大一第一学期高数1试题A及答案

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A）（B）和（C）和（D）和1 2．函数在处连续，则（）.（A）0（B）（C）1（D）23．曲线的平行于直线的切线方程为（）.（A）（B）（C）（D）4．设函数，则函数在点处（）.（A）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微5．点是函数的（）.（A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线的渐近线情况是（）.（A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．的结果是（）.（A）（B）（C）（D）8．的结果是（）.（A）（B）（C）（D）9．下列定积分为零的是（）.（A）（B）（C）（D）10．设为连续函数，则等于（）.（A）（B）（C）（D）二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数在处连续，则. 2．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则. 3．的垂直渐近线有条.4．.5．.三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限①②2．求曲线所确定的隐函数的导数.3．求不定积分①②③四．应用题（每题10分，共20分）1．作出函数的图像.2．求曲线和直线所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．C7．D8．A9．A10．C 二．填空题1．2．３．２４．５．２三．计算题１①②2.3.①②③四．应用题１．略２．《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是().(A)和(B)和(C)和(D)和2.设函数，则（）.(A)0(B)1(C)2(D)不存在3.设函数在点处可导，且>0,曲线则在点处的切线的倾斜角为{}.(A)0(B)(C)锐角(D)钝角4.曲线上某点的切线平行于直线,则该点坐标是().(A)(B)(C)(D)5.函数及图象在内是().(A)单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是().(A)若为函数的驻点,则必为函数的极值点.(B)函数导数不存在的点,一定不是函数的极值点.(C)若函数在处取得极值,且存在,则必有=0.(D)若函数在处连续,则一定存在.7.设函数的一个原函数为,则=().(A)(B)(C)(D)8.若,则().(A)(B)(C)(D)9.设为连续函数,则=().(A)(B)(C)(D)10.定积分在几何上的表示().(A)线段长(B)线段长(C)矩形面积(D)矩形面积二.填空题(每题4分,共20分)1.设,在连续,则=________.2.设,则_________________.3.函数的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分______________________.5.定积分___________.三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①②2.求由方程所确定的隐函数的导数.3.求下列不定积分:①②③四.应用题(每题10分,共20分)1.作出函数的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：所围成的图形的面积《高数》试卷2参考答案一.选择题：C D C D B C A D D D二填空题：1.－22.3.34.5.三.计算题：1.①②12.3.①②③四.应用题：1.略2.《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分,共24分)1.函数的定义域为________________________.2.设函数,则当a=_________时,在处连续.3.函数的无穷型间断点为________________.4.设可导,,则5.6.=______________.7.8.是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分,共15分)1.;2.;3.三、求下列导数或微分(每小题5分,共15分)1.,求.2.,求.3.设,求.四、求下列积分(每小题5分,共15分)1..2..3.五、(8分)求曲线在处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线直线和所围成的平面图形的面积,以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程的通解.八、(7分)求微分方程满足初始条件的特解.《高数》试卷3参考答案一．1．2.3.4.5.6.07.8.二阶二.1.原式=2.3.原式=三.1.2.3.两边对x求写：四.1.原式=2.原式===3.原式=五.切线：法线：六.七.特征方程:八.由《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分）1、函数的定义域是（）.A B C D2、极限的值是（）.A、B、C、D、不存在3、（）.A、B、C、D、4、曲线在点处的切线方程是（）A、B、C、D、5、下列各微分式正确的是（）.A、B、C、D、6、设，则（）.A、B、C、D、7、（）.A、B、C、D、8、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（）.A、B、C、D、9、（）.A、B、C、D、10、微分方程的一个特解为（）.A、B、C、D、二、填空题（每小题4分）1、设函数，则；2、如果,则.3、；4、微分方程的通解是.5、函数在区间上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分）1、求极限；2、求的导数；3、求函数的微分；4、求不定积分；5、求定积分；6、解方程；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线与所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数的图象.4）参考答案一、1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、B；7、B；8、A；9、A；10、D；二、1、；2、；3、；4、；5、8，0三、1、1；2、；3、；4、；5、；6、；四、1、；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分）1、函数的定义域是（）.A、B、C、D、2、下列各式中，极限存在的是（）.A、B、C、D、3、（）.A、B、C、D、4、曲线的平行于直线的切线方程是（）.A、B、C、D、5、已知，则（）.A、B、C、D、6、下列等式成立的是（）.A、B、C、D、7、计算的结果中正确的是（）.A、B、C、D、8、曲线，，所围成的图形绕轴旋转所得旋转体体积（）.9、A、B、C、D、9、设﹥，则（）.A、B、C、0D、10、方程（）是一阶线性微分方程.A、B、C、D、二、填空题（每小题4分）1、设，则有，；2、设，则；3、函数在区间的最大值是，最小值是；4、；5、微分方程的通解是.三、计算题（每小题5分）1、求极限；2、求的导数；3、求函数的微分；4、求不定积分；5、求定积分；6、求方程满足初始条件的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线和直线所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数的图象.5）参考答案（B卷）一、1、B；2、A；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、A；9、D；10、B.二、1、，；2、；3、，；4、；5、.三、1、；2、；3、；4、；5、；6、；四、1、；2、图略。

