中考数学 分类讨论思想中考训练题 华东师大版

专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。

2022-2023学年全国中考专题数学中考真卷考试总分：144 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1. 的倒数等于( )A.B.C.D.2. 把写成，为整数)的形式，则为( )A.B.C.D.3. 计算的结果是（ ）A.B.C.D.4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为 ，则顶角的度数为（）A.B.−12−22−12120.00947a ×(1≤a <1010n n n 36−3−62⋅5a 3a 310a 610a 97a 37a 630∘60∘120∘120∘60∘C. 或D. 或或5. 若甲、乙、丙、丁四人参加跳远比赛，经过几轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，，你认为最应该派去的是 （ ）A.甲B.乙C.丙D.丁6. 一元二次方程根的情况是( )A.有两个相等实根B.没有实根C.有两个不相等实根D.无法确定7. 方程组的解是（ ）A.B.C.D.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）120∘60∘150∘120∘60∘=0.34s 2甲=0.21s 2乙=0.4s 2丙=0.45s 2丁−3x −9=0x 2 a +2b =5b +c =5c +a =4a =1b =2b =4a =1b =2c =2a =1b =2c =1a =1b =2b =3A. B. C. D.9. 不等式组的整数解个数是( )A.B.C.D.10. 如图，是的直径，是的切线，切点为，如果＝，则的度数为（ ）A.B.C.D.11. 已知二次函数的图象如图所示，且其顶点的纵坐标为，则关于的方程的根的情况是（ ）f(x)={x ≥−3，x <23456AB ⊙O MN ⊙O N ∠MNB 52∘∠NOA 52∘56∘54∘76∘y =a +bx +c x 24x a +bx +c −5=0x 2A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定12. 如图，在正方形中，为上一点，过点作交于点，交对角线于点，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④，其中正确的个数是( )A.个B.个C.个D.个卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13. 分解因式：________．14. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程________．15. 如图，已知平行四边形，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，ABCD E BC E EF//CD AD F BD G DG H AH EH FH FH//AE AH =EH AH ⊥EH ∠BAH =∠HEC △EHF ≅△AHD 4321a −10+25a =3a 2+bx +c =0x 2b =2x 1=3x 2c =1x 1=5x 2ABCD A AB AD E F F1再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧．两弧在的内部相交于点，画射线交于．若，，则________．16. 已知关于的方程的解是非正数，则的取值范围是________．17. 如图，一艘渔船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时渔船与灯塔的距离约为________海里.（结果取整数).(参考数据：，，）18. 方程组的解是________；直线与直线的交点是________.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 9 分 ，共计72分 ）19. 计算：）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了________人，并将条形统计图补充完整；E F EF 12∠DAB G AG DC H AB =5BC =3CH =x =32x +m x −1m P 30∘18A P 55∘B P sin ≈0.855∘cos ≈0.655∘tan ≈1.455∘{y =3x −1，y =x +3y =3x −1y =x +3|−|+(−−(2016−π+4sin −2)030∘(+)÷x 2x −242−x +4x +4x 2xx =tan 45∘（2）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中任意选择一种付款，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率. 22. 如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．若，求的度数；求证：.23. 某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是本，款销售数量是本，销售总价是元；第二周款销售数量是本，款销售数量是本，销售总价是元．求，两款毕业纪念册的销售单价；若某班准备用不超过元购买这两种款式的毕业纪念册共本，求最多能够买多少本款毕业纪念册． 24. 已知是一次函数与反比例函数图象的两个交点，如图所示，轴于点，轴于点．根据图象直接回答：在第二象限内，当，取何值时，一次函数值大于反比例函数的值？求一次函数解析式及的值；是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 25. 如图，在中， 平分 交于点，点在上，以为直径的 经过点△ABC ∠ACB =90∘CE ⊥AB E AD =AC AF ∠CAB CE F DF AC G (1)∠B =40∘∠ADF (2)FG =FE A B A 15B 10230A 20B 10280(1)A B (2)52960A A (−4,),B (−1,2)12y =kx +b y =(m <0)m xAC ⊥x C BD ⊥y D (1)(2)m (3)P AB PC PD △PCA △PDB P Rt △ABC Rt △ABC ∠C =90∘AD ∠BAC BC D E AB AE ⊙O D.（1）求证，直线是的切线；（2）若求图中阴影部分的面积．26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴正半轴于、两点，交轴于点，点为中点，．求抛物线的解析式；过点作轴的平行线交抛物线于另一点，横坐标为的点在抛物线上，过点作直线的垂线，点为垂足，若线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量的取值范围；在的条件下，过点作的垂线，点为垂足，的平分线交于点，交元轴正半轴于点，若，求的值．BC⊙O∠B=,AC=330∘O y=a+bx+3x2x A B y C A OB3OB=2OC(1)(2)C x D t(t>2)Py=a+bx+3x2P CD E PE d(d≠0)d tt(3)(2)D PC F∠CFD CD CH CG=30H t参考答案与试题解析2022-2023学年全国中考专题数学中考真卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1.【答案】A【考点】倒数【解析】根据倒数定义可知，的倒数是．【解答】解：的倒数是．故选.2.【答案】C【考点】科学记数法—表示较小的数【解析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．【解答】解：把写成，为整数)的形式为，则为．故选．3.【答案】A−12−2−12−2A 1a ×10−n 00.00947a ×(1≤a <1010n n 9.47×10−3n −3C整式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，故选．4.【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：当高在三角形内部时（如图），顶角是；当高在三角形外部时（如图），顶角是．故选.5.【答案】B【考点】方差【解析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.2⋅5=10a 3a 3a 6A 160∘2120∘C解：∵，，，，∴乙的方差最小，∴射击成绩最稳定的是乙，故选.6.【答案】C【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，，∴，所以原方程有两个不相等的实数．故选．7.【答案】D【考点】二元一次方程组的解【解析】此题暂无解析【解答】解：，②③得：④，①④得：，解得,将代入④得：，解得：，将代入③得：，解得：．∴方程组的解为．故选．=0.34S 2甲=0.21S 2乙=0.4S 2丙=0.45S 2丁B a =1b =−3c =−9Δ=−4ac =(−3−4×1×(−9)=45>0b 2)2C a +2b =5①b +c =5②c +a =4③−b −a =1+3b =6b =2b =22−a =1a =1a =1c +1=4c =3 a =1b =2c =3D8.【答案】D【考点】由三视图判断几何体【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体上面为台体，下面为柱体，由俯视图为圆环，可得几何体为．故选.9.【答案】C【考点】一元一次不等式组的整数解【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得,其整数解有.故选.10.【答案】D【考点】切线的性质圆周角定理【解析】D −3≤x <2−3,−2,−1,0,1C ∠ONM 90∘∠ONB 38∘∠B先利用切线的性质得＝，则可计算出＝，再利用等腰三角形的性质得到＝＝，然后根据圆周角定理得的度数．【解答】∵是的切线，∴，∴＝，∴＝＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝＝．11.【答案】C【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象与系数的关系【解析】根据函数图象可知函数的最大值是，从而可以得到关于的一元二次方程的根的情况，本题得以解决．【解答】解：由函数图象可知，函数的最大值是，即对应的的值不存在，即一元二次方程没有实数根.故选12.【答案】B【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论.∠ONM 90∘∠ONB 38∘∠B ∠ONB 38∘∠NOA MN ⊙O ON ⊥NM ∠ONM 90∘∠ONB −∠MNB 90∘−90∘52∘38∘ON OB ∠B ∠ONB 38∘∠NOA 2∠B 76∘y =a +bx +c x 24x a +bx +c −5=0x 2y =a +bx +c x 245=a +bx +c x 2x a +bx +c −5=0x 2C.【解答】解：①在正方形中，，，∵，∴，∴四边形是矩形．在中，，∴∵是的中点．∴∵正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线，∴不垂直于，∴与不平行.∴①不正确．②∵四边形是矩形，∴，，∵平分，∴，∴，∴∴，，∴，∴，∴，∴即，∴.∴②正确．③∵，∴.∵，∴.∴③正确．④∵，，，∴.∴④正确．∴①错误，②③④正确.故选.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13.【答案】【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】ABCD ∠ADC =∠C =90∘∠ADB =45∘EF//CD ∠EFD =90∘EFDC Rt △FDG ∠FDG =45∘FD =FG.H DG FH ⊥BD.A BD AE BD FH AE ABEF AF =EB ∠BEF =90∘BD ∠ABC ∠EBG =∠EGB =45∘BE =GE AF =EG.∵FH ⊥BD ，∠AFH =∠AFE +∠GFH =+90∘45∘=135∘∠EGH =−∠EGB =−=180∘180∘45∘135∘∠AFH =∠EGH △AFH ≅△EGH(SAS)AH =EH ，∠AHF =∠EHG ∠AHF +∠AHG =∠EHG +∠AHG ∠FHG =∠AHE =90∘AH ⊥EH △AFH ≅△EGH ∠FAH =∠GEH ∠BAF =∠CEG =90∘∠BAH =∠HEC EF =AD FH =DH EH =AH △EHF ≅△AHD(SSS)B a(a −5)2首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：．故答案为：．14.【答案】【考点】一元二次方程的解根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系得到，，然后求出，即可．【解答】解：根据题意得，，解得，，所以正确的一元二次方程为．故答案为：.15.【答案】【考点】作图—基本作图平行四边形的性质角平分线的定义【解析】根据作图过程可得平分，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，进而得到，根据可得的长．【解答】解：根据作图的方法可得平分，x −10+25aa 3a 2=a(−10a +25)a 2=a(a −5)2a(a −5)2−6x +6=0x 22×3=c 1+5=−b b c 2×3=c 1+5=−b b =−6c =6−6x +6=0x 2−6x +6=0x 22AG ∠DAB ∠DAH =∠DHA AD =DH CH =CD −DH CH AG ∠DAB ∵AG ∠DAB平分，，，，，.平行四边形中，，，，，．故答案为：．16.【答案】【考点】分式方程的解解一元一次不等式【解析】【解答】解：去分母得：，解得：，根据题意得：，且，解得：.故答案为：.17.【答案】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题勾股定理的应用【解析】根据正弦和余弦的定义计算即可．