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大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.2函数的单调性与最值NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数1.函数的单调性(1)单调函数的定义f (x 1)<f (x 2)f (x 1)>f (x 2)知识梳理ZHISHISHULI图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是或，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y ＝f (x )的单调区间.上升的下降的增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有；(2)存在x 0∈I ，使得_________(3)对于任意的x ∈I ，都有；(4)存在x 0∈I ，使得________结论M 为最大值M 为最小值f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？【概念方法微思考】提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似. 2.写出对勾函数y ＝x ＋a x (a >0)的增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.()(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.()(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(4)函数y ＝|x |在R 上是增函数.()×基础自测JICHUZICE√××(5)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()√×1x题组二教材改编2.[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是_______________________.[1，＋∞)(或(1，＋∞))3.[P31例4]函数y ＝在[2,3]上的最大值是_____.22x －14.[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取(－∞，2]值范围是__________.解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.5.函数y ＝(x 2－4)的单调递减区间为_________.(2，＋∞)题组三易错自纠12log解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－a 2，＋∞， 令－a 2＝3，得a ＝－6. 6.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________.－6当且仅当x ＝2时，取等号； 解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，7.(2015·浙江)已知函数f (x )＝则f (f (－3))＝_____，f (x )的最小值是________.0当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1， 22－3 ∴f (x )的最小值为22－3.2题型分类深度剖析PART TWO解析由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1(1)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)√多维探究[－1,0]，[1，＋∞)(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________.解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞).命题点2解析式含参数的函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋(其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性.1x解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增. 证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4，1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0， 从而f (x如何用导数法求解本例？引申探究解 ∵f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2， ∵1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，∴2ax 3－1＞0，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法.(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1(1)设函数f(x)与g(x)的定义域为R，且f(x)单调递增，F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x).若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2＞[g(x1)－g(x)]2恒成立.则2√A.F(x)，G(x)都是增函数B.F(x)，G(x)都是减函数C.F(x)是增函数，G(x)是减函数D.F(x)是减函数，G(x)是增函数解析对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，不等式[f (x 1)－f (x 2)]2＞[g (x 1)－g (x 2)]2恒成立，不妨设x 1＞x 2，∵f (x )单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)，且f (x 1)－f (x 2)＞－g (x 1)＋g (x 2)，∵F (x 1)＝f (x 1)＋g (x 1)，F (x 2)＝f (x 2)＋g (x 2)，∴F (x 1)－F (x 2)＝f (x 1)＋g (x 1)－f (x 2)－g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)－(g (x 2)－g (x 1))＞0，∴F (x )为增函数；同理可证G (x )为增函数，故选A.(2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32.题型二函数的最值(值域)1.(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －mA.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关自主演练√解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.故选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关.随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.2.(2018·宁波九校联考)设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是A.2B.1C.34D.23 √解析f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，可得－1－a ≤f (x )≤1＋a 恒成立，∴－1－a ≤f (x )min ＝f (t )＝log 2t ＋at ＋b ，①1＋a ≥f (x )max ＝f (t ＋2)＝log 2(t ＋2)＋a (t ＋2)＋b ，即－1－a ≤－log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，②①＋②可得－2－2a ≤log 2t ＋at ＋b －log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，化为log 2t t ＋2≥－2，解得t t ＋2≥14， 解得t ≥23，则t 的最小值为23.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________.26－6 解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6， 当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.4.若函数f (x )＝的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ln x ，x ＞1，2x ＋a ，x ≤1 [－1,2]解析依题意，y ＝2x ＋a (x ≤1)，y ＝a 2＋ln x (x ＞1)在各自的定义域上单调递增，由函数f (x )的值域为R ，得2＋a ≥a 2，解得－1≤a ≤2.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例3已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c √多维探究 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12， 解析根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点2解函数不等式例4若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是A.(8，＋∞)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)√解析2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，例5 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，1 命题点3求参数范围(或值)√解析 由f (x )是减函数，得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13.(2)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，－27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________.1解析根据题意有x 与－3y 满足同一个方程，e m ＋m 3＋m ＋1＝0，令f (m )＝e m ＋m 3＋m ＋1，因为f ′(m )＝e m ＋3m 2＋1＞0，所以f (m )是增函数，所以f (m )＝0只有唯一解，所以x ＝－3y ，所以x ＋3y ＝0，所以有e x ＋3y ＝1.1e3y思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，2. 跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，2 解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且＝0，则不等式f (x )>0的解集为__________________. f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 19log ⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增.∴f ( x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12或f ( x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12， 19log 19log ∴ x >12或－12< x <0， 19log 19log 解得0<x <13或1<x <3. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫0<x <13或1<x <3.3课时作业PART THREE1.(2018·台州路桥中学检测)如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是A.a ≤－3B.a ≥－3C.a ≤5D.a ≥5解析由题意得，函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a ]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a ≥4，所以a ≤－3.