⨯+⨯=. 故答案为：1913. 14．16- 【解析】 【分析】由三次方程的韦达定理化简，将6a b +表示为函数 【详解】()0f x =即32()x ax b =-+，可转化为两函数图象的交点△若123,0,0x x x <>，此时0,0a b ><，由对称性可知13x x <-，13||||x x >不合题意 △若1230,,0x x x <>，此时0,0a b <>，由题意得123x x x -+= 对于方程123()()()0x x x x x x ---=32123121323123()()0x x x x x x x x x x x x x x x -+++++-=故123121323123()0x x x ax x x x x x x x x b-++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩解得2322a x b x =-⎧⎨=⎩ 故3222612,(0)a b x x x +=->令3()12g x x x =-，()3(2)(2)g x x x '=+- 故()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 故6a b +的最小值为16- 故答案为：16- 15． 6 52-【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求得n ，由二项展开式通项公式得常数项的项数，从而得常数项． 【详解】由题意264n =，6n =， 所以66216611((22r rr r r r r T C xC x x --+=-=-，令620r -=，3r =， 所以常数项为33615(22C -=-．故答案为：6；52-．16． ()1,0 1716##1116【解析】【分析】由抛物线方程确定参数p ，得焦点坐标，由圆心是准线与x 轴交点，PA PF =，结合抛物线的定义得P 点纵坐标，从而可得横坐标，由焦半径公式得PF ． 【详解】由题意24p =，2p =，12p=，焦点为(1,0)F ， 抛物线的准线方程是1x =-，圆()22114x y ++=的圆心是(1,0)-，半径是12， PA PF =，PA 即为P 到准线的距离，A 点在准线上，因此PF x ⊥轴，则P 点纵坐标为12或12-，所以P 点横坐标是116，因此11711616PF =+=．故答案为：(1,0)；1716． 17．15##0.2 6130##1230【解析】 【分析】根据1ξ的取值确定医生相邻人数，采取捆绑插入法求方法数得概率，根据ξ的取值，确定医生、护士中相邻人数进行捆绑与插入求解，然后由期望公式计算期望． 【详解】13ξ=时，将3个医生捆绑看成一个人随机排列，43431661(3)5A A P A ξ===，12ξ=时，将三位医生选取2人捆绑，其余护士和社区人员随便排，再将医生插入，232233421663(2)5C A A A P A ξ===， 11ξ=时，其余人员随便排，将医生插入，33341661(1)5A A P A ξ===，1ξ=时，医生不相邻，护士也不相邻，()3122322322233266665130A C A A A A A P A A ξ==+=（分社区人员与护士相邻或不相邻插入），2ξ=时，只有两位医生相邻或医生不相邻且两位护士相邻，22322366319(2)530A A A P A ξ==+=， 3ξ=时，只要三位医生相邻，6(3)30P ξ==， 519661()12330303030E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：15；6130．18．(1)3π； (2)12b <<﹒ 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边化角，结合sin cos 0c A C =，利用三角函数关系即可求C ； (2)根据余弦定理得到关于a 、b 、c 的式子，根据三角形为锐角三角形可得2220b c a +->和2220a c b +->，结合ab ＝2可求b 的范围.(1)△sin cos 0c A C =，△根据正弦定理得，sin sin cos 0C A A C =， △A △(0，π)，△sin 0A ≠， △sin C C =，即tan C = △C △(0，π)，△3C π=．(2) 由(1)知3C π=，△根据余弦定理得，2222cos3c a b ab π=+-，即2222c a b =+-．△A 是锐角，△cos 0A >，△2220b c a +->(*)，由2222c a b =+-得2222c a b -=-，代入(*)可得21b >，△1b >； 同理，△B 是锐角，△cos 0B >，△2220a c b +->(**)， 由2222c a b =+-得2222c b a -=-，代入(**)得21a >，△1a >，…外…………○……学校:___…内…………○……又2ab =，△22b a=<． 因此，12b <<． 19．(1)证明见解析 (2)34【解析】 【分析】（1）取AC 的中点E ，连结,PE DE ，进而证明AC ⊥平面PDE ，在结合线面垂直得线线垂直；（2）解法一：过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ，取PC 的中点G ，连结DG ，进而将问题转化为求直线DG 与平面PAC 所成角DGF ∠，再根据几何关系证明PD DE ⊥，进而利用几何法求解；解法二：根据题意，以E 为原点，分别以射线ED EC ，为x y ，轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz -，再根据几何关系证明PD ⊥平面ABC ，进而利用坐标法求解即可； (1)证明：取AC 的中点E ，连结,PE DE ． 因为PAC △是正三角形，所以PE AC ⊥， 又因为DE BA ∥，BA AC ⊥．所以DE AC ⊥， 又PE ⊂平面PDE ，DE ⊂平PDE ，PE DE E =，所以AC ⊥平面PDE ， 又因为PD ⊂平面PDE ， 所以AC PD ⊥．(2)解法1：过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．