数学建模

数学模型课程设计题目：学院：班级：姓名：学号：指导老师：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究摘要上个世纪70年代起，为了控制中国巨大的人口基数和增长对经济和资源的压力，我国开始实施计划生育政策。

粗略估计我国减少人口大约3亿。

计划生育政策在我国起到了巨大的作用，有效的控制了我国人口的增长，对实现中国特色社会主义，增加国民人均收入等方面起到了巨大的作用。

对我国的社会主义现代化建设起到了明显的积极作用。

为世界人口发展发挥了巨大的作用。

但随着时间的流逝，人口的增长趋势得到了有效的遏制，但一系列的问题又显现了出来，如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比比例提高，人口老龄化，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响。

本文重点研究了计划生育政策调整对人口数量、结构的影响问题，为了研究方便，我们将该问题分为三个小问题来讨论。

问题一：首先，我们以抚养比、男女比例、出生率、死亡率，劳动人口比例、老龄化程度、人均GDP为切入点，探讨计划生育政策的影响。

通过从《中国统计年鉴》上获取的各指标数据，绘制折线图，对数据进行回归分析建立以时间为变量的方程为，从而预测出各指标的变化趋势，预测计划生育对我国人口各个方面起到的作用问题二：运用灰色模型，预测出2025年全国人口的数量问题三：进而对2025年中国的人口数量进行了预测。

之后综合各种因素，通过对比，作图等方法分析总结出新政策对中国未来人口数量，结构等的影响和计划生育新政策的优劣条件，并且很好的解释了计划生育新政策的好坏与实行方式。

关键词：人口预测灰色预测模型matlab编程回归方程一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。

从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。

该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

但另一方面，其负面影响也开始显现。

如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。

党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。

政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。

人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。

这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。

这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。

研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。

请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

1.2需要解决的问题问题1.搜集相关的资料，选择合适的角度，建立数学模型，预测未来人口数量和结构的变化。

问题2.建立数学模型，分析计划生育对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

问题3.通过灰色模型对2025年中国人口数量进行了预测。

之后综合各种因素，通过对比，作图等方法分析总结出新政策对中国未来人口数量，结构等的影响和计划生育新政策的优劣条件，并且很好的解释了计划生育新政策的好坏与实行方式。

1.3目的意义通过研究新二胎政策我国对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响来预测新计划生育政策的影响。

二、模型假设1.忽略瞒报、漏报造成的低估2.假设收集的数据真实可靠3.忽略人口基数少的边远地区4.不考虑战争、疾病及毁灭性灾害对人口影响5.假设一年内各地区、各年龄段的死亡率不会变三、符号说明四、问题分析(一)我国现阶段人口现状1.人口数量变化根据从中国统计局获得的建国以后我国人口数量的数据，以年份为横坐标，人口数为纵坐标，用EXCEL作出折线图并添加趋势线如下：图1 我国历年人口数量变化图从图1我们可以看出：人口总量变化呈递增趋势，其中1952—1957年、1962年—1973年的增势最明显，但是在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快，而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，所以我们需要合理的调整计划生育政策，避免人口超过我国所能承受的最大环境人口容量。

2.人口总合生育率通过从国家统计局相关资料检索得到的1995年到2010年我65岁以上人口比重如表2示，从论文中收集的全国人口总合生育率如表1示：表1 历年来中国人口总合生育率的变化情况以错误！未找到引用源。

所示数据中的年份为横坐标，全国人口总合生育率为纵坐标，利用 EXCEL作图得到图1：错误！未找到引用源。

图2 历年来中国人口总合生育率的变化情况根据国外学者的数据,我国人口的总和生育率在1980年就达到2.5,远远低于国外发展中国家和部分发达国家的水平。

人口统计年鉴的数据也表明, 1983年以后,总和生育率一直保持在低水平且有下降趋势，而过低的总和生育率并不利于人口结构健康安全发展。

鉴于我国生育率低于更替水平已达二十年之久，现在已经下滑到1.5 以下，需立即开放二胎政策来控制出生率。

3.人口老龄化表2 65岁以上人口老年比重（%）以表2 所示数据中的年份为横坐标，65岁以上人口比重为纵坐标，利用 MATLAB 作图得到图2：（相关代码见附录）图3 老龄人口比重联合国规定65 岁人口占总人口的比例超过7%，就意味这个国家进入老龄化社会。

