【学习课件】第一节随机事件的运算及关系(1)

① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
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第一章 随机事件与概率
德莫根公式
第11页
A B A B; A B A B
n
n
Ai Ai ;
i 1
i 1
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
10 May 2019
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第一章 随机事件与概率
记号
Ω φ
AB
AB=φ
AB AB
AB
A
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件
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第一章 随机事件与概率
1.1.7 事件域
第17页
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合
类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域
1. ΩF ;
2. 若 AF ，则 A F ;

3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则 An F .
n 1
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P( A |B) = 1 P(A|B).
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第一章 随机事件与概率
注意点
第32页
P(|B) = 1 ;
P(B|) 1 ;
P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.
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第一章 随机事件与概率
条件概率的三大公式

(8) A ，B , C 至少有两个发生.
AC BABCABC ABC A BAC B.C
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
要求：会用集合论语言和概率论语言表述
事件的关系. 掌握： De Morgan律.
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第一章 概率论的基本概念
第一讲结束
(1) AA, AAS. AS-A. 事件的关系.
如果事件A发生必导致事件B发生，则称B包含A，或者说A是B的子事件。
相互对立
互不相容
§1 随机事件的概率
（5）不可能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为 。
(2) AA, (3)A-BAB
请注意互不相容与对立事件的区别：
相互对立
互不相容
B A
三 样本空间的一个划分
A={e2 } U{e4} U{e6}， B={e1} U{e3} U{e5}。
（4）必然事件 :在试验中一定发生的事件，记为S 。（5）不可 能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为。
例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若A=“出现的点数小于7”，B =“
出现的点数大于7” ，则 A是必然事件，而B不可能事件。
四 定义：若A 1,A 2, ,A n
五 两两互斥，且A 1A 2A nS ，
六 则 构A 称 成1 A ,S1 的A ,一2 A ,个2 ,互 斥,A 事,n A 件n 的构完样备本组空。间S的一个划分，或者说
七 注：样本空间S中所有的基本事件一定可以构成一个S 的 一个划分。
四 事件间的运算法则
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称为

2. 事件的相等
A B
A B A 且 B A B
A与B的样本点完全相同。
3. 事件的并(和) A∪B（或A＋B） —— A 与B 的和事件
事件 A与事件B 至 少有一个发生 由属于A或B的 所有样本点构成的集合。
A ,A , ,A 1 2 n 的和事件 ——
A

B
A∪B
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E 1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
{ 0 , 1 , 2 , 3 } 1
有限样本空间
E 2 : 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
{ 0 , 1 , 2 , 3 , , N } 2
E 3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
Ai
A ,A , ,A , 的积事件 —— 1 2 n


i1
Ai
5. 事件的差
A B —— A 与B 的差事件
事件 A 发生，但 事件 B 不发生 由属于A但不属于B的 样本点构成的集合。
A

B
A B
6. 事件的互斥(互不相容)
—— A 与B 互斥 AB

A
A与 B不可能同时发生 A与B没有公共的样本 点 A ,A , ,A 1 2 n 两两互斥 A A , i j , i , j 1 , 2 , , n i j A ,A , ,A , 两两互斥 1 2 n
例5 在图书馆中随意抽取一本书， 事件A={数学书}，B={中文书}，C={平 装书}，说出下列3个式子的意义。
(1) ABC ：抽取的是精装中文版数学书
(2)C B
(3)A B
：精装书都是中文书

E1 “点数为1或2"={1, 2};
E2 "点数为2或3"={2,3}
F "点数为偶数"= {2, 4, 6}
G "点数为奇数"= {1,3,5}
我们借助集合与集合的关系和运算以及事件的相关定义，我们发现这些 事件之间有着奇妙的联系，可以分为以下几种情况.
概念解析 用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分
事件 D1 为事件 E1 和事件 E2 的并事件. 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,
或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
可以发现，事件E 和E 同时发生，相当于 12
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥；
(2)C2,C3为对立事件;
(3)C3⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (7)E=C1∪C3∪C5; (9)D2∪D3=D2;
探究新知
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事 件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研 究事件之间的关系和运算.
引例：在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
时,称为事件A发生
必然 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有 事件 一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件

D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”； ……
新知1：事件的关系
①若事件A产生，则事件B一定产生，则称事件B包含事件A
(或事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．
Ω
如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_A__⊆_B___ {1}⊆{1,3,5}
2．写出实验的样本空间的方法： (1)列举法：合适于较简单的问题． (2)列表法：合适求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：合适较复杂问题中基本事件的探求．
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的 频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上 的概率为0.5。
通过实验和视察的方法，我们可得到一些事件 的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是 概率的近似值。 在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事 件概率的通用方法。
巩固：事件的关系
P232-例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1 和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”， G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两球颜色不同”．
Ω
如: C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_C_=_A__∪__B {1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}
新知1：事件的关系
④事件A与事件B同时产生，且事件C中的样本点既在事件A中，
又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)．
互为对峙的是( D ).

