间接测量值的误差估算
设N 为间接测得量，而A 、B 、C ……为直接测的量，
A A A ?±=，B
B B ?±=，C
C C
?±=。
它们之间满足一定的关系，即
....)
,,(C B A f N =
那么我们如何求得
???,?,?,±===?=N E N N N
1、 加减法运算中的误差 规律：先算绝对误差
如果....C B A N ±±=则绝对误差.......
C B A N
?+?+?=?
近似真值为....C B A N ±±= 相对误差为N
N E N ?=
N
N N ?±=
2、 乘除法运算中的误差 规律：先算相对误差
如果C B A N C B A N /....?=??=或
则相对误差...........+?+
?+
?=
+++=C
C B
B A
A
E E E E C B A N
近似真值为..../....C B A N C B A N ?=??=或 绝对误差为N
E N N ?=?
N
N N ?±=
测量一段金属管外径，内径，高
1、
h d d V ?-?
=
)
(4
2
221'
π
C B A N ??=
乘除发运算中的误差先算相对误差 即'
V N =
C B A N E E E E ++=
C
C B
B A A ?+?+?=（书上第9页）
则h d d
v E E E E E ++=-)
(4
2
221
)(π例题中为
h
h d d
d d ?+
--?+
=)
()(022
21
2
22
1（例题中第一式）
2、
令2
22
1
d d N -=
则按照B A N -=的情况，加减法运算中的误差先算绝对误差
B A
N
?+
?=
?（书上第8页）
即
)()
()
(2
22
12
22
1d d d d ?+
?=
-?（例题中第二式）
3、
令112
1
d d d N ?==
则按照B A N ?=的形式应该为乘除法运算中的误差先算相对误差 即B A N E E E +=
1
12
211111d d E E E E d d d d d ?==+=?
因为例题中是求)(21d ?的结果，所以按照
N N N E ?=?
112
11111()()()()d d d d d d d E ??=??=??
111111111
2()2()2d d d d E d d d d d ?=??=??
=?（例题中第三式）
因为h d d V ?
-?
=
)
(4
2
221'
π
是乘法的形式，所以要先求相对误差v E ，我们在求出
相对误差后再求绝对误差v E V V ?=?'
（例题中最后一式）。
一、问题的提出 在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式 式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。 但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。 二、公式的数学推导 在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为: 测量结果的最佳估计值为: 则测量结果的不确定度评定为: 对式(5)求方差有 设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=
由(4)式有=σ2/p i 从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导: 由残差νi=x i-i=1，2，……n 对νi单位权化 由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi 可得单位权标准差的估计值 将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值
从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。 三、公式选用的一般原则 笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。 1.各测量值的标准差未知时 显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(1)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。 2.各测量值的标准差已知时 当已知测量值x i和其标准差σi时，有两种方法计算的标准差:第一种 方法是用公式(1)进行计算，第二种方法是用公式(2)进行计算。前面已述这两种方法在理论上是不相等的。两种方法的区别是:第一种方法是根据已知的σi计算，没有用到测量数据x i。而第二种方法既用到了σi(确定权)，也用到了测量数据x i(计算残差)。公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，只有n足够大，即观测数据足够多时，该公式才具有实际意义。所以，根据前面的推导分析，当测量次数较少时，考虑到随机抽样取值的分散性，建议采用公式(1)进行不确定度评定，当测量次数较多时，采用公式(2)评定不确定度更能真实地反映出这一组数据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，也包含了由系统效应引起的不确定度，因而更具有实验性质。