如图3所示，从2000年开始我国该项比例已经超过了所规定的值且向大幅度增加的趋势发展。

由此可知，人口老龄化在我国越来愈严重，需要改善这一现状。

五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型的分析本文就附件中所给出的因素，对计划生育政策进行检验，并预测计划生育对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

对某一因素的变化预测是一种用已知数据预测未来数据变化趋势的模型，而灰色系统，拟合恰好适合解决这类问题，但灰色只适合短中期的预测，对长期的预测不准，而且反映不了具体趋势，故证实了选择拟合预测计划生育的合理性。

5.1.2模型的准备根据查询国家统计局显示的数据资料，我们搜集到从1995年到2010年间，抚养比、男女比例、出生率、死亡率，劳动人口比例、老龄化程度、人均GDP七个指标的值如附录所示。

5.1.3模型的建立与求解我们根据抚养比、男女比例、出生率、死亡率，劳动人口比例、老龄化程度、人均GDP七个指标通过多项式拟合判断计划生育对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

以男女比例为例建立预测模型：根据附录1男女比例的数据，以时间为序列，MATLAB作图如图4所示：1994199619982000200220042006200820102012图4 男女比例从图4可以看出除特殊点外，预测曲线基本成一元二次曲线形式，由此可建立男女比例的预测模型2111111y a t bt c =++，其中，1y 表示男女比重，1t 表示时间。

对上面的回归模型在MATLAB 上运行得到如下结果：表3 各个系数的值所以，我们可以建立如下的回归方程 ：2111y =0.0003186t +1.2772x -1279MATLAB 同时预测未来男女比例走势如图5所示：19952000200520102015202020252030203520402045男女比例图5 未来男女比例从图中可以看出在2005年男女比例严重失衡，以此为分割点，在这之后男女比例小，逐渐达到合理比重，所以，人口男女比例逐渐趋于平衡同样，分别做出其他各因素的预测值如图6、图7、图8、图9、图10所示：19902000201020202030204020502060出生率图6 出生率从图6曲线走势可以看出在2005年出生率降至最低，而人口出生率反映人口出生的强度，它是一年出生人口数与该年平均人口数之比，将直接影响一国的人口数量。

抚养比19952000200520102015202020252030203520402045图7 抚养比从图7曲线走势预测出抚养比在2018年最低，即人口红利最低点，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济呈高储蓄、高投资和高增长的局面。

5劳动人口比例图8 劳动人口比例劳动人口多时有利于我国的经济发展，可以促进消费与储蓄。

因此，从图8可以看出我国可以在2053年劳动人口达到最高。

19952000200520102015202020252030203520402045老龄率图9 人口老龄率从图9老龄率曲线走势可以清晰看出，在未来50年内老龄人口一直是增加的态势，因此我们应该尽早实行二胎政策，以防未来老无所养、社会负担加重的现象出现。

199520002005201020152020死亡率图10 死亡率从图10可以看出在2001年死亡率达到最低，在之后又有递增的趋势，这与老龄化也有一定的联系。

（二）模型一：灰色预测人口模型模型的建立在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM 。

它是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。

下面利用单变量一阶灰色预测GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测。

GM(1,1)模型设原始时间序列为{})(),2(),1(000)0(n x x x X =这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将其进行生成处理，提供更多的有用信息。

其形式为：u ax dtdx =+)1()1( 设原始时间序列： ))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X = 预测第n+1期，第n+2期，…的值： ),2(),1()0()0(++n x n x设相应的预测模型模拟序列为： ))(ˆ,),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)0()0()0()0(n x x x X = 设)1(X为)0(X的一次累加序列：∑===im n i m x i x 1)0()1(),3,2,1),()(即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==ni i x i x i x x x ,,2),1()()()1()1()1()0()1()0()1( 利用)1(X 计算GM(1,1)模型参数a 、u 。

令[,]T U a u = 则有：1()T T n U B B B Y -=式中：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1))()1((1))3()2((1))2()1(()1()1(1)1()1(21)1()1(21n x n x x x x x B T n n x x x Y )](,),3(),2([)0()0()0( =由此获得GM(1,1)模型时间相应函数： (1)(0)(1)((1))aiu u x i x e a a-+=-+（2）残差检验评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。