八皇后问题说明书

算法——⼋皇后问题（eightqueenpuzzle）之回溯法求解⼋皇后谜题是经典的⼀个问题，其解法⼀共有92种！其定义：1. ⾸先定义⼀个8*8的棋盘2. 我们有⼋个皇后在⼿⾥，⽬的是把⼋个都放在棋盘中3. 位于皇后的⽔平和垂直⽅向的棋格不能有其他皇后4. 位于皇后的斜对⾓线上的棋格不能有其他皇后5. 解出能将⼋个皇后都放在棋盘中的摆法这个问题通常使⽤两种⽅法来求解：1. 穷举法2. 回溯法（递归）本⽂章通过回溯法来求解，回溯法对⽐穷举法⾼效许多，让我们学习如何实现吧！实现思想：1. 我们先在棋盘的第0⾏第1个棋格放下第⼀个皇后2. 下⼀⾏寻找⼀个不冲突的棋格放下下⼀个皇后3. 循环第2步4. 如果到某⼀⾏全部8个格⼦都⽆法放下皇后，回溯到前⼀⾏，继续寻找下⼀个不冲突的棋格5. 把8个皇后都放在棋盘之后，输出或存储摆法，结束实现（Java）算法：定义棋盘我们通过⼀个⼆维整型数组表⽰⼀个棋盘数组内为1是放下了的皇后，0则是空⽩的棋格我们下下⾯定义⼀个⽅法：通过检查棋格是否为1来知道是不是有皇后1// 定义⼀个棋盘2static int chessboard[][] = new int[8][8];检查冲突这个⽅法⽤来检查冲突：在⽔平垂直⽅向、斜⾓上的棋格有⽆其他皇后，传⼊的（x,y）是需要检查的棋格，如检查棋格（1,0）即棋盘的第2⾏第1个，是否能放下皇后。

1// 检查是否符合规则2private static boolean checked(int x,int y){3for(int i = 0;i<y;i++){4// 检查⽔平垂直⽅向5if(chessboard[x][i]==1)return false;6// 检测左斜⾓7if((x-y+i>=0)&&chessboard[x-y+i][i]==1)return false;8// 检查右斜⾓9if((x+y-i<=7)&&chessboard[x+y-i][i]==1)return false;10 }11return true;12 }放下皇后我们在每⼀⾏都执⾏以下步骤，通过从第1个棋格到第8个遍历寻找可以放下皇后的棋格如果放下了皇后，我们就可以继续放下下⼀个了，将⾏数+1，我们递归调⽤这个⽅法1public static boolean solve(int y){2// 将⼀⾏的8种情况都扫描⼀次3for(int i = 0;i<8;i++){4// 每次检测前都将当前⾏清空,避免脏数据5for(int k = 0;k<8;k++)chessboard[k][y]=0;6if(checked(i, y)){7 chessboard[i][y] = 1;8// 当前⼀⾏已经获得解法,进⼊下⼀⾏9 solve(y+1);10 }11 }12return false;13 }算法边界当我们放下了所有8个皇后后，需要⼀个终⽌条件，我们在⾏数y=8时，结束算法同时你可以输出⼀个棋盘摆法了！恭喜你已经把这个经典问题解决了！1// 当y=8时,已经找到⼀种解决⽅法2if(y == 8){3return true;4 }以下是完整的算法1public class EightQueen{2// 定义⼀个棋盘3static int chessboard[][] = new int[8][8];4// 计数器5static int count = 0;67// 解题⽅法8public static boolean solve(int y){9// 当y=8时,已经找到⼀种解决⽅法,计数器加⼀并输⼊摆法10if(y == 8){11 System.out.println("solved!");12 show();13 count++;14return true;15 }16// 将⼀⾏的8种情况都扫描⼀次17for(int i = 0;i<8;i++){18// 每次检测前都将当前⾏清空,避免脏数据19for(int k = 0;k<8;k++)chessboard[k][y]=0;20if(checked(i, y)){21 chessboard[i][y] = 1;22// 当前⼀⾏已经获得解法,进⼊下⼀⾏23 solve(y+1);24 }25 }26return false;27 }28// 检查是否符合规则29private static boolean checked(int x,int y){30for(int i = 0;i<y;i++){31// 检查垂直⽅向32if(chessboard[x][i]==1)return false;33// 检测左斜⾓34if((x-y+i>=0)&&chessboard[x-y+i][i]==1)return false;35// 检查右斜⾓36if((x+y-i<=7)&&chessboard[x+y-i][i]==1)return false;37 }38return true;39 }40// 输出棋盘摆法41public static void show(){42for(int i = 0;i<8;i++){43for(int j = 0;j<8;j++){44 System.out.print(chessboard[j][i]+" ");45 }46 System.out.println("");47 }48 }49 }在执⾏这个算法后：have 92 ways to sovle it!我们获得了92种棋盘摆法！。

