浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届高三第一次联考数学试题(解析版)

浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2019届高三第一次联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D. 或【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数z满足为虚数单位，则A. B. i C. D. 1【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.设函数，则的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】解：函数，，．故选：C．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，得：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则n与相交、平行或，故B错误；在C中，若，，则或，故C错误；在D中，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，与相交或平行；在B中，n与相交、平行或；在C中，或；在D中，由面面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 4C. 2D.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：阴影部分由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大由解得．代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．6.已知双曲线C：，则“”是“双曲线C的焦点在x轴上”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由题意得：双曲线C的焦点在x轴上或，或，或推不出，“”是“双曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数，可得是奇函数排除C；当时，，图象在x轴的上方，排除D；当时，，排除B；故选：A．根据奇偶性，单调性结合特殊点，即可求解．本题考查了函数图象变换，是基础题．8.已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可得：，，可得，，，，，，可得，可得．故选：B．利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．9.已知实数a，b，c，d满足，，则的最小值是A. 10B. 9C.D.【答案】B【解析】解：，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选：B．利用基本不等式求得，再利用基本不等式求得的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形，是解题的关键和难点，属于中档题．10.已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离，，成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为，，，则下列正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：依题意知正四面体的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，，，其中，表示直线MO与AB的夹角，同理可以将，转化，，，其中，表示直线MO与BC的夹角，，，其中，表示直线MO与AC的夹角，由于是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，可知M在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以，故选：D．根据题意分析，将问题转化为：比较OM与AB，BC，AC的大小然后在中可以解决．本题考查了异面直线及其所成角，属难题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知随机变量的分布如表所示，则______，______．【答案】【解析】解：随机变量的分布可得，可得，所以．．故答案为：；．利用分布列求解m，求解期望，利用方差公式求解即可．本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______．【答案】24 60【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，则其体积为．表面积为．故答案为：24；60．由三视图还原原几何体，可知原几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，从而可求几何体的体积和表面积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.若的展开式中，的系数为6，则，______，常数项的值为______．【答案】1 15【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得的系数，再根据的系数为6，求得a的值；在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且外接圆半径为，则______，若，则的面积为______．【答案】3【解析】解：，且外接圆半径R为，由正弦定理，可得：，，由余弦定理，可得：，解得：，．故答案为：3，．由已知利用正弦定理可求a的值，进而根据余弦定理可求bc的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．15.沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有______种【答案】21【解析】解：把6根电线杆放好，7为空，选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，所以有，故答案为：21．把6根电线杆放好，7为空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．本题考查了排列组合在实际生活中的应用，属于中档题．16.已知向量，满足，，则的取值范围为______．【答案】【解析】解，，又，，，又，设为向量，的夹角，，又，，，，故答案为：先由，，得然后由三角函数的有界性，得然后计算即可本题考查了向量的数量积及三角函数的有界性，属难度为中档题17.设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】解：由去绝对值可得在的最大值为，，，中之一，由题意可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为：．由题意可得在的最大值为，，，中之一，可得四个不等式，相加，再由绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用函数取最值的情况，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数Ⅰ求的最小正周期及单调递增区间；Ⅱ求在区间上的最大值．【答案】解：Ⅰ．的最小正周期，令，，得，，的单调递增区间为，；Ⅱ时，，，在区间上的最大值为3．【解析】Ⅰ利用三角函数的诱导公式化简，由周期公式计算得的最小正周期，由，可解得函数的单调增区间；Ⅱ由x的范围求出的范围，进一步求出的范围，则答案可求．本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，Q为棱PC上的一点，且．Ⅰ证明：平面平面ABCD；Ⅱ求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ连结AC，BD，交于点O，则由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．解：Ⅱ过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则即为直线QD与平面PBC所成角，设为，设，，，即，解得，，直线QD与平面PBC所成角的正弦值．【解析】Ⅰ连结AC，BD，交于点O，推导出，平面ABCD，由此能证明平面平面ABCD．Ⅱ过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则即为直线QD与平面PBC所成角，设为，设，由，求出，由此能求出直线QD与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知数列的前n项和为，且满足且Ⅰ当，时，求数列的前n项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】解：Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ证明：可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．【解析】Ⅰ当，时，，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；Ⅱ运用等比数列的通项公式，可得a，b的值，进而得到，运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．21.已知抛物线的焦点为F，点，且．Ⅰ求抛物线方程；Ⅱ设A，B是抛物线上的两点，当F为的垂心时，求直线AB的方程．【答案】解：Ⅰ，解得：，所以C：；Ⅱ由，设，，因为F是的垂心，所以，有，故，所以设AB：与C：联立得，令，有，由韦达定理，，，因为F是的垂心，所以，即同理，得，所以，解得，又因为，所以AB：．【解析】Ⅰ由两点间距离公式列式，求得即可；Ⅱ根据垂心性质得AB的斜率，可设出AB的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，列式可得．本题考查了直线与抛物线的综合属难题．22.设，已知函数，．Ⅰ若恒成立，求a的范围：Ⅱ证明：存在实数a使得有唯一零点．【答案】解：Ⅰ，，，恒成立，，解得，又当时，，在单调递增，，综上所述；证明：Ⅱ设的零点为，有，则，令，则，，在上存在零点，设为，取，则，，，设的零点为，则在上递增，在上递减，函数存在两个零点，，函数在，上递减，在上递增，函数存在唯一的零点，综上所述存在，符合题意．【解析】Ⅰ先求导，根据导数和函数的单调性的关系可得当时，，Ⅱ设的零点为，有，则，构造函数，再求导，设在上存在零点，设为，取，代入到中，根据导数和函数最值的关系，即可求出．本题考查导数知识的运用，函数的单调性，函数零点的问题，解题的关键是正确求导，合理构造，属于难题．。

