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目录实验误差分析与数据处理 (2)1 测量与误差 (2)2 误差的处理 (6)3 不确定度与测量结果的表示 (10)4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13)5 有效数字及其运算规则 (15)6 实验数据的处理方法 (17)习题 (25)实验误差分析与数据处理1 测量与误差1.1 测量及测量的分类物理实验是以测量为基础的。
在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。
所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．。
选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。
一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。
在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。
如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。
为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。
1．直接测量与间接测量测量可分为两类。
一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。
它无须进行任何函数关系的辅助运算。
如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。
另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。
如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224Tl g π=，求得重力加速度g 。
物理量的测量中，绝大部分是间接测量。
但直接测量是一切测量的基础。
不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。
如何运用直接测量量与间接测量量数据处理方法评定测量不确定度[摘要]在实验中测量结果会产生误差，也就会导致不确定度的出现，下面就对直接测量与间接测量数据评定测量不确定度的方式进行分析，说明直接测量与间接测量数据利用合理的处理步骤与方法，并以此获得最佳的估算值，以此提高实验得出结果的质量，从而保证不确定度对其影响最小。
【关键词】测量误差；直接测量；间接测量；数据处理引言在测量中一个变量的改变会影响其他变量，此时的两个变量不一定会形成一个函数关系，此时两个变量之间就存在一种相关度。
按照相关技术规范不同的测量过程其变量间的相关度也存在差异，即相关系数不同。
其表现的就是两个测量变量之间的依赖程度，其计算的方式是利用变量协方差除以各自方差乘积的平方根。
正是因为这样的因素，才会导致在测量中产生不确定度，究其产生的本质因素有：在测量中采用相同的社交，但是在多次测量中会产生读写的误差，在输入量之间就会出现较大的相关性；利用一种实体标准物为标准完成测量，如测量不同对象采用的同一块砝码、标准电阻等标准物，这些标准物所显示的值会导致检测输入量出现相关度；最后是在测量中引入同一个参考数据，如物理常量的引入，即圆周率、重力加速度等，或者某个分子量都会是结果产生相关度，因此在测量中如何处理不确定度就成为了提高测量精度的重要课题。
下面就利用直接测量与间接测量的数据来对其进行评价。
一、测量中不确定度的评价方式在试验中因为数据会产生两种，一种为直接测量数据，另一种则是间接测量，这样不确定度的评定方法也就分为直接与间接两种，测量不确定度的时可以按照以下方式进行：1、直接测量确定在测量中产生的误差有随机和系统两种，在直接进行测量的过程中会伴随有直接测量的随机与系统误差的因素，其主要出现在测量的不同步骤中，即某些操作容易产生直接误差某些则容易导致系统误差。
对残存的误差可以按照不同的不确定标准进行划分，如按照A类和B类对其进行划分，A类是代表随机误差评定结果，而B类则是代表系统误差的评定结果。
绪论大学的物理实验课是高等院校理科的一门必修基础课程，是对学生进行科学实验基本训练，提高学生分析问题和解决问题能力的重要课程。
它与物理理论课具有同等重要的地位。
这里主要介绍测量误差理论、实验数据处理、实验结果表述等初步知识，这是进入大学物理实验前必备的基础。
物理实验可分三个环节：1）课前预习，写预习报告。
2）课堂实验，要求亲自动手，认真操作，详细记录。
3）课后进行数据处理，完成实验报告。
其中：预习报告的要求：1）实验题目、实验目的、实验原理（可作为正式报告的前半部分）。
2）画好原始数据表格，单独用一张纸。
