圆和圆的基本性质
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①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
②若DE=2CE,求证：AD是⊙O的切线。
③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时，
求sin∠DAB的值。
第三节与圆有关的角
【知识回顾】
与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
圆和圆的基本性质
【知识回顾】
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
【考点分析】
1、确定条件：
圆心确定位置；半径确定大小。
2、圆的对称性：
圆是是圆心。
3、如图13，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AB、BD相交于点E。⑴求证：△ABD≌△ACD；⑵若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长。
【能力创新】
5、如图14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P。⑴已知：CD=8cm，
∠B=30°，求⊙O的半径；⑵如果弦AE交CD于F，求证：AC2=AF·AE.
①求证：RQ是⊙O的切线。
②求证：OB2=PB·PQ+OP2。
③当RA≤OA时，试确定∠B的范围。
8、如图80309，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F,G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=,OF=1,设AC=x,AB=y。
【考点分析】
圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。
【典型例题】
例1、⑴已知：A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点，则∠HDF=_______.
⑵如图1，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与∠BOC的一半相等的角共有（）
3、已知：如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1.
若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB于P，则AP=________.
4、已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12 cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是___________cm.
5、如图7，已知AB是⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm，则OD=________cm.
图80402
图80403
图80404
结论
PA·PB=PC·PD
PC2=PA·PB
PT2=PA·PB
PA·PB=PC·PD
2、可深化得出的结论：PA·PB为常数。设⊙O的半径为R，对于相交弦则有PA·PB＝R2-OP2,对于切割线则有PA·PB＝OP2- R2。
3、解题方法：①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。
第二节直线和圆的位置关系
【知识回顾】
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
【考点分析】
1、直线和圆的位置关系及其数量特征：
直线和圆的位置
相交
相切
相离
D与r的关系
d<r
d=r
d>r
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点，试探求与间的关系。
2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立？
【优化评价】
1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8,以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。
2、在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是。
⑷如图9，△ABC中，∠C=90°，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则∠EDF=_____。
2、选择题：⑴如图10，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，∠AOC等于（）
A.20°B. 40°C. 80°D. 100°
⑵△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，则⊙O的直径为（）
【典型例析】
例1、如图80406，已知ΔABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E点，交⊙O于D点，且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。求CE的长。
例2、如图80407，已知PA切⊙O于A点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD交BC于E点，F在CE上，且ED2=EF·EC。
.
第四节与圆有关的比例线段
【知识回顾】
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
【考点分析】
1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下：
相交弦定理及推论1
切割线定理及推论2
条件
弦AB,CD相交于P点
弦CD⊥直径AB交于P点
PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线
PAB、PCD均为⊙O的割线
图形
图80401
3、已知PA与⊙O相切于A点，PA=,∠APO=45°,则PO的长为。
4、已知ΔABC中，∠A=70°,点O是内心，则∠BOC的度数为。
5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。
6、如图80301，AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。
A.AC=CB B.AN=BN C.AM=BM D.OC=CN
9、如图10，已知：在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.
求证：△OCD为等腰三角形.
【能力创新】
10、等腰△ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm，则S△ABC为（）
A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm
A.2个B.3个C.4个D.5个
例2、⑴下列命题正确的是（）
A.相等的角是对顶角；B.相等的圆周角所对的弧相等；
C.等弧所对的圆周角相等角；D.过任意三点可能确定一个圆。
⑵如图2，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，
若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（）
7、如图80302，梯形ABCD中，AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E，且圆心O在BC上，①四边形ABED是什麽四边形？请证明你的结论。②若∠B=60°,AB：AD：BC=1：1：3则有哪些结论？至少写出两个并加以证明。
【发展探究】
1、如图80305，设PMN是⊙O通过圆心的一条割线，①若PT切⊙O于点T,求证：=
A.40°B. 100°C. 120°D. 30°
⑶如图3，AB、AC是⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，若∠ADB=35°，则∠BOC=____.
例3、⑴如图4，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B点，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=_________.
⑵如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB=_____度。
【基础练习】
1、填空题：⑴如图7，OA、OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，
且∠AOB=84°，则∠ABC的度数为___________.
⑵如图8，C是⊙O上的一点，AB为100°，则∠AOB=_____度，
∠ACB=_______度。
⑶圆内结四边形ABCD中，如果∠A:∠B:∠C=2：3：4，那么∠D=_____度。
①求证：CD是ΔADE外接圆的切线。
②若CD的延长线交⊙O于F,求证：=
③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。
④若AC≠AB结论①还成立吗？
【基础训练】
1、若⊙O的半径为3cm，点P与圆心O的距离为6cm，则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。
2、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离为。
例4已知：F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的一点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=BF.
【基础练习】
1、如图5，乒乓球的最大截口⊙O的直径AB⊥弦CD，P为垂足，若CD=32mm，AP：PB=1：4，则AB=________.
2、平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为_______cm.
例4、已知，如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB＝，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。⑴求证：AC2=AG·AF；⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否任然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm，拱高CD=8cm，则桥拱的半径是__________。
⑵已知：如图3，⊙O的半径为5，AB所对的圆心角为120°，则弦AB的长是（）
A. B. C.5 D.8
例3已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，
求∠BAC的度数。
11、已知：如图11，在⊙O中CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证：CB2=CF·CE.