√基础保分练A.(－∞，1]B.[3，＋∞)C.(－∞，－1]D.[1，＋∞)2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为 √解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，13 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，13 √解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0， ∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ，x ≤1，log a x ＋13，x >1， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13， ∴0<a ≤13.4.(2019·湖州质检)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若＝1，则f (e)等于A.2B.1C.0D.ef ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )－ln x √解析由题意得f (x )－ln x 为常数，设为a ，则f (a )－ln a ＝a ，又f (a )＝1，∴1－ln a ＝a ，∴a ＝1，因此f (e)＝ln e ＋1＝2.5.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，134B.(－∞，－3)C.(－3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134，＋∞ √则g (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)， 解析依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝134，因此a >134，故选D.6.(2018·浙江镇海中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log a x ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为A.(1,3]B.(1,3)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)√解析当x ≤3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3的值域为[3，＋∞)，当x ＞3时，2＋log a x ≥3，即x ＞3时，log a x ≥1＝log a a ，a ＞1，且x ＞3时x ≥a 恒成立.∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是(1,3].7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析∵f (x )在R 上是奇函数，－f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log 215，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 24.1， a >b >c ∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .。
§4.3 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小(－π2，π2)值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，(π2，1)(3π2，－1)0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，(π2，0)(3π2，0)1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R Error! x ≠k π＋}π2值域[－1,1][－1,1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2k π－π2，2k π＋π2][2k π－π，2k π](k π－π2，k π＋π2)递减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2][2k π，2k π＋π]无对称中心(k π，0)(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝＋k π(k ∈Z )；π2(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ＝sin 知，是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × )(π6＋2π3)π62π3(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × )(4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × )(5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )题组二 教材改编2．函数f (x )＝cos 的最小正周期是．(2x ＋π4)答案 π3．y ＝3sin 在区间上的值域是．(2x －π6)[0，π2]答案 [－32，3]解析 当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π6[－π6，5π6]sin ∈，(2x －π6)[－12，1]故3sin ∈，(2x －π6)[－32，3]即y ＝3sin 的值域为.(2x －π6)[－32，3]4．函数y ＝－tan 的单调递减区间为 ．(2x －3π4)答案 (k ∈Z )(π8＋k π2，5π8＋k π2)解析 由－＋k π<2x －<＋k π(k ∈Z )，π23π4π2得＋<x <＋(k ∈Z )，π8k π25π8k π2所以y ＝－tan 的单调递减区间为(2x －3π4)(k ∈Z )．(π8＋k π2，5π8＋k π2)题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝对称的是( )π3A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin (2x ＋π3)(2x －π6)C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin (x 2＋π3)(2x －π3)答案 B解析 函数y ＝2sin 的最小正周期T ＝＝π，(2x －π6)2π2又sin ＝1，(2×π3－π6)∴函数y ＝2sin 的图象关于直线x ＝对称．(2x －π6)π36．函数f (x )＝4sin 的单调递减区间是．(π3－2x )答案 (k ∈Z )[k π－π12，k π＋512π]解析 f (x )＝4sin (π3－2x)＝－4sin .(2x －π3)所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin 的单调递增区间．(2x －π3)由－＋2k π≤2x －≤＋2k π(k ∈Z )，得π2π3π2－＋k π≤x ≤π＋k π(k ∈Z )．π12512所以函数f (x )的单调递减区间是(k ∈Z )．[－π12＋k π，512π＋k π]7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是 ．答案 sin 68°>cos 23°>cos 97°解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan 的定义域是( )(2x ＋π6)A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋≠k π＋，k ∈Z ，即x ≠＋(k ∈Z )，故选D.π6π2k π2π62．函数y ＝的定义域为 ．sin x －cos x 答案 (k ∈Z )[2k π＋π4，2k π＋5π4]解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数π45π4的定义域为Error!.方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为Error!.3．函数y ＝lg(sin x )＋ 的定义域为．cos x －12答案 Error!解析 要使函数有意义，则Error!即Error!解得Error!所以2k π<x ≤＋2k π(k ∈Z )，π3所以函数的定义域为Error!.思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )(πx 6－π3)A ．2－ B ．0 C ．－1 D ．－1－33答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－≤－≤，π3πx 6π37π6所以－≤sin ≤1，则－≤y ≤2.32(πx 6－π3)3所以y max ＋y min ＝2－.3(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是( )A ．[－1,3] B.[－32，3]C.D.[－32，－1][32，3]答案 B解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝22－，因为cos x ∈[－1,1]，所以原(cos x ＋12)32式的值域为.[－32，3]思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则实数a(x ＋π6)[－π3，a ][－12，1]的取值范围是 ．答案 [π3，π]解析 ∵x ∈，∴x ＋∈，[－π3，a ]π6[－π6，a ＋π6]∵当x ＋∈时，f (x )的值域为，π6[－π6，π2][－12，1]∴由函数的图象(图略)知，≤a ＋≤，π2π67π6∴≤a ≤π.π3(2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ．答案 [－12－2，1]解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝，且－≤t ≤.1－t 2222∴y ＝－＋t ＋＝－(t －1)2＋1，t ∈[－，]．t 22121222当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－时，y min ＝－－.2122∴函数的值域为.[－12－2，1]题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f (x )＝2tan 的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．(kx ＋π3)答案 2或3解析 由题意得1<<2，k ∈N ，πk ∴<k <π，k ∈N ，π2∴k ＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos (ω∈N *)图象的一个对称中心是，则ω的最小(ωx ＋π6)(π6，0)值为___________．答案 2解析 由题意知＋＝k π＋(k ∈Z )，ωπ6π6π2∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正2π|ω|周期为.π|ω|跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin 的图象( )(2x ＋π3)A ．关于原点对称B ．关于点对称(－π6，0)C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝对称π6答案 B解析 ∵当x ＝－时，函数y ＝2sin ＝0，π6(－π6×2＋π3)∴函数图象关于点对称．(－π6，0)(2)若直线x ＝π和x ＝π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可5494能取值为( )A.π B. C. D.34π2π3π4答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×＝2π，∴ω＝＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝π时，(94π－54π)2πT 54函数取得最大值或最小值，即cos ＝±1，可得π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π，k ∈Z .