等差数列高效课堂导学案

2. 2.1等差数列导学案一、课前预习： 1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。

2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。

（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。

（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。

（4）、等差数列的通项公式：=n a 。

二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。

例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。

4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛na ｝的通项公式qpn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列｛na ｝中任意两项na 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1pq p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛na ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d = 三、课后练习与提高 在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a=已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（ ）A 3B 2 C31D 213、2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ） A 第13项 B 第14项 C 第15项 D 第16项 5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（ ）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是 8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，21,a a 为方程432=+-a x a x 的跟，求{}n a 的通项公式。

探究点二公式应用
2.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
3.等差数列 中，已知 ， ， ，求n.
4.等差数列{ }中， ＝－15，公差d＝3，求 .
5.已知 等差数列 中， ， ，求 和 。
6.已知等差数列 中， ， ，求公差 。
7.已知等差数列 中， ， ，求公差 和 。
8.已知等差 数列 中， ，求 。
归纳总结
知识
网络
巩固
训练
1.在等差数列 中， ，那么 （）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A．5880B．5684C．4877D．4566
3.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4.在等差数列 中， ， ，则 .
5.在等差数列 中， ， ，则 .
6.下列数列是等差数列的是（）.
A. B. C. D.
7.等差数列{ }中，已知 ，那么 （）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
8.等差数列{ }的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.
一般地，称为数列 的前n项的和，用 表示，即
=
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前n项和 .
⑴
⑵ .
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

年级：班级学生姓名科目：数学制作人：高一数学组教导处审批编号 511
等差数列的前n项和公式(2)
一、学习目标
1.熟练运用等差数列前n项和公式；
2.理解等差数列前n项和的性质.
三、巩固诊断：
A 层
1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ,求987a a a ++.
2. 若一个数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有___________项.
B 层
3.已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的整数n 为________________.
C 层
4.设{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S ,令n
S b n n =
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T
五、堂清、日清记录
今日之事今日毕 日积月累成大器。

《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。

例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列 ，（ ）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列 ， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页 习题2.3 A 组1题和2题 选做题：教材 46页 习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和 与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列 的前n 项 其中p,q,r 为常数，其中 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。

等差数列（导学案）●教学目标（１）理解并掌握等差数列的概念（２）掌握等差数列的通项公式及应用●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点等差数列的性质●教学过程Ⅰ.课题导入【问题情境】1．观察下列几组数列；(1) 从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，，, ,…(2 ) 4，5，6，7，8，9……..(3) 3，0，－3，－6，－9…….(4) －2，－4，－6，－8……..你能发现这几组数列各项之间有什么关系？2.试猜想下列几组数列的规律并完成填空:观察下面数列的特点，用适当的数字填空：（1）5，10，15，（），25，30（2）-4，-2，（），2，（），6（3）20，16，（），8，4，0（4）18，（），12，9，6，3,（5）0.5，0.5，（），0.5，0.5, 0.5【学生探究】上述几组数列有什么共同点？Ⅱ.讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

（1）判断下列数列是否是等差数列①1，2，22，23，…，263②1，2，3，4，…，50③15，5，16，16，28④0，10，20，30，…，1000（２）判断下列两个小题的对错：① 数列5，3，1，-1，-3是公差为-2的等差数列。

② x,x-1,x-2,x-3是公差为x-1的等差数列。

根据等差数列的概念，你能猜出等差数列的通项公式吗？例如：上面【问题情境】中2题（1）_________公差d=___（2）_________公差d=___（3）_________公差d=___（4）_________公差d=___（5）_________公差d=___2．通项公式【猜想】等差数列的通项公式与___有关？对等差数列怎样推导通项公式？如:（一）证 （二） （三）注意：①等差数列的通项公式从形式上看是关于n 的_____函数，当d ≠0时，是n 的____函数，当d=0时，是常数列。

等差数列（一）【教学目标】1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《等差数列（一）》课件“创设情境”部分，让学生与大家分享自己的了解。