2019届浙江名校联盟第一次联考一、 选择题：每小题4分，共40分1. （2019届浙江名校联盟第一次联考1）已知集合{}1A x x =<，{}2320B x x x =++≤，则A B =I （ ） A ．∅B ．{}1x x <C ．{}21x x -≤≤-D ．{}211x x x <--<<或2. （2019届浙江名校联盟第一次联考2）设复数z 满足()2i 12i z ⋅+=-+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．13. （2019届浙江名校联盟第一次联考3）设函数()ln ,1,1xxx f x ex -⎧≤-=⎨>-⎩，则()()2f f -的值为（ ） A ．1eB ．2eC ．12D ．24. （2019届浙江名校联盟第一次联考4）已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥B ．若αβ⊥，n α∥，则n β⊥C ．若αβ∥，m α∥，则m β∥D ．若m α⊥，n β⊂，m n ∥，则αβ⊥5. （2019届浙江名校联盟第一次联考5）已知实数x ，y 满足约束条件2220220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为（ ） A ．1B ．4C ．2D ．326. （2019届浙江名校联盟第一次联考6）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则 “a b >”是“双曲线C 的焦点在x 轴上”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. （2019届浙江名校联盟第一次联考7）函数()()2sin 1xf x x x ππ=-≤≤+的图象可能是（ ）DCA8. （2019届浙江名校联盟第一次联考8）已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，且满足12=AF ，2ABBF =，则该椭圆的离心率是（ ） A ．12B C D 9. （2019届浙江名校联盟第一次联考9）已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b +=，1c d +=，则11abc d+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．D ．10. （2019届浙江名校联盟第一次联考10）已知三棱锥P ABC -的所有棱长为1，M 是底面ABC △内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离1h ，2h ，3h 成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ） A ．αβ=B ．βγ=C ．αβ<D ．βγ<二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11. （2019届浙江名校联盟第一次联考11）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则()E ξ= ，()D ξ= ．12. （2019届浙江名校联盟第一次联考12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．13. （2019届浙江名校联盟第一次联考13）若621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为6，则a = ，常数项的值为．14. （2019届浙江名校联盟第一次联考14）在ABC△中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，60A =︒，且ABC △a = ；若b c +=ABC △的面积为．MPCBA3俯视图侧视图正视图15. （2019届浙江名校联盟第一次联考15）沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有 种．16. （2019届浙江名校联盟第一次联考16）已知向量a ，b 满足2=a b ，2-=a b ，则⋅a b 的取值范围为 ．17. （2019届浙江名校联盟第一次联考17）设函数()2f x x a x b =+++（a ，b R ∈），当[]2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为 ． 三、解答题：5小题，共74分18. （2019届浙江名校联盟第一次联考18）已知函数2()22sin f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．19. （2019届浙江名校联盟第一次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的点，且13PQ PC =．（1）证明：平面QBD ⊥平面ABCD ；（2）求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．20. （2019届浙江名校联盟第一次联考20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21,,n n S a bn a b n =⋅+-∈∈R N ．（1）当1,1a b ==时，求数列{}n S 的前n 项和n T ； （2）若{}n a 是等比数列，证明：312122311n n n a a a S S S S S S +++++<K ． QPDC BA21. （2019届浙江名校联盟第一次联考21）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()2,8M -，且MF =（1）求抛物线方程；（2）设A ，B 是抛物线上的两点，当F 为ABM △的垂心时，求直线AB 的方程．22. （2019届浙江名校联盟第一次联考22）设a R ∈，已知函数()()2ln 11f x x x ax a x =+-++，()1+x ∈∞，．（1）若()0f x >恒成立，求a 的范围； （2）证明：存在实数a 使得()f x 有唯一零点．。

浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第一次联考语文试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

一、语言文字运用（共20分）1.下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（3分）A.场（cháng）院四周都岑（cén）寂了下来，只有苇塘里蛙声一片：老书记望着院子里刚收获的玉米，感慨地说：“真是堆积如山哪！”B.南曲柔缓婉转的曲调，和北方遒劲（jìn）朴实的声调不能互相调节，只好改弦更（gng）张，但无论南曲或北曲，都并未超出杂剧的范畴。

C.众多大牌导演在蜇伏了一年以后，在市场的召（zhào）唤下纷纷“出山”争霸天下，使得今年的华语片市场格外热闹；影片（pin）各具特色，不会混淆。

D.这是一幅饱蘸（zhàn）着大师才情的作品，无论谁见到，都会感到运筹帷幄的豪迈席卷而来，可以说它至今依然是我国这一领域的翘（qiào）楚。

阅读下面的文字，完成2、3题。

（5分）中华山河表里形胜，自然的奇迹似乎是顽皮的山鹿率性奔跃之后留下的斑驳蹄印。

两千余座石窟、十万余尊佛像从北魏开始启程，一路逶迤走到唐的时空廊坊。

一代复一代的工匠勒绳搭架在山崖钎凿锤打，劳作的汗渍在衣衫上形成片片云图，他们湿漉漉的发髻几近浸透了半个洛阳城。

［甲］诸佛、菩萨、罗汉、力士、夜叉、飞天……，或立或坐或卧，姿态万千，神情自若，既悲又悯，俯视世间芸芸众生的喜怒哀乐。

［乙］佛的目光要把这一切包涵，无论你是谁，从哪里来，在智慧与光明的化身面前，多舛的肉身都俨然一粒尘埃。

［丙］光明使所有的物象透明空盈，苦思冥想日日追求的重如泰山的名利权势，在此且放下——因为，你在佛的面前永远是孩子。

3 2
3.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)延长
PM
交椭圆于 Q
，若
uuur BP
×
uuur BQ
=
6
，求直线
PQ
的方程.
18．已知函数 f (x) = xlnx(x > 0) ；
(1)设函数 g(x) = f (x) + f (1 - x) ，求函数 g ( x) 的极值；
(2)若不等式 f (x) ³ ax + b(a,b Î R) 当且仅当在区间[e, +¥) 上成立（其中 e 为自然对数的底
(1)若
A
=
π 3
，求
B
；
(2)若V ABC 是锐角三角形，且 c = 4 ，求 b 的取值范围.
( ) 17．已知椭圆
E
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1
a >b>0
的离心率为 e
=
1 2
，左、右顶点分别为
A, B,O 为坐标原点， M 为线段 OA 的中点， P 为椭圆上动点，且△MPB 面积的最大值为
A．[-2,1]
B．
éêë-1,
3 2
ö ÷ø
C．
æ çè
-¥,
3 2
ö ÷ø
D． (-¥, -1]
2．
æ çè
2x
-
1 x2
ö7 ÷ø
的展开式中
1 x2
项的系数是（
）
A．672
B． -420
C．84
D． -560
3．已知等差数列{an} 前 n 项和为 Sn ，若
a7 a5