【解答】解：如图：∵AG ∠DAB ∴∠DAH =∠BAH ∵CD//AB ∴∠DHA =∠BAH ∴∠DAH =∠DHA ∴AD =DH ∵ABCD AB =5BC =3∴CD =5AD =DH =3∴CH =CD −DH =5−3=22m ≤−32x +m =3x −3x =m +3m +3≤0m +3≠1m ≤−3m ≤−311在中，，在中，（海里），故答案为：.18.【答案】,【考点】一次函数与二元一次方程（组）一次函数图象上点的坐标特征一次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：对原方程组使用加减消元法，两式相减得,解得,带入原方程得.所以方程组的解为所以直线与直线的交点为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 9 分 ，共计72分 ）19.【答案】原式＝＝．【考点】负整数指数幂Rt △APC PC =AP ×cos ∠APC =9Rt △PCB PB =≈11PC sin ∠B11{x =2,y =5(2,5)2x −4=0x =2y =5{x =2,y =5,y =3x −1y =x +3(2,5){x =2,y =5；(2,5)+4−8+4×+5实数的运算零指数幂特殊角的三角函数值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：原式，当时，原式．【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式，当时，原式．21.【答案】14.解：（1）补全条形统计图如下．=÷−4x 2x −2(x +2)2x =⋅(x −2)(x +2)x −2x (x +2)2=x x +2x =tan =145∘==11+213=÷−4x 2x −2(x +2)2x =⋅(x −2)(x +2)x −2x (x +2)2=x x +2x =tan =145∘==11+213200（2）将“微信”记为、“支付宝”记为、“银行卡”记为，画树状图如下：∵共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．【考点】列表法与树状图法条形统计图扇形统计图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】14.解：（1）补全条形统计图如下．（2）将“微信”记为、“支付宝”记为、“银行卡”记为，A B C 93=3913200A B C画树状图如下：∵共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．22.【答案】解：∵平分，∴．在和中，，∴（），∴．∵，，∴，，∴，∴．证明：∵，∴.∵，∴．∵，平分，∴．【考点】全等三角形的性质与判定角平分线的定义角平分线的性质【解析】无无【解答】解：∵平分，∴．93=3913(1)AF ∠CAB ∠CAF =∠DAF △ACF △ADF AC =AD,∠CAF =∠DAF AF =AF,△ACF ≅△ADF SAS ∠ACF =∠ADF ∠ACB =90∘CE ⊥AB ∠ACE +∠CAE =90∘∠CAE +∠B =90∘∠ACF =∠B ∠ADF =∠B =40∘(2)∠ADF =∠B DF//BC BC ⊥AC FG ⊥AC FE ⊥AB AF ∠CAB FG =FE (1)AF ∠CAB ∠CAF =∠DAF △ACF △ADF在和中，，∴（），∴．∵，，∴，，∴，∴．证明：∵，∴.∵，∴．∵，平分，∴．23.【答案】解：设款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元，根据题意可得：解得：答：款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元；设能够买本款毕业纪念册，则购买款毕业纪念册本，根据题意可得：，解得：，则最多能够买本款毕业纪念册．【考点】二元一次方程组的应用——销售问题一元一次不等式的实际应用【解析】（1）直接利用第一周款销售数量是本，款销售数量是本，销售总价是元；第二周款销售数量是本，款销售数量是本，销售总价是元，分别得出方程求出答案；（2）利用不超过元购买这两种款式的毕业纪念册共本，得出不等式求出答案．【解答】解：设款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元，根据题意可得：解得：答：款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元；设能够买本款毕业纪念册，则购买款毕业纪念册本，根据题意可得：，△ACF △ADF AC =AD,∠CAF =∠DAF AF =AF,△ACF ≅△ADF SAS ∠ACF =∠ADF ∠ACB =90∘CE ⊥AB ∠ACE +∠CAE =90∘∠CAE +∠B =90∘∠ACF =∠B ∠ADF =∠B =40∘(2)∠ADF =∠B DF//BC BC ⊥AC FG ⊥AC FE ⊥AB AF ∠CAB FG =FE (1)A x B y { 15x +10y =230，20x +10y =280，{ x =10，y =8，A 10B 8(2)a A B (60−a)10a +8(60−a)≤529a ≤24.524A A 15B 10230A 20B 1028052960(1)A x B y { 15x +10y =230，20x +10y =280，{ x =10，y =8，A 10B 8(2)a A B (60−a)10a +8(60−a)≤529解得：，则最多能够买本款毕业纪念册．24.【答案】解：（）由图象知时，一次函数值大于反比例函数的值．把点代入，得’解得∴一次函数的解析式为，把点代入，得，即的值为．设点的坐标为，由点，的坐标可知，，易知以为底，的高为，以为底，的高为，由可得，解得，此时，∴点的坐标为．【考点】反比例函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：（）由图象知时，一次函数值大于反比例函数的值．把点代入，得’解得∴一次函数的解析式为，把点代入，得，即的值为．a ≤24.524A 1−4<x <−1(2)A (−4,),B (−1,2)12y =kx +b −4k +b =12−k +b =2. k =,12b =.52y =x +1252B (−1,2)y =m x m =−2m −2(3)P (x,x +)1252A B AC =,OC =412BD =1,OD =2AC △PCA x +4BD △PDB 2−(x +)1252=S △PCA S △PDB ×(x +4)=×1×(2−x −)1212121252x =−52x +=125254P (−,)52541−4<x <−1(2)A (−4,),B (−1,2)12y =kx +b −4k +b =12−k +b =2. k =,12b =.52y =x +1252B (−1,2)y =m x m =−2m −2x,x +)15设点的坐标为，由点，的坐标可知，，易知以为底，的高为，以为底，的高为，由可得，解得，此时，∴点的坐标为．25.【答案】证明：连接，平分,,,,,,,,,直线是圆的切线；.【考点】三角形的角平分线三角形的面积(3)P (x,x +)1252A B AC =,OC =412BD =1,OD =2AC △PCA x +4BD △PDB 2−(x +)1252=S △PCA S △PDB ×(x +4)=×1×(2−x −)1212121252x =−52x +=125254P (−,)5254(1)OD ∵AD ∠BAC ∴∠OAD =∠CAD ∵OA =OD ∴∠ODA =∠OAD ∴∠ODA =∠CAD ∴OD//AD ∵∠C =90∘∴∠ODB =90∘∴OD ⊥BC ∴BC (2)π−433–√扇形面积的计算切线的判定与性质含30度角的直角三角形角平分线的性质平行线的判定与性质【解析】连接，平分,可得,因为,,证明,,进一步证明,即可证明直线是圆的切线；先求得，，再根据阴影部分的面积扇形的面积的面积即可求得答案.【解答】解：证明：连接，平分,,,,,,,,直线是圆的切线；由，得，，，，，由得,阴影部分的面积扇形的面积的面积(1)OD AD ∠BAC ∠OAD =∠CAD OA =OD ∴∠ODA =∠OAD ∠ODA =∠CAD OD ∥AD ∠ODB =90∘BC (2)AB =2AC =6，OB =2OD ，∠AOD =120∘∠DAC =30∘=OAD −△OAD (1)OD ∵AD ∠BAC ∵OA =OD ∴∠ODA =∠OAD ∴∠ODA =∠CAD ∴OD//AD ∵∠C =90∘∴∠ODB =90∘∴OD ⊥BC ∴BC (2)∠B =，∠C =，∠ODB =30∘90∘90∘AB =2AC =6，OB =2OD ，∠AOD =120∘∠DAC =30∘∵OA =OD ∴OB =2OA ∴OA =OD =2∠DAC =30∘DC =3–√∴=OAD −△OAD =π×4−×2×120360123–√π−4.26.【答案】解：抛物线交轴于点，∴，∴，∵，∴，∴，∵点为中点，∴，∴，∵抛物线经过点点．∴解得．∴抛物线的解析式为；在中，令，即，解得，∴，如图，延长交轴于点，∵点的横坐标为，∴，∴．∵∴四边形为矩形，∴．∴当时，，同理，如图，当时，如图，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，过点作交于点，延长交轴于点，∵．∴．∵．∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，即，∴．∵轴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴ ，∵.∴，∴，∴．∴，=π−433–√(1)y =a +bx +3x 2y C C (0,3)OC =330B =20C OB =2B (2,0)A OB OA =OB =112A (1,0)y =a +bx +3x 2A (1,0)B (2,0){0=a +b +3,0=4a +2b +3, a =,32b =−92y =−x +332x 292(2)y =−x +332x 292y =3−x +3=332x 292=0,=3x 1x 2D (3,3)1EP x M P t P (t,−t +3)32t 292PM =−t +332t 292∠COM =∠OCE =∠CEM =90∘OCEM ME =OC =32<t <3d =ME −PM =3−(−t +3)=32t 292−+t 32t 2922t >3d =PM −ME =−t +3−3=−t.32t 29232t 292(3)3O PC PC Q FH N G GT//DF CP T PE x M ∠QOC +∠QCO =,∠QCO +∠FCD =90∘90∘∠QOC =∠FCD OC =CD,∠Q =∠CFD △CQO ≅△DFC CF =OQ,CQ =FD FH ∠CFD ∠CFH =45∘∠FNQ =45∘QF =QN QF −CF =QN −OQ CQ =ON FD =ON CD//x ∠FGD =∠FHB ∠FHB =∠OHA ∠FGD =∠OHN ∠DFG =∠ONH =45∘△FGD ≅△NHO HO =GD ==3CG OHCG GDGT//DF ==3,∠CFD =∠CTG =CT TF CG GD 90∘∠TGF =∠TFG =45∘TG =TF =3CT TG∠FCG ==TG 1∠PCE ==PE 1∴，∴．∵的平分线交轴正半轴于点，∴，∴，∵，∴ ，解得舍去），∴的值为．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：抛物线交轴于点，∴，∴，∵，∴，∴，∵点为中点，∴，∴，∵抛物线经过点点．∴解得．∴抛物线的解析式为；在中，令，即，解得，∴，如图，延长交轴于点，∵点的横坐标为，∴，∴．∵tan ∠FCG ==TG CT 13tan ∠PCE ==PE CE 13∠CFD x H t >3PE =−t 32t 292EC =OM =t =−t 32t 292t 13t =(t =0299t 299(1)y =a +bx +3x 2y C C (0,3)OC =330B =20C OB =2B (2,0)A OB OA =OB =112A (1,0)y =a +bx +3x 2A (1,0)B (2,0){0=a +b +3,0=4a +2b +3, a =,32b =−92y =−x +332x 292(2)y =−x +332x 292y =3−x +3=332x 292=0,=3x 1x 2D (3,3)1EP x M P t P (t,−t +3)32t 292PM =−t +332t 292∠COM =∠OCE =∠CEM =90∘OCEM ME =OC =3∴四边形为矩形，∴．∴当时，，同理，如图，当时，如图，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，过点作交于点，延长交轴于点，∵．∴．∵．∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，即，∴．∵轴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴ ，∵.∴，∴，∴．∴，∴，∴．∵的平分线交轴正半轴于点，∴，∴，∵，∴ ，解得舍去），∴的值为．OCEM ME =OC =32<t <3d =ME −PM =3−(−t +3)=32t 292−+t 32t 2922t >3d =PM −ME =−t +3−3=−t.32t 29232t 292(3)3O PC PC Q FH N G GT//DF CP T PE x M ∠QOC +∠QCO =,∠QCO +∠FCD =90∘90∘∠QOC =∠FCD OC =CD,∠Q =∠CFD △CQO ≅△DFC CF =OQ,CQ =FD FH ∠CFD ∠CFH =45∘∠FNQ =45∘QF =QN QF −CF =QN −OQ CQ =ON FD =ON CD//x ∠FGD =∠FHB ∠FHB =∠OHA ∠FGD =∠OHN ∠DFG =∠ONH =45∘△FGD ≅△NHO HO =GD ==3CG OH CG GD GT//DF ==3,∠CFD =∠CTG =CT TF CG GD 90∘∠TGF =∠TFG =45∘TG =TF =3CT TG tan ∠FCG ==TG CT 13tan ∠PCE ==PE CE 13∠CFD x H t >3PE =−t 32t 292EC =OM =t =−t 32t 292t 13t =(t =0299t 299。