(54π＋φ)5454当k ＝2时，可得φ＝π.34题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)函数f (x )＝sin 的单调递减区间为．(－2x ＋π3)答案 (k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]解析 f (x )＝sin ＝sin (－2x ＋π3)[－(2x －π3)]＝－sin ，(2x －π3)由2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，π2π3π2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .π125π12故所求函数的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π－π12，k π＋5π12](2)函数f (x )＝tan 的单调递增区间是．(2x ＋π3)答案 (k ∈Z )(k π2－5π12，k π2＋π12)解析 由k π－<2x ＋<k π＋(k ∈Z )，π2π3π2得－<x <＋(k ∈Z )，k π25π12k π2π12所以函数f (x )＝tan 的单调递增区间为(2x ＋π3)(k ∈Z )．(k π2－5π12，k π2＋π12)(3)函数y ＝sin x ＋cos x 的单调递增区间是．1232(x ∈[0，π2])答案 [0，π6]解析 ∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ，1232(x ＋π3)由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π3π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )．5π6π6∴函数的单调递增区间为(k ∈Z )，[2k π－5π6，2k π＋π6]又x ∈，∴函数的单调递增区间为.[0，π2][0，π6]命题点2 根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是．(ωx ＋π4)(π2，π)答案 [12，54]解析 由<x <π，ω>0，得π2＋<ωx ＋<ωπ＋，ωπ2π4π4π4又y ＝sin x 的单调递减区间为，k ∈Z ，[2k π＋π2，2k π＋3π2]所以Error!k ∈Z ，解得4k ＋≤ω≤2k ＋，k ∈Z .1254又由4k ＋－≤0，k ∈Z 且2k ＋>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈.12(2k ＋54)54[12，54]引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos 在上单调递增，则ω的取值范围(ωx ＋π4)(π2，π)是 ．答案 [32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则Error!k ∈Z ，解得4k －≤ω≤2k －，k ∈Z ，5214又由4k －－≤0，k ∈Z 且2k －>0，k ∈Z ，52(2k －14)14得k ＝1，所以ω∈.[32，74]思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ，则函数f (x )的单调递减区间为( )(π4－2x )A.(k ∈Z )[3π8＋2k π，7π8＋2k π]B.(k ∈Z )[－π8＋2k π，3π8＋2k π]C.(k ∈Z )[3π8＋k π，7π8＋k π]D.(k ∈Z )[－π8＋k π，3π8＋k π]答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin .(2x －π4)由2k π－≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )，得－＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区π2π4π2π83π8间为(k ∈Z )．[－π8＋k π，3π8＋k π](2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin 在区间和上均单调递增，则实数a 的(2x ＋π6)[0，a 3][4a ，7π6]取值范围是 ．答案 [π6，7π24)解析 由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，可得π2π6π2k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π3π6∴g (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．[k π－π3，k π＋π6]又∵函数g (x )在区间和上均单调递增，[0，a 3][4a ，7π6]∴Error!解得≤a <.π67π24三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ；④y ＝tan 中，最小正周期(2x ＋π6)(2x －π4)为π的所有函数为( )A ．①②③ B ．①③④C ．②④ D ．①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos 的最小正周期T ＝＝π；(2x ＋π6)2π2④y ＝tan 的最小正周期T ＝，故选A.(2x －π4)π2(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ，则下列结论错误的是( )(x ＋π3)A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称8π3C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在上单调递减(π2，π)答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos 的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；(x ＋π3)B 项，因为f (x )＝cos 的图象的对称轴为直线x ＝k π－(k ∈Z )，(x ＋π3)π3所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称，B 项正确；8π3C 项，f (x ＋π)＝cos .令x ＋＝k π＋(k ∈Z )，得x ＝k π－(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝，(x ＋4π3)4π3π25π6π6所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝，C 项正确；π6D 项，因为f (x )＝cos 的单调递减区间为(k ∈Z )，(x ＋π3)[2k π－π3，2k π＋2π3]单调递增区间为(k ∈Z )，[2k π＋2π3，2k π＋5π3]所以是f (x )的单调递减区间，是f (x )的单调递增区间，D 项错误．(π2，2π3)[2π3，π)故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为 ．答案 ，k ∈Z(2k －14，2k ＋34)解析 由图象知，周期T ＝2×＝2，(54－14)∴＝2，∴ω＝π.2πω由π×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝，14π2π4∴f (x )＝cos .(πx ＋π4)由2k π<πx ＋<2k π＋π，k ∈Z ，π4得2k －<x <2k ＋，k ∈Z ，1434∴f (x )的单调递减区间为，k ∈Z .(2k －14，2k ＋34)(4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间上具有单调性，[π6，π2]且f ＝f ＝－f ，则f (x )的最小正周期为 ．(π2)(2π3)(π6)答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T .由题意知≥－＝，T 2π2π6π3又f ＝f ＝－f ，(π2)(2π3)(π6)且－＝，2π3π2π6可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝×＝，(π2＋π6)12π3x 2＝×＝，(π2＋2π3)127π12∴＝x 2－x 1＝－＝，∴T ＝π.T 47π12π3π41．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．2．函数f (x )＝sin 在区间上的最小值为( )(2x －π4)[0，π2]A ．－1B ．－22C. D ．022答案 B解析 由已知x ∈，[0，π2]得2x －∈，π4[－π4，3π4]所以sin ∈，(2x －π4)[－22，1]故函数f (x )＝sin 在区间上的最小值为－.故选B.(2x －π4)[0，π2]223．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝时函数取得最大值，排除B ，故选D.π24．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1 B ．3，－2C ．2，－1 D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则f (x )图象的一个对称中心是( )(|φ|<π2)3A.B.(－π3，0)(－π6，0)C. D.(π6，0)(π12，0)答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则f (0)＝2sin φ＝，(|φ|<π2)33∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，32π2π3则f (x )＝2sin ，令2x ＋＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3)π3则x ＝－(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－，k π2π6π6∴是函数f (x )的图象的一个对称中心．(－π6，0)6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤对任意x ∈R 恒成立，且f >0，|f (π4)|(π6)则f (x )的单调递减区间是( )A.(k ∈Z )[k π，k π＋π4]B.(k ∈Z )[k π－π4，k π＋π4]C.(k ∈Z )[k π＋π4，k π＋3π4]D.(k ∈Z )[k π－π2，k π]答案 C解析 由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，故有2×＋φ＝k π＋，π4π4π2k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ＝sin >0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x .(π6)(π3＋φ)令2k π＋≤2x ≤2k π＋，k ∈Z ，求得k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区π23π2π43π4间为，k ∈Z .[k π＋π4，k π＋3π4]7．函数y ＝的定义域为．1tan (x －π4)答案 Error!解析 要使函数有意义必须有tan ≠0，(x －π4)则Error!所以x －≠，k ∈Z ，π4k π2所以x ≠＋，k ∈Z ，k π2π4所以原函数的定义域为Error!.8．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都(π2x ＋π4)有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 ．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.9．已知函数f (x )＝2sin ＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且(ωx －π6)ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为．答案 6π5解析 由函数f (x )＝2sin ＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－＝k π＋，(ωx －π6)π6π2k ∈Z ，∴ω＝k ＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，2353∴得函数f (x )的最小正周期为＝.2π536π510．