贝塞尔方程勒让德方程58页PPT

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§6.2 贝塞尔函数的递推公式
10
11
§6.3 贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的渐近式
当x很大时,
Jn(x) 2xcos(xn)o(x1 2) Yn(x) 2xsin(xn)o(x1 2)
n大于等于0为整数
Jn( )0,Yn( )0
12
1.Jn(x)与Yn(x)在实轴上有无穷多个零点,分布与n值有关
2.Jn(x)与Yn(x)的幅值正比于
1 x
, 在正实轴上衰减至零
13
14
6.4 贝塞尔级数
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16
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18
19
20
21
22
23
24
25
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27
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29
30
31
32
33
34
例8.1（P257）
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37
38
39
40
41
Fourier & Laplace Transform
n是否为整数，贝塞尔方程的通解均可表示为
y(x)A Jn(x)B Y n(x).
7
第三类Bessel函数 研究波动问题时，方程的通解习惯用汉克尔函数表示 (1) 汉克尔函数的定 义 既然Y n ( x ) 与 J n ( x ) 是贝塞尔方程线性无关解，因此可以将它们作如下线性组合：
Hn(1)(x) Jn(x) jYn(x) Hn(2)(x)Jn(x)jYn(x).
• 周期函数的像函数
• 乘积定理 f1(t)f2(t)d t2 1 F 1()F 2()d
1 L[f(t)]1esT
Tf(t)estdt
0
• 微分性质

0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)

(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m

π
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
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19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
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2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，

k
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2

令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n




第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ

v)(m
v)
一个特解为
y
Ck xck
k 0
C0
m0
22m
m!(1
v)(2
(1)m v)(3
v)
(m
v)
x2mv
C0为任意常数，通常取
C0
1 2v (1
v)
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C2m
(1)m
22m m
!
C0 (1 v)(2 v)(3 v)
(m 1 v)(m v)
2v
1 (1
v)
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德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
m=0
勒让德方程：
d dx
(1
x
2
)
dy dx
2
y
0
柱坐标下：
z
r
x
y
2u k 2u 0
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1
(
u )
1
2
2u
2
2u z2
k 2u
0
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''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
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令
y1
Jv (x)
um (x)

T ' a2T 0
T (t) Aea2t
2V 2V V 0 亥姆霍兹方程（Helmholtz）
x2 y2求V改用极坐标源自在极坐标系下，V的问题可以写成2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ，代入化简得
P " ( ) 1 P ' ( )
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2 F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
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5.2 贝塞尔方程的求解
数学物理方程
主讲：周澜
南京邮电大学 、理学院、应用物理系 E_mail: zhoul@ 答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室
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第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 稳恒状态热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。 ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.
m0
其中 c, am为常数。
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逐将项此求级导数, 解有代入原方程中可得到：
(c
2
y'

可见，x=0是方程的常点①．方程的解具有形 式
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
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3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为

第四章-贝塞尔方程
17
贝塞尔方程的求解
贝塞尔方程
1 y y (1 2 ) y 0 (2) ( v 为常数) x x
1 n2 p( x) , q( x) 1- 2 满足定理2的条件而不满足 注： x x
2
定理1的条件。 由定理2知, 在x=0点的邻域 x R 内至少存在一个 如下形式的级数解
a1 a0 cos x sin x c1 cos x c2 sin x
c1,c2为任意常数
注：上述方程系数均为常数(即是只有常数项的幂级 数)，无需再做展开。若方程系数不是常数，则在用 级数解法求解时，应将系数项展开为幂级数后再整 理系数。
第四章-贝塞尔方程
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d2y dy p ( x) q ( x) y 0 (1) 2 dx dx 定理 2.如果 ( x x0 ) p ( x)和 ( x x0 )2 q( x) 在区间 x x0 R 内能展成 x x0 幂级数， 那么方程(1)至少存在一 个具有下面形式的级数解
为了下面贝塞尔方程求解的需要，我们介绍两 个二阶线性常微分方程的级数解法的结论。 二阶线性常微分方程的一般形式为 d2y dy p ( x) q ( x) y 0 2 dx dx 其中 p ( x), q( x) 是已知的函数
第四章-贝塞尔方程
12
12
d2y dy p ( x) q ( x) y 0 (1) 2 dx dx 定理 1. 如果 p( x)和 q ( x) 在区间 x x0 R 内能展成
内至少存在一个由定理2知第四章贝塞尔方程19为此将y的表达式第四章贝塞尔方程20因为左端关于x各次幂系数为零所以可得第四章贝塞尔方程21可取任何不为零的常数但是为了使解的形式表示简单我们取第四章贝塞尔方程22第四章贝塞尔方程23于是我们得到贝塞尔方程2的一个特解利用级数的比值判别法或达朗贝尔判别法可以判定这个级数在除x0点外的整个实数轴上收敛因此级数3式确实是贝塞尔方程的解

o
246
-0.5
8 10 12
9
以
(n) m
(m1,2,L)表示
J
n
(
x
)
的非负零点,
则
lim
m
(n)
(n)
m1 m
.
1.0 J 0 ( x )
0.5
J1( x )
函数以为周期振荡
o
2 4 6 8 10 12
-0.5
10
方程 Jn R 0 的解为：
R m n , m 1 ,2 ,L
由 条 件 （ 8 ） 知 D 0.
29
二、求本征值、本征函数
再 由 条 件 （ 9） 得 ,
R(b)CJ0( b)0
即 ， J 0 ( b ) 0， 由 此 可 知b是 J 0 (x )的 零 点 。
以 (0 ) m
表 示 J 0 (x )的 正 零 点 ， 有
J0(m(0)) 0
从 而 ， 得 到 方 程 （ 7 ） 在 条 件 （ 8 ） 、 （ 9 ） 下 的
由 条 件 (4） ， 得
z 0
z h
u(,0)
m 1
(C mD m)J0(b m (0))0
于是得
C m D m 0 ( m 1 , 2 ,L )( 1 1 )
再 由 条 件 （ 5） 得
u b 0 (5)
(0)
mh
(0)
mh
(0)
u(,h) (C me m 1
D me )J0(b m
的 通 解 为 P ( r ) A J n (
r ) B Y n (
r ) 26
一、建立方程 方 程 （ 7 ） 为 零 阶 贝 塞 尔 方 程 ， 其 通 解 为