………外…………○……装…………○……学_______姓名：___________班级：__………内…………○……装…………○……由（1）知AC ⊥平面PDE ，所以AC DF ⊥， 因为ACPE E =，所以DF ⊥平面PAC ． 取PC 的中点G ，连结DG ，因为D 为BC 的中点，所以//DG BP ．所以直线BP 与平面PAC 所成角等于直线DG 与平面PAC 所成角DGF ∠． 因为PB PC =，所以PD BC ⊥． 又由（1）知AC PD ⊥，ACBC C =，所以PD ⊥平面ABC ，所以PD DE ⊥． 在直角PDE △中，PE =12DE AB ==． 所以32PD =，34PD DE DF PE ⨯==， 又在直角△DGF 中，112DG BP ==．3sin 4DF DGF DG ∠==． 因此，直线BP 与平面P AC 所成角的正弦值为34．解法2：如图，以E 为原点，分别以射线ED EC ，为x y ，轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,1,0A -，)1,0B-，()0,1,0C ，D ⎫⎪⎪⎝⎭． 因为PB PC =，D 为BC 的中点，所以PD BC ⊥， 又AC PD ⊥，ACBC C =，所以PD ⊥平面ABC ．所以32P ⎫⎪⎪⎝⎭，32BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =，又()0,2,0AC =，332AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20302y x y z =⎧++=．可取()3,0,1n =-．设直线BP 与平面PAC 所成角为θ．3sin cos 4BP n BP n BP nθ⋅=<⋅>==⋅． 因此，直线BP 与平面P AC 所成角的正弦值为34．20．(1)n a n =，12n n b -=；(2)存在，5﹒ 【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据1a ，2a ，4a 成等比数列求出d 即可求其通项公式；根据n S 与n b 关系即可求{}n b 的通项公式通项公式； (2)利用裂项相消法求{2n c }前m 项和，设()2313n n n a d b +-=，根据1n n d d +-正负判断{n d }单调性，求出其最大项，{2nc }前m 项和大于该最大值即可求出m 的范围和最小值.(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，△1a ，2a ，4a 成等比数列，△2214a a a =． △()2113d d +=+，解得1d =，△()11n a a n d n =+-=．当1n =时，11121b S b ==-，△11b =．当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，△12n n b b -=． △{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数判，△12n n b -=． (2)由题意得n c =，则()()22222211111n n c n n n n +==-++． △22212m c c c +++()()2222222211111111122311m m m m =-+-++-+--+()2111m =-+．设()()123133132n n n n a n d b ++--==，则()()()1212312313314222n n n n n n n n d d ++++----=-=，△当1n =，2，3时，1n n d d +>；当4n =时，45d d =；当5n ≥时，1n n d d +<， △数列{}n d 的最大项为453132d d ==， △()21311321m ->+，整理得()2132m +>， △存在正整数m ，且m 的最小值是5．21．(1)2214x y +=(2)8 【解析】 【分析】（1）由已知得,a c ，然后计算出b 可得椭圆方程；（2）设直线MN ：()22y k x =-+，其中1k >，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长MN ，求出原点到直线MN 的距离，得三角形面积1S ，由直线方程求得,P Q 坐标，得弦长PQ ，计算出A 点到直线PQ 的距离得面积2S ，计算12S S ，利用换元法、基本不等式可得最大值． (1)因为左顶点为()2,0A -，所以2a =， 又焦距为223a b -=，所以21b =，所以椭圆的方程是2214x y +=．(2)由题意设直线MN ：()22y k x =-+，其中1k >，设()11,M x y ，()22,N x y，由()222214yk x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()()2224116144830k x k k x k k ++-+-+=， 且()()()()222161164148316830k k k k k k ⎡⎤∆=--+-+=->⎣⎦，所以()12216141k k x x k -+=+，()2122448341k k x x k -+=+．所以12MN x =-==又点O 到直线MN 的距离1d ，所以()112411241k S MN d k -=⋅=+ 因为P ，Q 在直线BO 上，所以可设()33,P x x ，()44,Q x x ，又因为A ，P，M 三点共线，所以111322y x x x =++，所以131122y x x y =-+，同理242222y x x y =-+， 所以214222y PQ x x y =-==-+212124211k k k x x k x x +-++-．又点A到直线BO的距离2d=2212S PQ d=⋅=设()10,t k=-∈+∞，即())122216116164254148548k tS Skt t tt-⋅====+++++（当且仅当t= 1k=+，等号成立）．因此，12S S⋅的最大值是8．22．