已知函数f (x )＝，则下列说法正确的是．(填序号)|tan (12x －π6)|①f (x )的周期是；π2②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝是函数f (x )图象的一条对称轴；5π3④f (x )的单调递减区间是，k ∈Z .(2k π－2π3，2k π＋π3]答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝时，x －＝≠5π312π62π3，k ∈Z ，∴x ＝不是f (x )的对称轴，③错；令k π－<x －≤k π，k ∈Z ，可得2k π－<x ≤2k π＋k π25π3π212π62π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是，k ∈Z ，④正确．π3(2k π－2π3，2k π＋π3]11．(2017·北京)已知函数f (x )＝cos －2sin x cos x .3(2x －π3)(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈时，f (x )≥－.[－π4，π4]12(1)解 f (x )＝cos 2x ＋sin 2x －sin 2x 3232＝sin 2x ＋cos 2x 1232＝sin .(2x ＋π3)所以f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)证明 因为－≤x ≤，π4π4所以－≤2x ＋≤.π6π35π6所以sin ≥sin ＝－.(2x ＋π3)(－π6)12所以当x ∈时，f (x )≥－.[－π4，π4]1212．(2018·天津河西区模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x －cos －1.(2x ＋π3)(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在上的单调性．[－π4，π4]解 (1)f (x )＝2cos 2x －cos －1(2x ＋π3)＝cos 2x －cos 2x ＋sin 2x ＝sin ，1232(2x ＋π6)因为ω＝2，所以最小正周期T ＝＝π，2πω令2x ＋＝＋k π，k ∈Z ，π6π2所以对称轴方程为x ＝＋，k ∈Z .π6k π2(2)令－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π3π6设A ＝，[－π4，π4]B ＝Error!，易知A ∩B ＝，[－π4，π6]所以，当x ∈时，f (x )在区间上单调递增；在区间上单调递减．[－π4，π4][－π4，π6][π6，π4]13．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝Error!例如1*2，则函数f (x )= sin x *cos x 的值域为( )A. B ．[－1,1][－22，22]C. D.[22，1][－1，22]答案 D解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当≤x ≤时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈，当0≤x <或<x ≤2ππ45π4[－1，22]π45π4时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为.[0，22)[－1，22]14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为(ω>0，|φ|<π2)，若f (x )>1对任意x ∈恒成立，则φ的取值范围是( )2π3(－π12，π6)A. B.[－π6，π6][－π4，0]C. D.(－π3，－π12][0，π4]答案 B解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为，∴f (x )的周期T ＝，∴＝，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>12π32π32πω2π3对任意x ∈恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈恒成立，∴(－π12，π6)(－π12，π6)－＋φ≥2k π－且＋φ≤2k π＋，k ∈Z ，解得φ≥2k π－且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－≤φ≤2k π，π4π2π2π2π4π4k ∈Z .结合|φ|<可得，当k ＝0时，φ的取值范围为.π2[－π4，0]15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)在上单调递增，若f ≤m 恒成立，(0≤θ≤π2)[－3π8，－π6](π4)则实数m 的取值范围为 ．答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)，(0≤θ≤π2)当x ∈时，－＋θ≤2x ＋θ≤－＋θ，[－3π8，－π6]3π4π3由函数f (x )在上是增函数得Error!k ∈Z ，[－3π8，－π6]则2k π－≤θ≤2k π＋(k ∈Z )．π4π3又0≤θ≤，π2∴0≤θ≤，π3∵f ＝cos ，又≤θ＋≤，(π4)(π2＋θ)π2π25π6∴fmax ＝0，(π4)∴m ≥0.16．设函数f (x )＝2sin ＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<.(2ωx －π6)12(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在上的值域．[0，3π2]解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，(2ωπ－π6)∴2ωπ－＝k π＋(k ∈Z )，π6π2即ω＝＋(k ∈Z )．k 213又0<ω<，12∴ω＝，13∴函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ＋m ，(23x －π6)∵f (π)＝0，∴2sin ＋m ＝0，(2π3－π6)∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin －2，(23x －π6)当0≤x ≤时，－≤x －≤，3π2π623π65π6－≤sin ≤1.12(23x －π6)∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在上的值域为.[0，3π2][－3，0]。
大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.4幂函数与二次函数NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1图象1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较y ＝x α知识梳理ZHISHISHULI12x性质定义域R R R________________值域R_________R__________________奇偶性函数函数函数函数函数单调性在R上单调递增在上单调递减；在上单调递增在R上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点_____{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}(－∞，0](0，＋∞)[0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域_______2.二次函数的图象和性质R R值域单调性在x ∈ 上单调递减；在x ∈ 上单调递增在x ∈ 上单调递增；在x ∈ 上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－对称⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b24a⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ b2a【概念方法微思考】1.二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).2.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件.提示a>0且Δ≤0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是()(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.()(3)函数y ＝是幂函数.()(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.()×√×√×基础自测JICHUZICE4ac －b24a.122x ×2.[P79B 组T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，则k ＋α等于 A.12B.1C.32 D.2解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.题组二教材改编√3.[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是A.a≥3B.a≤3√C.a<－3D.a≤－3解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a 的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三易错自纠4.幂函数f (x )＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于A.3B.4C.5D.6解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，f (x )＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.√21023a a x －＋2(5)2a x －－－1 5.已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______.解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，＝2－6＋3＝－1.∴ymin解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12， 6.设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)_____0.(填“>”“<”或“＝”)>且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.2题型分类深度剖析PART TWO题型一幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点则它的单调递增区间是A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)√自主演练⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，14， 解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是√A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.3.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2) (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为A.－3 B.1 C.2 D.1或2解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.23n nx－√4.若(a ＋1)<(3－2a )，则实数a 的取值范围是__________________.解析不等式(a ＋1)<(3－2a )等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，13-13-(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，32 13-13-解得a <－1或23<a <32.思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________.