现在的问题是，测量次数究竟为多少时才是较少或较多呢？根据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标 准差的关系为:，当σ一定时，n>10以后，已减少得非常缓慢。所 以常把n=10作为一个临界值。综上所述，当测量次数n<10时，用公式(1)进行计算效果较好；当测量次数n≥10时，采用公式(2)来评定不确定度会更客观一些。另外，还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性测量，这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大时且本次测量条件与以前的测量条件变化不大时，两个公式计算的结果应近似相等。否则本次测量数据可能存在系统误差。 四、实例
通用卡尺示值误差测量结果的不确定度评定 1.概述： 1.1测量依据：JJG30—2012《通用卡尺检定规程》。 1.2环境条件：温度22℃±5℃,湿度≤60%。 1.3测量标准：3级量块或5等量块。 1.4被测对象的测量范围、分度值（分辨力）、示值误差如下： 1.5测量方法 对于测量范围小于300mm的卡尺，测量点的分布不少于均匀分布的3点，对于测量范围大于500mm卡尺，测量点的分布不少于均匀分布的6点。被测卡尺各点示值误差以该点读数值（示值）与量块尺寸（测量标准）之差确定。 1.6测量模型 对分度值为0.02,测量范围为（0～200）mm游标卡尺191.8mm点示值误差校准的测量不确定进行评估。 2.数学模型 通用卡尺示值误差 e=L d - L s +L d·αd·△t d- L s·αs·△t s （1）式中：e—卡尺的示值误差； L d—卡尺的误差值； L s—量块的示值。 考虑到温度偏离20℃时，线膨胀系数及温度差的影响，上述公式可用以下形式表示 e=L d - L s +L d·αd·△t d- L s·αs·△t s （2）式中：e—卡尺的示值误差；
L d —卡尺的读数值(20℃条件下)； L s —量块的示值(20℃条件下)； αd 、αs —卡尺和量块的线膨胀系数； △t d 、△t s —卡尺和量块的偏离标准温度20℃的值。 3.方差和灵敏系数 由于△t d 和△t s 基本是采用同一支卡尺测量而具有相关性，其数学处理过程比较复杂，为了简化数学处理过程，需要通过如下方法将相关转化为不相关。 令δα=αd -αs δt=△t d -△t s 取L≈L d ≈L s α=αd =αs △t =△t d =△t s 得如下示值误差的计算公式： e =L d - L s +L·δα·△t - L·α·δt （3） 由公式（3）可以看出，各变量之间彼此不相关，由公式)()( 22 2 i i c x u f u ???=χ得： u c 2 =u 2(e )=c 12·u 12+ c 22·u 22+ c 32·u 32 +c 42·u 42 （4） 式中：11=??= d L e c 12-=??=s L e c t L e c ??=??= δα3 αδ?=??=L t e c 4 公式（4） 中u 1,u 2,u 3,u 4分别表示L d ， L s ，δα，δt 的标准不确定度。 4.标准不确定度评定 4.1游标卡尺读数的对线误差估算的标准不确定度分量u 1 分度值为0.02mm 的游标卡尺, 对线误差分布区间为0.01mm,为均匀分布，故标准不确定度u 1 为 3 2)01.0(1?= mm u =2.89μm 4.2校准用3级量块估算的测量不确定度分量u 2 测量用的3级量块的长度尺寸偏差0.80 μm +16×10-6L (L —测量长度mm)，为均匀分布，当被测尺寸在191.8mm 的情况下，故测量不确定度u 2为 u 2= =?+732 .11918 .0168.0 2.23μm 4.3卡尺和量块的热膨胀系数差估算的测量不确定度分量u 3
第一章测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，
第三节 误差的估算 由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。 一、直测量的误差估算 1．算术平均误差 在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ?。 按定义 ∑=-=?n i i X X n X 101 或 ∑=?=?n i i X n X 1 1 其中0X X X i i -=?。 当n 较大时，可用下式估算为 () 1--= ?∑n n X X X i 此法比前法得到的偏差要大些。 2.绝对误差 误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ?，X ?。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差 绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为 %100??= X X E r 广义地讲，后面要讨论的 X S x 、 X σ 等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差) 按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即