实验报告内容：（要用统一的实验报告纸做）1)实验题目；2)实验目的；3)实验原理：主要公式和主要光路图、电路图或示意图，简单扼要的文字叙述；4)主要实验仪器名称、规格、编号5)实验步骤：写主要的，要求简明扼要；6) 数据处理、作图（要用坐标纸）、误差分析。
要保留计算过程，以便检查；7) 结论：要写清楚，不要淹没在处理数据的过程中；8) 思考题、讨论、分析或心得体会；9) 附：原始数据记录。
测量误差及数据处理误差分析和数据处理是物理实验课的基础，是一切实验结果中不可缺少的内容。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法。
一、测量与误差1、测量：把待测量与作为标准的量（仪器）进行比较，确定出待测量是标准量的多少倍的过程称为测量。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位。
2、测量的分类测量可以分为两类。
按照测量结果获得的方法来分，可分为直接测量和间接测量两类；而从测量条件是否相同来分，又可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。
如用米尺测量物体的长度，用电流表测量电流等。
间接测量是借助函数关系由直接测量的结果计算出的物理量。
1.5 测量结果的不确定度估算1.5.1 不确定度的概念一般来说，真值是无法测得的，因此误差也就无法得到。
我们只能通过一定的方法对测量误差进行估计，这就需要引入不确定度的概念。
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是对被测量的真值所处的量值范围的评定。
我们在表示完整的测量结果时，除给出被测量x 0的量值（一般用被测量的算术平均值来表示），还要同时标出测量的总不确定度∆，写成 0x x ±∆= (P ρ=)（1-11） 式中P 为置信概率，式（1-11）的含义是：区间(0x -∆,0x +∆)内包含被测量x 的真值的可能性是P 。
为了直观地评定测量结果，也常采用相对不确定度的概念。
用U r 表示相对不确定度，则有r 0100%U x ∆=⨯（1-12） 根据估计方法的不同，总不确定度可分为两类分量，一类是可以通过多次重复测量用统计学方法估算出的A 类分量∆A ，另一类是用非统计方法估算出的B 类分量∆B 。
将两类分量按方和根的方法合成，就得到测量结果的总不确定度：Δ（1-13）1.5.2 A 类不确定度分量的估算A 类不确定度分量是指可以用统计学方法估算的分量，一般指随机误差。
具体估算的方法如下：根据误差理论，当重复测量次数足够多时，可求得置信概率为0.95的A 类不确定度分量A 1.96x s ∆= （1-14）式中x s 是算术平均值的标准偏差。
但当重复测量次数较少时，随机误差不再符合正态分布。
这样，需对式（1-14）做一个修正。
即A x tS ∆=（1-15）式中t 是由测量次数决定的修正系数，它的取值与测量次数和置信概率有关。
置信概率为0.95时，t 与不同测量次数n 之间的关系如表1-1所示。
表1-1 t 与不同测量次数n 的对应关系根据重复测量的次数，从表1-1中查出相应的t 值，就可得到修正后的置信概率为0.95的A 类不确定度分量∆A 。
1.5.3 B类不确定度分量的估算1．仪器误差测量仪器和量具本身总是存在一定误差，我们习惯上称之为仪器误差，用符号∆仪表示。
1.2 不确定度与测量结果不确定的表达由于误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。
为了加强国际间的交流与合作，1996年，中国计量科学研究院在国际权威文件《测量不确定度表达指南》的基础上，制定了我国的《测量不确定度规范》。
从此，物理实验的不确定度评定有了国际公认的准则。
下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。
1.2.1 不确定度的概念不确定度是评价测量质量的一个新概念，是表达测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评定。
不确定度反映了可能存在的误差分布范围，是误差的数字指标。
不确定度愈小，测量结果可信赖程度愈高；不确定度愈大，测量结果可信赖程度愈低。
在实验和测量工作中，不确定度是作为估计而言的，因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。
用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。
1.2.2 测量结果的表示和合成不确定度在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。
在这个结果中既要包含待测量的近似真实值，又要包含测量结果的不确定度σ，还要反映出物理量的单位。