(1)(21y x=+(2)（△）22e,-；（△）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（△）原问题等价于12,x x a=-的两根，且1201x x，从而构造函数())0g x x=>，将问题转化为直线ya=-与函数()g x的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（△）由1e xx+≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x'++=，即1x由（△）知2114x<<，从而可证21x x-<；先证明()21e011xxxx+<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21ii iixax f x ix+'⋅+->==-，即(()22201,2i iax a x i-++++->=，最后构造二次函数()(222m x ax a x=-+++-21x x->证原不等式.(1)解：因为()22e xf x ax'=+所以()02f'=-()01f=，所以曲线()y f x=在0x=处的切线方程为(21y x=-+；(2)解：（△）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0xf x ax =+'的两根，也是关于x 的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=令())224e 2e 0x xh x x x =-+>，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，即22e a <-<-所以a 的取值范围是22e ,-；（△）证明：结合（△22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++=， 所以()142a x +，所以1x △）知2114x <<，所以211x x -<-=下面先证明不等式()21e 011xx x x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0xf x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-， 所以()()1201,21ii i x ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++->=，设函数()(222m xax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+>，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<， 因为()22616212e 201t a tf tat at t +-+-+'=+<⋅+=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m xm α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-， 因为βα-== 又()109a -<<<-，所以βα->所以21xx -> 综上，21x x <-<． 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-+++-21x x ->。
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷数学试题一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x≥1}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. {1}C. RD. (1,+∞)2.双曲线x23−y2=1的焦点到渐近线距为()A. √32B. 1C. √3D. 23.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是()A. 4√3B. 8C. 4√33D. 834.若实数x，y满足不等式组{y≥0x−2y≤22x−y≥2，则x−3y()A. 有最大值−2，最小值−83B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值−2，无最大值5.在△ABC中，已知A=π4，则“sinA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a>0，且a≠1，若log a2>1，则y=x−a|x|的图象可能是()A. B.C. D.7.已知x1，x2，x3∈R，x1<x2<x3，设y1=x1+x22，y2=x2+x32，y3=x3+x12，z1=y1+y22，z2=y2+y32，z3=y3+y12，若随机变量X，Y，Z满足：P(X=x i)=P(Y=y i)=P(Z=z i)=13(i=1,2，3)，则()A. D(X)<D(Y)<D(Z)B. D(X)>D(Y)>D(Z)C. D(X)<D(Z)<D(Y)D. D(X)>D(Z)>D(Y)8.如图，三棱锥V−ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P−AC−B的平面角为β，则α+β不可能是()A. 3π4B. 2π3C. π2D. π39.如图，一系列椭圆C n：x2n+1+y2n=1(n∈N∗)，射线y=x(x≥0)与椭圆C n交于点P n，设a n=|P n P n+1|，则数列{a n}是()A. 递增数列B. 递减数列C. 先递减后递增数列D. 先递增后递减数列10.设a∈R，若x∈[1,e]时恒有(e−1)x⋅ln(x+ax)≤x2−x+a(其中e=2.71828……为自然对数的底数)，则恒有零点的是()A. y=x2+ax+1B. y=ax2+3x+1C. y=e x+a−1D. y=e x−a+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 函数f(x)=−3sin(πx +2)的最小正周期为______，值域为______． 12. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z+i1+i =1−2i ，则z =______，|z|=______．13. 