第5讲 抛物线考点精讲(解析版)

高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线。

注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （F l ）的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。

注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。

以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：2 （1）y2px （p 0），其焦点为F (p2,0)px，准线为 2；2（2）y2px （p 0 ），其焦点为F (p2,0)px，准线为 2；2 （3）x2py （p 0），其焦点为F (0,p2)py，准线为 2；2（4）x2py （p 0 ），其焦点为F (0,p2)py，准线为 2.2.抛物线的标准方程的特点12抛物线的标准方程y 2px 2（p 0）或x 2py （p 0）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质2以标准方程y 2px（p 0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：x 0 ，y R；（2）顶点：坐标原点O (0,0) ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为y 0 ；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p ；F ( p2,0)（6）焦点：；px（7）准线： 2；（8）焦准距：p ；（9）离心率： e 1；（10）焦半径：若( , )P x0 y2为抛物线y 2px（p 0 ）上一点，则由抛物线的定义，有PF x0 p 2；（11）通径长：2p.2注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。

抛物线精讲精析点点突破热门考点01 抛物线的焦点及准线1.平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2.图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0） 范围 x≥0，y R ∈ x≤0，y R ∈y≥0，x R ∈ y≤0，x R ∈对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e=1准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =【典例1】（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【典例2】（2020·武威第六中学高三其他（理））已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =- 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．热门考点02 抛物线的标准方程【典例3】（2020·全国高三课时练习（理））抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，MFO ∆ 的面积为43，则抛物线方程为（ ） A ．26y x = B ．28y x = C ．216y x = D ．2152y x = 【答案】B【解析】设),(11y x M ，则由OF MF 4=得2421pp x ⨯=+，即p x 231=，则2213p y =，则p y 31=，则343221=⨯⨯=∆p pS OMF ，解得4=p ，即抛物线的方程为28y x =． ．【典例4】（2020·全国高三课时练习（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________. 【答案】26y x = 【解析】因为FPM 为等边三角形，所以PM PF =，由抛物线的定义可得PM 垂直于抛物线的准线，设2(,)2m P m p ，则点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，FPM 是等边三角形， 所以222622()622m pp p p m ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得2273m p ⎧=⎨=⎩. 因此抛物线方程为26y x =. 故答案为：26y x =【总结提升】1．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ．热门考点03 抛物线定义的应用【典例5】（上海高考真题（文））抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则. 【答案】2 【解析】 设点点的坐标为，根据抛物线的定义，可得，当时，取得最小值，解得.【典例6】（2017·全国高考真题（理））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________． 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．热门考点04 抛物线的实际应用【典例7】（2020·全国高一课时练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】6米【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =，故水面宽为26米，故答案为26米．【典例8】如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)【答案】水池的直径至少应设计为5 m ． 【解析】分析：图(2)是图(1)中位于直线O ′P 右边的部分，故O ′B 为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则易得P 点坐标，再由P 在抛物线上求出抛物线方程，再由B 点纵坐标求出B 点的横坐标即可获解．详解：如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12． 故抛物线方程为x 2＝－y ．图(2)又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m ． 【总结提升】抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．热门考点05 抛物线的对称性【典例9】（2019·天山 新疆实验高二开学考试）已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点，A ，B 为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为p 的值为__________．【答案】2 【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ， ∵||||OA OB =， ∴22221122x y x y +=+．又2112y px =，2222y px =，∴2221212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．又1x 、2x 与p 同号， ∴1220x x p +=≠． ∴210x x -=，即12x x =．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称， 由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB的方程为3y x =，由22y x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得(6,)B p ，∴22(6)(23)43OB p p p =+=． ∵OAB 的面积为483，∴23(43)4834p =， 解得24p =，∴2p =．答案：2【典例10】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长. 【答案】43p 【解析】如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°．∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p ． 于是|AB |＝2y 1＝43p ． 【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．热门考点06 抛物线的焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)焦半径|AF ||AF |＝__x 0＋p2__|AF |＝__p2－x 0__|AF |＝__y 0＋p2__|AF |＝__p2－y 0__3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【典例11】（2020·3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【典例12】（2020·全国高三其他（文））已知抛物线()2:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求抛物线E 的方程；（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点， 所以122p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为22y x =.（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=， 则1214x x =，且120x x <<，所以1212x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()11y y x n x n-=--， 与方程22y x =联立得()()()22222122111121220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， 则()()212121212221y n x n x x n y x n -==-，即214n =，解得12n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．热门考点07 抛物线的最值问题【典例13】（2019·河南高考模拟（理））已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A.2D.12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.