中考专题讲解：分类讨论题(代数部分)

与代数相关的分类讨论问题一、考点聚焦分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

(1).实数的分类。

(2).()()00a a a a a ≥==-⎧⎪⎨⎪⎩ (3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性： 0,0,k k y x y x k y x >=<⎧⎨⎩时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,a a y ax bx c ⎧>⎪⎨<⎪⎩=++时抛物线开口向上时抛物线开口向下 (5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

(6).三角形的分类、四边形的分类二、热点分析热点1：与数与式有关的分类讨论【例1】化简：①︱x-1 ︳ ②热点2：与方程有关的分类讨论【例2】解方程：①（a -2）x =b -1分析：对于方程a x=b ，一般要对字母a ,b 进行分类讨论当a ≠0时方程有惟一解x =ab ;当a =0,b =0时，方程有无数个解； 当a =0,b ≠0时，方程无解 ②试解关于x 的方程111=--x )x (热点3：与函数及图象有关的分类讨论【例3】 设一次函数21y ax a =-+-的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。

解：由题意得：0,210.a a -- < （1） 当210a -=，即12a =时，一次函数21y ax a =-+-变形为12y x =-，其图象只经过第二、四象限。

0,0,k y x k y x y kx b ⎧⎪⎨⎪⎩=+ 时随的增大而增大时随的增大而减小（2） 当0a -<且210a -<，即12a 0<<时，一次函数21y ax a =-+-的图象只经过第二、三、四象限。

综上所述，a 的取值范围是12a £0<。

分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。

综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

例1. 化简a 32a ---。

例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值 例3．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 变式思考：1.化简：1x 2x --+2.已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例1. 已知0≠abc ，且,p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.变式思考： 1.已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。