()∑=-=n i i x X X n 1 201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。 实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。 由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： () ∑=--=n i i x X X n S 1 2 11 或 ?? ??????????? ??--=∑∑==2 112 111n i i n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差 算术平均值的标准差与实验标准差的关系为 x x S n S ?= 1 类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系 X n X ??= ?1 而且x S X 80.0≈?。 二、间测量的误差计算（误差的传递） 上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。 1.误差传递公式的一般形式 设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,= 测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ?±=
数字指示秤示值误差测量结果不确定度报告 一、概述 依据JJG555—1996 《非自动秤通用检定规程》 JJG539—1997 《数字指示秤》 JJF 1059—1999 《测量不确定度评定与表示》 JJF 1001—1998 《通用计量术语及定义》 在环境温度为28.4℃，湿度为47%的条件下，用标准器为M1等级标准砝码（0～2）kg，对检定分度值为e =1g ，最大秤量 2kg ，最小秤量20g的（Ⅲ）数字指示秤进行检定，对其最大秤量2kg点测量十次，得到数据如下：（g） 二、建立数学模型 E =P – m 式中： E —数字指示秤的示值误差； P —数字指示秤的示值； m —标准砝码质量值。 其灵敏系数为： 1 1 = ? ? = P E c 1 2 - = ? ? = m E c
三、分析不确定度来源 1.测量重复性引起的不确定度u (P 1) 2.电源电压稳定度引起的不确定度u (P 2) 3.偏载测量引起的不确定度u (P 3) 4.使用标准砝码引起的不确定度u (m ) 四、评定各分量的不确定度 1.测量重复性引起的不确定度u (P 1) 据贝塞尔公式得出单词测量标准差为： 1 12 --=∑=n P P s n i i ）（ ≈0.063g 平均值标准差： ()() g 020.010 063 .010====s P s P u 故： u (P 1) =|C1|() P u =|C1|*0.020 =0.020g 2.电源电压稳定度引起的不确定度u (P 2) 电源电压在规定条件下变化可能会造成的示值变化为： ±0.2e(e=1g) 即±0.2g 区间半宽a=0.2 其服从均匀分布，包含因子k=3 有
浙江广厦建设职业技术学院 20 /20 学年第学期 课题：第五章测量误差基本知识 第一讲测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差 课型：讲授 教学目的与要求： 1．了解测量误差产生的原因； 2．理解衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性。 3．掌握系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 教学重点、难点： 重点：衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 难点：系统误差与偶然误差的特性；算术平均值中误差的计算公式。 采用教具、挂图：多媒体课件 复习、提问： 1．粗差是不是误差？ 2．系统误差与偶然误差的特性？ 3．系统误差与偶然误差消除或减弱的方法有何区别？ 4．距离测量用什么来衡量其精度的标准？ 5．观测值的中误差与算术平均值的中误差是否一样？ 课堂小结： 本次课主要学习了测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差，应使学生重点掌握衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 作业：2、3、5、6 课后分析：
复习(5min): 1．方位角、象限角的概念？ 2．标准方向的种类有哪三种？ 3．方位角、象限角有何应用？ 第五章测量误差基本知识 第一讲测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差 测量误差及其分类(40min) 误差就是某未知量的观测值与其真值（理论值）之差。 一、测量误差产生的原因 所有测量工作都是观测者使用测量仪器和工具，在一定的外界条件下进行的，因此测量误差产生的原因主要有以下几方面。 1．观测者 2．测量仪器和工具 3．外界条件的影响 人、仪器和外界条件是引起测量误差的主要因素，通常把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许存在的。 二、测量误差的分类 测量误差按照对观测结果影响的性质不同，可分为系统误差和偶然误差两大类。 （一）系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它具有一定的规律性，一般可采用以下方法消除或减弱其影响。 (1)用计算的方法加以改正。 (2)检校仪器。 (3)采用合理的观测方法，可使误差自行消除或减弱。 （二）偶然误差 1、偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都没有表现