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高数试题及解答大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________１2１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋──────的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是 ______________。

ｆ（ Xo＋２ h）－ｆ（ Xo－３ h）３．设ｆ（ X）在 Xo 可导且ｆ ' （Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝_____________ 。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝ ____________。

_______R22√R－ｘ８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

00ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程───＋──（─── ）2的阶数为 ____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn 发散，则级数∑ａn _______________。

n=1n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③ ────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→ 0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo连续，则ｆ（X）在X＝Xo 可导②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 不连续③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 极限不存在④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ' （ｘ）〈０，ｆ " （ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ '(x)＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X) ＋Ｇ (X)②Ｆ(X) －Ｇ (X)③Ｆ(X) －Ｇ (X)为常数为常数＝０ｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘｄ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ──，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａ n≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散2１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘｙ是①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅ③ｙ＝ｘx3②ｙ＝ｘ3＋１④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ〈1 ｘ〈2 ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ ' （ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ ' （ζ）（ｘ2－ｘ 1）③ｆ（ｘ 2）－ｆ（ｘ 1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ 2）－ｆ（ｘ 1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ 1）１３．设ｆ（ X）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（ X）在 X ＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ 4 4②ｘ 4＋ｃ4１x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ30１① ０② １③ ──④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ 2＋ｙ 2y→0③∞① ０②１④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ ' ＝ｐ，则ｙ" ＝─────ｐｄｙ∞∞n１９．设幂级数∑ ａnｘ在ｘ（oｘo≠０）n收敛，则∑ ａnｘ在│ｘ│〈│ｘo│（）n=on=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn 有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2 所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）Dｘ11ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0xｘ__1√yｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0yｘ__1√xｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫─────ｄｙ0xｘ__1√xｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0xｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________ｙ'１．设。

高数大一考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是基本初等函数？A. 指数函数B. 对数函数C. 分段函数D. 三角函数2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1在区间（-∞，+∞）内的最大值是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 1D. 24. 以下哪个选项是极限lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)]的值？A. 0B. 4C. 8D. 不存在5. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 3，a4 = 13，求此等差数列的A. 2B. 3C. 4D. 56. 以下哪个选项是不定积分∫1/(4+3x^2) dx的解？A. 1/3 arctan(x/2)B. 1/2 arctan(x/2)C. 1/3 arctan(x)D. 1/2 arctan(x)7. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(x)的导数f'(x)：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)8. 以下哪个选项是定积分∫[0, π/2] x^2 dx的值？A. π^2/4B. π^2/3C. π^3/6D. π^3/39. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求E(X)的值：A. λB. λ^2C. 1/λD. 2λ10. 以下哪个选项是二元函数z = xy在区域D：x^2 + y^2 ≤ 1上的A. 1B. 0C. -1D. 不存在二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上可导，则f'(x) = ________。

12. 设数列{bn}的通项公式为bn = 2n - 1，该数列的前n项和Sn =________。

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０②１③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分三峡大学试卷 教学班号 序号 班级学号 姓名密 封 线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - 0 a x 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到 所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分。

高等数学（I ）一．填空题（每小题5分，共30分）1. 已知0)(2sin lim 30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。

2. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。

3. 极限]cos 1[cos lim x x x -+∞>-的结果是_________。

4. 极限 20arcsin lim ln(1)x x x x x →-+＝_____________。

5. 曲线)0()1ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为（ ）。

6. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k二、计算题（每小题5分，共20分） 1. x x x x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->-2.dx e x x 32⎰ 3.dx x ⎰+cos 2114. 22(tan 1)x e x dx +⎰三．(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx y d dx dy ，。

四．（8分）设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(五．（10分）设)(x f 31+=x ，把)(x f 展开成带Peano 型余项的n 阶麦克劳林公式，并求).0()50(f六（12分）．已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某邻域内满足关系式)sin 1(x f +－)(8)sin 1(3x x x f α+=-，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程。

七．（14分）设函数)(x f 在],[b a 上具有连续导函数)(x f '，且0)()(==b f a f ， 证明：2)(4)(a b M dx x f b a -≤⎰，其中|)(|],[x f Max M b a x '=∈。