通过让学生互相交流对几组数据的认识，教师自然地引出等差数列的定义.二、自主学习教材整理1 等差数列的含义阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.教材整理2 等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．1．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d.2．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．三、合作探究问题1 给出以下三个数列：(1)0,5,10,15,20；(2)4,4,4,4，…；(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它们有什么共同的特征？提示：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．问题2 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0.提示：插入的数分别为3,2，a ＋b 2，0.问题3 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2.试猜想a n ＝a 1＋( )×2.提示：n －1探究点1 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….提示：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 名师点评：判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N *)是不是一个与n 无关的常数．探究点2 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 提示：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.名师点评：在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．探究点3 等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a ，d )例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .提示：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .名师点评：像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．命题角度2 等差数列的实际应用例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？提示：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．名师点评：在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．四、当堂检测1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－32．已知在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 提示：3．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23. ∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13. 由a n ＝23n －13＝33， 解得n ＝50.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．六、课例点评等差数列作为第一个深入研究的特殊数列要体现研究问题的完整性，应创设学生独立思考、解决问题的教学环境，避免给出定义，给出公式，给出过程，给出思想，否则等比数列的研究将很难提升。

1
云南师范大学附属镇雄中学驾驭式自主高效课堂导学案
三、巩固诊断： A层 1.已知等差数列 an 中， a1 1, d 1 ，则该数列前 9 项和 S9 等于 （ ）

A.55
B.45
C .35
D.25 ）
2.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 2, S3 12 ,则 a6 等于（
P42 探 究
上面， 完成 右边的学 习任务
2.计算： 1 2 3 n
等差数列列前 n 项和公式： 阅读教材 【即时训练 1】根据下列条件，求等差数列 an 的前 n 项和 Sn （1） a1 4, a8 18 ， n 8 （2） a1 3, a50 101， n 50 【变式训练 1】在等差数列 an 中， a1 4, a8 18 ，求前 n 项和 Sn
A.8
B层
B.10
C .12
D.14
3.等差数列 an 的通项公式是 an 1 2n ，其前 n 项和是 Sn ，则数列
Sn 的前 11项和是（ n
）
A. 45
B. 50
C . 55
D. 66
4.在等差数列 an 中， a1 3,11a5 5a8 13，求数列 an 的前 n 项和 Sn
P42 P43
思考上面, 完成右边 的学习任 务
4.数列 an 为等差数列， S n
n(a1 an ) ， an a1 (n 1)d ，请你将前 n 项和 Sn 变形 2
Sn =
【即时训练 2】在等差数列 an 中，已知 a1 3, d
1 ，求 S10 2
【变式训练 2】在等差数列 an 中，已知 a1 1, d 3 ，求前 n 项和 Sn

§2.1等差数列(一)编写：时间：2016 .5 .19班级：组名：姓名：学习目标1. 掌握等差数列的定义，通项公式；2. 会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列；3 .探索通项公式推导过程中体现出的数学思想。

重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用。

难点：通项公式推导与应用。

学习过程使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成各种问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

奖励规则：（1）认真预习案的组均加2分，特别突出的加3分；（2）合作探究部分基础分2分，板书认真，展示精彩到位或特别突出可以根据情况加分，其他部分根据难易和回答的精彩与否加分。

第Ⅰ部分预习案（自主调研）情景营造，情感体会实际生活中的等差数列(1) 2000，2004，2008，2012，2016…奥运会每年开一次(2) 2016, 2012 , 2008，2004, 2000…这组数字和上面表示一个数列吗？(3) 22,22.5 ,23，23.5，24,24.5,25，你爸妈的鞋是吗(4) 17，17，17，17，17…和你同龄的同学有上面几个问题各自特点是什么有啥共同点第Ⅱ部分合作探究（合作讨论）★一个定义★（1） 看课本归纳并得出等差数列的定义 定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于 ，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

（2）用符号语言描述等差数列的定义 ★一个公式★判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差数列，说出公差是多少?（1）1，2，4，6，8 （ ）（2）2，4，6，8 （ ）（3）1，-1，1，-1 ( )（4）0, 0, 0, 0,… ( )（5）1，1/2，1/3，1/4 ( )（6）-3，-4，-5 ( )（7 ( )（8） 1， 2，4，7，11 ( )巩固练习课本P11例题1、 例题2第Ⅲ部分 探究讨论 ★两个方法★一、等差数列通项公式的推导方法一（迭代法）已知等差数列{ } 的首项是 ,公差是 . 写出 、 ,并试着推导出 。

