高三数学上学期第一次月考试题 理22

江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。

四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∈N|2x 2−5x ≤7}，B ={y|y ≤2}，则A ∩B =（ ） A.⌀ B.{−1,0} C.{0,1,2} D.{−1,0,1,2}2. 已知向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)，(a →+b →)⊥c →，则实数k =( ) A.−7 B.−2 C.2 D.73. 设α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，且cosα=x5，则tan2α=( ) A.−247B.127C.−127D.2474. 若a >b >0, c ∈R ，则（ ） A.1a >1b B.ac 2>bc 2C.(13)a<(13)bD.a|c +1|>b|c +1|5. 已知命题p ：若x >1，则2x >1；命题q:∀x >0,lgx >0．那么下列命题为真命题的是（ ） A.p ∧q B.p ∧(¬q ) C.(−p )∧q D.(¬p )∧(¬q )6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d <0，若S 7=7，a 2⋅a 6=−15，则a 11=( ) A.−13 B.−14 C.−15 D.−167. 已知函数f (x )={−3x +3,x <0−x 2+3,x ≥0，则不等式f (a )>f (3a −4)的解集为（ ）A.(−12,+∞)B.(2,+∞)C.(−∞,2)D.(−∞,−12)8. 已知函数f (x )=sin2x +2cos 2x ，下列四个结论正确的是（ ） A.函数f (x )在区间[−3π8,π8]上是减函数B.点(3π8,0)是函数f (x )图象的一个对称中心C.若x ∈[−π8,π4]，满足f (x )+m =0有两个零点，则m 的取值范围为(−1−√2,−2] D.函数f (x )的图象可以由函数y =√2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到9. 已知函数f (x )=13x 3+bx 2+(b +2)x +3在R 上单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.(−1,2)B.[−1,2]C.(−∞,−1)∪(2,+∞)D.(−∞,−2]∪[2,+∞)10. 已知x >1，y >1，且lgx,14，lgy 成等比数列，则xy 有（ ） A.最小值10 B.最小值√10 C.最大值10 D.最大值√1011. “φ=−π4”是“函数f(x)=cos(3x −φ)的图象关于直线x =π4对称”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 若x =2是函数f (x )=x 2+2(a −2)x −4alnx 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞,−2) B.(−2,+∞) C.(2,+∞) D.(−2,2)二、填空题)13. 已知sinα=−5cosα，则tan2α=_________.14. 若直线y =x +b 是曲线y =xlnx 的一条切线，则实数b =________．15. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为4，当x ∈(0,2]时， f (x )=x +m ，若f (7)=1，则m =_______.16. 已知函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0，若方程[f (x )]2=a 恰有两个不同的实数根m ，n ，则m +n 的最大值是________. 三、解答题)17. 在等差数列{a n }，已知2a 6−a 3=10且S 5=20. (1)求{a n }的通项公式：(2)设b n =2a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 已知函数f (x )=√3sin xcos x −cos 2 x +12． (1)求f (π4)的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x ∈[π4,5π12]时，求f(x)的值域．19. 如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC =60∘，PC =2，AP +AC =4.(1)求边AC 的长；(2)若△APB 的面积是 2√3 ，求sin∠BAP 的值.20. 已知函数f(x)=x 3+3x 2−9x +1． （1）求f(x)的极大值；（2）若f(x)在[k, 2]上的最大值为28，求k 的取值范围．21. 已知函数f(x)＝ae x −x(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828… (1)判断函数f(x)的单调性，并说明理由(2)若x ∈[1, 2]，不等式f(x)≥e −x 恒成立，求a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3+cosαy =4+sinα（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=π4.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．23. 设函数f (x )=|x −3|+|x +1| (1)求不等式f (x )≥6的解集；(2)对任意的实数x ∈R ，不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析四川省绵阳市绵阳一中2022-2023学年高三第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】由题意知， A ={x ∈N|−1≤x ≤72}={0,1,2,3}所以A ∩B ={0,1,2}故选：C 2. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】先求出向量a →+b →，由(a →+b →)⊥c →得(a →+b →)⋅c →=0；代入坐标求出k 的值． 【解答】解：∵ 向量a →=(2, 3)，b →=(1, 4)，c →=(k, 3)， ∴ a →+b →=(2+1, 3+4)=(3, 7)； 又∵ (a →+b →)⊥c →， ∴ (a →+b →)⋅c →=0； 即3k +7×3=0， 解得k =−7； 故选：A ． 3. 【答案】 D【考点】二倍角的正切公式 【解析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出sinα，可得tanα，再由二倍角的正切公式加以计算，可得tan2α的值．【解答】解：∵ α是第二象限角，P(x, 4)为其终边上的一点，∴ x <0，又∵ cosα=x 5=√x 2+16，∴ x =−3，∴tanα=y x=−43，∴ tan2α=2tanα1−tan 2α=247.故答案为：247．4.