第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn 发散，则级数∑ ａn_______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ ｙ3＋ ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） １③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａn ｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（） D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）分）1.设+¥=®)(lim 0x f x x ，+¥=®)(lim 0x g x x，Ax h x x=®)(lim 0，则下列命题不正确的是，则下列命题不正确的是( B ) A. +¥=+®)]()([lim 0x g x f x x ; B. ¥=®)]()([lim 0x h x f x x ; C. +¥=+®)]()([lim 0x h x f x x ; D. +¥=®)]()([lim 0x g x f x x . 2. 若¥®n lim5)31(++nn = ( C ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e; D. 2e . 3. 设0lim®x x f x f cos 1)0()(--=－5,则在点x=0处 ( D ) A. f(x)的导数存在的导数存在,且)0('f ¹0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值取极小值; D. f(x)取极大值. 4. 设x e -是f(x)的一个原函数,则òdx x xf )(= ( A ) A. x e -(x+1)+c; B; xe -(1－x)+c; C. x e -(x －1)+c; D. －xe -(x+1)+c. 5. 0lim®x òòxt xtdtte dt e 0202322)(= ( D ) A. 0 ; B. 21; C. 1 ; D. 2. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）分）1. 若+¥®x lim (11223-+x x +a x+b )=0,则 a = －2, , b = 0 . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim ®h hh a f h a f )3()3(--+= 6)('a f . 3. 设y=5ln )1ln(2+++x x ,则dy = dx x 211+ . 4. 不定积分dx x ò2sin 2= c x x +-)sin (21 . 5. 广义积分ò¥+-0sin tdt e t = 21 . 6. ò-++11431sin dx x x x x = 0 . 7. 用定积分的定义计算：¥®n limå=+n i ni n n 12sin 1p = p 2.. 三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）分） 1. 设函数设函数f(x)= îíì>-£+0)1(012x x b x ax 在点x=0可导，求a 与b 的值的值 . 1. 解：f(x)在x=0可导Þ f(x)在x=0连续Þ-®0lim x f(x)=f(0)= +®0lim x f(x)=b Þb=1, 又)0('=f =-®0limx x f x f )0()(-=-®0lim x x ax 11-+=a )0('+f =+®0lim x x f x f )0()(-=+®0lim x xx 1)1(2--=－2(因b=1), 由已知有)0('=f =)0('+f ，故a=－2 . 2. 求12+=x x y 的n 阶导数阶导数 . 2.解：11)()1(!)1(+-+--=n n n x n y3. 求由方程xy －e y=0所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数dx dy ,22dx y d . 3.解：dx dy =y y e x -, 22dx y d =232()()y yy e x y y e e x --- 4. 求0lim ®x 2sin cos 32cos 2xx x e x -. 4.原式=0lim ®x 232cos 112x x e x -+-=0lim ®x 2312x e x -+0lim ®x 232cos 1x x -=31+32=1 5. 求òdx xex5. 5解：原式=ò)5(525x d e x =c e x+5526. 求ò+dx x 32)1(1 6.解：令x=tant 原式=…………..= ..= 21xx +c +7. 求òexdx x 1ln . 7.解：原式=òex xd 12)2(ln =…..=)1(412+e四、应用题（四、应用题（55分）分） 摆线的一拱: )20(,)cos 1()sin (p ££îíì-=-=t t y t t xx 与直线y=0围成一平面图形, (1)求此平面图形的面积; (2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 解：(1) S=òp 20ydx =ò--p20')]sin )[(cos 1(dt t t t =… =3p , (2) V x=p òp22dx y=ò--p20'2)]sin [()cos 1(dt t t t =…… =25p五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分）分）(1) 利用函数图形的凹凸性证明不等式：)(22y x e e e yx yx ¹>++. （1） 证：令,0)(",)(>=t f e x f t图形凹，由定义得证图形凹，由定义得证(2) 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点x Î(0,1),使得使得)("x f =xx -1)(2'f成立成立 . (2) 证：结论变为证：结论变为)("x f (1-x )-2)('x f =0即(x 换为x) [)('x f (1-x)-f(x)](1-x)-f(x)]’’=0, 设)('x F =)('x f (1-x)-f(x),则可令F(x)=f(x)(1-x) F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,必存在一点1x Î(0,1), 使得F '(1x )=0,即)('1x f (1-1x )-f(1x )=0.又 )('x F 在[1x ,1]上满足罗尔定理的条件,必存在一点x Î(1x ,1) Ì(0,1),使得"F (x )=0,即)("x f (1-x )-2)('x f =0,得证. 。