12、如图12，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB，求证EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF·ED；⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
②若DE=2CE,求证：AD是⊙O的切线。
③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时，
求sin∠DAB的值。
第三节与圆有关的角
【知识回顾】
与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
圆和圆的基本性质
【知识回顾】
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
【考点分析】
1、确定条件：
圆心确定位置；半径确定大小。
2、圆的对称性：
圆是是圆心。
3、如图13，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AB、BD相交于点E。⑴求证：△ABD≌△ACD；⑵若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长。
【能力创新】
5、如图14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P。⑴已知：CD=8cm，
∠B=30°，求⊙O的半径；⑵如果弦AE交CD于F，求证：AC2=AF·AE.
①求证：RQ是⊙O的切线。
②求证：OB2=PB·PQ+OP2。
③当RA≤OA时，试确定∠B的范围。
8、如图80309，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F,G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=,OF=1,设AC=x,AB=y。
【考点分析】
圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。
【典型例题】
例1、⑴已知：A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点，则∠HDF=_______.
⑵如图1，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与∠BOC的一半相等的角共有（）
3、已知：如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1.
若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB于P，则AP=________.
4、已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12 cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是___________cm.
5、如图7，已知AB是⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm，则OD=________cm.
图80402
图80403
图80404
结论
PA·PB=PC·PD
PC2=PA·PB
PT2=PA·PB
PA·PB=PC·PD
2、可深化得出的结论：PA·PB为常数。设⊙O的半径为R，对于相交弦则有PA·PB＝R2-OP2,对于切割线则有PA·PB＝OP2- R2。
3、解题方法：①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。
第二节直线和圆的位置关系
【知识回顾】
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
【考点分析】
1、直线和圆的位置关系及其数量特征：
直线和圆的位置
相交
相切
相离
D与r的关系
d<r
d=r
d>r
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点，试探求与间的关系。
2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立？
【优化评价】
1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8,以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。
2、在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是。
⑷如图9，△ABC中，∠C=90°，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则∠EDF=_____。
2、选择题：⑴如图10，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，∠AOC等于（）
A.20°B. 40°C. 80°D. 100°
⑵△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，则⊙O的直径为（）
【典型例析】
例1、如图80406，已知ΔABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E点，交⊙O于D点，且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。求CE的长。
例2、如图80407，已知PA切⊙O于A点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD交BC于E点，F在CE上，且ED2=EF·EC。
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第四节与圆有关的比例线段
【知识回顾】
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
【考点分析】
1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下：
相交弦定理及推论1
切割线定理及推论2
条件
弦AB,CD相交于P点
弦CD⊥直径AB交于P点
PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线
PAB、PCD均为⊙O的割线
图形
图80401
3、已知PA与⊙O相切于A点，PA=,∠APO=45°,则PO的长为。
4、已知ΔABC中，∠A=70°,点O是内心，则∠BOC的度数为。
5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。
6、如图80301，AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。
A.AC=CB B.AN=BN C.AM=BM D.OC=CN
9、如图10，已知：在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.
求证：△OCD为等腰三角形.
【能力创新】
10、等腰△ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm，则S△ABC为（）
A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm
A.2个B.3个C.4个D.5个
例2、⑴下列命题正确的是（）
A.相等的角是对顶角；B.相等的圆周角所对的弧相等；
C.等弧所对的圆周角相等角；D.过任意三点可能确定一个圆。
⑵如图2，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，
若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（）
7、如图80302，梯形ABCD中，AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E，且圆心O在BC上，①四边形ABED是什麽四边形？请证明你的结论。②若∠B=60°,AB：AD：BC=1：1：3则有哪些结论？至少写出两个并加以证明。
【发展探究】
1、如图80305，设PMN是⊙O通过圆心的一条割线，①若PT切⊙O于点T,求证：=
A.40°B. 100°C. 120°D. 30°
⑶如图3，AB、AC是⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，若∠ADB=35°，则∠BOC=____.
例3、⑴如图4，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B点，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=_________.
⑵如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB=_____度。
【基础练习】
1、填空题：⑴如图7，OA、OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，
且∠AOB=84°，则∠ABC的度数为___________.
⑵如图8，C是⊙O上的一点，AB为100°，则∠AOB=_____度，
∠ACB=_______度。
⑶圆内结四边形ABCD中，如果∠A:∠B:∠C=2：3：4，那么∠D=_____度。
①求证：CD是ΔADE外接圆的切线。
②若CD的延长线交⊙O于F,求证：=
③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。
④若AC≠AB结论①还成立吗？
【基础训练】
1、若⊙O的半径为3cm，点P与圆心O的距离为6cm，则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。
2、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离为。
例4已知：F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的一点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=BF.
【基础练习】
1、如图5，乒乓球的最大截口⊙O的直径AB⊥弦CD，P为垂足，若CD=32mm，AP：PB=1：4，则AB=________.
2、平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为_______cm.
例4、已知，如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB＝，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。⑴求证：AC2=AG·AF；⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否任然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm，拱高CD=8cm，则桥拱的半径是__________。
⑵已知：如图3，⊙O的半径为5，AB所对的圆心角为120°，则弦AB的长是（）
A. B. C.5 D.8
例3已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，
求∠BAC的度数。
11、已知：如图11，在⊙O中CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证：CB2=CF·CE.
12、如图12，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB，求证EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF·ED；⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