⼋皇后问题（经典算法-回溯法）问题描述：⼋皇后问题（eight queens problem）是⼗九世纪著名的数学家⾼斯于1850年提出的。

问题是：在8×8的棋盘上摆放⼋个皇后，使其不能互相攻击。

即任意两个皇后都不能处于同⼀⾏、同⼀列或同⼀斜线上。

可以把⼋皇后问题扩展到n皇后问题，即在n×n的棋盘上摆放n个皇后，使任意两个皇后都不能互相攻击。

思路：使⽤回溯法依次假设皇后的位置，当第⼀个皇后确定后，寻找下⼀⾏的皇后位置，当满⾜左上、右上和正上⽅向⽆皇后，即矩阵中对应位置都为0，则可以确定皇后位置，依次判断下⼀⾏的皇后位置。

当到达第8⾏时，说明⼋个皇后安置完毕。

代码如下：#include<iostream>using namespace std;#define N 8int a[N][N];int count=0;//判断是否可放bool search(int r,int c){int i,j;//左上+正上for(i=r,j=c; i>=0 && j>=0; i--,j--){if(a[i][j] || a[i][c]){return false;}}//右上for(i=r,j=c; i>=0 && j<N; i--,j++){if(a[i][j]){return false;}}return true;}//输出void print(){for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){cout<<a[i][j]<<" ";}cout<<endl;}}//回溯法查找适合的放法void queen(int r){if(r == 8){count++;cout<<"第"<<count<<"种放法\n";print();cout<<endl;return;}int i;for(i=0; i<N; i++){if(search(r,i)){a[r][i] = 1;queen(r+1);a[r][i] = 0;}}}//⼊⼝int main(){queen(0);cout<<"⼀共有"<<count<<"放法\n"; return 0;}。

若无法放下皇后则回到上一行， 即回溯
当n行的皇后都已确定后，我们 就找到了一种方案
check2 (int a[ ],int n)
queen21(例) 1 b加约束的枚举算法{//i多nt次i; 被调用，只是一重循环
{int a[9]; for (a[1]=1;a[1]<=8;a[1]++) for (a[2]=1;a[2]<=8;a[2]++)
八皇后问题
1
1八皇后问题背景 2盲目的枚举算法 3加约束的枚举算法 4回溯法及基本思想 5 回溯法应用 6八皇后问题的递归回溯算法 7八皇后问题的非递归回溯算法
2
【背景】 八皇后问题是一个以国际象棋为背
景的问题： 如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上
放置八个皇后，使得任何一个皇后都 无法直接吃掉其他的皇后？为了达到 此目的，任两个皇后都不能处于同一 条横行、纵行或斜线上。
for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++) 此算法可读性很好，
{if (check(a,8)==0)continue; 体现了“回溯”。但
else for(i=1;i<=8;i+nt(a[i]); }
题，而不能解决任意
}}}}}}}
的n皇后问题。
18
2 回溯法应用-算法说明
按什么顺序去搜？ 目标是没有漏网之鱼，尽量速度快。
5
2 【问题设计】盲目的枚举算法
a 盲目的枚举算法
通过8重循环模拟搜索空间中的88个状态；
按枚举思想，以DFS的方式，从第1个皇后在第1列开 始搜索，枚举出所有的“解状态”：
从中找出满足约束条件的“答案状态”。

八皇后实验报告八皇后实验报告引言：八皇后问题是一个经典的数学问题，它要求在一个8x8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后都不会互相攻击。

