初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点(1)

初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点(1)一、选择题1．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是 （ ）A ．8.5％B ．9％C ．9.5％D ．10％【答案】D【解析】【分析】设平均每次降低成本的百分率为x 的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x ）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x ）（1-x ）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为x ，根据题意得100（1-x ）（1-x ）=81，解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即x=10%故选D ．2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣1【答案】C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．3．若代数式226(3)1x x m x ++=+-，则m =（ ）A ．-8B ．9C ．8D ．-9【答案】C【解析】【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8，可得m=8，故选：C.此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握计算公式.4．方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（ ）A ．1﹣B ．C ．﹣1+D ．【答案】D【解析】【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．【详解】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝， 所以x 1＝，x 2＝ ．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．8．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a 的取值范围为a≥1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．9．下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．2810x x --=配方变为2(4)1x -=B ．21()1x x x x÷+=+ C ．221090x x ++=配方变为2(25)16x += D ．22()()x y x y x y ---+=-【答案】D【解析】【分析】A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可，B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判断.【详解】A 选项，x 2-8x-1=0利用配方法得，x 2-8x+16-16=1整理得（x-4）2=17，选项错误B 选项，整式的除法，()221(1)1x x x x x x x x x x ÷+===+++，选项错误 C 选项，2x 2+10x+9=0 将x 2系数化为1得，29502x x ++=，利用配方法得2252595442x x ++-=-，整理得，25724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故该选项错误； D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x ，y 与-y 互为相反数，即有（-x-y ）（-x+y ）=x 2-y 2，正确故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．10．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.11．关于x 的一元二次方程220x ax --=的根的情况（ ）A ．有两个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．由a 的取值确定【答案】B【解析】【分析】计算出方程的判别式为△=a 2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【详解】方程220x ax --=的判别式为280a ∆=+>，所以该方程有两个不相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．12．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，若反比例函数(0)k y x x=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2524k ≤≤B ．26k ≤≤C ．24k ≤≤D ．46k ≤≤【答案】A【解析】【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．【详解】解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，∴B （1，4）；令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，∴A （3，2），当反比例函数k y x=（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x=中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0， ∴k ≤254， 当k ＝254时，解得：x ＝52， ∵1＜52＜3， ∴若反比例函数k y x =（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A、C时的k值以及直线与双曲线有一个交点时k的值．13．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )A．2米B．323米C．2米或323米D．3米【答案】A【解析】【分析】根据矩形面积的相关知识进行作答.【详解】设宽度为x，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x220x⨯=+⨯-+⨯，解出x=2，所以，选A.【点睛】本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关14．代数式245x x++的最小值是（）A．5 B．1 C．4 D．没有最小值【答案】B【解析】【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【详解】∵x2+4x+5=x2+4x+4-4+5=（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴当x=-2时，代数式x2+4x+5的最小值为1．故选：B．【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变15．某种药品的价格，二月比一月下降百分比为m ，三月比二月下降百分比为x ，一月到三月的平均每月下降率为n ，则下列关系式正确的是（ ）．A ．2x n m =-B ．221n n m x m -+=-C ．1x m n =--D ．221m m n x n -+=- 【答案】B【解析】【分析】根据题意分别表示三月的价格建立方程求解即可．【详解】解：设一月的价格为,a 则二月的价格为(1),m a - 三月的价格为(1)(1)x m a --，而三月的价格又可表示为：2(1),a n - 2(1)(1)(1),x m a a n ∴--=-2121,1n n x m-+∴-=- 221221.11n n n n m x m m -+-+∴=-=-- 故选B ．【点睛】本题考查的是含字母系数的方程的应用，同时考查分式的加减运算，掌握相关知识点是解题关键．16．关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】由于关于x 的方程（2-a ）x 2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a 的最大值．【详解】解：∵关于x 的方程(2−a)x 2+5x−3=0有实数根，∴①当2−a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2−a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2−a)≥0，解之得a≤49 12，∴整数a的最大值是4.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.17．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．2x2﹣x+1＝0【答案】D【解析】【分析】根据判别式即可求出答案．【详解】A.△＝4，故选项A有两个不同的实数根；B.△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；C.△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有实数根；故选D．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．213014000x x+-=B．2653500x x+-=C．213014000x x--=D．2653500x x--=【答案】B【解析】【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.19．若关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =B ．13k ≥-C ．13k ≥-且0k ≠D ．13k >- 【答案】C【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根， ∴△=b 2-4ac≥0，即：1+3k≥0， 解得：13k ≥-，∵关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=0中k≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．20．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．。