【典例14】（2019·贵州高三开学考试（文））已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A.3B.4【答案】A 【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选：A.【总结提升】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p ，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．热门考点08 与抛物线有关的综合问题【典例15】（2020·河北桃城�衡水中学高三其他（理））已知圆221x y +=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，且坐标原点O 是AC 的中点，则p 的值等于_________________. 25【解析】因为抛物线的准线方程为2p x =-，所以由对称性得点,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入圆的方程得()2212p p ⎛⎫+±= ⎪⎝⎭，解得25p =. 故答案为：25【典例16】（湖南高考真题）过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．【答案】2 【解析】依题意知，焦点(0,)2p F ，则过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点且斜率为1的直线方程为2py x =+.设11(,)A x y 、22(,)B x y .则易知1(,0)D x 、2(,0)C x ，所以21DC x x =-.又易知10y >，20y >.所以112pAD y x ==+、222pBC y x ==+.所以梯形ABCD 的面积12212222p px x AD BC S DC x x ++++=⋅=⋅-2122112()41222x x p x x x x ++=⋅+-=. 联立2222{202x pyx px p p y x =⇒--==+，所以122x x p +=，212x x p =-.代入S 中，可得2312p =，又0p >，所以2p =.巩固提升1．（2020·浙江鄞州 宁波华茂外国语学校高三一模）设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =3p 为（ ）A ．2B ．4C ．23 D．43【答案】B 【解析】 依题意得，(,0)2pF ， 因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =， 因为0p >，所以4p =. 故选：B.2.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C3．（2020·湖北武汉 高三其他（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】抛物线C ：()220y px p =>的准线l 的方程为2px =-， 圆M ：()()22234x y +++=的圆心(2,3)M --，因为抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，所以准线l 过圆心(2,3)M --， 所以22p-=-，解得4p =， 故选：C4．（2020·安徽黄山 高三二模（文））已知双曲线222(0)x ky k k -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D【答案】D 【解析】由抛物线28y x =的焦点坐标(2,0)，双曲线222(0)x ky k k -=>，得22122x y k -=，则2222k +=，得1k =，故焦距24c =，实轴长2a =，则离心率ce a==故选：D.5．（2019·宁波市第四中学高二期中）设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】因为抛物线方程212y x =，所以6P =， 由抛物线的定义可得：6||5822P P PF x =+=+=． 故选C ．6．（2020·黑龙江南岔 伊春二中高二月考（理））抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【答案】A 【解析】∵A,B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ， 由22y x by x⎧⎨⎩＝－＋＝消去y 整理得2x 2＋x －b ＝0， ∵直线AB 与抛物线交于两点， ∴Δ＝1＋8b ＞0，解得18b >-． 又由题意得12121,22b x x x x +=-=-， ∵1212x x =-， ∴b ＝1，满足题意． 设A ，B 的中点为P (x 0，y 0)， 则120124x x x +==-，∴00151144y x =-+=+=， 又点15(,)44-在直线y ＝x ＋m 上，∴5144m =-+，解得32m =． 故选A ．7．（2018·北京高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】(1,0) 【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中， 解得：1a =，24y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===， ∴ 焦点坐标为(1,0).8．（2020·绍兴鲁迅中学高二期中）抛物线x 2＝y 的焦点F 的坐标为__________，若该抛物线上有一点P 满足|PF|＝54，且P 在第一象限，则点P 的坐标为___________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其准线方程为y ＝－14， 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 根据抛物线定义，得y 0＋14＝54， ∴y 0＝1，代入20=x y ， 由于x 0＞0，∴x 0＝1. 故答案为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,1).9．（2020·宝山 上海交大附中高三其他）抛物线2y x 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 10．（2020·江苏泰州 高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 11．（2020·安徽相山 淮北一中高三月考（理））点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120,AFB AB ︒∠=中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则22||d AB 的最大值为_________. 【答案】13【解析】设||AF a =，||BF b =，则||||||||222AC BE AF BF a bd +++===，在三角形ABF 中，由余弦定理得222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++， ∴22222()11311||4()223d a b ab ab AB a b ab a b ab ab +=++=++++， 当且仅当a b =时取等号，所以22||d AB 的最大值为13. 故答案为：13． 12．（2017·浙江）抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ，P 为该抛物线上的动点，则a =________；线段FP 中点M 的轨迹方程为________． 【答案】142210x y -+= 【解析】 因为2y ax =，所以21x y a =，其焦点坐标是10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ，所以114a=， 解得14a =．设点()00,P x y ， (),M x y ， 所以20014y x =， 因为线段FP 中点为M ，所以00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00221x x y y =⎧⎨=-⎩，代入20014y x =，化简得2210x y -+=． 所以线段FP 中点M 的轨迹方程是2210x y -+=.13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点， 所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2= 故答案为2.14．（2020·山东聊城 高三二模）【多选题】已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P 则下列结论正确的是( )A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 点则直线MN 的斜率为定值 【答案】BCD 【解析】因为抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ， 所以12p =， 所以抛物线方程为：2y x =，焦点坐标为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭对于A ，15144PF =+=，故A 错误. 对于B ，43PF k =，所以41:()34PF l y x =-，与2y x =联立得：24310y y --=，所以121231,44y y y y +==-，所以12111522432OPQ S OF y y =⋅-=⨯=，故B 正确.对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，()1410k k ∆=--=24410k k -+=，解得12k =， 所以切线方程为210x y -+=，故C 正确.对于D ， 依题意斜率存在，设:PM l 1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，所以11M y k +=，即11M y k =-，则211M x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以点2111,1M k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2111,1N k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22112111421111MNk k k k k k k ⎛⎫---- ⎪⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD15．（2020·琼山 海南中学高三月考）【多选题】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC16．（2020·山东高三零模）【多选题】设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB ==．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==12x x ∴±，x =.所以116k -==AB的方程为134y x =-+，所以14b =. 由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223. 所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．。