已知(1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯…+a 5x 5+a 6x 6，则a 6=______，|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯…+|a 5|+|a 6|=______． 14. 已知函数f(x)={2x ,x <0log 2(x −a),x ≥0，若f(−1)=f (1)，则实数a =______；若y =f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围为______． 15. 某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案．(用具体数字作答)16. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ ，满足|a |=|b ⃗ |=|c |=1，a ⋅b ⃗ =0，|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，则a ⋅d的取值范围为______．17. 已知a ，b ∈R ，设函数f(x)=2|sinx +a|+|cos2x +sinx +b|的最大值为G(a,b)，则G(a,b)的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =1，acosA=√3sinB ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若a =2，求△ABC 的面积．19. 如图，四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 是正方形，∠ABC =90°，AC =2，BC =1，AE =√7． (Ⅰ)求证：BC ⊥AE ；(Ⅱ)求直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n }是等比数列，a 1=2，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．数列{b n }满足：b 1+b 2√2+b3√3+⋯…+b n √n=n 2+n 2(n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求证：b 1−1a 1+2√2⋅a +3√3⋅a +⋯…+n √n⋅a <32．21. 如图，已知点O(0,0)，E(2,0)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 为线段OE 中点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点E 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN ⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．22. 已知函数f(x)=(x +1)e x −ax 2(x >0)．(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x 1，x 2， (ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅰ)求证：1x 1+1x 2−1t0+1>1.(其中t 0为f(x)的极小值点)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|x≥1}，∴∁R A={x|x≤1}，(∁R A)∩B={1}．故选：B．进行交集和补集的运算即可．本题考查了交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：双曲线x23−y21的渐近线y=±√33x，则焦点到渐近线的距离=|√33×2|1+(√33)2=2√332√33=1，一个点F(2,0)，近线方程为√33x+=0，选：B根据双曲线的方程求出啊、坐和近，点到直线的距离公式进行解即可．本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．3.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S=22=4，高为ℎ=√22−12=√3；所以该四棱锥的体积是V=13Sℎ=13×4×√3=4√33．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4.答案：C解析：解：画出不等式组{y ≥0x −2y ≤22x −y ≥2表示的平面区域，如图阴影所示；设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线； 当直线过点A 时，z 有最大值，由{y =0x −2y =2，得A(2,0)；所以z 的最大值为x −3y =2−0=2，且z 无最小值． 故选：C ．画出不等式组表示的平面区域，设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 5.答案：A解析：解：A =π4，则“sinA >sinB ”，由正弦定理可得：a >b ⇔B <π4，C 为钝角，⇒“△ABC 是钝角三角形”，反之不成立．可能B 是钝角．∴A =π4，则“sinA >sinB ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A ．A =π4，则“sinA >sinB ”，利用正弦定理可得：a >b ，A >B ，B <π4，C 为钝角．反之不成立．可能B 是钝角．本题考查了解三角形、正弦定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题． 6.答案：D解析：【分析】本题考查对数函数的性质、函数的图象的确定，属基础题．先根据对数不等式求出a 的范围，然后利用特殊值验证找出图象． 【解答】解：∵log a 2>1， ∴a >1．结合图象f(1)=1−a <0，故排除B ，C ． 又∵f(−1)=−1−a <0，故排除A ．D 选项满足． 故选：D ． 7.