等差数列〔二〕【学习目标】1.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 【自主学习】 等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，假设,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，那么m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？【自主检测】1.在等差数列{n a }中，假设1a +6a =9, 那么34a a += .2. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，那么公差d ＝ . 【典型例题】例1.在等差数列{}n a 中，510a =，1231a =，求首项1a 、公差d 和14a .小结：等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2.在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.例3.在等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a小结：在等差数列中，假设m +n =p +q ，那么m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.【目标检测】1.等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，那么12a 的值为〔 〕.A . 15 B. 30 C. 31 D. 64 2.假设48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .3.在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.4.三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.5.*成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．【知识拓展】1.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：〔1〕1n n a a d +-=； 〔2〕(0)n a pn q p =+≠； 2. 假设三个数成等差数列且其和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 假设四个数成等差数列且其和时，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++. 【总结提升】1.在等差数列中，假设m+n=p+q ，那么m n p q a a a a +=+.注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.。

等差数列（二）（导学案）使用说明：1．自学10-14页内容，提高自学能力；2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究，学有余力的学生可提前完成其他部分。

【学习目标】（1）体会等差数列与一次函数的关系；（2）能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；（3）通过学习发现知识结论，培养自己抽象概括能力和逻辑思维能力【重点难点】重点:等差数列与一次函数的关系.难点:能用数列的有关知识解决相应的问题.相关知识：1.等差数列的定义：，其中公差为：；2.等差数列的通项公式：。

教材助读：1．等差数列的图像由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线上的一些等间隔的点，其中是该直线的斜率．2．等差数列的单调性对于an＝dn＋(a1－d)，(1)当d＞0时，{an}为；(2)当d＜0时，{an}为；(3)当d＝0时，{an}为．3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的，且A＝a＋b2.预习自测1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差为()(A)b－a (B)b－a2(C)b－a3(D)b－a42.在等差数列{a n}中，a3＝5，a2＋a4＋a5＝19，则a5等于()(A)14 (B)7 (C)9 (D)293．已知(1，－1)，(3，－5)是等差数列{a n}图像上的两点，则数列{an}的通项公式是________．基础知识探究探究要点一：等差数列的通项公式的函数特性1．等差数列与一次函数的联系2.公差d的几何意义：等差数列的图像上任意两点连线的斜率，d＝k＝．探究要点二：等差数列的性质若数列{}na是公差为d的等差数列，则有下列性质：1. 在等差数列{}n a中，d为公差，m a与n a有何关系？等差数列一次函数解析式相同点不同点预习案2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系综合应用探究已知(2,1)，(4,5)是等差数列{a n }图像上的两点． (1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n,17)是否是{a n }图像上的点，若是，求出n 的值，若不是，说明理由； (3)判断这个数列的单调性，并求其最小正数项．当堂检测1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值为( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)3002．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为__________．3．在通常情况下，从海平面到10km 的高空，海拔每增加1km ，气温就下降一固定数值，如果海拔1km 高空的气温是8.5℃，海拔5km 高空的气温是-17.5℃，那么海拔2km,4km 和8km 高空的气温各是多少？我的收获：。

“展示激情——凤举鸾翔”
1. 应用公式(知三求二)
例1.已知等差数列 中，
（1） ， , 求 ；
（2） ， ， ，求 ；
（3） ， ，求 及 。
解：（1） （3）
（2）
2.变用公式
例２.等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？
例3.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
思考：
(1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？
(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？
(3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？
(4) 根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27＋…+624=？
“合作互学——群凤和鸣”
问题二： （小组讨论，总结方法）
复习回顾
1.数列 的前 和的概念：
一般地，称为数列 的前 项的和，
用 表示，即
2. 与 的关系：
3.等差数列 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q为常数)则有：；
一般地， =......
问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
☆创新题选做
2.对求和史的了解。
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
四、学习反思：
“提升引领——凤翔九天”

2.2《等差数列》导学案【学习目标】1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.【重点难点】重点：等差数列的定义，通项公式.难点：利用所给条件求解等差数列的通项公式.【知识链接】（预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？【学习过程】探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细阅读课本36页，观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =强调：⑴．① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 （强调“同一个常数” ）； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。

（证明等差数列的常用方法）探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+32a a -= ， 即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .探究任务三.典型例题例1（课本P38例1） ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.例2 （课本P38例3）已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.任务四、课后练习与提高在等差数列{}n a 中，(1).已知,10,3,21===n d a 求n a = (2).已知,2,21,31===d a a n 求=n (3).已知,27,1261==a a 求=d (4).已知,8,317=-=a d 求=1a练习二. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练习三.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==，求数列的首项与公差.【学习反思】1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).。

§等差数列（第二课时）教学目标：1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律；2、理解等差数列的性质；3、掌握等差数列的性质及其应用。