a图 1abbb专题四.转化与分类思想＆.复习目标：1.培养学生分类的意识，训练学生考虑问题的周全，慎密的习惯；2.使学生了解分类的一般原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）分类讨论应逐级进行。

＆.精典例析：一、转化-------解数学题的经典§.例1、已知m 、n 是方程0222=--x x 的两实数根，不解方程求下列各式的值。

（1）nm 1+； （2）nm 11+ 解析:根据一元二次方程根与系数的关系得2=+n m ，2-=mn ，再把原式变形转化为只含有n m +与n m ⋅的代数式。

解:根据题意得：2=+n m ，2-=mn （1）n m 1+0222=+-=+=nn mn ； （2）n m 11+122-=-=+=mn n m . §.例2、已知，如图1，现在有a a ⨯，b b ⨯的正方形纸片和b a ⨯的矩形纸片若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠、也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252b ab a ++，并标出此矩形的长与宽。

解析：把22252b ab a ++化为()()b a b a ++22，并把两因式分别作为矩形的长与宽即可拼出。

答案不唯一，只要符合题意即可。

§.例3、某片绿地的形状如图2所示，其中BC AB ⊥，CD AD ⊥，=∠A ︒60，m AB 200=，m CD 100=，求AD 、BC 的长。

（精确到1米，732.13≈） 解析：先把四边形ABCD 转化成直角三角形，再利用特殊角的三角函数值及解直角三角形的知识求出AD 、BC 的长。

解：延长AD 、BC 交于点E在ABE Rt ∆中，︒=∠60A ，︒=∠90B ，m AB 200= ∴40060cos =︒=ABAE =︒⋅=60sin AE BE 320023400=⨯在CDE Rt ∆中，︒=∠30E ，︒=∠90CDE ，m CD 100= ∴20010022=⨯==CD CE ,31002320030cos =⨯=︒⋅=CE DE ∴2273100400≈-=-=DE AE AD （米）1462003200≈-=-=CE BE BC （米）小结：在解有关多边形或斜三角形的问题时，通常转化为直角三角形来解，从而实现由一般到特殊的目的。

分类讨论思想⏹ 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

⏹ 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。

分类要做到不遗漏，不重复。

分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论思想⏹ 分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

⏹ 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。

一.与概念有关的分类1.一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤ 6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y ≤-2 ，则这个函数的解析式 。

2. 函数y=ax 2-ax+3x+1与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标。

二.图形位置的分类1如图，线段OD 的一个端点O 在直线a 上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个?2在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成腰三角形！3. 如图，直线AB 经过圆O 的圆心，与圆O 交于A 、B 两点，点C 在圆O 上，且∠AOC=300，点P 是直线AB 上的一个动点（与点O 不重合），直线PC 与圆O 相交于点Q ，问点P 在直线AB 的什么位置时，QP=QO ？这样的点P 有几个？并相应地求出∠OCP 的度数。