答案：B解析：解：E(X)=13(x 1+x 2+x 3)， E(Y)=13(x 1+x 22+x 2+x 32+x 3+x 12)=13(x 1+x 2+x 3)=E(X)，x 1+x 22，x 2+x 32，x 3+x 12距E(Y)，x 1，x 2，x 3较近，所以D(X)>D(Y)， 同理D(Y)>D(Z)，故D ( X )>D(Y )>D(Z )， 故选：B ．计算可得E(X)=E(Y)，进而得到D(X)>D(Y)，同理D(Y)>D(Z)， 本题考查离散型随机变量的期望与方差的关系，属于中档题． 8.答案：D解析：解：如图，由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥， 过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，∠PBE 无限接近π3，但小于π3，则∠BPE =∠BEP =α>π3． 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于π2但小于π2； 二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β， 由三棱锥存在，得β>0，随着棱长无限增大，β无限趋于π2． ∴α+β∈(π3,π)．则α+β不可能是π3．故选：D ．由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥，过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈(π3,π)，则α+β不可能是π3，答案可求．本题考查空间中异面直线所成角与二面角，考查空间想象能力与思维能力，训练了“极限思想”的应用，是中档题． 9.答案：B解析：解：设y =x 的参数方程{x =√22t y =√22t (t >0)，代入x 2n+1+y 2n =1(n ∈N ∗)整理得 t =√2n(n+1)2n+1，∴t n+1=√2(n+1)(n+2)2n+3，∴a n =t n+1−t n =√2(n +1)(n +2)2n +3−√2n(n +1)2n +1要判断上式增大还是减小，只需研究2(n+1)(n+2)2n+3−2n(n+1)2n+1的值增大或减小即可．将上式通分得2(n+1)[(n+2)(2n+1)−n(2n+3)](2n+3)(2n+1)=4n 2+8n+44n 2+8n+3=1+14n 2+8n+3，显然随着n 的增大，a n 的逐渐减小． 故该数列是递减数列．故选：B ．取射线y =x 的参数方程{x =√22ty =√22t(t >0)，利用参数t 的几何意义表示出a n ，然后作差法判断其单调性．本题考查了数列与圆锥曲线的综合问题，同时考查了数列的函数特征，属于中档题． 10.答案：D解析：解：(e −1)x ⋅ln (x +ax )≤x 2−x +a 等价于(e −1)ln (x +ax )≤x +ax −1， 令t =x +ax >0，则(e −1)lnt ≤t −1，令g(t)=lnt −t−1e−1(t >0)，则g′(t)=1t −1e−1，令g′(t)=0，解得t =e ，∴函数g(t)在(0,e −1)单调递增，在(e −1,+∞)单调递减，注意到g(1)=g(e)=0， 作函数g(t)的图象如下，由图可知，g(t)≤0的解集为t ∈(0,1]∪[e,+∞)，当t ∈(0,1]时，0<x +ax ≤1，则{0<1+a ≤10<e +a e≤1，此时无解；当t ∈[e,+∞)时，x +ax ≥e ，则a ≥e24，对A ，取a ∈[e 24,2)时，y >0恒成立，不合题意；对B 、C ，取a →+∞时，y >0恒成立，不合题意；对D ，事实上，a ∈[e 24,+∞)，必有a −1>0，因此y =e x −a +1必有零点．故选：D．原式变形可得(e−1)ln(x+ax )≤x+ax−1，构造t=x+ax>0，可得(e−1)lnt≤t−1，再构造g(t)=lnt−t−1e−1(t>0)，利用导数可知，满足g(t)≤0的t∈(0,1]∪[e,+∞)，结合x∈[1,e]，可知a≥e24，由此再逐项判断即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化简变形能力及运算能力，属于较难题目．11.答案：2 [−3,3]解析：解：由题意最小正周期T=2ππ=2．因为sin(πx+2)∈[−1,1]，所以−3sin(πx+2)∈[−3,3]，故值域为[−3,3]．故答案为：2，[−3,3]．利用周期计算公式和y=sinx的值域直接计算即可．本题考查了正弦型三角函数的周期、值域的求法，属于基础题．12.答案：3−2i√13解析：解：∵z+i1+i=1−2i，∴z+i=(1−2i)(1+i)=3−i．∴z=3−2i．|z|=√32+(−2)2=√13．故答案为：3−2i，√13利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．本题主要考查了复数的加减法、乘法运算以及模的计算公式．属于基础题．13.答案：0 665解析：解：因为(1+x)6−(2+x)6=a0+a1x+a2x2+⋯…+a5x5+a6x6，令x=1可得：a0+a1+a2+⋯…+a5+a6=26−36=−665．所以：a6=∁66−∁66=0；∵a0=∁60−26⋅∁60=−63；a1=∁61−25∁61=−186；a2x2+=∁62−24∁62=−225；……a5=∁65−2⋅∁65=−6；a6=∁66−20⋅∁66=0；故|a0|+|a1|+|a2|+⋯…+|a5|+|a6|=−a0−a1−a2−⋯…−a5−a6=665．故答案为：0，665．根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x=1即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：1−√2 [−1,0)解析：解：(1)∵f(−1)=f (1)， ∴2−1=log 2(1−a)， ∴1−a =212，∴a =1−√2．(2)易知x <0时，f(x)=2x ∈(0,1)；又x ≥0时，f(x)=log 2(x −a)递增，故f(x)≥f(0)=log 2(−a)， 要使函数f(x)存在最小值，只需{−a >0log 2(−a)≤0，解得：−1≤a <0．