6.2.1等差数列定义导学案.pdf

2.1等差数列（第1课时）编制人： 审核人： 小组： 姓名： 组评价： 师评价：一、学习目标：1、理解等差数列的概念和特点，掌握等差数列的通项公式2. 了解等差数列与一次函数的关系，运用等差数列的通项公式解决相关问题二、研读课本1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项减去它的 所得的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 ___表示。

（1）为了理解更透彻，你认为该定义中应注意哪些关键词语？（2）公差d 一定是由___________ ___，而不能用前一项减后一项，且与哪两项做差无关，即___________ ___（3）在理解概念的基础上，可用数学语言归纳出递推表达式为： ___________ __ 想一想：如何判定一个数列是等差数列？三、合作探究探究一：定义拓展已知12312,,,,,,n n n a a a a a a + 是公差为d 的等差数列：1.121,,,,n n a a a a - 也成等差数列吗？如果是，公差为多少？2.2462,,,,n a a a a 也成等差数列吗？如果是，公差为多少？3.将数列{}n a 中每一项都乘以常数a ，所得的新数列也成等差数列吗？如果是，公差为多少？4.将数列{}n a 中每一项都加上常数b ,所得的新数列也成等差数列吗？如果是，公差为多少？探究二：等差中项1.在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： ○12 ，________ ， 4 ○2-12，________，0 2. 在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,且三者之间有关系：__________.3.等差数列{}n a 中，相邻三项之间的关系式为_ _ ___四、范例分析例1．（等差数列概念）：判断下面数列是否为等差数列：（1）1，1， 1，1， 1（2）4，7，10，13，16（3）3, 2, 1, - 1, - 2（4）a-d, a, a+d例2．（等差数列通项公式的应用）：求等差数列8,5,2,…的第20项.变式拓展1：已知数列{}n a 的公差,4315,4330==a d 则=1a变式拓展2：401-是不是等差数列 ,13,9,5---中的项？如果是，是第几项？例3：已知等差数列的通项公式为23-=n a n ，求它的首项和公差．变式拓展1：已知数列{}n a 的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？并画出这个数列的图像．变式拓展2：已知数列{}n a 的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？例4：第一届奥运会与1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．（1）试写出由举行奥运会年份构成的数列的通项公式；（2）2008年举行的奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？变式拓展：一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度．五、课堂检测A组1．等差数列1 ，－1 ，－3 ，…，－89的项数是____________．2．等差数列{a n}中a1＝2，a7＝-1，则a5＝____________．3．等差数列的相邻4项是a+1，a+3 ，b ，a+b ，那么a ＝______,b＝_______．4．数列{a n}满足a n＋1－2a n＋a n－1＝0(n≥2)，且a1＝1，a2＝－1，则a2012＝()A．2 B．－2C．1 D．－15．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝()A．40 B．42C．43 D．45B组1.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于() A．7 B．6C．3 D．22. 若，写出数列的前4项，并判断该数列是否成等差数列；3. 数列满足，，设（1）判断数列是等差数列吗？为什么？（2）求数列的通项公式.六、反思感悟交流：1．你认为本节课的重难点在哪？2．你学到了什么知识和题型？3．你学到了哪些有用的数学思维和方法?4. 你的疑惑？。