【答案】 C【考点】不等式比较两数大小 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】∵ a >b >0，1ab>0，∴ 1a<1b，故A 错误；当c =0时， ac 2=bc 2，故B 错误；由a >b >0，可得(13)a<(13)b，故C 正确； 当c =−1时， a|c +1|=b|c +1|，故D 错误． 故选：C ． 5. 【答案】 B【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 复合命题及其真假判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：若x >1，则2x >1；故命题p 为真命题； 命题q:∀x >0,lgx >0，命题q 为假命题：故： p ∧q 为假命题， p ∧(¬q )为真命题， (¬p )∧q 为假命题， (¬p )∧(¬q )为假命题； 故选：B ． 6. 【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵S 7=7(a 1+a 7)2=72×2a 4=7a 4=7，∴a4=1.又a2⋅a6=(a4−2d)⋅(a4+2d)=a42−4d2=−15，d<0，∴d=−2，∴a11=a4+7d=−13.故选A.7.【答案】B【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，所以a<3a−4，解得a>2故选：B8.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1，当x∈[−3π8,π8]时，2x+π4∈[−π2,π2]，f(x)单增，故A错；当x=3π8时，2x+π4=π，f(3π8)=√2sinπ+1=1，函数对称中心为(3π8,1)，故B错；当x∈[−π8,π4]，2x+π4∈[0,3π4]，√2sin(2x+π4)∈[0,√2],f(x)∈[1,√2+1],f(π4)=2，由图象性质可知，f(x)+m=0有两个零点，则−m=f(x)，−m∈[2,√2+1)，m∈(−√2−1,−2]，故C正确；f(x)=√2sin(2x+π4)+1=√2sin2(x+π8)+1，则f(x)的图象可以由函数y=√2sin2x的图象向左平移π8个长度单位，再向上平移1个单位得到，故D错．故选：C9.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】由题意得f′(x)=x2+2bx+b+2，∵f(x)在R上单调递增，∴x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立，∴Δ≤0，即b2−b−2≤0，解得−1≤b≤2故选：B10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为lgx,14、lgy成等比数列，所以(14)2=(lgx)(lgy)因为x>1,y>1所以lgx>0,lgy>0,lgx+lgy≥2√(lgx)(lgy)=12即lgxy≥12，xy≥√10，当且仅当x=y时取“=”号，故选B．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，若函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称，则当x=π4时，函数f(x)=cos(3x−φ)取得最值，所以cos(34π−φ)=±1，34π−φ=kπ,k∈Z，解得φ=(34−k)π.当k=1时，φ=−π4，当k=±1时，φ≠−π4，所以条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”推不出条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$，而条件$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$可推出条件“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”，所以$``\varphi = - \frac{\pi}{4}"$是“函数f(x)=cos(3x−φ)的图象关于直线x=π4对称”的充分不必要条件.故选A.12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】【详解】f′(x)=2x+2(a−2)−4ax =2x2+2(a−2)x−4ax=2(x−2)(x+a)x,(x>0)若a≥0时，当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0则f(x)在(0,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，与条件不符合，故满足题意．当a<−2时，由f′(x)>0可得0<x<2或x>−a；由f′(x)<0可得2<x<−a所以在(0,2)上单调递增；在(2,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极大值，满足条件．当−2<a<0时，由f′(x)>0可得0<x<−a或x>2；由f′(x)<0可得−a<x<2所以在(0,−a)上单调递增；在(−a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．所以当x=2时，f(x)取得极小值，不满足条件．当a=−2时，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增．此时f(x)无极值．综上所述：a<−2满足条件故选：A二、填空题13.【答案】512【考点】两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为sinα=−5cosα，所以tanα=−5，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−5)1−25=512故答案为：51214.【答案】−1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为(x0, x0lnx0)，对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=(lnx0+1)x−x0，对照已知直线列出关于x0、b的方程组，解之即可得到实数b的值．【解答】【详解】试题分析：设切点为P(t,tlnt)，因y′=1+lnx，故切线的斜率k=1+lnt=1，则lnt=0，即t= 1．所以切点P(1,0)代入y=x+b可得b=−1，故应填答案−1.15.【答案】−2【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】【详解】因为f(x)是定义在R上周期为4的函数，所以f(7)=f(7−8)=f(−1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=1，即f(1)=−1又因为当x∈(0,2]时，f(x)=x+m所以f(1)=1+m=−1，解得m=−2故答案为：−216.