测量误差的分类以及解决方法 1、系统误差 能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。系统误差越小，测量结果的准确度就越高。 2、偶然误差 偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。 系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。 3、疏失误差 疏失误差是测量过程中操作、读数、记录和计算等方面的错误所引起的误差。显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。 解决方法： 仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。 消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。所以应根据测量的要
求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。 1、系统误差的消除方法 (1)对测量仪表进行校正在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。 (2)消除产生误差的根源即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。 采用特殊的测量方法如正负误差补偿法、替代法等。例如，用电流表测量电流时，考虑到外磁场对读数的影响，可以把电流表转动180度，进行两次测量。在两次测量中，必然出现一次读数偏大，而另一次读数偏小，取两次读数的平均值作为测量结果，其正负误差抵消，可以有效地消除外磁场对测量的影响。 2、偶然误差的消除方法 消除偶然误差可采用在同一条件下，对被测量进行足够多次的重复测量，取其平均值作为测量结果的方法。根据统计学原理可知，在足够多次的重复测量中，正误差和负误差出现的可能性几乎相同，因此偶然误差的平均值几乎为零。所以，在测量仪器仪表选定以后，测量次数是保证测量精密度的前提。 . 容：
指示表的示值误差测量结果的不确定度分析 1测量方法 依据《JJG34-2008指示表（指针式、数显式）检定规程》、《JJG35-2006 杠杆表检定规程》、《JJF1102-2003内径表校准规范》、《JJG379-2009大量程百分表检定规程》、《JJG830-2007深度指示表检定规程》，《JJG109-2004百分表式卡规检定规程》、《JJF1253-2010带表卡规校准规范》、《JJF1255-2010厚度表校准规范》、依据《JJF1059.1-2012测量不确定度评定与表示》要求，指示表示值误差是用相应准确度等级的指示类量具检定仪,按规定的测量间 隔在正向进行检定,取正行程中的各受检点误差中最大值与最小值之差 作 为全量程的示值误差。 2测量模型 现对量程为10mm 指示表(分度值为0.01mm)的10mm 点和量程为1mm 的 指示表(分度值或分辨力为0.001mm)1mm 点的示值误差测量结果不确定度进 行分析计算。 指示表的示值误差e : =e d L -S L +d d d t L ???αΔt d -s S S t L ???αL S (1.1) 式中： d L ------指示表的示值（20℃条件下） S L ------检定仪的示值（20℃条件下） αd 、αs ------分别为指示表和检定仪的线胀系数 Δt d 、Δt s ------分别为指示表和检定仪偏离温度20℃时的数值 令 s d ααδα-=;s d t t t ?-?=δ 取 s d L L L ≈≈；α≈αd ≈αs ;s d t t t ?≈?≈? 得 =e d L -S L +t L t L δαδα??-??? (1.2)
第五章 测量误差及其处理的基本知识 1、测量误差的来源有哪些？什么是等精度测量？ 答：测量误差的来源有三个方面：测量仪器的精度，观测者技术水平，外界条件的影响。该三个方面条件相同的观测称为等精度观测。 2、什么是系统误差？什么是偶然误差？它们的影响是否可以消除？ 答：系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。系统误差的影响采取恰当的方法可以消除；偶然误差是必然发生的，不能消除，只能削弱偶然误差的影响。 3、举出水准测量、角度测量及距离测量中哪些属于系统误差？ 答：水准仪的i 角误差，距离测量时钢尺的尺长误差，经纬仪的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等都属于系统误差。 4、评定测量精度的指标是什么？