这个问题看似简单，但实际上却充满了挑战。

在本次实验中，我们将探索八皇后问题的解法，并通过编写算法来解决这个问题。

一、问题背景：八皇后问题最早由数学家马克斯·贝瑟尔于1848年提出，它是一道经典的递归问题。

在国际象棋中，皇后可以在同一行、同一列或同一对角线上进行攻击，因此我们需要找到一种方法，使得8个皇后彼此之间不会相互攻击。

二、解决方法：为了解决八皇后问题，我们可以使用回溯法。

回溯法是一种穷举搜索的方法，它通过逐步尝试所有可能的解决方案，直到找到符合要求的解。

具体步骤如下：1. 初始化一个8x8的棋盘，并将所有格子标记为无皇后。

2. 从第一行开始，依次尝试在每一列放置一个皇后。

3. 在每一列中，检查当前位置是否符合要求，即与已放置的皇后不在同一行、同一列或同一对角线上。

4. 如果当前位置符合要求，将皇后放置在该位置，并进入下一行。

5. 如果当前位置不符合要求，尝试在下一列放置皇后。

6. 重复步骤3-5，直到找到一个解或者所有可能的位置都已尝试过。

7. 如果找到一个解，将其输出；否则，回溯到上一行，继续尝试下一列的位置。

三、编写算法：基于上述步骤，我们可以编写一个递归函数来解决八皇后问题。

伪代码如下所示：```function solveQueens(board, row):if row == 8:print(board) # 打印解returnfor col in range(8):if isSafe(board, row, col):board[row][col] = 1solveQueens(board, row + 1)board[row][col] = 0function isSafe(board, row, col):for i in range(row):if board[i][col] == 1:return Falseif col - (row - i) >= 0 and board[i][col - (row - i)] == 1:return Falseif col + (row - i) < 8 and board[i][col + (row - i)] == 1:return Falsereturn Trueboard = [[0]*8 for _ in range(8)]solveQueens(board, 0)```四、实验结果：通过运行上述算法，我们得到了八皇后问题的所有解。

二.问题分析
• 显然，每一行可以而且必须放一个皇后，所以n皇后问题
的解可以用一个n元向量X=（x1,x2,.....xn）表示，其中， 1≤ i≤ n且1≤ xi≤ n，即第n个皇后放在第i行第xi列上。 由于两个皇后不能放在同一列上，所以，解向量X必须满 足的约束条件为:xi≠ xj; • 若两个皇后的摆放位置分别是（i,xi）和（j,xj），在棋盘 上斜率为-1的斜线上，满足条件i-j=xi-xj;在棋盘上斜率为1 的斜线上，满足条件i+j=xi+xj;
else {
x[k]=0;//重置x[k],回溯 k=k-1;
}
} }
void main() { int n; printf("输入皇后个数n:\n"); scanf("%d",&n); queue(n); }
ห้องสมุดไป่ตู้
• for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=0; k=1; while(k>=1) { x[k]=x[k]+1; //在下一列放置第k个皇后 while(x[k]<=n&&!place(k)) x[k]=x[k]+1;//搜索下一列 if(x[k]<=n&&k==n)//得到一个输出 { for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",x[i]); printf("\n"); //return;//若return则只求出其中一种解，若不return则可以继 续回溯，求出全部的可能的解 } else if(x[k]<=n&&k<n) k=k+1;//放置下一个皇后

#include <stdlib.h>
void queen(int N)
{ //初始化N+1个元素，第一个元素不使用
int col[N+1]; //col[m]=n表示第m列，第n行放置皇后
int a[N+1]; //a[k]=1表示第k行没有皇后
int b[2*N+1]; //b[k]=1表示第k条主对角线上没有皇后
int c[2*N+1]; //c[k]=1表示第k条次对角线上没有皇后
int j,m=1,good=1;char awn;
for(j=0;j<=N;j++)
{a[j]=1;}
for(j=0;j<=2*N;j++)
{b[j]=c[j]=1;}
col[1]=1;col[0]=0;
do
{
if(good)
八皇后问题（回溯法）2009-08-11 12:03问题描述：
求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局，这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向互相捕捉。
解题思路：
总体思想为回溯法。
求解过程从空配置开始。在第1列~的m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列也是合理时，就找到了一个解。在每列上，顺次从第一行到第n行配置，当第n行也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。
if(awn=='Q'||awn=='q')
exit(0);
while(col[m]==N) //如果本列试探完毕，则回溯
{
m--; //回溯
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[N+m-col[m]]=1;//标记m列col[m]行处没有皇后（所在行，对角线，次对角线上都没有皇后）

目录摘要 (1)前言 (2)正文 (3)1.采用类C语言定义相关的数据类型 (3)2.各模块的伪码算法 (3)3.函数的调用关系图 (6)4.调试分析 (7)5.测试结果 (7)6.源程序（带注释） (10)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)摘要此程序主要是实现国际象棋“八皇后”的问题。

