电场中功能关系

(二) 电场中的功能关系一、知识点击：1．引力（重力）势能：放入引力（重力）场中的物体与场共有的能，E p =Gh =mgh 。

A ．E p 的大小与零势能面的选取有关。

B ．引力做功只与初末位置有关，与路径无关。

2．电势能：放入电场中的电荷与电场共有的能，E =qU =qEd 。

后式只适合匀强电场。

A ．电势能的大小与零势能面的选取有关。

B ．电场力做功只与初末位置有关，与路径无关。

二、能力激活：题型一：带电粒子在电场做曲线运动时要注意做曲线运动的条件与电场力的分解结合： 示例1：如图所示为一匀强电场，实线表示电场线，一个带电粒子射入该电场中，轨迹如图中虚线所示，粒子从a 运动到b ，不计重力，则以下判断中正确的是（ ）A ．b 点电势高于a 点电势；B ．粒子在a 点的动能大于b 点的动能；C ．粒子在b 点的电势能大于a 点的电势能；D ．粒子在a 点所受的电场力大于在b 点所受的电场力。

[分析]由于做曲线运动的物体必须受到向心力的作用，将电场力分解成切向分力和法向分力，由此可判断出此带电粒子为负电荷，所受电场力与场强E 方向相反。

[解析] B 、C 正确题型二：正、负电荷在电场中受到的电场力的方向是有差别的：示例2：电荷在电场中移动时，下列说法中正确的有（ ）A ．正电荷从M 点移到N 点，若电荷电势能增加，M 点的电势一定低于N 点；B ．正电荷只在电场力作用下从M 点移到N 点，M 点的电势一定高于N 点；C ．负电荷从M 点移到N 点，若电荷电场力做功，M 点的电势一定高于N 点；D ．负电荷从M 点移到N 点，若电荷电势能增加，M 点的电势一定低于N 点。

[分析]无论正电荷还是负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能必定减小，只要电场力做负功，电荷的电势能必定增大。

由电场力做正功还是做负功，判断电场力方向，结合正、负电荷即可确定场强方向，就可以判定电势的高低。

[解析]A 正确题型三：电场对带电粒子所做的功只与电势差有关，与带电粒子所通过的路径无关： 示例3：如图所示，两平行金属板竖直放置，A 、B 两小孔正好相对。

第45课时 电场中的功能关系及图像问题 [重难突破课]题型一 电场中的功能关系电场中常见的功能关系（1）若只有静电力做功，则电势能与动能之和保持不变。

（2）若只有静电力和重力做功，则电势能、重力势能、动能之和保持不变。

（3）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。

（4）合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。

【典例1】 （多选）如图所示，一质量为m 、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A 、B 为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A 点的速度大小为v 0，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B 点时速度大小仍为v 0，方向与竖直方向的夹角为60°，则液滴从A 运动到B 的过程（ ）A.液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等B.重力势能增加12m v 02C.电势能增加14m v 02D.机械能增加14m v 02答案：AD解析：将液滴的运动分解，水平方向满足x ＝v 0sin30°＋v 0sin60°2t ，竖直方向满足h ＝v 0cos30°＋v 0cos60°2t ，联立解得x ＝h ，A 正确；竖直方向由位移与速度公式可得h ＝（v 0cos60°）2－（v 0cos30°）2－2g＝v 024g，则重力势能增加量为ΔE p ＝14m v 02，B 错误；电场力对液滴做正功，电场力做的功为W 电＝F 电x ＝ma x x ，液滴在水平方向做匀加速直线运动2a x x ＝（v 0sin 60°）2－（v 0sin 30°）2＝12v 02，联立解得W 电＝14m v 02，液滴的电势能减少14m v 02，机械能增加14m v 02，C 错误，D 正确。

1.【只有电场力做功】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A 沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B 点的粒子在B 点时的动能是初动能的3倍，经过C 点的粒子在C 点时的动能是初动能的7倍，则经过D 点的粒子在D 点时的动能是初动能的（ ）A.3倍B.4倍C.5倍D.6倍解析：C根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为E x，沿AD方向的分量为E y，粒子在A点时的动能为E k。

