齐次线性方程组

齐次线性方程组(2)X b=A 它可写作矩阵形式：的方程组形如)(122112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为线性方程组n m ij a A ⨯=)(是系数矩阵其中T m T n b b b x x x ),,(),,(2121 ==b X 称)(b A B =为增广矩阵,通常写成),()|(b A b A 或一、线性方程组的概念b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组当,k x ,,k x ,k x ,,k ,,k ,k x ,,x ,x nn 2211n21n 21=== 则我们称变成恒等式若能使得每一个等式都每一个方程后代入方程组中的分别用数是方程组的一个解方程组的解的全体组成一个集合，我们称这集合为方程组的解集合。

所谓解方程组实际上就是求出它的解集合。

)1(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21X 若令,a a a a aa a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0X =A 一、齐次线性方程组则(1) 也可写成向量形式:nj a a a mj j j j ,,2,121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21n ααα 那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T )0,0,0( =X 显然(3)0...n 2211=+++αααn x x x由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX =0有非零解⇔R （A ）< n齐次线性方程组AX =0只有零解⇔R （A ）= n齐次线性方程组n ααα ,,21线性无关,那么R(A)=n 。

第二节齐次线性方程组齐次线性方程组解的存在性 齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的存在性o x A n m =×021===n x x x 必有零解有无非零解？方程组用向量形式表示o x x x n n =+++ααα 2211显然，有非零解n ααα ,,21⇔线性相关nR A R n <=⇔),,()(21ααα 定理（P89）o x A n m =×齐次线性方程组有非零解nA R <⇔)(只有零解nA R =⇔)(推论：当A 为方阵时o x A n n =×有非零解0=⇔A 只有零解0≠⇔A 例1==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=t o Ax t A 有非零解，则，且已知313121014二、齐次线性方程组解的结构性质1（P90）若12,ξξ是o Ax =的两个解，则12ξξ+也是它的解.性质2（P90）若ξ是o Ax =的一个解，则()k k R ξ∈也是它的解.即若12,,,n ξξξ 都是o Ax =的解，则也是它的解.1122n n k k k ξξξ+++ 由性质1和性质2可知：齐次线性方程组Ax o =解的线性组合仍是它的解.由此可知，若齐次线性方程组有非零解必有无穷多非零解；如何表示出所有非零解呢？若将齐次线性方程组的每个解看成向量（解向量），则所有解就是一个n 维向量组；若找出其最大线性无关组即可用其线性组若找出其最大线性无关组，即可用其线性组合来表示齐次线性方程组所有的解；此最大线性无关组在线性方程组的理论中称为基础解系。

定义（P91）设s ξξξ,,,21 是齐次线性方程组o Ax =的解，且满足：s ξξξ,,,21 (1)线性无关；(2)=的任一解 则称s ξξξ,,,21 为o Ax =的一个基础解系；()o Ax 的任解x 都可由sξξξ,,,21线性表示；即n n k k k x ξξξ+++= 2211为o Ax =的通解公式.n n k k k x ξξξ+++= 2211定理（P91）若n 元齐次线性方程组o Ax =的系数矩阵的秩,)(n r A R <=则此方程组的基础解系含有r n −个解向量.简证注(1)基础解系不唯一，但所含向量个数确定()(2) 若,)(n A R =方程组只有零解，没有基础解系.任意r n −个线性无关的解向量都是其基础解系；例1求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系和通解.注意书写格式齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；1221⎟⎞⎜⎛−−5201r r −⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221解13122r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000034210⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎝0000342103r −32213212r r −故基础解系有4-2=2个解向量.,42)(<=A R ∵行最简形矩阵同解方程组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=432431342352xx x x x x x x ==33⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201行最简形矩阵左边未知量补齐右边未知量对齐⎩.103435012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k k x x x 44故基础解系为：.103435,012221⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴ξξ通解为：),(21R k k ∈例2（练习）求齐次线性方程组⎪⎪⎨⎧=−+−−=+++=−−+05420332032432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩=−++032324321x x x x 的基础解系和通解.解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=3232542131321321A 122r r −13r r +24r r −⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−6100610057101321r r −⎤⎢⎡−19021r ⎡75001故基础解系有4-3=1个解向量.,43)(<=A R ∵327r r −313r r +34⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣−−0000610047010212r +)1(2−×r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣−−000610047010同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−=43424164775x x xx x x 44x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−000061004701075001.1647751⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=k x 故基础解系为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=∴1647751ξ通解为：)(1R k ∈例3⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2510322189523221A .2)(2489523221==×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=B R O AB B A ，且使，的矩阵，求一个设解的解向量的列向量是O Ax B =⇒⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−→25101801x x x x x x xx x x=+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩于是1342343344852个解向量，故基础解系有因22442)(=−<=A R 所以基础解系为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1021 ,015821ξξ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==1001251821ξξB 取.2)(==B R O AB ，且则齐次线性方程组0=Ax ()n A R =⇔;0只有零解=Ax 小结()n A R <⇔.0有非零解=Ax 且基础解系含有r n −个解向量.。

齐次线性方程组概念：右端全为0的线性方程组叫做齐次线性方程组： , 01212111=+++n n x a x a x a, 02222121=+++n n x a x a x a。

02211=+++n mn m m x a x a x a她的矩阵形式为 AX= 0，其中, 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 。

21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x xx X也可以用向量来表示齐次线性方程组, , , , 记21222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n m m a a a a a a a a a ααα则齐次线性方程组可表示为。

02211=+++n n x x x ααα常用的齐次线性方程组的表示方法还有。

) , ,2 ,1 ( 01m i x a njj j i ==∑=齐次线性方程组的性质性质1：齐次线性方程组的两个解之和任然是该齐次方程组的解证明如下：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 和 ) ,, ,( 设2121n n ηηηξξξ02211=+++n n x x x ααα则有 , 的两个解)()()(222111n n n αηξαηξαηξ±++±+±)()(22112211n n n n αηαηαηαξαξαξ+++±+++=, 000=±=即两个解的和仍是该齐次方程组的解性质2：齐次方程组的解与任意实数的乘积仍是该齐次方程组的解。

证明：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 设21n ξξξ02211=+++n n x x x ααα有 , 则对任意实数 , 的一个解k)()()(2211n n k k k αξαξαξ+++ , 0)(2211=+++=n n k αξαξαξ 。

第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。

即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。

即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。

(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。

解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。

注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。

证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。