■ 单位：ppi（pixel per inch像素每英寸）
■ 显示器分辨率（Screen Resolution）
■ 概念：1、显卡在显示器上显示的像素数量。 2、显示器中显示的分辨率，
■ 格式：1、宽度×高度（800 ×600） 2、此值固定为72dpi（PC）96dpi（Mac）
7
相关概念
打印机分辨率（Print Resolution）
■ 适用于字体、商标、漫画的设计
■ 矢量图像主要适用于以曲线为主的艺术字，商标等制 作因为字体本身就是一种特殊矢量对象
■ 文件占用空间小
■ 矢量图像文件只需要记录曲线数学函数关系，数据量 比逐点记录色彩的位图图像小很多
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常用矢量图绘制软件
■ Adobe Illustrator ■ Corel Draw ■ Macromedia Freehand ■ CreatureHouse Expression 对于矢量图像的创作我们称为Drawing，
■ 概念：打印设备产生物理点的频率，又称为输 出分辨率（Export Resolution）。用来设置 Halftone Screen（网线板，网屏）的稠密程度。
■ 单位：dpi（dot per inch 点每英寸）300、600、 1200
■ 颜色深度（Color Depth）
■ 概念：图像中每一个像素所能显示的颜色数目。 也叫位分辨率（Bit Resolution)
它包含了用颜料给图形上色的意思。
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由贝塞尔曲线构成的矢量图像
■ Illustrator是利用贝塞尔曲线的图形软件， 只有熟练掌握贝塞尔曲线才能轻松对 Illustrator经行操作。
■ 贝塞尔曲线的特征是，用四个点控制一条 曲线的位置和曲率

=0
= µ J m′ ( µ ρ0 ) = 0
当 µ ≠ 0 时，得 对应的本征值
J m′ ( µ ρ )
ρ = ρ0
=0
µ
(m) n
=(
( xnm)
ρ0
)
2
(m xn ) 为 Jm′ (x) 的第 n 个零点
讨论： 讨论： 当 m=0 当 m≠0
J 0′ ( x) = − J1 ( x) = 0
− k 2 a 2t
∆ 3v( r ) + k 2 v (r ) = 0 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ cosν z Z (z) = ; 但 ν = 0则 sin ν z 1 Z (z) = z
cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ Θ ( x ) :阶连带 亥姆霍兹方程 ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 勒让德方 程 R ( r ) : l 阶球贝塞 尔方程 ( k ≠ 0) r R (r ) = 1 r l +1
R( ρ ) ∼ J m ( x) = J m ( µ ρ ) (m ≥ 0)
讨论： 讨论： 1. 第一类齐次边界条件 R(ρ) ρ =ρ0 = 0 本征值： 代入 J m ( µ ρ 0 ) = 0 得本征值：
( µnm) = ( ( (m xnm)
ρ
)2
其中： (m 的第n 零点。 其中：xn ) 为 J m (x) 的第n个零点。
(m 而 xn ) 是上式的第
n个根
(P347.8)半径为 的半圆形膜, 例1：(P347.8)半径为ρ0 的半圆形膜,边缘固 定,求其本征频率和本征振动。 求其本征频率和本征振动。 采用极坐标系， 解： 采用极坐标系，定解问题为

∞
y ( x) = ∑
式中, a 0 为任意常数.令
a0 =
1 2 Γ(n + 1)
n
根据 Γ 函数的性质,可得到关于系数的一个简洁的表达式
a2m
∞
( − 1) m = n+2m 2 m! Γ ( n + m + 1)
(n ≥ 0)
这样,我们得到了式(5.1.14)的一个特解
y1 ( x) = ∑
(−1) m x n+2m n+2m 2 ! Γ ( + + 1 ) m n m m =0
(−1) m J − N ( x) = ∑ − N + 2 m x − N +2m m!Γ(− N + m + 1) m =0 2
∞ m − N =l ∞
(−1) l + N = ∑ N + 2l x N + 2l (l + N )!Γ(l + 1) l =0 2
∞ l =0
=∑
(−1) l (−1) N x N + 2l N + 2l 2 (l + N )!l!
∑ k +1
k =0
∞
1
⎛ x ⎞ 1 Yn ( x) = J n ( x)⎜ ln + C ⎟ − π ⎝ 2 ⎠ π 2
2m
(n − m − 1)! ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ∑ m! ⎝2⎠ m =0
∞
− n+2m
⎛ x⎞ (−1) m ⎜ ⎟ ∞ n + m −1 m −1 1 1 1 ⎞ ⎝2⎠ ⎛ − ∑ +∑ ⎜ ∑ ⎟ π m =0 m!(n + m)! ⎝ k =0 k + 1 k =0 k + 1 ⎠