中考专题讲解：分类讨论题（代数部分）安徽省无为县刘渡中心学校（238341） 丁浩勇有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．分类思考是解决数学问题的一种重要的思想方法，也是我们必须要掌握的一种解题策略．掌握好分类讨论的解题方法，非常有利于培养和发展我们思维的条理性、缜密性和灵活性，使我们能够完整地考虑问题，从而学会化整为零地解决问题．解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：（1）分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现； （2）分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现； （3） 分类讨论应逐级进行．解决分类讨论题的基本方法和步骤是：（1）确定研究对象的全体范围； （2）确定分类标准，合理地进行分类； （3）逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果； （4） 综合各级结果，得出最终结论．近年来中考数学试题中分类讨论题（代数部分）一般有概念型分类讨论题、性质型分类讨论题、参数型分类讨论题、解集型分类讨论题、统计型分类讨论题和方案设计型分类讨论题等几种类型．类型一 概念型分类讨论题 有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如a 的定义分a ＜0、a ＝0和a ＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类讨论题．【例1】（2009·孝感）若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 【分析与解答】由m n n m -=-，得n ≥m ．而由4=m ，3=n ，得4±=m ，3±=n ．下面分情况进行讨论．（1）当3,4±==n m 时，有m ＞n ，这与n ≥m 相矛盾，所以不成立； （2）当4-=m ，3=n 时，满足n ≥m ，那么()()13422=+-=+n m ； （3） 当4-=m ，3-=n 时，满足n ≥m ，那么()()493422=--=+n m ． 综合上面的讨论可知()2n m +的值为1或49．【点拨】每年的中考题都会出现一些考查基础知识、基本技能、基本思想方法的问题，这类题主要集中在数与式的一些基本概念与运算方面．因此我们一定要牢固掌握好这些分类定义的概念，并能灵活运用．否则的话对于这类题目我们容易丢解．类型二 性质型分类讨论题有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之为性质型分类讨论题．【例2】（2008·威海）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【分析与解答】因为A （1，2）、B （3，2）两点的纵坐标相等，所以抛物线c bx ax y ++=2的对称轴方程是231+=x ，即2=x ．又因为点C （5，7）也在抛物线上，所以抛物线的开口向上．下面就对称轴的两边分两种情况讨论二次函数的性质．（1）当x ＜2时，此二次函数是单调递减函数．由于2-＜1-，所以有1y ＞2y ． （2） 当x ＞2时，此二次函数是单调递增函数．而M （1,2y -）关于对称轴2=x 的对称点的坐标为（1,6y ），由于6＜8，所以有1y ＜3y ．综合（1）、（2）可得2y ＜1y ＜3y ，故选B ．【点拨】解决此类问题时，我们一定要分类讨论二次函数的性质：（1）当a ＞0时，对称轴的左边单调递减，对称轴的右边单调递增；（2）当a ＜0时，对称轴的左边单调递增，对称轴的右边单调递减．【例3】（2008·株州）已知函数1y x =的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ）A ．1y <-B ．1y ≤-C ．1y ≤- 或0y >D ．1y <-或0y ≥ 【分析与解答】由于反比例函数1y x=的性质是分段描述的：当x ＞0时，反比例函数1y x =的图象在第一象限y 随着x 增大而减小，且y ＞0；当x ＜0时，反比例函数1y x=的 O -1 -1 X图象在第三象限y 随着x 增大而减小，且y ＜0．本题中1x ≥-，必须分为x ≤-1＜0和x ＞0两种情况进行考查．（1） 当x ≤-1＜0时，由反比例函数1y x =的性质可知1-≤y ； （2） 当x ＞0时，由反比例函数1y x=的性质可知y ＞0． 所以本题的正确答案是选C ．【点拨】本题主要考查反比例函数的增减性，理解反比例函数的增减性主要存在以下两方面的误区：一是片面地理解反比例函数的增减性，没有分x ＞0和x ＜0两个区间分别讨论；二是错误地认为反比例函数是单纯的递增函数或单纯的递减函数．类型三 参数型分类讨论题解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题．【例4】（2009·凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）【分析与解答】要确定正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象，首先要知道a 、b 的取值范围．由于0ab <，所以要分a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两种情况进行讨论．（1） 当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y ax =的图象在一、三象限，反比例函数by x=的图象在二、四象限．图中的四个选择支没有一个符合条件； （2） 当a ＜0，b ＞0时，正比例函数y ax =的图象在二、四象限，反比例函数by x =的图象在一、三象限．图中的四个选择支只有B 符合条件．综合（1）、（2）可知，本题的正确答案是B ．