何种情况下用相对误差评定测量精度？ 答：测量中最常用的评定精度的指标是中误差，其绝对值越大精度越低。当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，采用相对误差作为衡量观测值精度的标准。例如距离丈量，采用往返丈量的相对误差作为评定精度的指标。 所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示K =| |/1||m D D m = 。 5、观测值中误差如何计算？ 答：设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即 11L x v -= 22L x v -= ．．．．．． n n L x v -= 则中误差 [] 1-±=n vv m 6、算术平均值及其中误差如何计算？
卡尺示值误差测量结果的不确定度 页 码 第1页，共6页 制作 日期 核准 日期 1．概述： 1.1 测量方法：依据QJ/JJ 05.03.15-98 1.2 环境条件：温度：20±5℃ 湿度：75%以上 1.3 测量标准：三个规格为51.2mm,121.5mm,191.8mm 的量块 1.4 被测对象：分度值为0.01mm 的三把相同量程的卡尺,最大允许示值误差为±0.01mm 1.5 测量过程：卡尺示值误差是以三个量块进行校准的。 1.6 评定结果的使用 在符合上述条件下的测量结果,一般可直接使用本不确定的评定结果。 2.数学模型 e=L-L b e 卡尺的最大允许示值误差 L 尺的示值 L b 量块的长度尺寸 3.输入量的标准不确定的评定 3.1输入量L 的不确定度主要来源于卡尺分度值量化误差的不确定度，采用B 类方法进行评定。卡尺的分度值为0.01mm,量化误差为?? ? ??201.0mm,估计其为均匀分布,包含因子为3,标准不确定度U(L)为 U(L)=3 201.0m m ??? ??=0.0029mm=2.9um 由以上计算可得,U(L)可视为确定已知量,则自由度V(L) ∞ 3.2 输入量L b 的不确定度来源主要是测量重复性引起的标准不确定度U(L b )评定,可以通过连续测量得到测量列(采用A 类方法进行评定)。用三把相同量程的卡尺对三个量块连续测量10次得到的数据见第四页以卡尺A 、B 、C 对量块51.2mm 测量的10个数据为例. <1>求其平均值 bA L = n 1 ()2.5119.5119.5119.5110 1 1 ++??++= ∑=n i bA L =51.195mm
评定精度的标准 一、评定精度的标准 为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。 １.中误差 1）用真误差来确定中误差 设在相同观测条件下，对真值为的一个未知量进行次观测,观测值结果为，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n。则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用表示,称为观测值中误差。 式中：观测次数 —称为观测值中误差(又称均方误差) 为各个真误差△的平方的总和。 上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。 【例题】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组：+2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞
乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为： 由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。 2）用观测值的改正数来确定观测值的中误差 在实际测量工作中，观测值的真误差往往是不知道的，因此，真误差也无法求得，所以常通过观测值的改正数V i 来计算观测值中误差。即： V i=L-L 1 (i=1,2.....,n) [] 1 -± =n vv m 3）算术平均值中误差 算术平均值L 的中误差M ，按下式计算： [] () 1-± ==n n vv n m M
示值误差的理解与描述 平夏王国民童云飞 （无锡市计量测试中心214101） 【摘要】：本文通过理论与实际的结合，讨论了示值误差与最大允许误差、测量不确定度的联系与区别，明确了如何在实际工作中正确理解和描述示值误差。 【关键词】：示值误差，理解，描述 0 引言 作为一名检测人员，“示值误差”无时无刻围绕在身边，可以说它是我们工作中最为密切的伙伴。好多人认为它是一个很容易理解的概念，但往往在实际工作中会犯错误，可能回引起较为严重的后果，那么如何避免犯错，本文以长度计量为例，探讨了如何准确理解和描述示值误差。 1概述 计量器具指示的测量值与被测量的实际值之差，称为示值误差。它是由于计量器具本身的各种误差所引起的。该误差的大小可以通过对计量器具的检定/校准来得到，当接受高等级的测量标准对其进行检定或校准时，该测量标准器复现的量值即为约定真值，通常称为实际值或标准值。所以，测量仪器的示值误差＝示值—标准值。 确定测量仪器示值误差的大小，是为了判定测量仪器是否合格，并获得其示值的修正值。对测量仪器，由规范、规程等所给定的允许的误差极限值，称为测量仪器的最大允许误差。