在一个8 * 8 的棋盘上，放置八个皇后，而每个皇后之间不相互攻击。

即每行只能放一个皇后，而且每列只能放置一个皇后，每个斜行只能放一个皇后。

根据这种规定，可在8 * 8 的棋盘上实现不同的92中放法。

这个程序就根据递归算法，用简单的代码实现皇后的放法。

本次设计旨在学习各种算法，训练对基础知识和基本方法的综合运用及变通能力，增强对算法的理解能力，提高软件设计能力。

在实践中培养独立分析问题和解决问题的作风和能力。

要求熟练运用C语言、基本算法的基础知识，独立编制一个具有中等难度的、解决实际应用问题的应用程序。

通过对题意的分析与计算，用递归法回溯法及枚举法解决八皇后是比较适合的。

递归是一种比较简单的且比较古老的算法。

此外还有回溯法是递归法的升华，在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

而枚举法，更是一种基础易懂简洁的方法。

而今天所用的算法只是递归算法。

不论用什么法做这个课题，重要的就是先搞清楚哪个位置是合法的放皇后的位置，哪个不能，要先判断，后放置。

关键词：八皇后；算法设计；递归算法设计；数组前言国际象棋中，皇后是最有权利的一个棋子；只要别的棋子在它的同一行或同一列或同一斜线（正斜线或反斜线）上时，它就能把对方棋子吃掉。

所以高斯提出了一个问题：在8 * 8的格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后都不能处于同一列、同一行、或同一条斜线上面，问共有多少种解法。

这个问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出的。

高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

实验报告——八皇后问题求解（递归和非递归）学号：专业年级：姓名：一、需求分析（要实现的功能描述）1．问题描述八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。

当且仅当n=1或n≥4时问题有解。

八皇后问题最早是由国际国际象棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。

诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。

2．实现功能八皇后问题实现了在棋盘上摆放八个皇后的功能，这八个皇后任意两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

3．测试数据测试数据可以通过手工寻找三组满足需要的值，测试数组（M，N），其中M代表皇后所在的行，N代表皇后所在的列。

例如，第一组测试数据：（1，4）、（2，7）、（3，3）、（4、8）、（5，2）、（6，5）、（7，1）、（8，6）；第二组测试数据（1，4）、（2，2）、（3，7）、（4，3）、（5，6）、（6，8）、（7，5）、（8，1）。

最后与编程求得的结果进行比较。

如果这三组数据在最后编程求得的结果中，说明程序的编写基本没有什么问题。

二、概要设计在进行概要设计的过程中，要清楚整个程序包含的功能模块及模块间的调用关系。

对于八皇后问题，整个程序中应该包括主函数模块，摆放皇后的函数模块，以及判断皇后的位置是否摆放正确的判断模块。

对于模块间的关系，在运行主函数的过程中会调用摆放皇后的函数模块，在摆放皇后的函数模块中，又会调用判断皇后位置是否摆放正确的判断模块。

三、详细设计抽象数据类型中定义的各种操作算法实现（用N-S图描述）对于求解八皇后问题的非递归算法，N-S图如下：对于八皇后问题求解的递归算法，N-S图如下：四、调试分析1．程序在调式过程中出现的问题及解决方法由于对于C语言编程问题掌握的并非十分熟练，因而在程序的调试过程中出现了一些问题。

for(a[7]=1;a[7]<=8;a[7]++} )
for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++){
if (check(a,8)=0) continue;
else
for(i=1;i<=8;i++)print(a[i]);
}
10
}
1 回溯法
有“通用的解题法”之称。 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条
枚举得有个顺序，否则 轻则有漏的、重复的； 重则无法循环表示。
6
1.按什么顺序去查找所有的解 a.盲目的枚举算法
void main() {
int x[100]; for (x[1]=1;x[1]<=10;x[1]++) for (x[2]=1;x[2]<=10;x[2]++)
for (x[3]=1;x[3]<=10;x[3]++) for (x[4]=1;x[4]<=10;x[4]++) for (x[5]=1;x[5]<=10;x[5]++) for (x[6]=1;x[6]<=10;x[6]++) for (x[7]=1;x[7]<=10;x[7]++) for (x[8]=1;x[8]<=10;x[8]++) if (check(x)==0) { printf(x); }
}
该如何解决冲突的问题呢？
1.行；我们是按照行枚举的，保证了一行一个皇后； 2.列：判断是否存在x[i]=x[j] 3.对角线：主对角线的i-j与从对角线的i+j存在特殊关系，如 图：