四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2：已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”，则
A 表示什么含义？
§1
随机事件的概率
练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ，B , C 至少有一个发生.
A B C.
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(5) A ，B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于7 的整数”，则A=B。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称 为A与B的和事件，记为 例：某产品分为一，二，三，四 等品，其中一、二等品为合格品， 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”， B A 则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4

2 .结 :( 合 1 )(A B ) 律 C A ( B C ) (2)(A)C B A (B)C
3 .分:配 (1 )(A 律 B )C A C BC ★ (2 )(A ) C B (A C )B ( C ) A (B) C (A B )A ( C )
( AB)
A
B
(AB)C
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度
不合格”与“直径不合格”的并.
图示事件 A 与 B 的并.
B
ABA
事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差. 图示 A 与 B 的差
“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.
图示事件A与B 的积事件.
A AB B
• 推广
n
① A1 A2 An Ai :
i1
A1, A2,, An中至少有一个发. 生
A1 A2 An Ai :
i1
A1, A2,, An,中至少有一个.发生
n
② A1A2 An Ai :
i1
A1, A2,, An同时发 .生 A1A2An Ai :
容, 即
A B A B .
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点” 互斥 “骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A
B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式
A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”

5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人 的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签， 上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军 首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从 签筒中随机（任意）地取一根纸签。
（1）抽到的序号有几种可能的结果？ （2）抽到的序号小于6吗？ （3）抽到的序号会是0吗？ （4）抽到的序号会是1吗？
小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰 子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以 下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）可能出现哪些点数？ （2）出现的点数会是7吗？
（3）出现的点数大于0吗？
（4）出现的点数会是4吗？
笔记
在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件;
必然不会发生的事件叫不可能事件;
思考：能否通过改变袋子中某种颜色 的球的数量，使“摸出黑球”和“摸 出白球”的可能性大小相同？
书上129页练习 超越训练141页例2
书上128页练习及134页第1题 超越141页例1
摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白 球，这些球的形状、大小、质地等完 全相同，在看不到球的条件下，随机 地从袋子中摸出一个球。
（1）这个球是白球还是黑球？
（2）如果两种球都有可能被摸出， 那么摸出黑球和摸出白球的可能性一 样大吗？
归纳：一般地，随机事件发 生的可能性是有大小的，不 同的随机事件发生的可能性 的大小有可能不同。
“天有不测风云”
原意是指刮风、下雨、阴天、 晴天这些天气状况很难预料. 它被引申为：世界上很多事情具 有偶然性，人们不能事先判定这 些事情是否会发生。
人们果真对这
类偶然事件完全无 法降把水握概、率束90手%无策
概吗率？这不个是重！要随的着数对字概念，正是 在事研件究发这生些的规可律能中性产生的。人们 用小水很的发的可现 中 识 律它。概大深 现 发 循在 ， ， 的描例率可入 许 生 的概 我 从 认叙如为能研多也。率们而识事，下9究偶具的将提。0件 天 雨， 然 有%应 学 高发 气 （，人 事 规用 习 对生 预 雪就们 件 律日 一 偶的 报 ）意益 些 然可 说 。味广 概 事能 明着泛 率 件性天明。初发的的天本步生大降有章知规

例2 将一枚均匀硬币抛掷三次，A＝ {恰有两次币值面朝上}， B＝{至少有 一次出现币值面朝上}，求P(A)和P(B) 问1 将一枚均匀硬币抛掷三次，样本 点总数是多少？ 问2 事件A，B各有多少个样本点？
5对任意两个事件A, B, 有 P( A B) P( A) P( B) P( AB)． A B A B B A AB (集合的运算性质) P( A B) P( A B B A AB ) P A B P B A P ( AB )(性质2) P( A) P( AB) P( B) P( AB) P( AB)(性质4) =P( A) P( B) P( AB)
收敛级数的通项的极限为0)
2若事件A1 , A2 , An两两互斥， 即i j , 有Ai Aj = , i, j 1, 2, , n, 则有 P( A1 A2 An ) P ( A1 ) P( A2 ) P( An ) A1 A2 An A1 A2 An (空集的运算性质) P( A1 A2 An ) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) P( ) P( ) (函数P()的性质3) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
3 对任一事件A, 均有P A 1 P A A A (补集的定义) P P A P A (性质2) P A P A 1(函数P 的性质2) P A 1 P A
4对任意两个事件A, B, 有 P ( A B ) P ( A) P ( AB )． 特别地，若B A，则有 P ( A B ) P ( A) P ( B )． A A B AB (集合的运算性质) P ( A) P A B AB P ( A B ) P ( AB )(性质2) P ( A B ) P ( A) P ( AB )

其中第k个位置要求是黑球，于是对该位置有a种选择，而一旦取定某
黑球以后，余下的球在a b 1个球中，利用排列数得到“第k次摸出
黑球”所含的基本事件数为a (a b 1)!
设事件A表示“第k次摸出黑球”，则所求概率为
P( A) a (a b 1)! a (a b)! a b
14
-
例3 （模球问题）盒中有a个黑球，b个白球，现把球一个一个摸出，
要条件是 x l sin
2
S A
0
l sind
2
l,故P( A)
SA S
2l
d
.
26
-
Y 4
1 2
4
O1 2
4
4
X
27
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几何概型
练习：
设D为x轴以及y 2ax x2 (a 0)所围区域，现随机往D 内扔一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积
成正比。求点落入与原点连线与x轴正向的夹角小于 的
20
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典型例题
例5 将6个人分成三组，每组两个人，分别去完成三项不
同的工作，求分配方式一共有多少种。
解：先挑出两个人去完成第一项工作，有C62 种方式， 再挑出两个人去完成第二项工作，C有42 种方式，剩下
的两个人去完成第三项工作，所以一共有
C62
C42
6! 2!2!2!
90
种方式。
21
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典型例题
求第k次摸出黑球的概率(1 k a b)。
解法一：总数为a b个球中不仅区分黑白，且黑球之前有差别，白球
之间也有差别，即不放回且计序。于是样本空间的基本事件总数为排
列数(a b)!。现考虑“第k次摸出黑球”所含的基本事件数，把摸出