专题强化十三 电场中功能关系及图像问题目标要求 1.学会处理电场中的功能关系.2.能解决电场中各种图像问题，理解图像斜率、面积等表示的物理意义并能解决相关问题．题型一 电场中功能关系的综合问题电场中常见的功能关系(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．例1 (2019·天津卷·3)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m 的带电小球，以初速度v 从M 点竖直向上运动，通过N 点时，速度大小为2v ，方向与电场方向相反，则小球从M 运动到N 的过程( )A ．动能增加12m v 2B ．机械能增加2m v 2C ．重力势能增加32m v 2D ．电势能增加2m v 2听课记录：_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 例2 如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m 、电荷量为＋q 的物块从A 点由静止开始下落，加速度为13g ，下落高度H 到B 点后与一轻弹簧接触，又下落 h 后到达最低点C ，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g ，则带电物块在由A 点运动到C 点过程中，下列说法正确的是( )A ．该匀强电场的电场强度为mg3qB ．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为mg (H ＋h )3C ．带电物块电势能的增加量为mg (H ＋h )D ．弹簧的弹性势能的增加量为mg (H ＋h )3听课记录：_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 例3 (2023·江西省第二中学模拟)如图所示，倾角为α＝30°的绝缘斜面AB 长度为3l ，BC 长度为32l ，斜面BC 段上方有沿斜面向上的匀强电场．一质量为m 、电荷量为＋q 的小物块自A 端左上方某处以初速度v 0＝3gl 水平抛出，恰好在A 点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，经过C 点但未能到达B 点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在A 点，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝33，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速度为g ，求：(1)物块平抛过程中的位移大小； (2)物块在电场中的最大电势能．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________题型二 电场中的图像问题考向1 电场中的v －t 图像根据v －t 图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．例4 (多选)(2023·重庆市八中检测)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A 、B 、C 三点，如图甲所示，一个电荷量为2×10－5 C 、质量为1 g的小物块从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是()A．小物块带正电B．A、B两点间的电势差U AB＝－500 VC．小物块由C点到A点电势能先减小再增大D．B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________考向2φ－x图像(电场方向与x轴平行)1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)3．电场中常见的φ－x图像(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．例5(多选)(2023·贵州贵阳市一中高三检测)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是()A．a、c两点的电场强度相同B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________考向3E－x图像(电场方向与x轴平行)1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．3．电场中常见的E－x图像(1)点电荷的E－x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．例6x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于x A＝0，x B＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示．选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零．以下说法正确的是()A．点电荷A、B分别带正电和负电B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶3C．x＝d处电势最高且为零D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小听课记录：_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________考向4 E p －x 图像、E k －x 图像1．E p －x 图像由静电力做功与电势能变化关系F 电x ＝E p1－E p2＝－ΔE p 知E p －x 图像的切线斜率k ＝ΔE pΔx ，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向． 2．E k －x 图像当带电体只有静电力做功，由动能定理F 电x ＝E k －E k0＝ΔE k 知E k －x 图像的切线斜率k ＝ΔE kΔx ，斜率表示静电力．例7 (2023·北京北师大实验中学高三检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x 轴正方向运动，其电势能E p 随位移x 变化的关系如图所示，其中0～x 2段是关于直线x ＝x 1对称的曲线，x 2～x 3段是直线，则下列说法正确的是( )A ．x 1处电场强度最小，但不为零B ．粒子在0～x 2段做匀变速运动，x 2～x 3段做匀速直线运动C ．若x 1、x 3处电势为φ1、φ3，则φ1<φ3D ．x 2～x 3段的电场强度大小、方向均不变听课记录：_______________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