《4.2.1 等差数列的概念》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

【教学目标与核心素养】【教学重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【教学过程】3.测量某地垂直地面方向上海拔地面20米起每升高100米处的大气温度（单位25,24,23,22,21解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3. (2) 法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.法三：已知数列{a n }是等差数列，可设a n ＝kn ＋b.由a 15＝8，a 60＝20得⎩⎪⎨⎪⎧15k ＋b ＝8，60k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝415，b ＝4.∴a 75＝75×415＋4＝24.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也是等差数列．[思路探究] (1)列方程组―→求解m ，n ―→求m ，n 的等差中项 (2)(1)6 [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8×2＝16，2m ＋n ＝10×2＝20，∴3(m ＋n)＝20＋16＝36，∴m ＋n ＝12，∴m ＋n2＝6.](2)[证明] ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b(a ＋c)． ∵b ＋c a ＋a ＋b c＝cb ＋c ＋a a ＋bac＝a 2＋c 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c ＝2a ＋cb， ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列． 等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数 成等差数列，求此数列．[解] ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.2．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 C [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C.] 3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．3 [a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]4.在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝____. 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋(5－1)d ，a 8＝a 1＋(8－1)d ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d， ∴d ＝a 8－a 53＝－2，∴a 10＝a 8＋(10－8)×d＝1. (方法三)设a n ＝An ＋B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－2，B ＝21，∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.5．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1，a 2是关于x 的方程 x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1a 1＋d ＝a 1＋3d.四、小结【教学反思】普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

等差数列的定义与通项公式教案第一章：等差数列的概念引入1.1 等差数列的定义1.1.1 引导学生回顾自然数的排列，引入等差数列的概念。

1.1.2 通过具体例子，让学生理解等差数列的含义。

1.1.3 引导学生总结等差数列的特点。

1.2 等差数列的表示方法1.2.1 介绍等差数列的表示方法，引导学生理解首项、末项、公差等概念。

1.2.2 通过示例，让学生学会用符号表示等差数列。

1.2.3 让学生尝试自己表示一些等差数列，并判断其是否正确。

第二章：等差数列的性质2.1 等差数列的通项公式2.1.1 引导学生探究等差数列的通项公式。

2.1.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的通项公式。

2.1.3 让学生运用通项公式计算等差数列的特定项。

2.2 等差数列的求和公式2.2.1 引导学生探究等差数列的求和公式。

2.2.2 通过推导，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。

2.2.3 让学生运用求和公式计算等差数列的前n项和。

第三章：等差数列的通项公式的应用3.1 求等差数列的特定项3.1.1 让学生运用通项公式求解等差数列的特定项。

3.1.2 提供一些练习题，让学生巩固求特定项的方法。

3.2 求等差数列的前n项和3.2.1 让学生运用求和公式求解等差数列的前n项和。

3.2.2 提供一些练习题，让学生巩固求前n项和的方法。

第四章：等差数列的综合应用4.1 等差数列与函数的关系4.1.1 引导学生理解等差数列与函数的关系。

4.1.2 提供一些示例，让学生学会如何将等差数列问题转化为函数问题。

4.2 等差数列在实际问题中的应用4.2.1 提供一些实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。

4.2.2 引导学生思考等差数列在其他领域的应用，如数学建模、数据处理等。

第五章：总结与拓展5.1 等差数列的定义与通项公式的总结5.1.1 与学生一起总结等差数列的定义与通项公式的关键点。

5.1.2 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑惑。

等差数列概念教案课题】等差数列教学内容】等差数列的定义及通项公式。

教学目标】知识目标：理解等差数列的概念；体会等差数列的通项公式的推导；能够使用等差数列的通项公式求相关项与项数。

能力目标：通过学生亲身经历探究、发现等差数列特征、等差数列通项公式的过程，培养学生观察、分析问题的能力和归纳推理能力。

情感目标：通过生活中等差数列问题的引入，让学生感悟数学的价值，体会数学的乐趣，学会用数学的观点去看待生活中的问题。

小组合作，分析探讨，促进学生的团结协作精神和表达、交流、组织、管理能力的提升，并分享成功，反思缺陷。

教学重点】等差数列的概念及通项公式。

教学难点】理解等差数列的“等差”特点和利用通项公式建立方程求未知量。

教法】本节课主要采用自主探究式教学方法。

从现实情景中引入等差数列，通过学生主动观察、分析、探索出等差数列的本质特性，归纳出等差数列的通项公式。

将数学还原到生活中去，增加了教学过程的实践性和趣味性。

同时，学生亲历知识的形成过程，既能加深对知识的理解，又锻炼了他们观察问题、分析问题、解决问题的能力，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的。