第五讲 抛物线方程及性质突破点(一) 抛物线的定义及其应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流”抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”利用抛物线的定义求解距离问题[例1] (1)(2017·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)(2)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．(3)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．[解析] (1)过M 点作准线的垂线，垂足是N (图略)，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．(2)依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1，5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.(3)由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P本节主要包括2个知识点： 1.抛物线的定义及其应用； 2.抛物线的标准方程及性质.到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.[答案] (1)D (2)5 (3)2焦点弦问题焦点弦的常用结论：以抛物线y 2＝2px (p >0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)S △AOB ＝p 22sin θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)；(5)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；(8)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°； (9)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．[例2] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若u u u r OC ＝uuu r OA ＋λuuu rOB ，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则u u u r OC ＝(x 3，y 3)＝uuu r OA ＋λuuu rOB ＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一](2016·广州一模)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：选A 由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A.2.[考点二]已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：选A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.3.[考点一]已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |，即|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.4.[考点二]若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．解析：由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y 0(y 0≥0)，则点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△PAB 的面积的最小值是2 2.答案：2 25.[考点二]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝⎛⎭⎫－p2，y B . 则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .突破点(二) 抛物线的标准方程及性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流”图形标准方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦点坐标 ⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2 离心率 e ＝1焦半径 |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求抛物线的标准方程1．定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2．待定系数法(1)根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y 2＝2px (p >0)和y 2＝－2px (p >0)两种情况求解．另一种是设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．[例1] 若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程．[解] 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3， 所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .抛物线的几何性质[例2] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫14，0 D ．(0,1)(2)若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.[答案] (1)B (2)12[方法技巧]涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．抛物线方程的实际应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．[例3] 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？说明理由．[解] 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)． 因为车与箱共高4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)， 则x 20＝32，所以|x 0|＝ 32＝62， 所以2|x 0|＝6<3， 故此车不能通过隧道．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2.[考点二]抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B ．－14C ．4D ．－4解析：选B 由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a＝－14.3.[考点一]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选B 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .4.[考点一]以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝4，即p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .5.[考点二]抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6(负值舍去)．答案：66.[考点三]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．答案：2 6[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.故选D.2．(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5.∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若u u u rFP ＝4uuu r FQ ，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2解析：选C 如图所示，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，设l 与x 轴交点为M ，因为u u u rFP ＝4uuu r FQ ，所以|QQ ′|∶|MF |＝|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离|MF |＝4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.。