拓展课三电场中的功能关系及图像问题学习目标(1)会利用功能关系、能量守恒定律分析电场综合问题．(2)理解E­x、φ­x、E p­x图像的意义，并会分析有关问题．关键能力·合作探究——突出综合性素养形成拓展一电场中的功能关系探究总结1.合外力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔE k，这里的W合指合外力做的功．2．静电力做功等于带电体电势能的减少量，即W AB＝E p A－E p B＝－ΔE p.3．只有静电力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即E p1＋E机1＝E p2＋E机2.典例示范例 1质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中( )A．小球的重力势能减少了2mghB．小球的动能增加了2mghC．静电力做负功2mghD．小球的电势能增加了3mgh针对训练 1 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等．一个正电荷在等势面L3处的动能为20 J，运动到等势面L1处的动能为0；现取L2为零电势参考平面，则当此电荷的电势能为4 J时，它的动能为(不计重力及空气阻力)( ) A．16 J B．10 JC．6 J D．4 J针对训练2 如图所示，在场强E＝1×104 N/C的水平匀强电场中，有一根长l＝15 cm 的细线，一端固定在O点，另一端系一个质量m＝3 g、电荷量q＝2×10－6C的带正电小球，当细线处于水平位置时，将小球从静止开始释放，g取10 m/s2.(1)小球到达最低点B的过程中重力势能、电势能和机械能的变化量的大小分别为多少？(2)若取A点为零电势能点，则小球在B点的电势能为多大？(3)小球到B点时速度为多大？细线的张力为多大？拓展二电场中的图像问题探究总结1.φ­x图像(1)根据电场强度和电势差的关系有E＝＝＝，当Δx趋于0时，E＝就是某点的电场强度在x方向上的分量，即φ­x图像中切线的斜率绝对值表示在x方向上的电场强度的大小，图中甲表示电场强度不变，乙表示随x增大，电场强度逐渐减小．(2)在φ­x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小确定在x方向上的电场强度的方向．(3)在φ­x图像中分析电荷移动的电势能的变化，可用W AB＝qU AB＝－ΔE p进行相关计算．2．E­x图像(1)E­x图像中，E的数值反映电场强度的大小，E的正负反映E的方向，E为正表示电场方向为正方向．(2)E­x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿场强方向电势降低判断．3．E p­x图像E p­x图像表示带电粒子电势能随x的变化规律，根据图像可以分析出静电力做功的正负．E p­x图像的斜率k＝＝＝－F，因此E p­x图像斜率的绝对值表示在x方向上电荷所受静电力的大小．而静电力F＝qE，因此根据E p­x图像的斜率也可以分析电场强度的变化情况．典例示范例 2A、B为一电场中x轴上的两点，如图甲所示．一电子仅在静电力作用下从A点运动到B点，x轴上各点电势随其坐标变化的关系如图乙所示，下列说法正确的是( ) A．该电场是点电荷形成的电场B．A、B两点电场强度的大小关系为E A<E BC．电子从A运动到B过程中静电力做负功D．电子在A、B两点的电势能大小关系为E p A>E p B针对训练3 [2022·海口检测](多选)某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图所示．在O点由静止释放一电子，电子仅受静电力的作用，在－x0～x0区间内( )A．该静电场是匀强电场B．该静电场是非匀强电场C．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小D．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大例 3 (多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )A．在x2和x4处电势能相等B．由x1运动到x3的过程中电势能增大C．由x1运动到x4的过程中在x方向上的静电力先增大后减小D．由x1运动到x4的过程中在x方向上的静电力先减小后增大针对训练4 (多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点电场强度E随x变化关系如图所示，以下判断正确的是( )A．