【点拨】解决这类问题，关键要把握两点：一是判断正比例函数y ax =中a 的取值，确定图象所在象限及增减性；二是判断反比例函数b y x=中b 的取值，确定图象所在象限及xxxx B ．每一象限中的增减性．【例5】（2008·贵阳）对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析与解答】平面直角坐标系中，每一象限内点的坐标的正负性有如下规律：由于点P （1）当x ＜0时，()222-=-x x x x ＞0，点2(2)P x x x -，在第二象限； （2）当0=x 时，022=-x x ，点2(2)P x x x -，为原点； （3）当0＜x ＜2时，()222-=-x x x x ＜0，点2(2)P x x x -，在第四象限； （4） 当x ＞2时，()222-=-x x x x ＞0，点2(2)P x x x -，在第一象限． 综上所述，点2(2)P x x x -，一定不在第三象限，故选C ．【点拨】解决这类问题首先应熟练掌握每一象限内点的横、纵坐标的正负性，以及在坐标轴上的点的坐标特点，然后根据参数的不同取值分段讨论．【例6】（2009·荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为 ( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．【分析与解答】关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0中参数a 的取值不同，方程的性质也会发生变化，下面分别讨论．（1）当0=a 时，原方程变为一元一次方程022=+-x ，此方程只有一个解； （2） 当0≠a 时，原方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0是一元二次方程，由()[]02422=⨯-+-=∆a a ，得2=a ．综合（1）、（2）得0=a 或2=a ，所以本题选择D ．【点拨】因为题目中相同解算作一解，所以一元一次方程和一元二次方程都有可能符合条件，因此，我们在解答类似题目时一定要考虑周全，不要漏解．类型四 解集型分类讨论题求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解．我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题．【例7】（2009·深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->.解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-. 问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. 【分析与解答】阅读例题可知，把()3+x 和()3-x 看成两个数，它们的积为正，则这两个数同号，由此类推不难解决给出的问题．由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可知()15+x 和()32-x 异号，下面分情况讨论即可．（1）当15+x ＞0，32-x ＜0时，解不等式组510230x x +>⎧⎨-<⎩得135x -<<；（2）当15+x ＜0，32-x ＞0，时，解不等式组510230x x +<⎧⎨->⎩无解． 综合（1）、（2）两种情况，得分式不等式51023x x +<-的解集为135x -<<. 【点拨】本例先根据乘法法则用分组的方法结出了一个一元二次不等式的求解过程，然后要求我们用类比的方法求解一个分式不等式．解决这类问题的关键是要弄清解题原理，能够“现学现用”，分析并解决问题．类型五 统计型分类讨论题有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．这一类问题我们称之为统计型分类讨论题．【例8】（2009·牡丹江）已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．【分析与解答】设这三个不相等的正整数从小到大排列为a ，3，b ．根据题意，a 的取值可以是1和2．下面我们分别讨论：（1）当1=a 时，由333⨯=++b a 得5=b ； （2） 当2=a 时，由333⨯=++b a 得4=b ．综上所述，这三个数分别为1，3，5或2，3，4．【点拨】由于数据的不确定性，需要对它进行分类讨论．如果我们不能有条理地进行思考，就可能有遗漏的情况出现．分类讨论的思想非常有利于克服思维的片面性，防止漏解．类型六 方案设计型分类讨论题在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题．【例9】（2009·绥化）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【分析与解答】设需二人间x 间，三人间y 间，则需四人间为()y x --7间．根据题意，得()207432=--++y x y x ，化简，得x y 28-=．由于x 、y 、y x --7皆为正整数．下面分别讨论．（1）当1=x 时，628=-=x y ，07=--y x ，不符合要求； （2）当2=x 时，428=-=x y ，17=--y x ，符合要求； （3）当3=x 时，228=-=x y ，27=--y x ，符合要求； （4） 当4=x 时，028=-=x y ，37=--y x ，不符合要求；故符合条件的方案有2种，即C 是正确答案．【点拨】利用不定方程解决日常生活中的实际问题是近年来中考题中的常见题型之一．本题的误区是往往由于读题不细心，审题不严谨，从而容易忽视x 、y 、y x --7是正整数这个隐含条件，导致4种方案都符合要求的结论．总之，分类讨论是一种非常重要，也是很常见的数学解题方法，在中考试卷中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度．因此，我们一定要牢固掌握分类的技能技巧，做到举一反三，触类旁通．。