因此，要写x 成物理含意深刻的标准表达形式，即（单位） （1—σ±=x x 4）式中x 为待测量；是测量的近似真实值,σ是合成不确定度，一般保留一位有效数字,x 若首数是1或2时可取2位。
这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。
在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值作为近似真实值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次x 测量值就为被测量的近似真实值。
如果要求对被测量进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值或一x 次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。
误差的计算一、单次直接测量误差的计算 在实际工作中，我们有时不可能进行重复的测量，或者在测量精度要求不高的情况下只进行一次的测量，称之为单次直接测量。
在物理实验中，特别是在电学实验中，经常采取单次测量。
因此，如何估计单次测量的误差，是物理实验中的一重要问题。
单次直接测量的测得值就作为其最佳值，其测量误差可以用仪器本身的误差（仪器误差）来计算。
仪器误差是指仪器在规定的作用条件下，正确地使用仪器时，可能产生的最大误差，用Δ仪表示。
对仪器误差的估计，我们可分以下几种情况进行讨论：1、有刻度的仪器仪表 如果未标出精度等级或精密度，取其最小分度值的一半作为测量仪器误差 Δ仪。
2、标有精度的仪器仪表对于标有精度的仪器，可以取精度的1/2作为测量仪器误差Δ仪。
3、标有精度等级的仪器仪表可按仪器的标牌上（或说明书中）注明的精度等级及相关公式计算误差。
4、停表和数字显示的仪器仪表 取末位的1为测量人仪器误差。
仪器误差遵从均匀分布规律，即在误差范围（-Δ仪，+Δ仪）内，各种误差出现的概率都相等。
面在这个误差范围以外，误差不可能出现。
其分布曲线如图所示，这与正态分布是不同。
根据均匀分布理论，仪器的标准误差和仪器误差有如下关系：（6）因此，单次测量的标准绝对误差为：（7） 二、多次直接测量误差的计算在条件许可的情况下，我们总是采用多次测量，求其算术平均值作为最佳值。
设对一个物理量x 进行了n 次等精度测量，测量值为x 1，x 2 ，…，x i ，…，x n 。
则其算术平均值为：（8）其绝对误差为：（9）若测量列中n 次测量结果是唯一值，或测量列算术平均的标准误差，相对于仪器的标准误差非常小，则多次直接测量取，即多次直接测量的误差可以用下式表示：（10）3仪仪∆=σ3仪仪单∆==σσ∑==ni ix n x 11)1()(12--=∑=-n n x xni ixσ⎩⎨⎧<>=)()(仪仪仪σσσσσσσx x x图2-3均匀分布曲线三、间接测量误差计算 在大量的物理实验中，大多数物理量不是直接测得的，而是由直接测量量通过一定的函数关系计算得出的，这就是所谓的间接测量。
测量误差及数据处理技术规范JJG 1027-1991本技术规范对测量误差和数据处理中比较常遇到得一些问题做出统一规定，以便正确地给出和使用测量结果。
本规范适用于测量不确定度的评定，计量器具准确度的评定，及其平时结果的表达。
本规范所研究的测量结果的方差是有限的，例如，在品振频率的误差中，由于噪声导致理论方差发散，而是非有限的*。
除非特别指明，本规范所述处理方法与误差分布无关。
1.一般原理由于存在一些不可避免对测量有影响的原因，导致测量结果中存在误差。
误差的准确值、总体标准差都是未知的，但可以通过重复条件或复现条件下的有限次数测量列的统计计算或其它非统计方法得出它们的评定值。
2.测量误差的种类测量误差是指测量结果与被测量真值之差，它既可用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
按其出现的特点，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2．1系统误差在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
按其变化可分为两类：a 固定值的系统误差。
其值（包括正负号）恒定。
如，采用天平称重中标准砝码误差所引起的测量误差分量。
b 随条件变化的系统误差。
其值以确定的，并通常是已知的规律随某些测量条件变化。
如，随温度周期变化引起的温度附加误差。
2．2随机误差在同一被测量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
它引起对同一量的测量列中各次测量结果之间的差异，常用标准差表征。
对标准差以及系统误差中不可掌握的部分的估计，是测量不确定度评定的主要对象。
2.3粗大误差指明显超出规定条件下预期的误差。
它是统计的异常值，测量结果带有的粗大误差应该按一定规则剔除。