解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b 2＝1，∴b ＝2，师生共研f (x )＝x 2－2x ＋3∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.x 2＋2x 解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函x2＋2x＋1数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝__________.解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对x2－4x＋3任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.题型三二次函数的图象和性质多维探究命题点1二次函数的图象例2一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是√解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是A.[－3,0)B.(－∞，－3]C.[－2,0]D.[－3,0]√解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0].若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝______.－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，引申探究又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，；解得a＝38(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.或－3.综上可知，a的值为38将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值.解f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .(1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.引申探究解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________.(－∞，－1)令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －322－54－m ， x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为______.2解析 令a x＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ， 原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a 上单调递增， 所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.跟踪训练2(1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0√解析∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－b2在区间[0，＋∞)的左边或－b2＝0，即－b2≤0，得b≥0.(2)(2018·浙江名校协作体联考)y ＝的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是A.(2，＋∞)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.[－1,2]D.[0,2]2ax 2＋4x ＋a －1 √解析由已知，t ＝2ax 2＋4x ＋a －1取遍[0，＋∞)上的所有实数，当a ＝0时，t ＝4x －1能取遍[0，＋∞)上的所有实数，只需定义域满足⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞. 当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0， 解得0＜a ≤2.综上，0≤a ≤2.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为__________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值.思想方法SIXIANGFANGFA 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.3课时作业PART THREE基础保分练 1.幂函数y ＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为A.0 B.1C.2D.3解析∵y ＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2.√24m m x－24m m x －2.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为A.1或3 B.1C.3D.2解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.√268m m x-+3.若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是A.a <0或a ≥3B.a ≤0或a ≥3C.a <0或a >3D.0<a <3解析若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，√则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3， 故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.4.已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则A.a >0,4a ＋b ＝0 B.a <0,4a ＋b ＝0C.a >0,2a ＋b ＝0 D.a <0,2a ＋b ＝0√得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2， 解析由f (0)＝f (4)，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5.函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为A.{x|－2<x<2}B.{x|x>2或x<－2}√C.{x|0<x<4}D.{x|x>4或x<0}解析函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2)，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}，故选D.6.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是A.[0,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，4C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，3 √解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4， 结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，3.7.已知P ＝ ，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是_________.322-P ＞R ＞Q 解析 P ＝ ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫223， 322-根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .解析 设f (x )＝x α，因为它过点(2，2)， 8.(2018·台州路桥中学检测)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，)，则f (9)＝________.2 3所以2＝2α，所以α＝12，所以f (x )＝ ， 12x 所以f (9)＝＝3.129。
大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.3函数的奇偶性与周期性NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称1.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点知识梳理ZHISHISHULI2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f (x )的最小正周期.f (x ＋T )＝f (x )最小最小正数【概念方法微思考】1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)________.(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )__________.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)________. 提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－10，＋∞)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称.()(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.()(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.()×√基础自测JICHUZICE×√√√题组二教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋－2x)，则f(－1)＝________.解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝____. 3.[P45B 组T4]设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＋2＝1.4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象(－2,0)∪(2,5]如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________.解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].12342题型分类深度剖析PART TWO题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：师生共研(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； 解 由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； 解 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称.∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 解显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋D.y ＝x 2＋sin x12x 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数； 解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；√对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)已知函数f (x )＝则下列结论正确的是A.h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B.h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C.h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D.h (x )＝f (x )g (x )是偶函数x 2x －1，g (x )＝x 2， 因为f (－x )＋g (－x )＝－x2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x (1－2x )－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x 2＝f (x )＋g (x )，解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}.