八皇后问题1、问题描述八皇后问题是一个古老而著名的问题，该问题是由十九世纪著名的数学家高斯1850年提出的。

在国际象棋中，皇后是最有权利的一个棋子，只要别的棋子在它的同一行或同一列或同一斜线（正斜线或反斜线）上时，它就能把对方棋子吃掉。

所以高斯提出了一个问题：在8*8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后都不能处于同一列、同一行、同一条斜线上面，问共有多少种解法。

2、设计思路1）解决行、列、斜线的冲突行：当第i行被某个皇后占领后，则同一行上的所有空格都不能再放皇后，还要把以i为下标的位置标记为已占领列：规定每一列放置一个皇后，保证不会造成列上的冲突对角线：对角线有正对角线和反对角线两个方向。

当第i个皇后占领了第j列后，要同时把以(i+j)、(i-j)为下标的位置标记为已占领2）数据结构的实现数组a[i]：a[i]表示第i个皇后放置的列(1<=i<=8)对角线数组：b[j](正对角线),c[j](反对角线)，根据程序决定正反对角线是否放入皇后3、数据结构设计int Count=0;/*记录解的序号*/int Site[QUEENS]; /*记录皇后放置在各行的位置*/void Queen(int n);/*递归求解函数*/{ int i;if(n==QUEENS){ Output();return;}}void Output();/*输出一个解法*/{ int i;for(i=0;i<QUEENS;i++)/*依次输出各行上皇后的位置*/}int IsValid(int n); /*判断第n个皇后放后，是否有冲突*/ { int i;for(i=0;i<n;i++) /*将第n个皇后和前面n－1个皇后比较*/ { if(Site[i]==Site[n])/*两个皇后在同一列上，返回0*/return 0;if(abs(Site[i]-Site[n])==(n-i))/*两个皇后在同一对角线上，返回0*/return 0;}return 1; /*没有冲突，返回1*/}4、功能函数设计1）求解函数void Queen(int n):递归放置第n个皇后，判断第n个皇后放上去之后，是否无冲突。

目录一需求分析 (1)1.1程序的功能： (1)1.2程序的输入输出要求： (1)二概要设计 (3)2.1程序的主要模块： (3)2.2程序涉及： (3)三详细设计 (3)3.1相关代码及算法 (4)3.1.1 定义相关的数据类型如下：....................... 错误!未定义书签。

3.1.2 主模块类C码算法： (4)3.1.3 画棋盘模块类C码算法 (5)3.1.4 画皇后模块类C码算法： (5)3.1.5 八皇后摆法模块（递归法）： (6)3.1.6 初始化模块 (7)3.1.7 输出摆放好的八皇后图形（动态演示）： (7)3.2相关流程图 (9)四调试分析 (12)五设计体会 (13)六附录 (13)七参考文献 (17)一需求分析1.1 程序功能：八皇后问题是一个古老而著名的问题。

该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出的。

八皇后问题要求在一个８＊８的棋盘上放上８个皇后，使得每一个皇后既攻击不到另外七个皇后，也不被另外七个皇后所攻击．按照国际象棋的规则，一个皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的其他任何棋子，问有多少种不同的摆法？并找出所有的摆法。

因此，八皇后问题等于要求八个皇后中的任意两个不能被放在同一行或同一列或同一斜线上。

本程序通过对子函数void qu(int i)的调用，将八皇后的问题关键通过数据结构的思想予以了实现。

虽然题目以及演算看起来都比较复杂，繁琐，但在实际中，只要当一只皇后放入棋盘后，在横与列、斜线上没有另外一只皇后与其冲突，再对皇后的定位进行相关的判断。

即可完成。

如果在这个程序中，我们运用的是非递归的思想，那么将大量使用if等语句，并通过不断的判断，去推出答案，而且这种非递归的思想，大大的增加了程序的时间复杂度。

如果我们使用了数据结构中的算法后，那么程序的时间复杂度，以及相关的代码简化都能取得不错的改进。

这个程序，我运用到了数据结构中的栈、数组，以及树和回溯的方法。

八皇后问题（递归+非递归）Xredman posted @ 2009年6月04日 21:15 in 以前博文 , 442 阅读一．问题描述在8×8格的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后不能互相攻击，即任何行、列或对角线（与水平轴夹角为45°或135°的斜线）上不得有两个或两个以上的皇后。