故答案为：1−√2，[−1,0)．(1)根据题意列出关于a 的方程即可；(2)在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：324解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性， 将9人分成3组，有A 33×C 62C 42C 22A 33种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C 42C 42种，则有A 33×C 62C 42C 22A 33−C 42C 42=90−36=54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A 33=6种情况，则有54×6=324种不同的分配方案； 故答案为：324．根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意先分好组，再进行排列，属于基础题． 16.答案：[−√2,√2]解析：解；由题，设a =(1,0),b ⃗ =(0,1),c =(cosθ,sinθ),d=(x,y)． ∵|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，∴(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=sin 2θ.①． 又∵a⋅d =x ． 根据①中圆的几何意义，a ⋅d 的取值范围即：cosθ+sinθ=√2sin (θ+π4)， ∴a ⋅d的取值范围为[−√2,√2]. 故答案为：[−√2,√2]．根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算，考查了学生转化的思想以及分析问题，解决问题的能力，属于中档难度题目．17.答案：4916解析：【分析】本题考查绝对值函数最大值中的最小值求解，考查分类讨论思想及转化思想，充分理解绝对值的几何意义，并掌握|a|+|b|=max{|a +b|,|a −b|}是解题的关键，属于较难题目．换元t =sinx ∈[−1,1]，可知G(a,b =max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， 分G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|及G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G(a,b)的最小值．【解答】 解：设t =sinx ∈[−1,1]，则f(x)=2|sinx +a|+|1−2sin 2x +sinx +b|=|2t +2a|+|−2t 2+t +b +1|=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， ∴G(a,b)=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|，|2t 2+t +2a −b −1|}，当G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|时，令g(t)=−2t 2+3t +2a +b +1，t ∈[−1,1]，则此时g(t)max =g(−34),g(t)min =g(−1)， 故G(a,b)=|g(t)|≥|g(−1)|+|g(34)|2=|2a+b−4|+|2a+b+178|2≥|−4−178|2=4916，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；当G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|时，令ℎ(t)=2t 2+t +2a −b −1，t ∈[−1,1]，则此时ℎ(t)min =ℎ(−14),ℎ(t)max =ℎ(1)， 故G(a,b)=|ℎ(t)|≥|ℎ(−14)|+|ℎ(1)|2=|2a−b−98|+|2a−b+2|2≥|−98−2|2=2516，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；综上，G(a,b)的最小值为4916． 故答案为：4916．18.答案：解：(Ⅰ)∵a cosA =√3sinB ⇒asinB =√3cosA ，∵a sinA=b sinB⇒asinB =bsinA ；∵b =1；所以：√3cosA =sinA ⇒tanA =√3⇒A =π3.(三角形内角) (Ⅱ)因为a 2=b 2+c−22bccosA ⇒c 2−c −3=0⇒c =1+√132；(负值舍)；∴S △ABC =12bcsinA =√3+√398．解析：(Ⅰ)由已知结合正弦定理求得A 的正切值，即可求得结论； (Ⅱ)由余弦定理求得边c ，进而求得其面积．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是对基本知识的综合考查．19.答案：(I)证明：∵BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，AB ∩BE =B ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ．(II)解：过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|BE|=1，|EA|=√7.可得：y =0，x 2+z 2=1，(x −√3)2+z 2=7．z >0，解得E(−√32,0，12).由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D(−√32,1，12).∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32，1，12). 设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：−√32x +12z =0=y ， 可得：n⃗ =(1,0，√3). ∴cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√32×2√2=−√68． ∴直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值为√68．