学法】学生自主观察发现，寻找规律，分析讨论，归纳总结出等差数列的特点和通项公式。

教学过程】一、复回忆：师生共同回顾数列的基本概念：一些数按一定顺序排成一列就叫数列；每一个数叫数列的项；项在数列中的位置，叫序号（项数）；项与序号的关系用一个代数式表达，这个式子叫通项公式。

二、情境引入：与数列有关的例子在我们生活中有很多，例如下面的例子（多媒体显示）：上舞蹈课的XXX让幼教1班的XXX统计班上学生穿鞋的码数，以便统一购买舞蹈鞋，这样可以节约些。

XXX统计的结果是：21.5cm（2双），22cm（5双），22.5cm （10双），23cm（23双），23.5cm（5双），24cm（3双）。

把这些码数按由小到大的顺序排列构成的数列为：21.5.22，22.5，23，23.5.24.三、探究等差数列的特点：1.让学生观察上述例子，找出每两项之间的差值，发现为0.5cm，说明这个数列是等差数列。

第2课时等差数列的性质1.等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广a n＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)a n＝a m＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝□01a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝□022a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋□03a n－1＝…＝a k＋□04a n－k＋1＝….2．等差数列的常用结论(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为□05d的等差数列．②{ca n}(c为任一常数)是公差为□06cd的等差数列．③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为□072d的等差数列．(2)若数列{a n}，数列{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为□08pd1＋qd2的等差数列．(3)等差数列{a n}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是□09等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则a m＋a n＝a r.()(2)若数列{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 39T 5)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．106(2)在等差数列{a n }中，a 3＝2，公差d ＝－1，则a 10＝________. (3)若等差数列{a n }中，a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 答案 (1)B (2)－5 (3)2b －a 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.探究1 等差数列的性质应用例1 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案 C解析 解法一：由a 1＋3a 8＋a 15＝120，可得5a 1＋35d ＝120，即a 1＋7d ＝24，又2a 9－a 10＝a 1＋7d ，所以2a 9－a 10＝24.解法二：因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，而2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.[变式探究] 若本例中条件不变，求a 3＋a 13的值又如何？ 解 由例题解知，a 8＝24，由等差数列的性质知a 3＋a 13＝2a 8＝48. 拓展提升等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质利用已知m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 或若m ＋n ＝2r ，则a m ＋a n ＝2a r 将题目条件转化．【跟踪训练1】 (1)已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A ．10B ．－10C ．15D ．－15(2)等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.答案 (1)B (2)18解析 (1)∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝30，∴a 7＝10， 而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10. (2)解法一：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.而a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ，因此，a 5＋a 8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18. 探究2 灵活设项求解等差数列例2 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．解 (1)设这三个数为a －d ，a ，a ＋d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2，∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2. 拓展提升常见设元技巧(1)当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)当等差数列{a n }的项数n 为偶数时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．【跟踪训练2】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．解 解法一：根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.解法二：由于数列{a n }为等差数列，因此可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝21，(a －d )a (a ＋d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝21，a (a 2－d 2)＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.探究3 等差数列的综合应用例3 在△ABC 中，若lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列，并且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状．解 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列， ∴2lg (sin B )＝lg (sin A )＋lg (sin C )， 即sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34. ∴cos(A －C )＝1. ∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3， ∴A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形． 拓展提升等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．【跟踪训练3】 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.3172(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.答案 (1)D (2)30解析 (1)设4个根构成的等差数列为{a n }．由于两方程对应二次函数f (x )＝x 2－x ＋a ，g (x )＝x 2－x ＋b 的对称轴均为x ＝12.由根的对称性可判断，a 1与a 4是同一方程的根，a 2与a 3是另一方程的根．于是，a 1＋a 4＝1，又a 1＝14，所以a 4＝34，则公差d ＝13(a 4－a 1)＝16，于是a 2＝512，a 3＝712，所以a ＋b ＝a 1a 4＋a 2a 3＝316＋512×712＝3172.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋33d ，又a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，∴33d ＝10.∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋33d ＝20＋10＝30. 探究4 等差数列的实际应用例4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220.若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．拓展提升解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a 1，d ，n ，a n ； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中．【跟踪训练4】 如图所示，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长；(2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521 cm2.[规律小结]1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝f(x2)－f(x1) x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2.