专题13.5 抛物线（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 抛物线的焦点及准线1.平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2.图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0） 范围 x≥0，y R ∈ x≤0，y R ∈y≥0，x R ∈ y≤0，x R ∈对称轴x 轴y 轴【典例1】（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【典例2】（2020·武威第六中学高三其他（理））已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-.故答案为：116y =- 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．热门考点02 抛物线的标准方程【典例3】（2020·全国高三课时练习（理））抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，MFO ∆ 的面积为43，则抛物线方程为（ ） A ．26y x = B ．28y x = C ．216y x = D ．2152y x = 【答案】B【解析】设),(11y x M ，则由OF MF 4=得2421pp x ⨯=+，即p x 231=，则2213p y =，则p y 31=，则343221=⨯⨯=∆p pS OMF ，解得4=p ，即抛物线的方程为28y x =． ．【典例4】（2020·全国高三课时练习（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________. 【答案】26y x = 【解析】因为FPM 为等边三角形，所以PM PF =，由抛物线的定义可得PM 垂直于抛物线的准线，设2(,)2m P m p ，则点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，FPM 是等边三角形， 所以222622()622m pp p p m ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得2273m p ⎧=⎨=⎩. 因此抛物线方程为26y x =.故答案为：26y x =【总结提升】1．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ．热门考点03 抛物线定义的应用【典例5】（上海高考真题（文））抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则. 【答案】2 【解析】 设点点的坐标为，根据抛物线的定义，可得，当时，取得最小值，解得.【典例6】（2017·全国高考真题（理））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．热门考点04 抛物线的实际应用【典例7】（2020·全国高一课时练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米 【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =，故水面宽为26米，故答案为26米．【典例8】如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)【答案】水池的直径至少应设计为5 m ． 【解析】分析：图(2)是图(1)中位于直线O ′P 右边的部分，故O ′B 为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则易得P 点坐标，再由P 在抛物线上求出抛物线方程，再由B 点纵坐标求出B 点的横坐标即可获解．详解：如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12． 故抛物线方程为x 2＝－y ．图(2)又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m ． 【总结提升】抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．热门考点05 抛物线的对称性【典例9】（2019·天山 新疆实验高二开学考试）已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点，A ，B 为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为483p 的值为__________．【答案】2 【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ， ∵||||OA OB =， ∴22221122x y x y +=+．又2112y px =，2222y px =，∴2221212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．又1x 、2x 与p 同号， ∴1220x x p +=≠． ∴210x x -=，即12x x =．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称，由OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为3y x =，由232y xy px⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得(6,23)B p p，∴22(6)(23)43OB p p p=+=．∵OAB的面积为483，∴23(43)4834p=，解得24p=，∴2p=．答案：2【典例10】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.【答案】43p【解析】如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2．又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22，即x21－x22＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°．∴y1 x1＝tan30°＝33，而y21＝2px1，∴y1＝23p．于是|AB|＝2y1＝43p．【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．热门考点06 抛物线的焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径|AF||AF|＝__x0＋p2__|AF|＝__p2－x0__|AF|＝__y0＋p2__|AF|＝__p2－y0__3．焦点弦问题如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．(1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__；(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋__p__；(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2．【典例11】（2020·山东海南省高考真题）斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【典例12】（2020·全国高三其他（文））已知抛物线()2:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）求抛物线E 的方程；（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点， 所以122p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为22y x =.（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=， 则1214x x =，且120x x <<，所以1212x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()11y y x n x n-=--， 与方程22y x =联立得()()()22222122111121220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， 则()()212121212221y n x n x x n y x n -==-，即214n =，解得12n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．热门考点07 抛物线的最值问题【典例13】（2019·河南高考模拟（理））已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A.2D.12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.【典例14】（2019·贵州高三开学考试（文））已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A.3B.4【答案】A 【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线，则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选：A.【总结提升】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p ，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．热门考点08 与抛物线有关的综合问题【典例15】（2020·河北桃城�衡水中学高三其他（理））已知圆221x y +=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，且坐标原点O 是AC 的中点，则p 的值等于_________________. 25【解析】因为抛物线的准线方程为2p x =-，所以由对称性得点,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 代入圆的方程得()2212p p ⎛⎫+±= ⎪⎝⎭，解得255p =. 故答案为：25【典例16】（湖南高考真题）过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．【答案】2 【解析】依题意知，焦点(0,)2p F ，则过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点且斜率为1的直线方程为2py x =+.设11(,)A x y 、22(,)B x y .则易知1(,0)D x 、2(,0)C x ，所以21DC x x =-.又易知10y >，20y >.所以112pAD y x ==+、222pBC y x ==+.