【答案】3ln2−2【考点】分段函数的应用利用导数研究函数的最值 函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】【详解】作出函数f (x )={2x 2,x ≤0e x ,x >0的图象，如图所示，由[f (x )]2=a 可得f (x )=√a ，所以√a >1，即a >1 不妨设m <n ，则2m 2=e n =√a 令√a =t (t >1)，则m =−√t2,n =lnt所以m +n =lnt −√t2，令g (t )=lnt −√t2，则g ′(t )=4−√2t 4t所以当1<t <8时， g ′(t )>0；当t >8时， g ′(t )<0 当t =8时， g (t )取得最大值g (t )=ln8−2=3ln2−2 故答案为： 3ln2−2 三、解答题 17. 【答案】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 【考点】等差数列的通项公式 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d由2a 6−a 3=10得2(a 1+5d )−(a 1+2d )=10 即a 1+8d =10，① 由S 5=5a 1+5×42d =20，即a 1+2d =4，②由①②得a 1=2,d =1∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1 （2）∵ b n =2an ⋅a n+1=2(n+1)(n+2)=2(1n+1−1n+2)∴ T n =2[(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n+1−1n+2)]=2(12−1n+2)=nn+2 18. 【答案】解析：（1）∵ f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12， ∴ f (π4)=√3sin π4cos π4−cos 2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f (x )=√3sinxcosx −cos 2x +12 =√32sin2x −12(cos2x +1)+12=sin (2x −π6)当2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈z 时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈z ) （3）∵ x ∈[π4,5π12]，∴ π3≤2x −π6≤2π3，∴ √32≤sin (2x −π6)≤1 故函数的值域为[√32,1]【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解析：（1）∵f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12，∴f(π4)=√3sinπ4cosπ4−cos2π4+12=√32−12+12=√32（2）由f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12=√32sin2x−12(cos2x+1)+12=sin(2x−π6 )当2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈z时，函数单调递增，解得函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈z)（3）∵x∈[π4,5π12]，∴π3≤2x−π6≤2π3，∴√32≤sin(2x−π6)≤1故函数的值域为[√32,1]19.【答案】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BP sin∠BAP =ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP =√7√32，解得：sin∠BAP=√217.【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60∘，PC=2，AP+AC=4，则：设AC=x，利用余弦定理得：PC2=AP2+AC2−2AP⋅AC⋅cos∠PAC，则：4=x2+(4−x)2−2x(4−x)⋅12，整理得：3x2−12x+12=0，解得：x=2.故：AC=2.(2)由于AC=2,AP+AC=4，所以：AP=2，所以△APC为等边三角形.由于△APB的面积是2√3，则12⋅AP⋅BPsin∠BPA=2√3 ,解得BP=4.在△APB中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP2−2⋅BP⋅AP⋅cos∠BPA，解得：AB=2√7，在△APB中，利用正弦定理得：BPsin∠BAP=ABsin∠BPA，所以：4sin∠BAP=√7√32解得：sin∠BAP=√217.20.【答案】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：x(−∞, −3)−3(−3, 1)1(1, +∞)f’(x)+ 0- 0+f(x)单调递增↗28单调递减↘−4单调递增↗∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）由已知条件知f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论能求出f(x)的极大值．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，由此能求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵f(x)=x3+3x2−9x+1，∴f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+6x−9，令f′(x)=3x2+6x−9>0，得x>1或x<−3，列表讨论：∴当x=−3时，f(x)有极大值f(−3)=28．（2）由（1）知f(x)在[1, 2]为增函数，在[−3, 1]为减函数，(−∞, −3)为增函数，且f(2)=3，f(−3)=28，∵f(x)在[k, 2]上的最大值为28，∴所求k的取值范围为k≤−3，即k∈(−∞, −3]．21.【答案】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xe xe2x恒成立．令g(x)=1+xe xe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xe xe2x =1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x ，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x 在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由f(x)＝ae x−x，得f′(x)＝ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，令ae x−1＝0，得x＝lna，若x∈(−∞, −lna)，则f′(x)<0，此时f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，则f′(x)>0，此时f(x)为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)＝ae x−x为R上的减函数；当a>0时，若x∈(−∞, −lna)，f(x)为的单调减函数；若x∈(−lna, +∞)，f(x)为的单调增函数．