等差数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{k n}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{a n}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差可能也随之发生变化．3.等差数列两项和的性质若{a n}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(m，n，p，q∈N*)[走出误区]易错点⊳弄错等差数列中项的序号而致误[典例]已知等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝()A.8a－9b B．9b＋8a C．9b－8a D．8b－7a[错解档案]选D，令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，则b1，b2，b3，…，b9构成新的等差数列，a 99＋a 100＝b 9＝b 1＋8d ＝a ＋8(b －a )＝8b －7a .[误区警示] 由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列{b n }，而a 99＋a 100应为b 10，本题弄错项数致误．[规范解答] C解法一：由上述分析可知a 99＋a 100＝b 10＝b 1＋9d ＝9b －8a .解法二：将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }为等差数列，设此数列的公差为d ， 则d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.∴a 99＋a 100＝b 50＝b 5＋45d ＝a ＋b －a5×45＝9b －8a .[名师点津] (1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关系以及所具有的性质的掌握；(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的关系.1．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( ) A ．64 B ．30 C ．31 D ．15答案 D解析 解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16，a 4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ＝16，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16， ∴a 11＝15.2．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．33答案 D解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，∴a 4＝15，∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，∴a 5＝13，∴d ＝a 5－a 4＝－2，a 6＝a 5＋d ＝11，∴a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3×11＝33.故选D.3．已知(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.答案12解析 由已知设4个根分别为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ，且14＋14＋3d ＝14＋d ＋14＋2d ＝2，解得d ＝12，∴这 4个数分别为14，34，54，74，由韦达定理知：m ＝14×74，n ＝34×54，或m ＝1516，n ＝716，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪716－1516＝12.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________．答案 100解析 设{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解 设这四个数为a －3d 、a －d 、a ＋d 、a ＋3d ， 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.A 级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4. 又a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0 答案 D解析 由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析 设五个人分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，(d >0)，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝100，∴a ＝20，由17 (a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 因为a 1＝0，d ≠0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝6d ＝a 7.故选B. 二、填空题5．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，公差为d ，a 3>0，当且仅当n ＝3时，|a n |取得最小值，则公差d 的取值范围是_________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25解析 ∵a 3>0，当且仅当n ＝3时|a n |取最小值， ∴a 4<0，且a 4＋a 3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d >0，1＋3d <0，1＋2d ＋1＋3d <0，解得－12<d <－25.6．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________. 答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.答案 19解析 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 三、解答题8．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )·(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.① 又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由．解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝1＋03－0＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ， 使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列， 则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列， 所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ， 所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n3－a n－1－1a n －1＝3－a n2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12， 又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B 级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解 设用两数的公共项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{a n }的公差为d ＝3×4＝12.∴a n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399. ∴a n ≤302，即n ≤25.25. ∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n }满足：对任意n ∈N *都有2b n ＝a n＋a n ＋1且a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求证：{b n }是等差数列；(2)设a 1＝1，a 2＝2，求{a n }和{b n }的通项公式． 解 (1)证明：a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a n ＋1＝b n b n ＋1，∴a n ＝b n －1b n 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1， 得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }是等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝2得b 1＝a 1＋a 22＝32.又由a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a 22＝b 1b 2，∴b 2＝a 22b 1＝83，∴b 1＝32＝62，b 2＝83＝263.∴{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝66. ∴b n ＝62＋(n －1)·66＝66(n ＋2)， ∴b n ＝16(n ＋2)2，∴a 2n ＝b n －1b n ＝16(n ＋1)2·16(n ＋2)2， ∴a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．。