3.误差来源及分解任何详细的误差评定报告，应包括各项误差的完整材料，其中应有评定方法的说明。
3.1误差来源及分解设被测量的真值为0Y ，而测量结果为Y ，则绝对误差Y ∆可表示为：0Y Y Y -=∆ （1.1）本条叙述由测量绝对误差Y ∆分解成可以评定的误差分量K Y ∆的法则。
一、测量误差的基本知识(一)什么是测量误差 前面已经讲述过，在任何测量中，由于各种原因，测量值和真实值之间总是存在着差异，测量值 xi 和真实值 x0 之差就称为测量误差 x x = xi — x0误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终。
每使用一种仪器，进行一次测量， 都会引进误差。
测量所根据的方法和理论越繁多，所用的仪器装置越复杂，所经历的时间越 长，引进误差的机会和可能就越多。
弄得不好，就不一定能达到提高测量精确度的目的。
(二) 误差的性质和来源、系统误差和偶然误差 误差根据其性质分为两类：系统误差和偶然误差。
1．系统误差 系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。
它的来源有 以下几方面： (1) 仪器误差。
这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。
例如， 仪器零点不准，放大器的非线性，照相底板的收缩，在 20℃下标定的标准电阻 30℃下使用 等，产生的误差都属于仪器误差。
(2) 理论(方法)误差。
这是由于测量所 依据的理论公式本身的近似性，或实验条 件不能达到理论公式所规定的要求，或测 量方法所带来的误差。
例如，理论公式中 没有把散热考虑在内，没有把接线电阻和 接触电阻考虑在内；摆的周期公式：T =l2π g 的成立条件是摆角趋于零，这在实际上是达不到的；用伏安法测电阻时电表内阻的影响等，都属于理论（方法）产生的误差。
(3) 个人误差。
这是由于观测者本人 生理或心理特点造成的。
例如，用停表计时，有人常失之过长，有人常失之过短。
系统误差有些是定值的，例如，游标卡尺的零点不准；有些是积累性的，例如，用受热膨胀的钢质米尺进行测量，其指示值就小于真实长度，误差值随待测长度成比例增加；还有些是周期性变化的，例如，图 1—5—1仪器的转动中心读数和刻度盘的几何中心 不重合造成的偏心差就是一种周期性变化的系统误差。
如图 1—5—1 所示，停表秒针的转轴 O 和表盘中心 O 不重合，秒针转过1 4圈时指14.8秒，转过半圈时指30.0秒。
实验理论物理学是一门实验科学，几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理 实验的检验，因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作，正因为如此，物 理实验在物理竞赛中也占有重要的地位，不论是全国物理竞赛，还是国际奥林匹克物理竞赛， 实验内容都要占 30%—50%的比例。
一、 有关实验的基础知识（一）实验误差的概念1、为什么要讨论测量误差 任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量 所具有的客观真实数值，称为真值。
测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、 仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多 数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的 大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。
从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是（3.2 3 3 10 ) 2 . 0m kg ´ ± ，即说明这种合金的密度不会小于 3 3 10 0 . 3 m kg ´ ，不会大于 3 3 10 4 . 3 m kg ´ 。
如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机 的最大和最小质量。
相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。
测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如， 我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操 作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由 此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。