（2）由题意，x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立，等价于ae x−x≥e−x恒成立，即x∈[1, 2]，a≥1+xexe2x恒成立．令g(x)=1+xexe2x，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1, 2]上的最大值．由g(x)=1+xexe2x=1e2x+xe x，函数y=1e2x在[1, 2]上单调递减，令ℎ(x)=xe x，x∈[1, 2]，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=1−xe x≤0．∴ℎ(x)=xe x在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在x∈[1, 2]上也是减函数，∴g(x)在[1, 2]上的最大值为g(1)=1e2+1e．故x∈[1, 2]，不等式f(x)≥e−x恒成立的实数a的取值范围是[1e2+1e, +∞)．22.【答案】（1）将方程{x=3+cosαy=4+sinα，消去参数α得(x−3)2+(y−4)2=1∵x=ρcosθ, y=ρsinθ∴曲线C的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0（2）设A，B两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）将方程{x =3+cosαy =4+sinα，消去参数α得(x −3)2+(y −4)2=1∵ x =ρcosθ, y =ρsinθ∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0 （2）设A ，B 两点的极坐标方程分别为(ρ1,π4),(ρ2,π4)将θ=π4代入ρ2−(6cosα+8sinα)ρ+24=0，得ρ2−7√2ρ+24=0其中Δ>0，可得ρ1,ρ2是方程ρ2−7√2ρ+24=0的两根，由韦达定理知ρ1+ρ2=7√2,ρ1ρ2=24 ∴ |AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√2 23. 【答案】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）x ≥3时， f (x )=x −3+x +1≥6，x ≥4，−1≤x <3时， f (x )=3−x +x +1=4，f (x )≥6无解； x <−1时， f (x )=3−x −x −1≥6,x ≤−2 综上， x ≤−2或x ≥4（2）由（1）知 f (x )={2x −2,x ≥34,−1≤x <32−2x,x <−1,f (x )min =4不等式m 2−m −2≤f (x )恒成立，则m 2−m −2≤4,−2≤m ≤3。

2022-2023学年 江苏常州市高级中学 高三年级1月月考 数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，，则（ ）{}237A x x =+<∣{}2B x x =∈>-N∣A B = A ．B ．{}0,1{}1C ．D ．{}0,1,2{}1,22．已知为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）i A ．B ．C ．D ．(1)i i +2(1)i i -22(1)i i +234i i i i+++3．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5.若球在圆锥内，则球的体积的SO 1O SO 1O 最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．92π9π323π12π4．若函数的图象关于原点对称，则（ ）2()sin(2)(02)f x x x ϕϕπ=+<<ϕ=A ．B ．C ．D ．4π2ππ32π5．已知两个单位向量，的夹角为60°，设（其中x ，y ∈R ），若||＝3，a b c xa yb =+ c 则xy 的最大值（ ）A ．2BC ．3D ．6．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）2ln y xx =-1x =αcos(22πα-A ．B ．C ．D ．4545-3535-7．已知点P 是抛物线上的一点，在点P 处的切线恰好过点，则点P 22x y =10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭到抛物线焦点的距离为（ ）A ．B ．1C ．D ．212328．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两A 次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次B C 记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与事件是对立事件B ．事件与事件不是相互独立事件B C A BC ．D ．()()()18P A P B P C ⋅⋅=()18P ABC =二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（ ）公众号高中僧课堂A ．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变B ．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C ．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数D ．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小10）A ．B ．()2sin 35cos 25cos35sin 25︒︒-︒︒()2cos35cos5sin 35sin 5︒︒+︒︒C ．D ．1tan151tan15+︒-︒2tan61tan 6ππ-11．已知A （4，2），B （0，4），圆，P 为圆C 上的动点，下列22:(4)(1)4C x y -+-=结论正确的是（ ）A ．的最大值为||||PB PA -B ．的最小值为PA PB ⋅ 4-C ．的最小值为x y +5-D ．最大时，PBA ∠||PB =12．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线O PABC ABC O PAB 分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于AC BC M N S PC SMN PA 点，与棱的延长线相交于点，则（ ）Q PB RA ．若平面，则MN ∥PAB AB RQ ∥B ．存在点与直线，使S MN ()PS PQ PR ⋅+= C ．存在点与直线，使平面S MN PC ⊥SRQD ．1113PQ PR PS PA++= 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数是定义在R 上的增函数，且，则的取值范围()f x ()()121f m f m +>-m 是__________.14．已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为______．