6.2.1等差数列定义导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2（ 6.2.1 等差数列的定义 ）导学案学习目标（1）知识目标：理解等差数列的定义；（2）能力目标：会利用定义求等差数列的任意项（3）情感目标：通过等差数列的实际运算，培养学生的数学思维能力与运算能力．重点难点：等差数列定义的应用．学法指导：自主探究——合作交流任务一：1.自己动手列出下列数列（1）将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：（2）将正奇数从小到大列出，组成数列：观察数列中相邻两项之间的关系，2.总结定义如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表示．由定义知，若数列{}n a 为等差数列，d 为公差，则1n n a a d +-=,即 1n n a a d +=+ 任务二：1.已知{}n a 为等差数列，58a =-，公差2d =，试写出这个数列的第8项8a ．（6.1）32.写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.3.已知等差数列的首项为 -1，公差为 − 5，试写出这个数列的第2项到第5项任务三：作业：1.已知23,,213x 成等差数列，那么=x _____ 2. “一个内角为 60”是这个三角形三内角成等差数列的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3. 若c b a lg ,lg ,lg 成等差数列，则( )A .2c a b +=B .2lg lg b a b +=C .ac b =D .ac b ±=我的疑惑：教师寄语：没有什么事情你做不好，只是你不想做好。

4。

一轮复习作业纸§6.2 等差数列一、填空题1．已知{a n}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝______.2．假如等差数列{}a n中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.3．已知{a n}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和S n最小的n是________．4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.5．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝________. 6．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.7．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________. 8．在数列{a n}中，若点(n，a n)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9＝________.二、解答题9．设{a n}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.(1)证明：a1＝d；(2)求公差d的值和数列{a n}的通项公式．10、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出S1，S2，…，S12中哪一个的值最大，并说明理由．11、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为S n，且S k＝110.(1) 求a及k的值；(2) 设数列{b n}的通项b n＝S nn，证明数列{b n}是等差数列，并求其前n项和T n.等差数列练习(2)1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________.4．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.5．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．6．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存有一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存有，求出c 的值；若不存有，请说明理由．7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设c n ＝(2) b n ，试问数列{c n }中是否存有三项，使它们能够构成等差数列？假如存有，求出这三项；假如不存有，说明理由．6．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存有一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存有，求出c 的值；若不存有，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)． (2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c， ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存有一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设c n ＝(2) b n ，试问数列{c n }中是否存有三项，使它们能够构成等差数列？假如存有，求出这三项；假如不存有，说明理由．(1)证明 因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝ 22⎝⎛⎭⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)，且b 1＝22×1－1＝2所以，数列{b n }以2为首项，2为公差的是等差数列．(2)解 由(1)得c n ＝(2)b n ＝2n ，假设{c n }中存有三项c m ，c n ，c p (其中m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ， 所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m .因为m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *，所以n －m ＋1，p －m ∈N *，从而2n －m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等，所以数列{c n }中不存有能够构成等差数列的三项.等差数列练习(1)1、设S n是等差数列{a n}(n∈N)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________2、在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________3、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝_____4、△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为5、设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝－62, S6＝－75，求：(1) {a n}的通项公式a n及其前n项和S n；(2) |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a14|.6．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.7．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。

等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。

2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。

3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。

2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。

3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。

4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。

5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。

6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。

8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。

六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。

针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。

对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。

八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。

十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。

等差数列教学设计及教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，理解数列的顺序性和连续性。

引入等差数列的定义，解释公差的概念。

1.2 等差数列的性质探讨等差数列的性质，如相邻两项的差为常数，首项和末项的关系等。

引导学生通过观察和归纳总结等差数列的性质。

第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式的推导引导学生回顾数列的通项公式的概念，理解通项公式与数列的关系。