2、实验误差的分类（1）绝对误差和相对误差 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。
1）绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：绝对误差（D ）=) ( ) ( A x 真值 测量值 - 绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。
测量误差的分类在物理实验中，对于待测物理量的测量分为两类：直接测量和间接测量。
直接测量可以用测量仪器和待测量进行比较，直接得到结果。
例如用刻度尺、游标卡尺、停表、天平、直流电流表等进行的测量就是直接测量。
间接测量则是不能直接用测量仪器把待测量的大小测出来，而要依据待测量与某几个直接测量量的函数关系求出待测量。
例如重力加速度，可通过测量单摆的摆长和周期，再由单摆周期公式算出，这种类型的测量就是间接测量。
（1）按照误差的表示方式可分为绝对误差、相对误差和引用误差等三种。
绝对误差被测量的测得值与其真值之差。
即：绝对误差=测得值一真值绝对误差与测得值具有同-量纲。
与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值，即修正值=-绝对误差=真值-测得值从上式可知，含有误差的测得值加上修正值后就可消除误差的影响。
相对误差绝对误差对被测量真值之比的百分率。
即：相对误差可以比较确切地反映测量的准确程度。
例如，用两台频率计数器分别测量准确频率分别为f1=1000Hz和f2=1 000 000Hz的信号源，其绝对误差分别为△f1=1Hz和△f2=10Hz。
尽管△f2大于△f1，但并不能因此而得出对f1的测量较f2准确的结论。
经计算，测量f1的相对误差为0．1%，而测f2的相对误差为0．001%，后者的测量准确程度高于前者。
相对误差又叫相对真误差。
引用误差引用误差是一种简化的和实用的相对误差，常在多档量程和连续分度的仪器、仪表中应用。
在这类仪器、仪表中，为了计算和划分仪表准确度等级的方便，一律取该仪器的量程或测量范围上限值作为计算相对误差的分母，并将其结果特称为引用误差，即常用的电工仪表分为±0．1、±0．2、±0．5、±1．0、±1．5、±2．5和±5．0七级，就是用引用误差表示的，如±1．0级，表示引用误差不超过1．0%。
（2）按性质和特点可分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。
误差一、直接测量和间接测量在物化实验中需对某些物理量进行测量，以便寻找出化学反应中的某些规律，测量又可分为直接测量和间接测量。
直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。
如用温度计测量温度，用米尺测量长度，用压力计测量压力等。
另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示，而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。
如用凝固点降低法测溶质的分子量，就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据，再用冰点降低公式进行数学运算后，方可得到溶质的分子量。
在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确，测量方法的不完善，都使得测量结果不准确，以致于偏离真实值，这就是误差。
在间接测量中由于直接测量的结果有误差，此误差可传递到最后的结果中，也可使其偏离真实值。
由上所述，可知误差存在于一切测量之中，所以讨论误差，了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。
实验误差的分析，对人们改进实验，提高其精密度和准确度（精密度和准确度的意义在以后讨论），甚至新的发现都具有重要的意义。
二、真值真值是一个实际上不存在的值，它只是一个理论上的数值。
例如，我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准，又如，可用理论安培作为电流的计量标准，其定义为：若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体，在其上流过一安的电流时，则在二导体间产生10-7牛顿／米的相互作用力。
这样的参考标准实际上是不存在的，它只存在于理论之中，因此这样的真值是不可知的。
但人类的认识总是在发展的，能够无限地逐渐迫近真值。
由于真值是不可知的，所以一般国家（或国际上）都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。
指定以它的数值作为参考标准。