所以梯形ABCD 的面积12212222p px x AD BC S DC x x ++++=⋅=⋅-2122112()41222x x p x x x x ++=⋅+-=. 联立2222{202x pyx px p p y x =⇒--==+，所以122x x p +=，212x x p =-.代入S 中，可得2312p =，又0p >，所以2p =.巩固提升1．（2020·浙江鄞州 宁波华茂外国语学校高三一模）设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =的距离为3，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】B 【解析】 依题意得，(,0)2pF ， 因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =， 因为0p >，所以4p =. 故选：B.2.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C3．（2020·湖北武汉 高三其他（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】抛物线C ：()220y px p =>的准线l 的方程为2px =-， 圆M ：()()22234x y +++=的圆心(2,3)M --，因为抛物线C ：()220y px p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，所以准线l 过圆心(2,3)M --， 所以22p-=-，解得4p =， 故选：C4．（2020·安徽黄山 高三二模（文））已知双曲线222(0)x ky k k -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D【答案】D 【解析】由抛物线28y x =的焦点坐标(2,0)，双曲线222(0)x ky k k -=>，得22122x y k -=，则2222k +=，得1k =，故焦距24c =，实轴长2a =，则离心率ce a==故选：D.5．（2019·宁波市第四中学高二期中）设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】因为抛物线方程212y x =，所以6P =， 由抛物线的定义可得：6||5822P P PF x =+=+=． 故选C ．6．（2020·黑龙江南岔 伊春二中高二月考（理））抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 等于( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【答案】A 【解析】∵A,B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ， 由22y x by x⎧⎨⎩＝－＋＝消去y 整理得2x 2＋x －b ＝0， ∵直线AB 与抛物线交于两点， ∴Δ＝1＋8b ＞0，解得18b >-． 又由题意得12121,22b x x x x +=-=-， ∵1212x x =-， ∴b ＝1，满足题意． 设A ，B 的中点为P (x 0，y 0)，则120124x x x +==-， ∴00151144y x =-+=+=，又点15(,)44-在直线y ＝x ＋m 上，∴5144m =-+，解得32m =． 故选A ．7．（2018·北京高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】(1,0) 【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中， 解得：1a =，24y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===， ∴ 焦点坐标为(1,0).8．（2020·绍兴鲁迅中学高二期中）抛物线x 2＝y 的焦点F 的坐标为__________，若该抛物线上有一点P 满足|PF|＝54，且P 在第一象限，则点P 的坐标为___________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其准线方程为y ＝－14， 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 根据抛物线定义，得y 0＋14＝54， ∴y 0＝1，代入20=x y ， 由于x 0＞0，∴x 0＝1. 故答案为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,1).9．（2020·宝山 上海交大附中高三其他）抛物线2y x 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 10．（2020·江苏泰州 高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 11．（2020·安徽相山 淮北一中高三月考（理））点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120,AFB AB ︒∠=中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则22||d AB 的最大值为_________. 【答案】13【解析】设||AF a =，||BF b =，则||||||||222AC BE AF BF a bd +++===，在三角形ABF 中，由余弦定理得222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++， ∴22222()11311||4()223d a b ab ab AB a b ab a b ab ab +=++=++++， 当且仅当a b =时取等号，所以22||d AB 的最大值为13. 故答案为：13． 12．（2017·浙江）抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ，P 为该抛物线上的动点，则a =________；线段FP 中点M 的轨迹方程为________． 【答案】142210x y -+= 【解析】 因为2y ax =，所以21x y a =，其焦点坐标是10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为抛物线2y ax =的焦点为()0,1F ， 所以114a=， 解得14a =． 设点()00,P x y ， (),M x y ， 所以20014y x =， 因为线段FP 中点为M ， 所以00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00221x x y y =⎧⎨=-⎩， 代入20014y x =，化简得2210x y -+=． 所以线段FP 中点M 的轨迹方程是2210x y -+=.13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=- 所以1212124k y y x x y y -==-+ 取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B''因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'，因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2=故答案为2.14．（2020·山东聊城 高三二模）【多选题】已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P 则下列结论正确的是() A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 点则直线MN 的斜率为定值【答案】BCD【解析】因为抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ， 所以12p =，所以抛物线方程为：2y x =，焦点坐标为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭对于A ，15144PF =+=，故A 错误.对于B ，43PF k =，所以41:()34PF l y x =-，与2y x =联立得：24310y y --=， 所以121231,44y y y y +==-，所以12111522432OPQ S OF y y =⋅-=⨯=，故B 正确.对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=， ()1410k k ∆=--=24410k k -+=，解得12k =，所以切线方程为210x y -+=，故C 正确.对于D ， 依题意斜率存在，设:PM l 1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：210ky y k -+-=，所以11M y k +=，即11M y k =-，则211M x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以点2111,1M k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2111,1N k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22112111421111MN k k k k k k k ⎛⎫---- ⎪⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD15．（2020·琼山 海南中学高三月考）【多选题】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确； 对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；故选：ABC16．（2020·山东高三零模）【多选题】设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-， OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确；C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB ==．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==12x x ∴±，x =.所以116k -==AB的方程为134y x =-+，所以14b =. 由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++ =1114++=3223. 所以41||133BF =-=.所以D 正确. 故选：ACD ．。