22y ax =()1,415．函数的值域为_________.32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭16．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，n 货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为______，若这堆货物总价是78n 万元，则的值为______.7641128n⎛⎫-⎪⎝⎭n四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．对于数列，若存在正整数M ，同时满足如下两个条件：①对任意，都{}n a n +∈N 有成立；②存在，使得．则称数列为数列．n a M≤0n +∈N 0n a M={}n a M B (1)若，，判断数列和是否为数列，并说明理由；（5分）1n a n =-112n n b -={}n a {}n b M B (2)若数列满足，，求实数p 的取值集合．（5分）M B {}n a 1a p =()1sin 2n n a a n -=≥18．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都25分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．（6分）19．在①，②，③4sin cos =a B A 222sin sin ()sin +=+b B c C b c A．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三cos +=+b aA A a b 角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）cosB 问题：在中，角，，的对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c 1cos 3C =________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如图，空间几何体中，四边形是梯形，，四边形ADE BCF -ABCD //AB CD 是矩形，且平面平面，MCDEF ABCD ⊥,,2,4CDEF AD DC AB AD DE EF ⊥====是线段上的动点.AE（1）试确定点M 的位置，使平面，并说明理由；（7分）//AC MDF （2）在（1）的条件下，平面将几何体分成两部分，求空间几何体MDF ADE BCF -与空间几何体的体积的比值.（7分）M DEF -ADM BCF -21．已知圆，点，点是圆上的动点，的垂直平分()221:536C x y ++=()5,0C M 1C MC 线交直线于点1MC .P（1）求点的轨迹方程；（5分）P 2C （2）过点的直线交曲线于两点，在轴上是否存在点，使得直线()4,0N l 2C ,A B x G 和的倾斜角互补，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（6分）AG BG G 22．设函数，其中．()=ln (1)e xf x x a x --a ∈R (1)若，求的单调区间；（5分）=3a -()f x (2)若，10e a <<（ⅰ）证明：恰有一个极值点；（5分）()f x （ⅱ）设为的极值点，若为的零点，且，证明：．（60x ()f x 1x ()f x 10x x >013>2x x -分）答案及解析：1．A【分析】化简集合，再结合交集运算求解即可,A B 【解析】由题意可得，则.{}2A x x =<∣{}{}|220,1A B x x =∈-<<=N 故选：A 2．C【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．【解析】对于A ，不是纯虚数；(1)1i i i +=-对于B ，是实数；()22122i i i -=-=对于C ，为纯虚数；22(1)2i i i +=-对于D ，不是纯虚数.234110i i i i i i +++=--+=故选：C.【注意】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．A【分析】设圆锥的轴截面为等腰△，则球的体积最大时，球的轴截面是△SO SAB 1O 1O 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.SAB 【解析】设圆锥的轴截面为等腰△，则球的体积最大时，球的轴截面是△SO SAB 1O 1O 的内切圆，所以，解得：，所以球的体积的SAB 11()22SAB S AB SO SA SB AB r=⋅=++⋅ 32r =1O 最大值为.92π故选：A【注意】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.4．C【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得，据此可求出值.sin(2)sin(2)x φx φ-+=--ϕ【解析】因为函数的图象关于原点对称，即，2()sin(2)(02)f x x x ϕϕπ=+<<()()f x f x -=-所以可得，即，sin(2)sin(2)x φx φ-+=-+sin(2)sin(2)x φx φ-+=--，即，2φk πφ∴=-,k k Z ϕπ=∈，.02j p << j p \=故选：C 5．C【分析】根据得到，再利用均值不等式计算得到答案。

10。 设 ,且不等式 恒成立，则实数 的最小值等于( )
A。 0B。 4
C. －4D。 －2
【答案】C
【解析】
分析】
分离参数,求齐次式 的最大值。
【详解】由 得 ，而 ( 时取等号)，
所以 ,因此要使 恒成立，应有 ，即实数 的最小值等于 .
故选： C。
【点睛】多参数不等式，先确定主元，次元唯一转化为函数问题，次元不唯一可以用基本不等式，也可以降元(分式的分子分母为齐次式是降元的主要特征)。
A。 98项B。 97项C。 96项D。 95项
【答案】B
【解析】
【分析】
由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故 ，然后由 可求出 的取值范围,从而可得结果
【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故 ,
由 得 ，又 ，故此数列共有97项.
故选:B
【点睛】此题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用,考查计算能力,属于基础题
（1）求 ､ 的通项公式;
(2）数列 中， ,且 ,求 的通项公式.
【答案】（1） , ；(2） 。
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式列出方程组
求出公差和公比，从而可求出 ､ 的通项公式；
(2）先求出 ，而 ，所以 ，然后利用累加法可求出 的通项公式
【详解】(1)设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用,旨在考查运算求解能力．
二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分)
13. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________。