例如，以国家计量局的铯射束原子频率标准中，铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9，129，631，770赫。
这样的参考标准叫做指定值。
在实际工作中，我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比，所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。
间接测量的误差估算间接测量是指通过其他量的测量结果推导出所要测量的量的方法，例如通过测量物体的体积和密度来推算物体的质量。
由于间接测量过程中存在多个步骤和不确定因素，因此其误差估算也相对复杂。
以下是间接测量的误差估算相关内容。
一、误差来源1.人为错误：如读数时的误差、操作失误等。
2.仪器误差：如仪器零点漂移、仪器灵敏度误差等。
3.物理条件影响：如温度、湿度等环境因素对测量结果的影响。
4.样品本身特性：如样品表面形态、含杂质等因素对测量结果的影响。
二、误差传递间接测量过程中，误差可以随着传递累积，从而使得最终结果的误差变大。
误差传递的计算方式如下：1.相对误差的传递：可以通过相对误差的传递计算各个步骤的相对误差和总误差。
步骤的相对误差可以通过仪器的灵敏度、测量的方差等进行估算。
2.标准偏差的传递：可以通过标准偏差的传递计算各个步骤的标准偏差和最终结果的标准偏差。
标准偏差是由误差的方差计算得到的。
三、误差估算误差估算是对间接测量结果的误差进行定量评价的过程。
误差估算的主要方法包括：1.数据分析法：可以通过对多组测量数据进行分析来估算误差。
3.传递误差法：可以通过牛顿迭代法或者蒙特卡罗方法来估算误差。
四、误差控制误差控制是指在间接测量的过程中，通过采用一定的措施来减小误差的影响，从而提高测量结果的精度。
误差控制的方法包括：1.标定和校准：通过对仪器的标定和校准，可以减小仪器误差。
2.精细测量：在进行间接测量时，应该选择精度更高的仪器和测量方法来进行测量。
3.重复测量：可以通过多次测量来减小误差的影响。
4.数据处理：通过对测量数据的处理，比如去除异常值等措施，可以减小误差的影响。
总之，间接测量的误差估算是一个复杂的过程，需要多方面的考虑。
在进行间接测量时，要注意各个步骤的误差累积和传递，同时采取一定的方法来减小误差的影响，从而提高测量结果的精度。
间接测量值的误差估算
设N 为间接测得量，而A 、B 、C ……为直接测的量，
A A A ∆±=，B
B B ∆±=，C
C C
∆±=。
它们之间满足一定的关系，即
....)
,,(C B A f N =
那么我们如何求得
???,?,?,±===∆=N E N N N
1、 加减法运算中的误差 规律：先算绝对误差
如果....C B A N ±±=则绝对误差.......
C B A N
∆+∆+∆=∆
近似真值为....C B A N ±±= 相对误差为N
N E N ∆=
N
N N ∆±=
2、 乘除法运算中的误差 规律：先算相对误差
如果C B A N C B A N /....⨯=⨯⨯=或
则相对误差...........+∆+
∆+
∆=
+++=C
C B
B A
A
E E E E C B A N
近似真值为..../....C B A N C B A N ⨯=⨯⨯=或 绝对误差为N
E N N ⋅=∆
N
N N ∆±=
测量一段金属管外径，内径，高
1、
h d d V ⨯-⨯
=
)
(4
2
221'
π
C B A N ⨯⨯=
乘除发运算中的误差先算相对误差 即'
V N =
C B A N E E E E ++=
C
C B
B A A ∆+∆+∆=（书上第9页）
则h d d
v E E E E E ++=-)
(4
2
221
)(π例题中为
h
h d d
d d ∆+
--∆+
=)
()(022
21
2
22
1（例题中第一式）
2、
令2
22
1
d d N -=
则按照B A N -=的情况，加减法运算中的误差先算绝对误差
B A
N
∆+
∆=
∆（书上第8页）
即
)()
()
(2
22
12
22
1d d d d ∆+
∆=
-∆（例题中第二式）
3、
令112
1
d d d N ⨯==
则按照B A N ⨯=的形式应该为乘除法运算中的误差先算相对误差 即B A N E E E +=
1
12
211111d d E E E E d d d d d ∆==+=⨯
因为例题中是求)(21d ∆的结果，所以按照
N N N E ∆=⋅
112
11111()()()()d d d d d d d E ⨯∆=∆⨯=⨯⋅
111111111
2()2()2d d d d E d d d d d ∆=⨯⋅=⨯⋅
=∆（例题中第三式）
因为h d d V ⨯
-⨯
=
)
(4
2
221'
π
是乘法的形式，所以要先求相对误差v E ，我们在求出
相对误差后再求绝对误差v E V V ⨯=∆'
（例题中最后一式）。