通常可简写为MPE，有时也称为测量仪器的允许误差限。最大允许误差可用绝对误差、相对误差或引用误差来表述。 表征合理的赋予被测量值的分散性，与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。反过来，也表明该结果的可信赖程度。它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所测结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。 要区别和理解测量仪器的示值误差、测量仪器的最大允许误差和测量不确定度之间的关系。示值误差和最大允许误差均是对测量仪器本身而言，最大允许误差是指技术规范(如标准、检定规程)所规定的允许的误差极限值，是判定是否合格的一个规定要求，而示值误差是测量仪器某一示值其误差的实际大小，是通过检定、校准所得到的一个值，可以评价是否满足最大允许误差的要求，从而判断该测量仪器是否合格，或根据实际需要提供修正值，以提高测量仪器的准确度。测量不确定度是表征测量结果分散性的一个参数，它只能表述一个区间或一个范围，说明被测量真值以一定概率落于其中，它对测量结果而言，以判定测量结果的可靠性。测量不确定度不能代替测量仪器的误差，因为它无法得到修正值。 综上所述，规定了最大允许误差作为测量仪器的特性，通过检定、校准去确定示值误差，用测量不确定度来表征示值误差的可靠程度。 2如何确定示值误差 通过数据处理，确定示值误差，大家可能认为是较为简单的问题，但往往会出错，特别是刚上岗的检测人员。首先大家要清晰牢记：示值误差=示值—标准值（实际值），不要自以为是，也不要偷工减料。举几个例子说明。 外径千分尺某一校准点的示值误差：δ=X i-L i= X i-(L i′+e)= X i-L i′-e 其中：δ-----示值误差 X i----千分尺在该点的示值 L i-----量块的实际值
6-7 加权平均值及其中误差 一、不等精度观测和观测值的权 在测量实践中，除了等精度观测之外，还有不等精度观测。此时，求多次观测的最或然值就不能简单地用算术平均值，而是需要用“加权平均值”的方法求解。 某一观测值或观测值的函数的误差越小（精度越高），其权越大；反之，其误差越大（精度越小），其权越小。一般用“”表示中误差，用“P”表示权，并定义：“权与中误差的平方成反比”，以公式表示为 （6-26） 式中，C为任意常数。等于1的权称为“单位权“，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用表示。因此，权的另一种表达式为 （6-27） 中误差的另一种表达式为 （6-28） 在测量工作中，为了使权的概念简单明了，一般取一次观测、一个测回或单位长度（1m 或1km ）等的测量误差作为单位权中误差。 二、加权平均值及其中误差 对某一未知量进行一组不等精度观测：，其中误差为，则观测值的权为。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值： 上式可以写成线性函数的形式： 根据线性函数的误差传播公式，得到 上式可化为
因此，加权平均值的中误差为 （6-29） 加权平均值的权为所有观测值的权之和： （6-30） 三、单位权中误差的计算 在处理不等精度的测量成果时，需要根据单位权中误差来计算观测值的权和加权平均值的中误差。单位权中误差一般取某一类观测值的基本精度，例如，水平角观测的一测回的中误差等。根据一组对同一量的不等精度观测，可以估算本类观测值的单位权中误差。 如对同一量的n个不等精度观测，得到 …. 取以上各式的总和，并除以n，得到 用真误差代替中误差，得到在观测量的真值已知时用真误差求单位权中误差的公式： （6-31） 在观测值的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值代替真值；用观测值的改正值代替真误差，得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式； （6-32）
间接测量值的误差估算 设N 为间接测得量，而A 、B 、C ……为直接测的量， A A A ?±=，B B B ?±=，C C C ?±=。 它们之间满足一定的关系，即 ....) ,,(C B A f N = 那么我们如何求得 ???,?,?,±===?=N E N N N 1、 加减法运算中的误差 规律：先算绝对误差 如果....C B A N ±±=则绝对误差....... C B A N ?+?+?=? 近似真值为....C B A N ±±= 相对误差为N N E N ?= N N N ?±= 2、 乘除法运算中的误差 规律：先算相对误差 如果C B A N C B A N /....?=??=或 则相对误差...........+?+ ?+ ?= +++=C C B B A A E E E E C B A N 近似真值为..../....C B A N C B A N ?=??=或 绝对误差为N E N N ?=? N N N ?±=