中考“分类讨论”题型整编整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。

目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1 考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52k -分类讨论. 解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为1122y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当55022k k -≠≠，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-. ①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k -和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k-. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围.（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=，此时求得4t =2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-= 又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅=∴MD ＝ND ON ＝OD －DM ＝4即D 点的坐标为（0，4∴4t =4t =S ＝3.（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时，21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4。

1 / 2分类讨论问题初中数学中的分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

第一部分例题解析1、代数部分例1：化简：|x-1|+|x-2|例2、代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个2、函数部分例题1：一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是（ ）。

A. 14B. -6C. -4或21D. -6或14例题2：已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。

3、几何部分1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或50°D ．50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4、综合类：例1：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。

2 / 2试题精练1、已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。

3、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。

中考数学二轮专题复习：分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏． 【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x 、y的长满足240x -=，则第三边长为 ．分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,则第三边长为=（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．例2：⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是（ ） （A ）7㎝ （B ）8㎝ （C ）7㎝或1㎝ （D ）1㎝ 分析与解答 因为弦AB 、CD 均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB 和CD 的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O 的同侧， 二是位于圆珠笔心O 的异侧，如图2-4-1，过O 作EF ⊥CD ，分别交CD 、AB 于E 、F ， 则CE=4㎝，AF=3㎝．由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝． 当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝． 当AB 、CD 在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C ．例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．分析与解答 勾股定理可得AE=．当△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，DM MN AB AE =，即1DM DM == 图2-4-1（2）当DM 与AB 是对应边时， DM MN AB AE =，即2DM DM == 故DM的长是． 例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？ 分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12． ∵QB=16-t ，∴112(16)9662S t t =⨯⨯-=-． （3） 由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ ．在Rt △PMQ 中，2222222212.,12(16)PQ t PQ BQ t t =+=+=-由得，解得72t =． ② 若PQ=BQ ．在Rt △PMB 中，22222222(16)12.,)12(16)BP t BQ t t =-+=+=-由BP 得(16-2，即23321440t t -+=，∵△=7040-<，∴解得23321440t t -+=无解，∴BP BQ ≠．③若PB=PQ ．在Rt △PMB 中，，222222,12(162)12QP t t =+=-+由BP 得．解得1216,163t t ==不合题意，舍去）．综合上面原讨论可知：当72t =秒或163t =秒时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形． 说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证． 【提高训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．5图2-4-2E NMD CBA４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5.（1）3 ()2（2）满足条件的点P存在，它的坐标是((4(4---或或或.。

中考第二轮专题复习-----分类讨论班别 姓名 学号一、代数中的分类讨论问题 例1：实数运算中的分类讨论：已知|a |=3，|b |=2，且ab ＜0，则a - b = 例2：方程中的分类讨论： 解关于x 的方程：ax - 1= x ； 例3：函数中的分类讨论：若直线：y = 4x +b 不经过第二象限，那么b 的取值范围为 ； 例4：与公式或性质有关的分类讨论：二、几何中的分类讨论问题1、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为 ；2、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为 ；3、若半径为3和5的两个圆相切，则它们的圆心距为 ；4、等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形的另两个角的度数为 ；5、在半径为5cm 的圆中，有两条平行的弦AB 和CD ，如AB=6cm ，CD=8cm ，那么弦AB 和CD 之间的距离为 ．6、如图，在 △ABC 中，AB=12， AC=15，点 D 在AB 上，且AD=8，在 AC 上取一点E,使得 以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似， 求AE 的长.412x 把加上一个单项式，使其成为一个整式的完全平方， 请你写出所有符合条件的单项式 .BQ CB三、动态中的分类讨论问题：如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1cm 的速度向B 运动，同时，点Q 从点B 出发，沿BC 以相同速度向C 运动，问，当运动几秒后，△PBQ 为直角三角形？（提示：作高AH,思考直角的分类，用相似或三角函数求解）课 堂 练 习3、已知, ⊙O 的弦AB 长等于圆的半径, 该弦所对的圆周角的度数为__ __4、如图，在直角△ABC 中，AB=10，AC=8， D 为AC 边的中点，如△ADE 与△ABC 相似， 求AE 的长。

1、 若 ||3,||2,,a b a b a b ==>+且则2、当b ＞０时，化简：=AACB5、在Ｒｔ△ABC 中，∠C=90，AC=3，BC=4. 若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R 的值为多少？挑战自我是一个等腰三角形？为何值时，当的代数式表示）的坐标（用含求点秒了已知动点运动，连接于，交作过点运动点向终沿运动，点向终点沿其中，点单位的速度运动个同时出发，以每秒、分别从、动点、分别为的坐标、为矩形，点边形平面直角坐标系中，四如图NPC x x P x NP P AC OA MP M C BC N A OA M B O N M B A OABC ∆⊥)2(;)1(....1).3,4()0,4(,更上层楼.P 10,1,8,三点的抛物线解析式、、是直角三角形，求过若轴上，在，点中，在直角梯形如图C P D PDC x CD BC OB OBCD ∆===。