2题图 3题图 4．在半径为1的圆O 中，弦AB 、AC 的长分别是3、2，则∠BAC 的度数是 。

5．△ABC 是半径为2cm 的圆的内接三角形，若BC=32 cm,则角A 的度数是 。

2022-2023学年初中中考专题数学中考真卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：144 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1. 的倒数是 （ ）A.B.C.D.2. 华为是世界上首款应用纳米手机芯片的手机，纳米就是米，数据用科学记数法表示为 A.B.C.D.3. 下列计算正确的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为 ，则顶角的度数为 （ ）A.B.−3−3313−13mate20770.0000000070.000000007()0.7×10−87×10−87×10−97×10−102⋅a 2a 32a 6(3a 2)39a 6÷a 6a 2a 3(a 2)3a 630∘60∘120∘120∘60∘C. 或D. 或或5. 气象局调查了甲、乙、丙、丁四个城市连续四年的降水量，它们的平均降水量都是毫米，方差分别是，，，，则这四个城市年降水量最稳定的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6. 下列方程中，没有实数根的是( )A.B.C.D.7. 若方程组的解是则方程组的解是A.B.C.D.8. 若干桶方便面摆放在桌子上，下面是实物的三视图，则这一堆方便面共有( )A.桶B.桶120∘60∘150∘120∘60∘320=3.2S 2甲=5.2S 2乙=7.3S 2丙=3.1S 2丁−2x +1=0x 2−2x −1=0x 2−2x +2=0x 2k −x −k =0x 2{2a −3b =13,3a +5b =30.9{a =8.3,b =1.2,{2(x −1)−3(y +2)=13,3(x −1)+5(y +2)=30.9( ){x =8.3,y =1.2{x =9.3,y =−0.8{x =7.3,y =3.2{x =9.3,y =0.856C.桶D.桶9. 不等式组的非负整数解的个数是（ ）A.B.C.D.10. 如图，是的直径，弦与相交，连接，过点作的切线，与的延长线交于点，若，＝，则的度数为（ ）A.B.C.D.11. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是( )A.B.C.D.有两个不相等的实数根12. 如图，在正方形中，为上一点，过点作交于点，交对角线于点，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④，其中正确的个数是( )912 3(x +1)>x −1≥2x −1x +723456AB ⊙O CD AB CO D ⊙O AB E DE //AC ∠BAC 40∘∠OCD 65∘30∘25∘20∘y =a +bx +c(a ≠0)x 2abc >02a +b <03a +c <0a +bx +c −3=0x 2ABCD E BC E EF//CD AD F BD G DG H AH EH FH FH//AE AH =EH AH ⊥EH ∠BAH =∠HEC △EHF ≅△AHDA.个B.个C.个D.个卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13. 分解因式：＝________．14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________.15. 在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果＝，＝，那么＝________．16. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是________．17. 如图，一艘渔船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时渔船与灯塔的距离约为________海里.（结果取整数).(参考数据：，，）43214−16x x 3x =2x k +(−2)x +2k +4=0x 2k 2k △ABC A B AB 12M N MN BC D AD BC 5CD 2AD x +=1m x −131−xm P 30∘18A P 55∘B P sin ≈0.855∘cos ≈0.655∘tan ≈1.455∘18. 方程组的解是________；直线与直线的交点是________.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 9 分 ，共计72分 ）19. （1）计算：（））；（2）．20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校初二年级开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为________度，并将条形统计图补充完整；此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 22. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．求证：；{y =3x −1，y =x +3y =3x −1y =x +3+−2−8cos −(π+60∘0−tan 45∘(m +)÷1m −2−1m 2m −2m =−12(1)(2)ABCD E DC AE BC F AC DF (1)AD =CF (2)ACFD小明说：“添加一个条件，能使四边形是矩形”，你是否同意小明的观点，如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由． 23. 某水果店销售苹果和梨，购买千克苹果和千克梨共需元，购买千克苹果和千克梨共需元．求每千克苹果和每千克梨的售价；如果购买苹果和梨共千克，且总价不超过元，那么最多购买多少千克苹果？ 24. 如图，直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与双曲线交于点，点，关于轴对称，连接，将沿方向平移，使点移动到点，得到．（1）的值是________，点的坐标是________；（2）在 的延长线上取一点 ，过点作轴，交于点，连接，求直线的解析式；(3)直接写出线段 扫过的面积．25. 如图，在中，， 以为直径作，交于点，过点作于点．求证：为的中点；为的切线．26. 如图，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于点 ，其中点的横坐标为．计算，的值；求出抛物线与轴的交点坐标．(2)ACFD 13262122(1)(2)15100xOy :y =l 1tx −t(t ≠0)x y A B :y =(k ≠0)l 2k x D(2,2)B C x AC Rt △AOC AD A D Rt △DEF k A ED M (4,2)M MN//y l 2N ND ND AC △ABC ∠ABC =∠C AB ⊙O BC D D DE ⊥AC E (1)D BC (2)DE ⊙O y =a +c (a ≠0)x 2y =3A B y C(0,−1)A −4(1)a c (2)y =a +c x 2x参考答案与试题解析2022-2023学年初中中考专题数学中考真卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1.【答案】D【考点】倒数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】科学记数法—表示较小的数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵纳米米，∴纳米米．故选．3.【答案】D【考点】整式的混合运算1=1×10−97=7×10−9C【解析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法进行计算即可．【解答】、＝，故错误；、＝，故错误；、＝，故错误；、＝，故正确；4.【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：当高在三角形内部时（如图），顶角是；当高在三角形外部时（如图），顶角是．故选.5.【答案】D【考点】方差【解析】无【解答】A 2⋅a 2a 32a 5B (3a 2)327a 6C ÷a 6a 2a 4D (a 2)3a 6160∘2120∘C解：∵四个城市的平均降水量都相等，且，∴这四个城市年降水量最稳定的是丁．故选．6.【答案】C【考点】根的判别式【解析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式的值，取其小于零的选项即可得出结论．【解答】解：，∵，∴方程有两个相等的实数根，故不符合题意；，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；，∵，∴方程没有实数根，故符合题意；，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意．故选．7.【答案】B【考点】二元一次方程组的解【解析】利用方程组的解是，得得，可得解.【解答】解：因为的解是又方程组<<<S 2丁S 2甲S 2乙S 2丙D ΔA Δ=−4×1×1=0(−2)2B Δ=−4×1×(−1)=8>0(−2)2C Δ=−4×1×2=−4<0(−2)2D Δ=−4×k ×(−k)=1+4>0(−1)2k 2C {2a −3b =133a +5b =30.9{a =8.3b =1.2{x −1=8.3y +2=1.2{2a −3b =13,3a +5b =30.9{a =8.3,b =1.2,{2(x −1)−3(y +2)=13,3(x −1)+5(y +2)=30.9,得所以故选.8.【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图可知，桌子上共有三摞方便面，则它们的盒数是盒．故选.9.【答案】B【考点】一元一次不等式组的整数解【解析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解．【解答】，解①得：，解②得，则不等式组的解集为．故非负整数解为，，，共个10.【答案】C {x −1=8.3,y +2=1.2,{x =9.3,y =−0.8.B 3+2+1=6B 3(x +1)>x −1≥2x −1x +72x >−2x ≤3−2<x ≤301234【考点】圆周角定理切线的性质【解析】连接，如图，先利用平行线的性质得＝＝，再根据切线的性质得，则可计算出＝，接着根据圆周角定理得到＝＝．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．【解答】连接，如图，∵，∴＝＝，∵为切线，∴，∴＝＝，∵＝＝．∴＝＝，∵＝，∴＝＝．11.【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系抛物线与x 轴的交点【解析】根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与轴的交点位置得到，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与轴交于正半轴知，，，故错误；，抛物线对称轴为直线，∴，，故错误；，当时，，故正确；，由图可知，抛物线 与直线有一个交点，OD ∠E ∠BAC 40∘OD ⊥DE ∠DOE 50∘∠BOC 2∠A 80∘∠OCD OD DE //AC ∠E ∠BAC 40∘DE OD ⊥DE ∠DOE −90∘40∘50∘∠BOC 2∠A 80∘∠COD +80∘50∘130∘OC OD ∠OCD ∠ODC =(−)12180∘130∘25∘a <0x =−b 2a b >0y c >0a <0x =−=1>0b 2a b >0y c >0A abc <0A B x =−=1b 2a −b =2a 2a +b =0B C x =−1a −b +c =a +2a +c =3a +c <0C D y =a +bx +c x 2y =3a +bx +c −3=02∴有一个实数根，故错误．