这样的一个格局称为问题的一个解。

请用递归与非递归两种方法写出求出八皇后问题的算法。

二．解题思路描述一个正确的解应当是每一列，每一行，每一条斜线上均只有一个皇后。

对于递归算法，本人才有模拟的方式进行，而且，我觉得开辟一个二维数组更显而易见。

首先，从空棋盘开始摆放，保证第m行m个皇后互不攻击，然后摆放第m+1个皇后。

当然对于第m+1个皇后可能有多种摆放方法，由此，我必须一一枚举，采用回溯策略是可行且合乎逻辑的。

而对于非递归算法，我只是借助于书本上一个递归改为非递归的框架，依次搭建而已。

在此过程中，我采用一维数组，一位对于八皇后问题，每一行不可能存在二个及二个以上的皇后，board[i]表示第i行棋盘摆放的位置为第board[i]列。

递归方法借助于系统提供的栈，而我非递归算法的实现，仅仅是自己构造一个栈而已。

递归解法#include <iostream>#include <cstdio>#include <sys/timeb.h>using namespace std;const int MAX_SIZE = 100;enum flag {blank ='X',queen = 1};char Chess[MAX_SIZE][MAX_SIZE];//棋盘图int n;//解决n皇后问题int total;//用于计摆放方式void Init(){//对棋牌进行初始化for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < n; j++)Chess[i][j] = blank;total = 0;//初始时有零中摆放方式}bool Judge(int r,int c){//判断(r,c)位置是否可放置int i,j;for(i = r + 1; i < n; i++)if(Chess[i][c] == queen)return false;//说明c列上已有一皇后for(i = c + 1; i < n; i++)if(Chess[r][i] == queen)return false;//说明r行上已有一皇后for(i = r + 1, j = c + 1; (i < n) && (j < n); i++, j++)if(Chess[i][j] == queen)return false;//45度斜线上已有一皇后for(i = r + 1, j = c - 1; (i <n) && (j >= 0); i++, j--)if(Chess[i][j] == queen)return false;//135度斜线上已有一皇后return true;//排除四种情况后，说明(r,c)点可放置皇后}void Backtrack(int k,int cnt){//回溯算法主程序if(k < 0 || cnt == n)//棋牌摆放完毕 or 以摆满n后{if(cnt == n){printf("No.%d:\n",++total);for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++)printf(" %c ",Chess[i][j]);putchar('\n');}putchar('\n');}}else{int r = k / n, c = k % n;if(Judge(r,c)){//可放置一皇后Chess[r][c] = queen;Backtrack(k-1,cnt+1);Chess[r][c] = blank;}Backtrack(k-1,cnt);}}int main(){//此为主函数timeb t1,t2;long kk;cout<<"输入皇后个数:";while(cin>>n){Init();ftime(&t1);Backtrack(n*n-1,0);ftime(&t2);cout<<"计算"<<n<<"后问题总共可有"<<total<<"种摆法!"<<endl;kk = (t2.time-t1.time)*1000 +litm;cout<<"本次回溯耗时:"<<kk<<"毫秒"<<endl;system("PAUSE");cout<<"输入皇后个数:";}return0;}非递归解法#include <iostream>#include <sys/timeb.h>#define N 100using namespace std;int board[N];int n,sum;void init(){for(int i = 1; i <= n; i++)board[i] = 0;}void display(){int i,j;cout<<"No."<<sum<<endl;for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= n; j++)if(board[i] == j)cout<<"Q ";elsecout<<"X ";cout<<endl;}cout<<endl;}bool canPut(int k){for(int i = 1; i < k; i++)if((abs(k - i) == abs(board[k] - board[i])) || board[i] == board[k])return false;//1.是否在同一斜线;2.是否位于同一列return true;}void Backtrack(){board[1] = 0;int k = 1;while(k > 0){board[k]++;while((board[k] <= n) && !(canPut(k)))board[k] += 1;if(board[k] <= n)if(k == n){sum++;display();}else{k++;board[k] = 0;}elsek--;}}int main(){timeb t1,t2;long kk;cout<<"输入皇后个数:";while(cin>>n){init();sum = 0;ftime(&t1);Backtrack();ftime(&t2);cout<<"总共排列方式为:"<<sum<<endl;kk = (t2.time-t1.time)*1000 + litm; cout<<"本次回溯耗时:"<<kk<<"毫秒"<<endl;system("PAUSE");cout<<"输入皇后个数:";}return0;}。