解析：(I)由BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．(II)过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |BE|=1，|EA|=√7.z >0，解得E.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D 坐标．设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：n ⃗ ，利用向量夹角公式即可得出． 本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理、法向量的性质及其应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=2q ，a 3=2q 2，a 4=2q 3， 由a 2，a 3+2，a 4成等差数列，得2(a 3+2)=a 2+a 4，即2(2q 2+2)=2q +2q 3，即(q −1)(q 2+1)=0，解得q =2，所以a n =2n ． 当n =1时，b 1=1，当n ≥2时，b 1+2√2+3√3+⋯+n √n=n 2+n 2，b 1+2√2+3√3+⋯+n√n−1=(n−1)2+(n−1)2，作差得n√ n =n ，所以，b n =n √n(n ≥2)，当n =1时，b 1=1×√1=1也成立，所以b n =n √n ，综上，a n =2n ，b n =n √n ． (Ⅱ)因为当n ≥2时，n √na =√n−1√n×2n<√n √n×2n =n 2n，所以，b 1−1a 1+b 2−1√2a +b 3−1√3a +⋯+b n −1√ na <222+323+⋯+n2 n ，设T n =222+323+⋯+n2 n ，则12T n =223+324+⋯+n2n+1，两式相减得，12T n=222+(123+⋯+12n )−n 2n+1=12+123(1−12n−1)1−12−n 2n+1=12+14(1−12n−2)−n 2n+1=34−n+22n+1，所以T n =32−n+22n+1，所以T n <32．所以b 1−1a 1+2√2⋅a 3√3⋅a +⋯…n √n⋅a <32．解析：(Ⅰ)由递推公式可以求出通项公式a n =2n ，b n =n √n ．(Ⅱ)采用缩放的方法证明当n =1和n ≥2时成立，采用缩放的方法证明． 本题考查根据递推公式求出数列前几项进而求出通项公式，还有根据缩放的方法证明不等式成立．属于较难题．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得焦点F 的坐标为(1,0)， ∴p =2，∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程{x =my +2y 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −8=0，∴△=16m 2+32>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，联立方程{y −y 1=k(x −x 1)y 2=4x ，消去x 得：y 2−4k y +4k y 1−4x 1=0，由相切得：△=16k 2−4(4k y 1−4x 1)=0，∴1k 2−1k y 1+x 1=0， 又x 1=y 124，∴1k 2−1k y 1+y 124=0，∴(1k −y 12)2=0，∴k =2y 1，∴直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=3x 1+x 24，y 0=3y 1+y 24， 将y 0=3y 1+y 24代入直线l 方程，解得x N =y 12+y 1y 28=y 12−88，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|=12|3x 1+x 24−y 12−88|×|y 1−y 2| =|y 12+y 22+1632|×|y 1−y 2|=|y 1−y 2|332=|y 1+8y 1|332，又|y 1+8y 1|≥4√2，所以S △ABN ≥4√2，当且仅当y 1=±2√2时，取到等号，所以△ABN 面积的最小值为4√2．解析：(Ⅰ)由已知得焦点F(1,0)，所以p =2，从而求出抛物线C 的方程；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，与抛物线方程联立，利用△=0求得k =2y 1，所以直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点M 的坐标，进而求出点N 的坐标，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|设直线AB 的方程为：x =my +2，与抛物线方程联立，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，利用韦达定理代入S △ABN ，利用基本不等式即可求出△ABN 面积的最小值．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=(x +1)e x −ax 2，得f′(x)=x(x+2xe x −2a)，设g(x)=x+2x⋅e x ，(x >0)；则g′(x)=x 2+2x−2x 2⋅e x ；由g′(x)≥0，解得x ≥√3−1，所以g(x)在(0,√3−1)上单调递减，在(√3−1,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)≥0，所以2a ≤g(√3−1)=(2+√3)⋅e √3−1； 所以，实数a 的取值范围是：(−∞,(2+√3)⋅e√3−12].(Ⅱ)(i)因为函数f(x)有两个不同的零点，f(x)不单调，所以a >(2+√3)⋅e√3−12．