故选．12.【答案】B【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论.【解答】解：①在正方形中，，，∵，∴，∴四边形是矩形．在中，，∴∵是的中点．∴∵正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线，∴不垂直于，∴与不平行.∴①不正确．②∵四边形是矩形，∴，，∵平分，∴，∴，∴∴，，∴，∴，∴，∴即，∴.∴②正确．③∵，∴.∵，∴.a +bx +c −3=0x 2D C ABCD ∠ADC =∠C =90∘∠ADB =45∘EF//CD ∠EFD =90∘EFDC Rt △FDG ∠FDG =45∘FD =FG.H DG FH ⊥BD.A BD AE BD FH AE ABEF AF =EB ∠BEF =90∘BD ∠ABC ∠EBG =∠EGB =45∘BE =GE AF =EG.∵FH ⊥BD ，∠AFH =∠AFE +∠GFH =+90∘45∘=135∘∠EGH =−∠EGB =−=180∘180∘45∘135∘∠AFH =∠EGH △AFH ≅△EGH(SAS)AH =EH ，∠AHF =∠EHG ∠AHF +∠AHG =∠EHG +∠AHG ∠FHG =∠AHE =90∘AH ⊥EH △AFH ≅△EGH ∠FAH =∠GEH ∠BAF =∠CEG =90∘∠BAH =∠HEC∴③正确．④∵，，，∴.∴④正确．∴①错误，②③④正确.故选.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13.【答案】【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．【解答】原式＝＝．14.【答案】【考点】根与系数的关系一元二次方程的解【解析】【解答】解：将代入方程中，得.即,解得或.∵是关于的一元二次方程，∴，∴.故答案为：.15.EF =AD FH =DH EH =AH △EHF ≅△AHD(SSS)B 4x(x +2)(x −2)4x 4x(−4)x 24x(x +2)(x −2)−3x =2k +(−2)x =2k +4=0x 2k 24k +2(−2)+2k +4=0k 2+3k =0k 2k =0−3k +(−2)x +2k +4=0x 2k 2x k ≠0k =−3−3【答案】【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，进而得出答案．【解答】由作图步骤可得：垂直平分，则＝，∵＝，＝，∴＝＝＝＝．16.【答案】且【考点】分式方程的解解一元一次不等式【解析】解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据＝是分式方程的增根，求出此时的值，得到答案．【解答】解：去分母得，，解得，由题意得，，解得，，因为是分式方程的增根，所以当时，方程无解，即，所以的取值范围是且．故答案为：且．17.【答案】【考点】3MN AB MN AB AD BD BC 5CD 2BD AD BC −DC 5−23m ≥2m ≠3m x 1m m −3=x −1x =m −2m −2≥0m ≥2x =1x =1m ≠3m m ≥2m ≠3m ≥2m ≠311解直角三角形的应用-方向角问题勾股定理的应用【解析】根据正弦和余弦的定义计算即可．【解答】解：如图：在中，，在中，（海里），故答案为：.18.【答案】,【考点】一次函数与二元一次方程（组）一次函数图象上点的坐标特征一次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：对原方程组使用加减消元法，两式相减得,解得,带入原方程得.所以方程组的解为所以直线与直线的交点为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 9 分 ，共计72分 ）Rt △APC PC =AP ×cos ∠APC =9Rt △PCB PB =≈11PC sin ∠B11{x =2,y =5(2,5)2x −4=0x =2y =5{x =2,y =5,y =3x −1y =x +3(2,5){x =2,y =5；(2,5)原式＝＝＝；原式＝-（＝+-＝．【考点】负整数指数幂实数的运算零指数幂特殊角的三角函数值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：原式 ，当时，原式.【考点】分式的化简求值【解析】4+2−8×4+2−4−18−1+1−1=⋅m(m −2)+1m −2m −2(m +1)(m −1)=⋅(m −1)2m −2m −2(m +1)(m −1)=m −1m +1m =−12==−3−−112−+112解：原式 ，当时，原式.21.【答案】解：.故答案为：.全年级总人数为（人），“良好”的人数为（人），将条形统计图补充完整，如图所示：画树状图，如图所示：共有个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，∴（选中的两名同学恰好是甲、丁）．【考点】扇形统计图条形统计图用样本估计总体列表法与树状图法【解析】由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心距度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；画出树状图，由概率公式即可得出答案．=⋅m(m −2)+1m −2m −2(m +1)(m −1)=⋅(m −1)2m −2m −2(m +1)(m −1)=m −1m +1m =−12==−3−−112−+112(1)×(1−40%−25%−15%)=360∘72∘7245÷15%=300300×40%=120(2)122P ==21216(1)(2)【解答】解：.故答案为：.全年级总人数为（人），“良好”的人数为（人），将条形统计图补充完整，如图所示：画树状图，如图所示：共有个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，∴（选中的两名同学恰好是甲、丁）．22.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵为的中点，∴．∴，∴ ．解：同意．当时，四边形是矩形．理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．【考点】平行四边形的性质全等三角形的性质与判定矩形的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)×(1−40%−25%−15%)=360∘72∘7245÷15%=300300×40%=120(2)122P ==21216(1)ABCD AD//BC AD =BC ∠DAE =∠CFE ∠ADE =∠FCE E DC ED =EC △ADE ≅△FCE(AAS)AD =CF (2)DC =AF ACFD AD//CF AD =CF ACFD DC =AF ACFD (1)ABCD证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵为的中点，∴．∴，∴ ．解：同意．当时，四边形是矩形．理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．23.【答案】解：设每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元，依题意，得：解得：答：每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元．设购买千克苹果，则购买千克梨，依题意，得：，解得：．答：最多购买千克苹果．【考点】二元一次方程组的应用——销售问题一元一次不等式的实际应用【解析】（1）设每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元，根据“购买千克苹果和千克梨共需元，购买千克苹果和千克梨共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买千克苹果，则购买千克梨，根据总价＝单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解答】解：设每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元，依题意，得：解得：答：每千克苹果的售价为元，每千克梨的售价为元．设购买千克苹果，则购买千克梨，依题意，得：，解得：．答：最多购买千克苹果．(1)ABCD AD//BC AD =BC ∠DAE =∠CFE ∠ADE =∠FCE E DC ED =EC △ADE ≅△FCE(AAS)AD =CF (2)DC =AF ACFD AD//CF AD =CF ACFD DC =AF ACFD (1)x y { x +3y =26，2x +y =22，{x =8，y =6.86(2)m (15−m)8m +6(15−m)≤100m ≤55x y 13262122x y m (15−m)×100m (1)x y { x +3y =26，2x +y =22，{x =8，y =6.86(2)m (15−m)8m +6(15−m)≤100m ≤5524.【答案】（1）, 解：(2)∵，轴，交 于点，∴点的横坐标等于，且点在上，，又∵，设直线的解析式为（其中为常数，且 ，则，解得，∴直线 的解析式为 ．【考点】反比例函数综合题【解析】略略略【解答】解：(1)(2)∵，轴，交 于点，∴点的横坐标等于，且点在上，，又∵，设直线的解析式为（其中为常数，且 ，则，解得，∴直线 的解析式为 ．(3)25.【答案】证明：如图，连结.4(1,0)M (4,2)MN//y l 2N N 4N y =4x ∴N (4,1)D (2,2)ND y =ax +b a ，b a ≠0){1=4a +b2=2a +b a =−12b =3ND y =−x +31244，(1,0)M (4,2)MN//y l 2N N 4N y =4x∴N (4,1)D (2,2)ND y =ax +b a ，b a ≠0){1=4a +b2=2a +b a =−12b =3ND y =−x +3124(1)AD∵为直径，∴，又∵，即，为中点.如图，连接.∵为中点，为中点，∴，又，∴，∴为的切线.【考点】切线的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：如图，连结.∵为直径，∴，又∵，即，为中点.如图，连接.∵为中点，为中点，AB ∠ADB =90∘∠ABC =∠C AB =AC ∴D BC (2)OD O AB D BC OD//AC DE ⊥AC OD ⊥DE DE ⊙O (1)AD AB ∠ADB =90∘∠ABC =∠C AB =AC ∴D BC (2)OD O AB D BC OD//AC∴，又，∴，∴为的切线.26.【答案】解：（1）由题意，得抛物线过点，点，∴解得即的值为，的值为．（2）由（1）知，当时，，解得，即抛物线与轴的交点坐标为．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题意，得抛物线过点，点，∴解得即的值为，的值为．（2）由（1）知，当时，，解得，即抛物线与轴的交点坐标为．OD//AC DE ⊥AC OD ⊥DE DE ⊙O y =a +c x 2A (−4,3)C (0,−1){16a +c =3,c =−1,a =,14c =−1,a 14c −1y =−114x 2y =00=−114x 2=−2,=2x 1x 2y =a +c x 2x (−2,0),(2,0)y =a +c x 2A (−4,3)C (0,−1){16a +c =3,c =−1,a =,14c =−1,a 14c −1y =−114x 2y =00=−114x 2=−2,=2x 1x 2y =a +c x 2x (−2,0),(2,0)。