通过示例和引导学生推导等差数列的通项公式。

2.2 等差数列的通项公式的应用探讨等差数列的通项公式在解决实际问题中的应用，如求指定项的值等。

引导学生通过练习题目的方式，加深对通项公式的理解和应用。

第三章：等差数列的前n项和3.1 等差数列的前n项和的定义引导学生回顾数列的前n项和的概念，理解前n项和的含义。

引入等差数列的前n项和的定义，解释首项和末项的关系。

3.2 等差数列的前n项和的公式探讨等差数列的前n项和的公式，引导学生理解和记忆公式。

通过示例和练习题目，引导学生应用前n项和公式解决问题。

第四章：等差数列的求和性质4.1 等差数列的求和性质引导学生回顾数列的求和性质，如等差数列的求和与项数的关系等。

引入等差数列的求和性质，如等差数列的求和与首项和末项的关系。

4.2 等差数列的求和性质的应用探讨等差数列的求和性质在解决实际问题中的应用，如求特定项的和等。

引导学生通过练习题目的方式，加深对求和性质的理解和应用。

第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的综合应用，如人口增长模型、投资收益等。

引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。

5.2 等差数列在数学竞赛中的应用探讨等差数列在数学竞赛中的重要性，引导学生了解等差数列在竞赛中的应用。

提供一些数学竞赛题目，引导学生挑战自我，提高解题能力。

第六章：等差数列的图像与性质6.1 等差数列的图像引导学生回顾数列图像的基本知识，如数列的点表示等。

第1课时等差数列的定义及通项公式1.等差数列的定义□01如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，□02那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的□03公差，通常用字母□04d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是□05a n＝a1＋(n－1)d.公式的推广：∵a n＝a1＋(n－1)d，a m＝a1＋(m－1)d，∴a n＝a m＋□06(n－m)d.3．等差中项□07如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是a＋b＝□082A.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,1,1,1,1是等差数列．()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(3)任意两个实数都有等差中项．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)等差数列0.73,0.72,0.71,0.70,0.69的公差为________．(2)(教材改编P 40A 组T 1)等差数列{a n }中，a 3＝5，a 7＝13，则数列{a n }的通项公式是________．(3)已知等差数列{a n }中，d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝________. (4)－2与11的等差中项为________． 答案 (1)－0.01 (2)a n ＝2n －1 (3)10 (4)92 解析 (2)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.探究1 等差数列的通项公式例1 (1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d ； (2)已知等差数列{a n }中满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，求通项公式a n . 解 (1)解法一：因为a 5＝10，a 12＝31，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3. 解法二：a 12＝a 5＋7d ⇒31＝10＋7d ⇒d ＝3. 由10＝a 1＋(5－1)×3得a 1＝－2.所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，1＋2d ＝(1＋d )2－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝±2，当d ＝2时，a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 当d ＝－2时，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋3.[结论探究] 若本例(2)中条件不变，试求数列{a n }中的最大项与最小项． 解 当d ＝2时，a n ＝2n －1，为单调递增数列，数列a n 有最小项为a 1＝1，无最大项．当d ＝－2时，a n ＝－2n ＋3为单调递减数列，有最大项为a 1＝1，无最小项． 拓展提升解决等差数列通项公式的方法(1)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． (2)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．【跟踪训练1】 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20， 得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1， 由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．探究2等差数列的判定与证明例2判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{a n}中a n＝3n＋2；(2)在数列{a n}中a n＝n2＋n.解(1)a n＋1－a n＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)a n＋1－a n＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．拓展提升1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)a n＝kn＋b(k、b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可．2．用定义证明等差数列时的易错点用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n＋1－a n＝d和a n－a n－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．【跟踪训练2】已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，数列{b n}中，b n ＝3a n＋4，问：数列{b n}是否为等差数列？并说明理由．解数列{b n}是等差数列．理由：∵数列{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，∴a n＋1－a n＝d(n∈N*)．∴b n＋1－b n＝(3a n＋1＋4)－(3a n＋4)＝3(a n＋1－a n)＝3d.∴根据等差数列的定义，数列{b n}是等差数列．探究3等差中项及应用例3 (1)若三个数5＋26，m,5－26成等差数列，求m 的值；(2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．解 (1)因为5＋26，m,5－26成等差数列，所以5＋26＋5－26＝2m ，所以m ＝5.(2)设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝±2.所以所求三个数分别为1,3,5或5,3,1. 拓展提升三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a 1和公差d ，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .【跟踪训练3】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列{a n }的首项为x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．解 (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1和7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3.a 是－1和3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4,3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.②将②代入①得p＝1，故p＝1，q＝1.[规律小结]1.等差数列定义的理解(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．2.等差中项的理解(1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若a n，a n＋1，a n＋2满足2a n＋1＝a n＋a n＋2，则数列{a n}为等差数列，这是因为2a n＋1＝a n＋a n＋2等价于a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1，显然满足等差数列的定义．