专题一：分类讨论简要分析在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案. 典型例题例1 已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，则AB 、CD 之间的距离为【 】A ．17cmB ．7cmC ．12cmD ．17cm 或7cm例2 如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【 】【分析】△AMN 的面积=12AP×MN ，通过题干已知条件，用x 分别表示出AP 、MN ，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x ＜2；例3 已知直角三角形两边x 、y 的长满足224560x y y -+-+=，则第三边长为 ．例4 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->. 解：∵29(3)(3)x x x -=+-， ∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >， 解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-， 即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-. 问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. OOOO x x x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 A ．B ．C ．D ． ABCDMN P 九年级____班姓名________第2题图例5 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【分析】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．图1668DC BA图2486BC AD图3x +6x 68BCDA考点训练一、选择题1．如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB ＝50°，若点M 是⊙O 上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，已知⊙B 与△ABD 的边AD 相切于点C ，AC=4，⊙B 的半径为3，当⊙A 与⊙B 相切时，⊙A 的半径是【 】A ．2B ．7C ．2或5D ．2或83．关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是【 】A ．6B ．7C ．7D ．8第1题图4. ⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是【 】A ．7㎝B ．8㎝C ．7㎝或1㎝D ．1㎝5. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则此等腰三角形顶角的度数是【 】A ．20°B ．120°C ．20°或120°D ．36°二、填空题6. 已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 ．7. 如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．8. 二次三项式 942+-mx x 是完全平方式，则m = .9. 腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为 错误！未找到引用源。

初中数学分类讨论问题经典题例析（代数部分）山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建一、 因为大多数运算公式和运算性质的成立都具有一定条件，所以，在运用公式和性质时要针对成立的条件分类讨论经典题1、已知k cb a bc a a c b =+=+=+，求k 的值。

分析：运用等比性质时，要注意性质成立的条件：a+b+c ≠0,所以求k 值时须分a+b+c ≠0和a+b+c=0两种情况进行讨论。

解：当a+b+c=0时， b+c=-a ，a+c=-b ，a+b=-c ，∴k=-1当a+b+c ≠0时，k= 2=+++++++cb a b ac a c b 。

经典题2、已知xy=3,求yx y x y x +的值。

分析：x x =2的条件是x ≥0，当x ＜0，x x -=2，所以，化简二次根式时一定要考虑未知字母的正负。

解： xy=3，x 与y 同号，当x ＞0，y ＞0时，y x y x y x +=322==+xy yxy y x xy x ，当x ＜0，y ＜0时，y x y x y x +=322-=-=-+-xy yxy y x xy x 。

经典题3、已知16)3(22+--x m x 是完全平方式，求50142+-m m 的值。

分析：22b ax x ++是完全平方式的条件是a =±2b ，16)3(22+--x m x 是完全平方式，所以8)3(2±=--m ，∴m=7或m= -1，当m=7时，50142+-m m =()1172=+-m ，当m= - 1时，50142+-m m =1+15+50=65。

经典题4、若0223422⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--x x x x ，则x= 。

分析：10=a 的条件是a ≠0,若1222=--x x ，解得1,321-==x x ，所以要针对1321-==x x 和分别讨论34x 2+-x 是否为0，最后确定x 的取值。

中考数学专题复习——分类讨论问题在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

一、 代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨）=+=-+a 无解，则3x 49x ax 3-x 3.1例2 解：去分母，得：3（x+3）+ax=4（x-3）（a-1）x= -21 由题意可得1a 6a 8a 01-a 31-a 2131-a 21=-==∴==--=-，，或或 .______a 无解，求21-x a 1x 2跟踪练习：“有增根”如何解？猜想：把“无解”改为==-+达标练习：1．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－12．若a 、b 互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()ab b c m m m++-的值是______． （问题所涉及到的数学概念。

如|a|的定义分a >0、a ＝0、a <0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型。

）3.一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或14（问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如讨论一次函数y =kx +b （k ≠0）的增减性，要分k ＜0和k ＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型。

）4．若关于x 的函数y=k 2x ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ．5．已知关于 x 的方程01)32(22=++--k x k x ．⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．6．已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式。