用分类讨论思想解相似图形难题所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。

它的应用大致可分为四个步骤：（1）确定分类对象；（2）合理进行分类；（3）逐步进行讨论；（4）归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用.例1 已知a 、b 、c 为非零实数，且满足k b c a c b a a c b =+=+=+,则一次函数)1(k kx y ++=的图象一定经过（ ）.A 第一、二、三象限B 第二、四象限C 第一象限D 第二象限分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉0=++c b a 的情形，因此可按0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况讨论.解：（1）当0=++c b a 时，1-=-=+=bb bc a k ,此时x y -=，图象过第二、四象限；（2）当0≠++c b a 时，应用等比性质可以得出： 2=+++++++=bc a b a b a c b k ,此时32+=x y 的图象过第一、二、三象限，结合两种情况，函数图象一定过第二象限，故选D.例2 已知线段cm c cm b cm a 3,2,1===,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？分析：因为第四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案.解：设第四条线段为d,让d 分别与1、2、3相乘，得,312,6,321⨯=⨯=⨯=⨯d cm d d ,213,5.1⨯=⨯=d cm d cm d 32=,所以这样的线段有三条，分别为.32,5.1,6cm cm cm 例 3 三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为（ ）.A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形分析：因为只知道两个三角形相似，并没有指定顶点间的对应关系，所以存在多种可能，所以可以把分类点定在顶点对应上.解：（1）已知AD ⊥BC ，如图（1）所示，若△ABD ∽△ACD ，则有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC 为等腰三角形.（2）已知AD ⊥BC ，如图（2）所示，若△ABD ∽△CAD ，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因为∠CAD+∠BAD+∠B+∠C=︒180,所以∠CAD+∠BAD=︒90，即∠BAC=︒90，此时△ABC 为直角三角形，综合上述两种情况，△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.例4 一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与之相似的钢筋三角架，而现在只有30cm,50cm 的两根，现要求其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许剩余，损耗不计）作另两边，则不同的截法有（ ）种.分析：因为只要求两三角形相似，所以存在多种可能，首先在截哪根上，可以发现只能截取50cm 的一根，因为若截30dm 的一根，则不满足三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”.故只能截取50cm 。