√所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数.故选A.题型二函数的周期性及其应用解析∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.自主演练1.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为A.2B.1C.－1D.－2√2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________.－2－3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4).因为f (2＋2)＝1－f (2)， 所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3. 故f (2 020)＝－2－ 3.＝－316＋sin π6＝516.3.若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝________. 516 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－76 解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫764.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝______.338解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×2 016＝336.6又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，f(2019)＝f(3)＝－1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝______.多维探究12解析方法一令x ＞0，则－x ＜0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0).∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1＋2x －x 2，则函数f (x )的解析式是________________________.解析设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1－2x －x 2＝－f (x )，即x ＜0时，f (x )＝－1＋2x ＋x 2，又易知f (0)＝0，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0∴f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0.命题点2求参数问题1例3(1)若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝______.a＋x2解析∵f(－x)＝f(x)，∴－x ln(a＋x2－x)＝x ln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴ln a＝0，∴a＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.－10所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是A.(0，e2)B.(e－2，＋∞)√C.(e2，＋∞)D.(e－2，e2)解析根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2).(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为_________.11＋x 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1. 所以符合题意的x的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫13，1.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.A.减函数且f (x )>0B.减函数且f (x )<0C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，f (x )＝ (1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32内是 12log √解析 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，由f (x )＝ (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0， 12log 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，0上函数也单调递增， 且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32， 所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝________. 解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －12 ＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝－12.解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝_________________.⎩⎪⎨⎪⎧ e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN 函数的性质一、函数性质的判断例1(1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减√C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析f(x)的定义域为(0,2).f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x).设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误.故选C.(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f (x )中，f (x )为偶函数的是A.f (e x )＝|x |B.f (e x )＝e 2xC.f (ln x )＝ln x 2D.f (ln x )＝x ＋√1x解析∵e x ＞0，∴f (x )的定义域不关于原点对称，f (x )无奇偶性，A ，B 错误；令ln x ＝t ，则x ＝e t ，而f (ln x )＝ln x 2，即f (t )＝2t ，f (x )＝2x 显然不是偶函数，C 错误；而f (ln x )＝x ＋1x ，则f (t )＝e t ＋1e t ，即f (x )＝e x ＋1e x ，此时f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝1e x ＋e x ＝f (x )， ∴f (x )＝e x＋1e x 是偶函数，D 正确，故选D.(3)(2019·绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是A.若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数B.若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数√C.若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数D.若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根解析若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x)＝x0，则f(f(x))＝f(x0)＝x0，即x是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确.故选C.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于A.－50B.0√C.2D.50解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则√A.f(－25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25)D.f(－25)<f(80)<f(11)解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).(3)若函数f (x )＝log 2在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是___________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2 020－a x 解析 由已知函数y ＝x ＋2 020－a x 在[1，＋∞)上是增函数，且y >0恒成立.令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2020－a >0，得a <2021.∴a 的取值范围是[－1,2021).[－1,2 021)∵y ′＝1＋a x 2，3课时作业PART THREE。
大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.8函数与方程NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点.(2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与有交点⇔函数y ＝f (x )有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y ＝f (x )在区间内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个____也就是方程f (x )＝0的根.f (x )＝0x 轴零点知识梳理ZHISHISHULIf (a )·f (b )<0(a ，b )f (c )＝0cΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象与x 轴的交点_____________________无交点零点个数________2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0)210【概念方法微思考】函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.()(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.()(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.()(4)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.()××√√基础自测JICHUZICE题组二教材改编2.[P92A 组T5]函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是A.(1,2)B.(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，1和(3,4)D.(4，＋∞) 且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数，∴f (x )的零点在区间(2,3)内.√解析 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>03.[P88例1]函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是A.0B.1C.2D.3解析由f ′(x )＝e x ＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，√因此函数f (x )有且只有一个零点.4.[P92A 组T4]函数f (x )＝－的零点个数为___.12x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 1解析作函数y ＝和y ＝的图象如图所示，12x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 由图象知函数f (x )有1个零点.5.