x＝2a处的电场强度为零，电势也一定为零B．点电荷M、N一定为同种电荷C．点电荷M、N一定为异种电荷D．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1例 4[2022·山东商河月考](多选)O、A为某电场中一条平直电场线上的两个点，将电子从O点静止释放，仅在静电力作用下运动到A点，其电势能随位移x的变化关系如图所示．则电荷从O到A过程中，下列说法正确的是( )A．静电力一定做正功B．O点电势比A点电势高C．从O到A的过程中，电场强度先减小后增大D．从O到A的过程中，电场强度一直增大针对训练5 如图所示，在P1、P2处各放一个等电荷量正点电荷，O点为P1、P2连线的中点．一带正电的试探电荷从M点由静止出发，沿直线MON运动到N点，M、N关于O点对称．下图关于试探电荷速度v，电场的电场强度E、电势φ，试探电荷的电势能E p的描述正确的是( )拓展课三电场中的功能关系及图像问题关键能力·合作探究【例1】【解析】带电小球受到向上的静电力和向下的重力，据牛顿第二定律F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功W G＝mgh，总功W＝W电＋W G＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.【答案】 D针对训练1 解析：正电荷在电场中只受静电力的作用，在L3等势面时动能为20 J，运动到L1等势面时动能为0，则运动到L2等势面时其动能一定是10 J，此时电势能为0，则此正电荷的动能和电势能总和为10 J．当它的电势能为4 J时，动能为6 J.答案：C针对训练2 解析：(1)重力势能变化量ΔE p＝－mgl＝－×10－3 J，电势能的变化量ΔE p电＝－W电＝qEl＝3×10－3 J，机械能的变化量ΔE＝－ΔE p电＝－3×10－3 J.(2)由ΔE p电＝E p B－E p A得，小球在B点的电势能E p B＝3×10－3 J.(3)小球从A到B，由动能定理得mgl－qEl＝，解得小球在B点的速度v B＝1 m/s，在B点，由圆周运动的向心力公式F＝，对小球有F T－mg＝，解得细线拉力F T＝5×10－2 N.答案：×10－3 J 3×10－3 J 3×10－3 J(2)－3×10－3 J (3)1 m/s 5×10－2 N【例2】【解析】A、B错：各点电势随其坐标变化的关系图像中，斜率的绝对值表示电场强度大小，可知该电场为匀强电场，则A、B两点电场强度的大小关系为E A＝E B.C错，D对：由φ­ x图像知：由A→B，电势升高，故电场强度的方向由B→A.一电子仅在静电力作用下从A点运动到B点，电子从A运动到B过程中所受静电力方向与运动方向相同，静电力做正功，电势能减小，故电子在A、B两点的电势能关系为E p A>E p B.【答案】 D针对训练3 解析：A错，B对：由题图可知，电势与距离不成正比，图线切线斜率的绝对值等于电场强度的大小，因此该静电场是非匀强电场．C对，D错：根据沿着电场线方向电势降低，可知电场线的方向沿x轴负方向，故电子所受静电力沿x轴正方向，电子将沿x轴正方向运动，电场强度减小，静电力减小，故加速度减小．答案：BC【例3】【解析】C对，D错：由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则正点电荷受到的静电力先增大后减小．A错，B对：由x1到x3及由x2到x4过程中，E<0，正电荷受静电力沿x轴负方向，静电力做负功，电势能增大．【答案】BC针对训练4 解析：A错：x＝2a处的电场强度为零，但由于电势与电场强度无关，与零电势点的选取有关，则电场强度为零的地方电势不一定为零．B对，C错：从0到3a，电场强度先正方向减小到零又反方向增大，则点电荷M、N必为同种电荷．D对：x＝2a处的电场强度为0，由＝得Q M∶Q N＝4∶1.答案：BD【例4】【解析】A对：由图可知，O到A电势能减小，所以静电力做正功．B错：因为φ＝且电子带负电，所以电势能越小，电势越大，所以O点的电势低于A点．C对，D错：因为＝－qE，所以图线的斜率绝对值代表静电力，从O到A斜率先减小后增大，故静电力先减小后增大，电场强度先减小后增大．【答案】AC针对训练5 解析：A、B错：根据同种电荷电场分布特点可知，O点电场强度为0，故试探电荷在O点的加速度为对：两等量正点电荷连线的中点电势最低，且φ的分布关于O 点对称，φ随x非均匀变化．D错：正试探电荷在O点电势能最小．图像应类似φ­x图像．答案：C。