高中数学常见数列类型的通项公式的求法三已知数列的递推公式求通项
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常见数列类型的通项公式的求法三、已知数列{}n a 的递推公式求通项类型1：已知{}n a 的前n 项和n s 与n a 的关系，则先求1a ，再由()12n n n a s s n -=-≥求n a 或n a 与其它项的关系，进而转化为等差（比）数列求通项n a ，并验算此时的n a 在1n =时是否成立。
若成立，则通项公式是n a ，若不成立，则n a 要用分段函数来表示。
例5．（2015新课标Ⅰ（17））n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式： （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和 解：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，∵0n a > ∴1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，∵0n a > ∴1n n a a --=2，∴数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，故n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+. 评注：递推关系中含有S n ，通常是用S n 和a n 的关系a n =S n －S n －1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过a n =S n －S n －1将递推关系揭示的前n 项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过a n =S n －S n －1将递推关系揭示的前n 项和与通项的关系转化为前n 项和与前n －1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式。
并要检验用a n =S n －S n －1（n≥2）所求的n a 能否包含1a (当不包含1a 时，最后结果要写成分段函数来表示)。
变式练习12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.变式练习13.（2013新课标Ⅰ14.）{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______.解:当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --， ∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列， ∴n a =1(2)n --.变式练习14.（2016新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1. 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-． 变式练习15.（2014新课标Ⅰ（17））已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.解：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减，得()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 类型2：形如()1n n a a f n +=+的数列{n a }，则用递推法或累(叠)加法求n a 。
思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-＝ (1)11()n i a f n -==+∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=- 12(2)n n a a f n ---=- 23(3)n n a a f n ---=-……………………21(1)a a f -=将各式叠加并整理得111()n n i a a f i -=-=∑，即111()n ni aa f i -==+∑。
评注：当f （n ）为常数时，数列{a n }就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用叠加法求出来的。
例6．（2010辽宁理数(16)）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为___. 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
解：12n n a a n +-=，则12(1)n n a a n --=-122(2)n n a a n ---=- 232(3)n n a a n ---=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2121a a -=上述各式相加，得2212[(1)(2)(3)1]33n n a a n n n n n a n n -=-+-+-++=-⇒=-+ 3311n a n n n⇒=+-≥当且仅当33n n=即n =但n N +∈，55355a =，66321662a ==，所以，n a n 的最小值为62162a =。
或由求导法，得33()1(1)f x x x x=+-≥在)+∞上是单调递增，在上是递减的，因为n ∈N +,56<<，55355a =，66321662a ==，所以，n a n的最小值为62162a =。
变式练习16.数列{n a }满足1a =1，且11112n nnn a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求n a 。
解：11111()212n n n n n n a a n n a a f n n n n ++++=+⇒=-=+，由叠加法，得 12111111(1)(2)(1)12222n n n a f f f n a n --++⋅⋅⋅+-=-=++⋅⋅⋅+=- 1122n n a n -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭思考：若上题中“11112n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭”改为“111212n n nn a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭”，则结果如何？ 分析：111212n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1122211n n n n n n a a a n n n ++⎧⎫⇒-=⇒⎨⎬+⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，则22212n n n na n nn a n +=+-⇒=。
变式练习17.[2014温州十校联考] 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b .由题意知f ′(0)＝b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′（1a n），f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4（2n －1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝4（2n －1）2(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4（2n －1）（2n ＋1）＝2(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝21－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝21－12n ＋1＝4n2n ＋1.变式练习18.（2010新课标，理17）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解：（1）由已知，当n≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=。