详细描述
在放置后续的皇后时，我们重复第二步和第三步的操作。我们需要选择一个位置放置新的皇后，然后 检查是否与已放置的皇后冲突。如果冲突，我们重新选择位置，直到找到一个安全的位置。通过重复 这个过程，我们可以逐步填满整个棋盘。
找到所有解的
总结词
当所有皇后都已放置完毕后，输出棋盘上所有皇后的位置，即为问题的解。
八皇后问题详细的解法课 件
• 八皇后问题的定义和背景 • 八皇后问题的基本解法 • 八皇后问题的详细解法 • 八皇后问题的优化解法 • 八皇后问题解法的应用和扩展
01
八皇后问题的定义和背景
问题的起源和历史
1878年，八皇后问题由德国棋手马克斯·贝赤尔提出，是国际象棋中的一种著名问题 。
问题的起源与国际象棋的棋盘和皇后棋子有关，目标是放置八个皇后在棋盘上，使 得没有任何两个皇后在同一行、同一列或同一对角线上。
解。
在递归函数中，我们需要判断 当前位置是否可以放置皇后，
并更新棋盘状态和方向。
如果当前位置放置皇后导致冲 突，我们需要回溯到上一步，
重新尝试其他解。
03
八皇后问题的详细解法
初始化棋盘
总结词
创建一个8x8的棋盘，所有格子都 处于未被占领状态。
详细描述
棋盘是解决八皇后问题的基础， 我们需要一个8x8的空白棋盘，所 有的格子都处于未被占领的状态 ，这是我们放置皇后的起点。
放置第一个皇后
总结词
在棋盘上选择一个位置放置第一个皇 后，并标记该位置为已占领。
详细描述
在棋盘上选择任意一个位置放置第一 个皇后，并将该位置标记为已占领。 这是解决问题的第一步，也是最简单 的一步。
放置第二个皇后并处理冲突
总结词
在棋盘上选择一个位置放置第二个皇后，并检查是否与第一个皇后冲突，如果冲突则调整位置，直至找到一个安 全的位置。

八皇后问题
1
1八皇后问题背景 2盲目的枚举算法 3加约束的枚举算法 4回溯法及基本思想 5 回溯法应用 6八皇后问题的递归回溯算法 7八皇后问题的非递归回溯算法
2
【背景】 八皇后问题是一个以国际象棋为背
景的问题： 如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上
放置八个皇后，使得任何一个皇后都 无法直接吃掉其他的皇后？为了达到 此目的，任两个皇后都不能处于同一 条横行、纵行或斜线上。
}
}
23
20
2 回溯法应用-算法框架-递归算法框架
int a[n]; Queens(int k) { if (k>n) 即表示最后一个皇后摆放完毕，输出结果;
else for(i=下界 ; i<=上界; i++) //枚举K个皇后所有可能的路径 {依次从列顶端开始搜索，一直到列底端，直到找到合适位置,如
果未找到，自动返回上层递归
的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。
for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++) 此算法可读性很好，
{if (check(a,8)==0)continue; 体现了“回溯”。但
else for(i=1;i<=8;i++) 它只能解决八皇后问
print(a[i]); }
题，而不能解决任意
}}}}}}}

放置八个皇后，使得任何一个皇后都 无法直接吃掉其他的皇后？为了达到 此目的，任两个皇后都不能处于同一 条横行、纵行或斜线上。
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3
八皇后问题
要在8*8的国际象棋棋盘中放8个皇后，使任意两个皇 后都不能互相吃掉。规则：皇后能吃掉同一行、同一 列、同一对角线的任意棋子。求所有的解。
八皇后的两组解
18
2 回溯法应用-算法说明
八皇后问题中的核心代码： 遍历过程函数； check函数。
解决此类问题的核心内容： 解空间树的搜索算法； 估值/判断函数：判断哪些状态适合继续扩展，或者作 为答案状态。
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2 回溯法应用-n皇后问题
介绍过的方法： c递归回溯算法； d非递归回溯算法；
}
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该如何解决冲突的问题呢？
1.行；我们是按照行枚举的，保证了一行一个皇后； 2.列：判断是否存在x[i]=x[j] 3.对角线：主对角线的i-j与从对角线的i+j存在特殊关系，如 图：
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8
盲目的枚举算法
约束条件？ 不在同一列：xi≠xj； 不在同一主对角线上：xi-i ≠ xj-j； 不在同一负对角线上：xi+i ≠ xj+j。
八皇后问题
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1
1八皇后问题背景 2盲目的枚举算法 3加约束的枚举算法 4回溯法及基本思想 5 回溯法应用 6八皇后问题的递归回溯算法 7八皇后问题的非递归回溯算法
2021/5/27
2
【背景】 八皇后问题是一个以国际象棋为背
景的问题： 如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上
果未找到，自动返回上层递归
a[k]=i; if (check(a,k)) //满足限界函数和约束条件，不冲突 //递归摆放下一个皇后Queens (k+ 1);} } }