2022-2023学年全国初中中考专题数学华师大版中考真卷考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）1. 下列运算有错误的是( )A.8×(−2)×(−12)=8B.−5×(−12)×6=15C.(2−7)×3=15D.−1×(−13)=13 2. 下列运算正确的是( )A.2a +3a =5a 2B.(−ab 2)3=−ab 6C.x 2y ⋅y =x 2y 2D.(a +2b)2=a 2+4b 23. 武汉蔡甸火神山医院，是参照抗击非典期间北京小汤山医院模式，在武汉职工疗养院建设一座专门医院，集中收治“新型冠状病毒”肺炎患者．医院建筑面积25000平方米，25000用科学记数法表示为( )A.25×104B.2.5×105C.0.25×104D.2.5×1044. 如图所示的几何体的左视图是( )8×(−2)×(−)=812−5×(−)×6=1512(2−7)×3=15−1×(−)=13132a +3a =5a 2=−a (−a )b 23b 6y ⋅y =x 2x 2y 2=+4(a +2b)2a 2b 22500025000( )25×1042.5×1050.25×1042.5×104A. B. C. D.5. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，以下列出的方程组正确的是（ ）A.{x +y =100x3+3y =100 B.{x +y =1009x +y =100 C.{x +y =1003x +y3=100 10010033x y { x +y =100+3y =100x 3{ x +y =1009x +y =100{ x +y =1003x +=100y 3D.{x +y =100x +9y =1006. 在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6,8)，B(10,2).若以原点O 为位似中心，将线段AB 缩短为原来的12后得到线段A ′B ′，则点A 的对应点A ′的坐标为( )A.(3,4)B.(3,4)或(−3,−4)C.(4,3)D.(4,3)或(−4,−3)7. 如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是（ ）A.45B.35C.25D.15 8. 关于x 的不等式组{2x +9>6x +1x −k <1的解集为x <2，则k 的取值范围是 （ ）A.k >1B.k <1C.k ≥1D.k ≤19. 边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置，AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合．现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与B 重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象大致是( ){ x +y =100x +9y =100AB A (6,8)B (10,2)O AB 12A ′B ′A A ′(3,4)(3,4)(−3,−4)(4,3)(4,3)(−4,−3)1234545352515x {2x +9>6x +1x −k <1x <2k k >1k <1k ≥1k ≤14ABCD EFG AB EF A F △EFG AB 1F B ABCD △EFG S tA. B. C. D.10. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点(−1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M =4a +2b +c ，则M 的取值范围是( )A.M <2 B.−2<M <0 C.M >−1D.−6<M <6二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）11. 已知在△ABC 中，∠A:∠B:∠C =1:3:5，则△ABC 是________三角形．y =a +bx +c(a ≠0)x 2(−1,0)(0,2)M =4a +2b +cM M <2−2<M <0M >−1−6<M <6△ABC ∠A :∠B :∠C =1:3:5△ABC 212. 一元二次方程 x 2−4x −2=0 的两实数根分别为 x 1，x 2，计算 3x 1x 2−x 1−x 2 的值为________.13. 如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当字母C 第2n −1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是________（用含n 的代数式表示）．14. 如图，在▱ABCD 中，AD >CD ，按下列步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点分别为点F ，G ；②过点F ，G 作直线FG ，交AD 于点E ．如果△CDE 的周长为8，那么▱ABCD 的周长是________．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ）16. 计算：(−1)2016+2sin60∘−|1−√3|+π0．17. 计算：(−13)−2+4×(−1)2019−|−23|+(π−5)0. 18. 九(1)班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查.问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．−4x −2=0x 2，x 1x 23−−x 1x 2x 1x 2A B C D A →B →C →D →C →B →A →B →C →…A 1234C 2n −1n n ▱ABCD AD >CD A C AC 12F G F G FG AD E △CDE 8▱ABCDABCD AB =8BC =4E AB F CD G H AC EGFH AE(−1+2sin −|1−|+)201660∘3–√π0(−+4×(−1−|−|+(π−513)−2)201923)0(1)根据图表提供的信息，解答下列问题：(1)直接写出a ，b ，m 的值；(2)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 19. 在四边形ABCD 中，AB =AD ，对角线AC 平分∠BCD ，我们把这类四边形定义为“准菱形”．(1)如图1，在“准菱形”ABCD 中，若CD =CB ，则∠ADC ________∠ABC （填“<”“=”或“>”）；(2)如图2，在“准菱形”ABCD 中，若CD >CB ，F 是线段CB 延长线上一点且CF =CD ，AF//CD ，试判断四边形AFCD 的形状并证明；(3)如图3，在“准菱形”ABCD 中，若CD <CB,∠BAD =60∘，F 是线段CB 上一点且CF =CD ，点E 在对角线AC 上，且BE//CD ，求证AE =CF.20. 定义新运算：对于实数m ，n 都有m ☆n =m 2n +n ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及除法运算．例如：−3☆2=(−3)2×2+2=20．根据上述知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断方程2x 2−bx +a =0的根的情况． 21.公历3月12日是植树节，为宣传保护树木，激发人们爱林造林的热情，政府投资13万元给某村民小组用于购买与种植A,B 两种树苗共3000棵。

热点专题二 常用的数学思想和方法专题训练四 分类讨论思想一、选择题1.一等腰三角形的两边长分别为5和10，则此等腰三角形的周长为A.20或25B.20C.25D.以上都不对 2.设a 、b 为实数，则下列四个命题中正确的有______________个.①若a+b=0，则|a|=|b| ②若|a|+|b|=0，则a=b=0 ③若a 2+b 2=0，则a=b=0 ④若|a+b|=0，则a=b=0A.1B.2C.3D.43.直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有_____________个.A.4B.3C.2D.1 4.⊙O 中，∠AOB=84°，则弦AB 所对的圆周角是A.42°B.138°C.84°D.42°或138° .5.如图2-1，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论： ①AE=AF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP. 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有图2-1A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题6.已知|x|=3，|y|=2，且x ²y<0，则x+y 的值等于_________________.7.当式子545||2---x x x 的值为零时，x 的值是________________. 8.已知两圆的半径分别是5 cm 和6 cm ，且两圆相切，则圆心距是________________.9.已知⊙O 的直径为14 cm ，弦AB=10 cm ，点P 为AB 上一点，OP=5 cm ，则AP 的长为_______________ cm.10.用16 cm 长的铁丝弯成一个矩形，用18 cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为5 cm 的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为___________________. 三、解答题11.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图(如图2-2).图2-2(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.12.某水果品公司急需汽车，但又无力购买.公司经理想租一辆，一出租公司的出租条件为：每百千米租费110元；一个体出租司机的条件为：每月租800元工资，另外每百千米付10元油费.那么该水果品公司租哪家合算？13.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议.14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，每个选手每人各记1分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和，他们的结果分别是：1 979、1 980、1 984、1 985，经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据，你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗？请试试看！一、选择题1答案：C提示：腰可能是5，也可能为10，但又要考虑三角形的构成条件.2答案：C提示：根据绝对值的性质. 3答案：A提示：分四种情况.如下图.4答案：D提示：弦所对的圆周角有两种情况 5答案：B提示：由旋转可知. 二、填空题 6答案：1或-1提示：|x|=3，|y|=2，所以x=±3，y=±2,再由x ²y<0确定x+y. 7答案：-5 提示：545||2---x x x 的值为零时，分子为0，所以x=±5，但分母不能为0. 8答案：11 cm 或1 cm提示：两圆相切，包括外切和内切. 9答案：4或6提示：点P 为AB 上一点，P 可能靠近A ，也可能靠近B. 10答案：3，5或2，6提示：若以5 cm 的边为底边时，则等腰三角形的面积为15 cm 2.若以5 cm 的边为腰时，则等腰三角形的面积为12 cm 2. 设矩形的一边长为x cm ， 则另一边为(8-x) cm,根据题意，得x(8-x)=15或x(8-x)=12， 解方程x(8-x)=15，得x 1=3，x 2=5. 解方程x(8-x)=12，得x 3=2，x 4=6.∴当矩形面积为15 cm 2时，一边为3 cm ，另一边为5 cm ； 当矩形面积为12 cm 2时，一边为2 cm ，另一边为6 cm. 11解：（1）左视图有以下5种情形（只要画出一种即可）.（2）n=8,9,10,11. 12答案：（1）当行驶里程为8百千米时，两家公司一样合算; （2）当行驶里程大于8百千米时，个体公司合算; （3）当行驶里程小于8百千米时，出租公司合算.提示：根据题意，列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式，然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13答案：（1）y=200x+74 000(10≤x≤30，x为正整数);（2）三种方案：一、A地区甲型2台，乙型28台；B地区甲型18台，乙型2台.二、A地区甲型1台，乙型29台；B地区甲型19台，乙型1台.三、A地区甲型0台，乙型30台；B地区甲型20台，乙型0台.（3）派往A地区乙型30台；B地区甲型20台.提示：设派往A地区x台乙型联合收割机，根据题意列出y与x间的函数关系式，并写出x 的取值范围，然后再根据x的取值范围，确定方案.14答案：有45名选手.提示：设有n名选手，则得分总数必为偶数.2²2)1(-nn=1 984无整数解.由2²2)1(-nn=1 980,解得n1=45，n2=-44（舍去）.。