因此f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，所以f(x)在(0,t 1)上单调递增，在(t 1,t 0)上单调递减，在(t 0,+∞)上单调递增；又f(t 1)>f(0)=1，f(x)=(x +1)e x −ax 2=a(e x −x 2)+(x +1−a)⋅e x ，当x 充分大时，f(x)取值为正，因此要使得f(x)有两个不同的零点，则必须有f(t 0)<0，即(t 0+1)e t 0−a ⋅t 02<0； 又因为f′(t 0)=(t 0+2)e t 0−2at 0=0； 所以：(t 0+2)e t 0−t 02⋅(t 0+2)e t 0<0，解得t 0>√2，所以a >12g(√2)=1+√22⋅e √2；因此当函数f(x)有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是(1+√22⋅e √2,+∞)．(ⅰ)先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22．证明：不妨设x 2>x 1>0，即证2(x 2x 1−1)x 2x 1+1<lnx 2x 1<x 2x 1−1√x 2x1，设t =x 2x 1>1.g(t)=lnt −√t，ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，只需证g(t)<0且ℎ(t)>0； 因为g′(t)=√t−1)22t √t<0，ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以g(t)在(1,+∞)上单调递减，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(t)<g(1)=0，ℎ(t)>ℎ(1)=0，从而不等式得证．再证原命题1x 1+1x 2−1t0+1>1．由{f(x 1)=0f(x 2)=0得{(x 1+1)e x 1−ax 12=0(x 2+1)e x 2−ax 22=0； 所以(x 1+1)e x 1x 12=(x 2+1)e x 2x 22，两边取对数得：2(lnx 2−lnx 1)−[ln (x 2+1)−ln (x 1+1)]=x 2−x 1；即2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x1+1)=1． 因为2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x 1+1)<√x x 2(x 1+1)+(x 2+1)，所以1+2x1+x 2+2<√x x <1x 1+1x 2，因此，要证1x 1+1x 2−1t0+1>1．只需证x 1+x 2<2t 0；因为f(x)在(t 0,+∞)上单调递增，0<x 1<t 0<x 2，所以只需证f(x 2)<f(2t 0−x 2)， 只需证f(x 1)<f(2t 0−x 1)，即证f(t 0+x)<f(t 0−x)，其中x ∈(−t 0,0)； 设r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)，−t 0<x <0，只需证r(x)<0； 计算得r′(x)=(x +t 0+2)e t 0+x +(−x +t 0+2)e t 0−x −4at 0； r″(x)=e t 0−x [(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)]．由y =(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)在(−t 0,0)上单调递增， 得y <(t 0+3)e 0+(0−t 0−3)=0，所以r″(x)<0；即r′(x)在(−t 0,0)上单调递减， 所以：r′(x)>r′(0)=2f′(t 0)=0；即r(x)在(−t 0,0)上单调递增，所以r(x)<r(0)=0成立，即原命题得证．解析：(Ⅰ)先求其导函数，转化为f′(x)≥0，即求g(x)=x+2x⋅e x −2a 的最小值即可；(Ⅱ)(ⅰ)结合第一问的结论得f(x)不单调，故a >(2+√3)⋅e√3−12；设f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，可得原函数的单调性，把问题转化为f(t 0)<0，即可求解结论．(ⅰ)转化为先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22.再把原结论成立转化为证x 1+x 2<2t 0；构造函数r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
高考科目考试适应性试卷英语试题第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题 1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What is the possible relationship between the two speakers?A．Boss and secretary.B．Guest and receptionist. C. Manager and waitress. 2．What are the speakers talking about?A．Kevin’s present occupation.B．Kevin’s good fortune.C．Kevin’s current studies.3．What will the man probably do next?A．Sew the clothes.B．Wash the clothes.C．Dry the clothes.4．How much will the man pay for their train tickets?A．£320.B．£240.C．£160.5．What can be inferred from the conversation?A．Golfing is the man’s favorite hobby.B．The woman plans to play golf every day.C．The woman can’t afford to play golf often.第二节（共15小题；每小题 1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