函数f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2的零点是A.(e,0)或(e 2,0)B.(1,0)或(e 2,0)C.(e 2,0)D.e 或e 2解析f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2＝(ln x －1)(ln x －2)，由f (x )＝0得x ＝e 或x ＝e 2，∴f (x )的零点是e 或e 2.√题组三易错自纠6.已知函数f (x )＝x －(x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则A.x 1<x 2<x 3B.x 2<x 1<x 3C.x 2<x 3<x 1D.x 3<x 1<x 2x √解析 作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示，可知选C.7.若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.(－8,1]解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1.2题型分类深度剖析PART TWO题型一函数零点所在区间的判定1.(2018·绍兴调研)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)√自主演练解析∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，∴f (1)·f (2)<0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上的图象是连续的，且为增函数，∴f (x )的零点所在的区间是(1,2).2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间√A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3.设函数y 1＝x 3与y 2＝x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______.(1,2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 解析 令f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2).思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，题型二函数零点个数的判断例1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________. 师生共研2(2)(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则A.当a <0时，方程没有实数根B.当0<a <e 时，方程有一个实数根C.当a ＝e 时，方程有三个实数根D.当a >e 时，方程有两个实数根√解析由x ＝ln(ax )得e x ＝ax ，则函数y ＝e x ，y ＝ax 图象的交点个数是原方程根的个数.当a <0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x 相切的切点坐标为(x 0，)，则＝，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0<a <e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a >e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.0ex 0e x 00e x x思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.跟踪训练1(1)函数f (x )＝的零点个数为A.3 B.2 C.7 D.0√⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解析方法一由f (x )＝0得解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点.方法二函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －8sin 2x ，x ≤0，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2，x ＞0，则函数h (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数为A.2B.3C.4D.5√解析函数h(x)＝f(x)－log4x的零点个数即为方程f(x)＝log4x的根的个数，分别画出y1＝f(x)，y2＝log4x的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h(x)有5个零点.例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数多维探究(0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示. 由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1).(2)(2018·浙江杭州地区四校联考)已知函数f (x )＝的图象与x 轴恰有三个交点，则实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|－m ，x <2，(x －3m )(x －2m －2)，x ≥2A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪[1,2)∪(2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(2,3) √解析函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，等价于函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点且f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点，或函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点且f 2(x )＝(x －3m )·(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点.①由函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点得0<m <1，由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点得3m ＝2m ＋2≥2或3m ≥2>2m ＋2或2m ＋2≥2>3m ，可得m ＝2或0≤m <23.所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪⎪0<m <23.②由函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点得m ＝0或1≤m <3，由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点得 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 3m ≥2，2m ＋2≥2，3m ≠2m ＋2，解得m ≥23且m ≠2.所以m 的取值范围为{m |1≤m <3，m ≠2}.综上所述，实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪⎪ 0<m <23或1≤m <3且m ≠2.即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 命题点2根据函数零点的范围求参数例3若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12 解析 依题意，结合函数f (x )的图象(图略)分析可知，m 需满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练2(1)(2018·宁波模拟)函数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)2x √解析由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0， 解得0<a <3，故选C.(2)已知函数f (x )＝若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是.⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0， ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－14，0解析令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14≥－14， 若函数f (x )的图象与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－14，0.在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.思想方法SIXIANGFANGFA 利用转化思想求解函数零点问题例(1)若函数f(x)＝|logx|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则aA.mn＝1B.mn>1√C.0<mn<1D.以上都不对解析 由题设可得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象如图所示，结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12m ，log a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12m <0，所以0<mn <1，故选C.(2)已知函数f (x )＝g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A.[－1,0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)√⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，解析令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为[－1，＋∞).故选C.(3)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________________.(－∞，2－22] 解析 由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)， 则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.(4)(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是______.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是__________________.⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图(1).由图知f (x )＜0的解集为(1,4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况： ①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞).3课时作业PART THREE1.已知函数f (x )＝－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4)D.(4，＋∞)√基础保分练6x解析 因为f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).2.函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为A.0B.1C.2D.3解析 由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ， √作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象， 由图知两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.3.