教学重点：等差数列性质的灵活应用及等差数列与一次函数之间的关系教学难点：等差数列的灵活应用预习案自主学习：等差数列的常用性质：1.若数列 {a n} 是公差为 d 的等差数列：(1)d>0 时， {a n} 是；d<0时，{a n}是；d=0时，{a n}是；（2）等差数列的通项公式：a n通项公式的推广：a n a m m, n N *结论：若数列 { a n } 的通项公式为a n pn q 的形式，p,q为常数，则此数列以为公差的等差数列。

（3）多项关系：若m n p q ，m, n, p, q N *则 a m a n______________若 m n 2 p ,则a m a n2、等差数列的性：（1）若数列 { a n } 是公差 d 的等差数列，下列数列：①{c+a n}(c 任一常数 ) 是公差 ______的等差数列；②{c a n}(c 任一常数 ) 是公差 ______的等差数列；(2)若数列 { a n } 、{ } 分是公差d1和 d2的等差数列，数列 { pa n qb n}( pq是常数 ) 是公差 ________的等差数列。

（3）若{a n} 等差数列，公差d，{a 2n} 也是，公差;a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，⋯，成，公差;合作探究：1：如果在a与b中插入一个数 A，使a，A，b成等差数列，那么 A足什么条件2：在直角坐系中，画出通公式a n3n 5 的数列的象，个象有什么特点（2）在同一直角坐系中，画出函数 y=3x-5 的象，你了什么据此等差数列anpnq的象与一次函数 y=px+q 的象之有什么关系预习自测1 、已知等差数列 {a n} 中a3 1 ， a79则a5（）A 、 -4 B、4 C 、-8 D、82 、已知等差数列的前三项依次为 a 1 ，a 1，2a3 ,则此数列的第n 项a n等于( )A、2n-5B、2n-3C、2n-1D、2n+13 、等差数列a n中,a4a515 ,a715,则 a2等于（）A.1B. 1C.0D.2课中案类型一：等差数列性质的应用例1在数列 { a n } 中，a3a10是方程 x2-3x+5=0的两根，若数列 { a n } 是等差数列，则 a5 a8=__________变式：在等差数列 {a n} 中, 若a3a4a5a6a7 45 ,求a2a8a n例2 等差数列 { a n}中，a1+a3+a5=－12,且a1·a3·a5=80.求通项变式 : 已知等差数列{ a n } 中，a3a716, a4a60, 求{a n}通项公式an.类型二等差数列的运算例3、（1）三个数成等差数列，和为 6，积为 -24 ，求这三个数。

一、等差数列的定义1. 导入：引导学生回顾数列的概念，进而引出等差数列的定义。

2. 讲解：等差数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

3. 举例：给出几个等差数列的例子，让学生观察并找出它们的公差。

4. 练习：让学生练习判断一些数列是否为等差数列，并找出它们的首项和公差。

二、等差数列的通项公式1. 导入：引导学生思考如何表示等差数列的任意一项。

2. 讲解：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

3. 推导：引导学生利用等差数列的定义和通项公式，推导出前$n$ 项和的公式。

4. 练习：让学生运用通项公式计算等差数列的任意一项，以及求前$n$ 项和。

三、等差数列的性质1. 导入：引导学生思考等差数列有哪些性质。

2. 讲解：等差数列的性质有：①首项和末项的平均值等于中项；②相邻两项的差等于公差；③前$n$ 项和的公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。

3. 举例：给出一些等差数列，让学生观察并运用性质进行判断。

4. 练习：让学生运用等差数列的性质解决问题，如求等差数列的中项、判断两个数列是否为等差数列等。

四、等差数列的应用1. 导入：引导学生思考等差数列在实际问题中的应用。

2. 讲解：等差数列在实际问题中的应用举例：①计算等差数列的前$n$ 项和；②求等差数列的通项公式；③解决与等差数列相关的实际问题，如工资增长、人口增长等。

3. 举例：给出一些实际问题，让学生运用等差数列的知识进行解决。

4. 练习：让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资总额、预测人口增长等。

五、等差数列的综合练习1. 给出一些关于等差数列的练习题，让学生独立完成。

2. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答疑惑。

3. 总结本节课所学内容，强调等差数列的定义、通项公式、性质和应用。

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。

2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。

3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。

2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。

三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。

2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。

（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。

四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。

有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。

高斯很快就得出了答案 5050。

他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。

这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。

则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。