数学与计算机学院课程设计说明书课程名称: 算法设计与分析-课程设计课程代码: 7106620题目: 八皇后问题年级/专业/班:学生姓名:学号:开始时间:2010 年12 月27 日完成时间:2011 年01月07日课程设计成绩：学习态度及平时成绩（30）技术水平与实际能力（20）创新（5）说明书撰写质量（45）总分（100）指导教师签名：年月日目录1 引言 (1)1.1问题的提出 (1)1.2任务与分析 (1)2 程序的主要功能 (1)2.1回溯功能 (1)2.2检查功能 (1)3 程序运行平台 (2)4 总体设计 (2)4.1算法设计 (2)4.2流程设计 (3)5 模块分析 (4)5.1回溯模块 (4)5.2检查模块 (5)6 系统测试 (6)7 结论 (8)8 致谢 (9)9 参考文献 (10)附录 (11)摘要本论文主要采用回溯法和递归法，求解著名的8皇后问题。

即在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，也就是任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，求可行方案的总数。

问题的提出者高斯当时认为有76种方案，后来有人用图论的方法解出92种结果。

本论文采用回溯法和递归法，在放置皇后之前，预先判断当前棋盘格子的所在行，列和主从对角线是否已存在皇后，如果存在，则右移一列进行相同判断，若右移至最后一列仍不可放，则行数加一列数回到第一列继续判断；如果不存在，则在当前格放置一个皇后，同时同行剩下的格子不再进行判断，行数加一列数回到第一列，如此递归进行，直至八个皇后全部符合要求地摆放完毕。

当判断完最后一个格子后，皇后数仍小于8，则回溯到摆放上一个皇后的格子，将上一个皇后摆放在其下一列格子上，再继续上述相同的操作，直至8个皇后摆放完毕。

此程序不仅能求解八皇后问题，还能解决相同类型的N皇后问题。

此外，代码简洁易懂，界面友好，便于操作。

关键词：n皇后，回溯，递归1 引言1.1 问题的提出问题由十九世纪著名的数学家高斯提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

1213：⼋皇后问题⾸先可以试图去简化问题，将问题转化为为每⼀列确定⼀个有效的⾏号。

因为同⼀列只能有⼀个皇后，并且需要在⼋列中确定⼋个皇后，即每⼀列都必定有且只有⼀个皇后。

经过简化后，显然，通过⼀个⼀维数组即可以确定⼀组有效解。

关于check：不为同⼀⾏或同⼀列的判定⽐较简单（这⾥省略）（i1，j1）与（i2，j2）在同⼀条斜线上的判定：i1-i2==j1-j2 || i1-i2==j2-j1问题经过这样⼀次抽丝剥茧后，剩余的思路⼤致就是深度搜索、临界输出。

特别重复：a[j]表⽰第j列的皇后所在的⾏数1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3using namespace std;45const int N=10;6int ans,a[N];7void print(){8 printf("No. %d\n",++ans);9for(int i=1;i<=8;i++){10for(int j=1;j<=8;j++)11if(a[j]==i)printf("1 ");12else printf("0 ");13 printf("\n");14 }15 }16bool check(int x,int d){17for(int i=1;i<d;i++){18if(a[i]==x||x-a[i]==d-i||x-a[i]==i-d)19return0;20 }21return1;22 }23void solve(int d){24if(d==9){25 print();26return;27 }28for(int i=1;i<=8;i++){29if(check(i,d)){30 a[d]=i;31 solve(d+1);32 }33 }34 }35int main(){36 solve(1);37return0;38 }。