(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．3.等差数列的通项公式(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．(2)由方程思想，根据a n，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．(3)通项公式可变形为a n＝dn＋(a1－d)，当d≠0时可把a n看作自变量为n 的一次函数．[走出误区]易错点⊳对等差数列的概念理解不透[典例1]已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2,2a n＋1＝2a n＋3(n≥2，n∈N*)，判断{a n}是否是等差数列．[错解档案] ∵2a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝32，故数列{a n }是等差数列． [误区警示] ∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝32，不满足等差数列的定义，故数列{a n }不是等差数列．[规范解答] 当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列．[名师点津] 审题错误，没有注意条件n ≥2.当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝32，这说明从第三项起，后一项与前一项的差为同一个常数，而a 2－a 1＝1≠32，漏审条件而误认为是等差数列．[典例2] 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解档案] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[误区警示] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[规范解答] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0，a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.[名师点津] 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.1．已知等差数列{a n }中，a n －a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝1，则这个数列的第10项为( )A ．18B ．19C ．20D ．21答案 B解析 a 10＝a 1＋9d ＝1＋2×9＝19.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.3．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( ) A ．14 B ．18 C ．21 D ．27 答案 A解析 设等差数列的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2， ∴a 6＝a 1＋5d ＝7，∴a 1a 6＝14.4．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．答案 a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74. ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.5．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项．如果是，是第几项？解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 15＝33，a 61＝217， ∴⎩⎪⎨⎪⎧33＝a 1＋(15－1)d ，217＝a 1＋(61－1)d ，解得a1＝－23，d＝4，∴a n＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.令a n＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，∴153是第45项．A级：基础巩固练一、选择题1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项() A．12 B．13C．14 D．15答案C解析a n＝3(2n－1)＝6n－3.由6n－3＝81得n＝14.2．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1 B．6C．5 D．－3答案D解析由x1＋x2＝－6，∴x1，x2的等差中项A＝x1＋x22＝－3.3．等差数列{a n}中，a1＝70，d＝－9，则这个数列中绝对值最小的一项为() A．a8B．a9C．a10D．a11答案B解析∵a n＝a1＋(n－1)d＝79－9n，d＝－9<0，∴数列{a n}为递减数列，a8＝7，a9＝－2.∴a9的绝对值最小，故选B.4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．92 B．47C．46 D．45答案C解析a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴a n＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.二、填空题5．首项为16的等差数列，从第7项起开始为负数，则公差的取值范围是________．答案 －165≤d <－83解析 设a n ＝16＋(n －1)d ，依题意，易知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝16＋6d <0，a 6＝16＋5d ≥0，解之得－165≤d <－83. 6．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2019＝________. 答案 1011解析 ∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12.故{a n }是首项为2，公差为12的等差数列．∴a 2019＝a 1＋2018d ＝2＋2018×12＝1011.7．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.答案 4n －3解析 由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4. ∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n >0，∴a n ＝4n －3.三、解答题8．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由． 解 (1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1，又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.9．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是数列{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p 、a q (p 、q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明理由．解 ∵a 1＝3，d ＝4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }中的第34项，令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5(n ∈N *)，∴4m ＋19是{a n }中第m ＋5项．(2)∵a p 、a q 是{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝4(2p ＋3q －1)－1. ∵2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．10．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N *. (1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．解 (1)证明：当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11. 即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．B 级：能力提升练1．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41(n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定答案 B解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ， d ＝40n －1为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．2．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)， 且a 1＝1.所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。