(2018·宁波模拟)设f (x )＝则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为A.0 B.1 C.2 D.4解析由f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝1，当f (x )＝0时，x ＝0或x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝－1或x ＝2，所以函数y ＝f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2，故选C.√⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤0，log 2x ，x >0，4.已知函数f (x )＝则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是A.(1,2) B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(－∞，1]∪[2，＋∞)解析当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；√⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0， 当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.5.(2018·温州十校联合体期末)已知关于x 的方程＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A.(－∞，0)B.(0,1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)√1x ＋2解析方程1x＋2＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数y＝1x＋2与y＝a|x|的图象有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数y＝1x＋2与y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.。
§3.2导数的应用最新考纲 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二 教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值 答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)解析 由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是________． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x . 5．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3. 题组三 易错自纠6．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．7．(2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________． 答案 －4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根， 则a ＝(－1)×4＝－4.8．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析 由f (x )＝x ·e x －e x ＋1， 得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ， 令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性例1 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增． 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性． 解 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa. ①当0<a <1时，令f ′(x )>0，则x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，则0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，则x >0或x <2－2aa ，令f ′(x )<0，则2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2－2a a ，0上单调递减．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析 因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0. 由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)， 又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0. 综上可知，g (a )<0<f (b )．(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b 答案 D解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D.(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2 019) B ．(2 019，＋∞) C ．(2 021，＋∞) D ．(2 019,2 021)答案 D解析 令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0，解得2 019<m <2 021. ∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 命题点2 根据函数单调性求参数例3 (2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． 解 因为h (x )在[1,4]上单调递增， 所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(0,3]答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x，∴由f ′(x )≤0，解得0<x ≤3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.(2)(2018·乐山期末)若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，2) D ．(－∞，2]答案 D解析 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案D解析因为f(x)＝(x－3)e x，所以f′(x)＝e x(x－2)．令f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．2．(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A解析 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件． 6．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1 答案 A解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，所以f (a )>f (b )．7．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x < f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3 答案 A解析 令g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x ，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332， ∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. 8．(2018·昆明调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________． 答案 {x |x <－1或x >1} 解析 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12， ∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－72 解析 g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知得g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 可得a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．又当x ∈[1,2]时，⎝⎛⎭⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72. ∴a ≤－72.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． 所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x <0，所以f (x )>0. 综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 (－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x(x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－ke ＝0，所以k ＝1.(2)f ′(x )＝1x－ln x －1e x (x >0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．12．(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f (x )＝be x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解 因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－be x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1.则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立； 当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ， 由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减； 当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( ) A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3答案 B解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，令g (x )＝f (x )x2，∴g (x )＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，又由2f (x )<3f (x )，得f (x )>0，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，令h (x )＝f (x )x3，∴h (x )＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8.14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12， 由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0，∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x (x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。