测量一段金属管外径，内径，高 1、 h d d V ?-? = ) (4 2 221' π C B A N ??= 乘除发运算中的误差先算相对误差 即' V N = C B A N E E E E ++= C C B B A A ?+?+?=（书上第9页） 则h d d v E E E E E ++=-) (4 2 221 )(π例题中为 h h d d d d ?+ --?+ =) ()(022 21 2 22 1（例题中第一式） 2、 令2 22 1 d d N -= 则按照B A N -=的情况，加减法运算中的误差先算绝对误差 B A N ?+ ?= ?（书上第8页）
动态汽车衡示值误差测量结果不确定度评定 摘要：本文以动态汽车衡为例，阐述了动态汽车衡示值误差测量结果不确定度评定过程中的方法和步骤。 关键词：动态汽车衡；示值误差；不确定度评定 1 概述 动态汽车衡是指安装在道路上，带有承载器并包括引道在内的，通过对行驶车辆的称量确定车辆的总质量和载荷的一种自动衡器。包括整车称量的动态汽车衡和轴称量的动态汽车衡。通常由载荷承载器、称重传感器和动态称重显示控制器等组成。必要时动态汽车衡还应有打印装置、车辆引导装置、车辆识别装置、轴组识别装置和运行速度测量等装置。 1.1 环境条件：（-10～40）℃，相对湿度不大于85%，检定期间最大温差不大于5℃ 1.2 技术依据：依据JJG 907-2006《动态公路车辆自动衡器》检定规程。 1.3 测量标准：砝码的质量范围为1kg～60t，最大允许误差为±（50mg～3.0kg）。 1.4 被校对象：单轴载荷或轴组载荷的准确度等
级为B级，整车总重量的准确度等级为0.5级，最大秤量为60t，d=20kg的动态电子汽车衡。 1.5 检定方法：动态测量过程是已知质量的参考车辆以缓慢均匀的速度通过动态汽车衡，动态汽车衡的示值显示部分显示该参考车辆的单轴质量值和整车总重质量值，重复此过程，共测量10次，其算术平均值就是该参考车辆质量的示值。 2 数学模型及灵敏系数 E=P-M 式中： E--动态汽车衡示值误差； P--动态汽车衡化整前示值； M--标准砝码质量值。 灵敏度系数： 3 标准不确定度分析 3.1 测量重复性引入的标准不确定度分量 在检定条件下，使用检定方法连续测量10次，结果为：30012、30004、29991、30011、30005、29995、29999、30019、30011、29992（单位：公斤） 10.9kg 由于实际情况是在重复条件下连续测量3次，并以3次测量的平均值作为测量结果，则测量重复性引
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值），n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差= 2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
1 概述 1.1 测量方法: 依据JJG30-2002《通用卡尺检定规程》 1.2 测量标准: 5等量块 1.3 被检对象: 游标卡尺(包括游标深度卡尺) 分度值: 0.02mm 0.05mm 0.10mm 测量范围: (0～2000)mm 示值误差:△=±(0.02～0.14)mm △=±(0.05～0.20)mm △=±(0.10～0.25)mm 2 数学模型 b b b m m m b m t L t L L L e ??α?-??α?+-= 式中：m L ——游标卡尺的读数值（标准条件下）； b L ——量块的长度（标准条件下）； b m αα和——分别是游标卡尺和量块的热膨胀系数；
b m t t ??和——分别是游标卡尺和量块偏离参考温度20℃的数 值； 3 方差和灵敏系数 令：b m α-α=δα b m t t t ?-?=δ 舍弃高阶微分量，取： b m L L L ≈≈ b m α≈α≈α b m t t t ?≈?≈? 则： t L t L L L e b m δ?α?+δα???+-= 得：)()()()()()()()()(222222222t u t C u C L u L C L u L C e u u b b m m c δδ+δαδα++?== 其中：1)(=m L C 1)(=b L C t L C ??=δα)( α?=δL t C )( 4 测量不确定度来源,标准不确定度计算: 4.1 5等标准量块中心长度测量不确定度)(b L u 4.1.1 检定测量范围(0～150)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为41.3mm 时， U 99=0.8μm 27.038.0)(==b L u μm 受检点为81.6mm 时， U 99=1.0μm 33.030.1)(==b L u μm 受检点为121.9mm 时， U 99=1.2μm 40.032.1)(==b L u μm 4.1.2 检定测量范围(0～200)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为61.3mm 时， U 99=0.9μm 30.039.0)(==b L u μm 受检点为121.6mm 时， U 99=1.2μm 40.032.1)(==b L u μm 受检点为181.9mm 时， U 99=1.5μm 50.035.1)(==b L u μm 4.1.3 检定测量范围(0～300)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为91.3mm 时， U 99=1.0μm 33.030.1)(==b L u μm