华东师大版初中数学中考精典试题汇编考点一：化简求值【技巧1：整体代入】例1、已知111-=a ，求222++a a 的值。

解析：()1111111112=+⇒=+⇒-=a a a()121111111222222=+=++=+++=++a a a a a答案：12 【同步练习】1、若16+=a ，则122+-a a 的值为（ A ）A 、6B 、6C 、26-D 、26+ 2、若52-=a ，则1822--a a 的值为（ ）A 、1B 、1-C 、454+D 、25-例2、已知3=+b a ，5-=ab ，求515122-+-b a 的值。

解析：5-=ab 整体代入515122-+-b a 即可化简。

解原式ab b ab a +++=2211()()b a b b a a +++=11()()b a ab a b a ab b +++=()b a ab b a ++=ab1=51-=【同步练习】 1、已知1=abc ，求111++++++++c ac cb bc b a ab a 的值。

（答案：1） 2、已知0132=+-a a ，那么2219294a a a ++--的值为（ A ） A 、3 B 、5 C 、53 D 、56 例3、若a 、b 满足2=+a bb a ，则22224bab a b ab a ++++的值为 ； 【同步练习】1、已知0=++z y x ，求222222222111z y x y x z x z y -++-++-+2、已知0 ab ，b a b a +=-111，则________=+b aa b . 【技巧2：裂项求值】例4、计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22222201911201811411311211 【同步练习】1、观察式子：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯31121311，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯513121531，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯715121751，…，由此计算：201920171751531311⨯++⨯+⨯+⨯ 2、观察下列各等式：211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，…根据你发现的规律，计算：()_____________12432322212=+++⨯+⨯+⨯n n （n 为正整数）3、若n 为正整数，观察下列各式： ①⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯31121311；②⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯513121531；③⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯715121751…… 根据观察计算并填空：（1）____________751531311=⨯+⨯+⨯； （2）()()12121751531311+-++⨯+⨯+⨯n n 【技巧3：倒数求值法】例5、已知三个数x ，y ，z 满足3-=+y x xy ，34=+z y yz ，34-=+x z zx ，求zx yz xy xyz ++的值； 【同步练习】 1、 已知：6111=+b a ，9111=+c b ，15111=+c a ，求acbc ab abc++的值。

中考一元二次方程精彩回眸一元二次方程是中考的重点与热点，对一元二次方程的根本概念和根底知识的考查主要以填空、选择为主，而解答题主要考查方程的解法、方程知识的根本应用和方程知识的综合、探索、分类讨论的能力。

请看例题。

一、开放性问题例1 〔徐州市〕写出一个有实数根的一元二次方程： 。

解析：这样的方程可以写出很多个，只需满足条件b 2–4ac ≥0即可。

如x 2+3x –4 =0，2x 2+x –8=0等。

二、与三角形三边的关系相结合例2 〔嘉兴市〕三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是〔 〕〔A 〕9〔B 〕11 〔C 〕13 〔D 〕11或13 解析：解方程x 2－6x ＋8＝0，得x 1=2，x 2=4。

当x=2时，三角形的三边为2、3、6，因为2+3<6，所以这种情形不成立，舍去。

当x=4时，三角形的三边为3、4、6，此时这个三角形的周长为13，故应选〔C 〕。

三、与分式方程相结合例3 〔大连市〕关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

〔1〕求k 的值；〔2〕求方程x 2＋kx －2＝0的另一个解。

解析：因为311=-+x x ，所以 331-=+x x ， 所以2=x 。

经检验2=x 是原方程的解把2=x 代入方程022=-+kx x 中，解得k=－1〔2〕把k=-1代入方程x 2＋kx －2＝0，得 x 2-x-2=0，解得21=x ，x 2=－1 ∴方程022=-+kx x 的另一个解为x=－1四、规律探索题 例4 〔北京市海淀区〕以下n 〔n 为正整数〕个关于x 的一元二次方程：()><=--+><=-+><=-+><=-n n x n x x x x x x 0130322021012222…… 〔1〕请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；〔2〕请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。

数学华师初三练习题1. 某班级有64名学生，其中男生和女生人数之比为3:2。

如果女生人数增加40%，男生人数增加30%，两者之比变为4:3，那么该班级一开始男生和女生各有多少人？解答：设男生人数为3x，女生人数为2x，则一开始男生人数为3x，女生人数为2x。

女生增加40%，男生增加30%后，女生人数为1.4(2x) = 2.8x，男生人数为1.3(3x) = 3.9x。

根据题意，有2.8x / 3.9x = 4 / 3，解得x = 9。

因此，一开始男生人数为3x = 3 * 9 = 27人，女生人数为2x = 2 * 9 = 18人。

答案：一开始男生人数为27人，女生人数为18人。

2. 若a > b > c > 0，且a + b + c = 1，求证 (a + b) / (b + c) > a / c。

证明：由题意可得，a = b + x，c = b - y，其中x > 0，y > 0。

代入a + b + c = 1，得 (b + x) + b + (b - y) = 1，整理得 3b + x - y = 1。

要证明 (a + b) / (b + c) > a / c，即证明 (b + x) / (b + b - y) > (b + x) / (b - y)。

由于a > b > c > 0，所以 a > c，即 (b + x) / (b - y) > a / c。

又根据题意，有 (b + x) / (b + b - y) - (b + x) / (b - y) = (x - y) / (2b - y) > 0。

因为x > 0，y > 0，所以 (x - y) / (2b - y) > 0。

综上所述，得证 (b + x) / (b + b - y) > (b + x) / (b - y)。

答案：(a + b) / (b + c) > a / c 成立。