专题八带电粒子在非匀强磁场中的运动轨迹问题

带电粒子在非均匀电磁场中的运动
电磁场是一种物理场，由电荷和电流携带的电荷与磁荷所产生
的力之间的相互作用产生。

当带电粒子放置在电磁场中时，其将受
到非均匀电磁场的力的作用，从而产生相应的运动。

垂直磁场
当带电粒子在一个垂直磁场中受到作用时，它的运动将产生环
状的轨迹。

这是因为磁场中的力垂直于粒子的速度方向，使其沿着
半径运动，产生一个环形轨迹。

带电粒子在磁场中的运动速度将保
持不变，但它将绕着磁场线圈中心以某种频率旋转。

当带电粒子在一个由电场和磁场组成的垂直场中运动时，这将
产生一种称为霍尔效应的现象。

在这种情况下，电子被强制从磁场
一端移动到另一端，在电场的作用下，从而产生电压差。

这一现象
在半导体和其它材料的研究中有着广泛的应用。

非垂直磁场
当带电粒子在沿着磁场方向的均匀磁场中运动时，它将继续沿
着磁场方向前进，但是当它遇到垂直于磁场的电场时，将产生另一
种类型的运动。

在这种情况下，电场将对粒子产生力的作用，使其
沿着电场方向运动。

当磁场成为非均匀时，带电粒子的轨迹将变得复杂。

在一些情
况下，带电粒子的轨迹将变得扭曲和不规则，类似于螺旋形。

这可
以帮助我们研究粒子的性质，并确定它们在不同条件下的运动方式。

总之，带电粒子在非均匀电磁场中的运动是由电场和磁场之间的相互作用所决定的。

不仅仅是在物理学研究中，这些现象对于电子、离子和其他带电粒子的运动研究具有重要意义，而对于工业应用和科技发展方面也有着重要的应用价值。

专题八带电粒子在非匀强磁场中的运动轨迹问题1．一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）．从图中可以确定（）A．粒子从a到b，带正电B．粒子从b到a，带正电C．粒子从a到b，带负电D．粒子从b到a，带负电2极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流进入地极附近的大气层后，由于地磁场的作用而产生的．如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小．此运动形成的原因是：（）A．可能是洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小B．可能是介质阻力对粒子做负功，使其动能减小C．南北两极的磁感应强度较强 D．可能是粒子的带电量减小3．如图所示，水平导线中通有稳恒电流I，导线正下方的电子e的初速度方向与电流方向相同，其后电子将：（）A．沿路径a运动，轨迹是圆 B．沿路径a运动，曲率半径变小C．沿路径a运动，曲率半径变大 D．沿路径b运动，曲率半径变小专题九带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的简单情况1.质量为m、带电荷量为q的粒子(忽略重力)在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，形成空间环形电流．已知粒子的运动速率为v、半径为R、周期为T，环形电流的大小为I.则下面说法中正确的是()2.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与X轴成300角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为( ):1 D．1:1A、1:2B、2:1 C．33.如图所示，带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同时到达P点。

a、b两粒子的质量之比为（）A．1：2 B．2：1 C．3：4 D．4：3专题十带电粒子在有界磁场中的运动及临界问题1.如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d．O′ 在MN上，且OO′ 与MN垂直．下列判断正确的是（ ）A ．电子将向右偏转B ．电子打在MN 上的点与O′点的距离为dC ．电子打在MN 上的点与O′点的距离为d 3D ．电子在磁场中运动的时间为03v dπ2.半径为R 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A 点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B 点射出．∠AOB ＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( ) A.032v R π B.0332v Rπ C.03v R π D.033v R π3.（多选）如图所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，两个相同的带电粒子先后沿AB 方向从A 点射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则A.从P 点射出的粒子速度大B.从Q 点射出的粒子速度大C.从P 点射出的粒子，在磁场中运动的时间长D.两粒子在磁场中运动时间一样长4.如图所示，OP 、OQ 为匀强磁场的边界，磁场分布足够广，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里。

专题8.8 带电粒子在非匀强电场中的运动【考纲解读与考频分析】带电粒子在非匀强电场中的运动是高考要求的II级考点，是高考命题考查的重点。

【高频考点定位】：带电粒子在非匀强电场中的运动考点一：带电粒子在非匀强电场中的运动【3年真题链接】1．（2019全国理综II卷14）静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则（）A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小B.在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合C.粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能D.粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行【参考答案】.AC【命题意图】本题考查带电粒子在静电场中的运动，考查的核心素养是思维的周密性，对各种可能情景的分析，都“可能”、“一定”选项的甄别和分析。

【解题思路】【正确项分析】由于题述没有给出静电场是匀强电场还是非匀强电场，需要考虑选项中的可能性。

若是同种点电荷的电场，一带同种电荷的粒子沿两电荷的连线自M点由静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则N、M两点的电势能相等；根据仅在电场力作用下运动，带电粒子动能和电势能保持不变，可知若运动到N点的动能不为零，则N点的电势能小于M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C 正确；【错误项分析】若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下，其运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，则粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误。

【易错剖析】此题选项中“可能”、“一定”，需要考虑各种可能情况认真分析。

只要是题述情景的可能情况中可能发生的，则“可能”选项即为正确；只要是题述情景的可能情况中有可能不发生的，则“一定”选项即为错误。

2．（2019高考江苏卷物理9）如图所示，ABC 为等边三角形，电荷量为+q 的点电荷固定在A 点．先将一电荷量也为+q 的点电荷Q 1从无穷远处（电势为0）移到C 点，此过程中，电场力做功为-W ．再将Q 1从C 点沿CB 移到B 点并固定．最后将一电荷量为-2q 的点电荷Q 2从无穷远处移到C 点．下列说法正确的有（ ）（A ）Q 1移入之前，C 点的电势为W/q（B ）Q 1从C 点移到B 点的过程中，所受电场力做的功为0（C ）Q 2从无穷远处移到C 点的过程中，所受电场力做的功为2W（D ）Q 2在移到C 点后的电势能为-4W【参考答案】ABC【名师解析】根据题述，将一电荷量也为+q 的点电荷Q 1从无穷远处（电势为0）移到C 点，此过程中，电场力做功为-W ．可得C 点与无穷远点的电势差为U=W/q ，所以Q 1移入之前，C 点的电势为W/q ，选项A 正确；根据点电荷电场特征可知，BC 两点处于同一等势面上，所以Q 1从C 点移到B 点的过程中，所受电场力做的功为0，选项B 正确；将一电荷量为-2q 的点电荷Q 2从无穷远处移到C 点，所受电场力做的功为2W ，Q 2在移到C 点后的电势能为-2W ，选项C 正确D 错误。

带电粒子在非均匀电磁场中的运动带电粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文在熟知的均匀恒定磁场解的基础上,忽略相对论效应讨论外磁场随空间变化的情形下,单个带电粒子在非均匀磁场作用下的运动形式,并求出0阶、1阶、2阶运动方程,分别得出0阶近似解、1阶近似解、2阶近似解，画出2阶近似下粒子的运动图形。

由于磁场随时空变化10分缓慢且无电场，所以将磁场的非均匀非恒定部分作为均匀、恒定磁场的小扰动来处理。

均匀、恒定解作为0阶解代入1阶近似运动方程，使之线性化，求出1阶近似解，同理将1阶解代入2阶近似运动方程，使其线性化，求出2阶近似解。

本文着重引入漂移这个概念借以说明带电粒子在非均匀磁场的基本特征及研究方法。

通过分析比较1阶近似解与0阶近似解；2阶近似解与1阶近似解，得出由于1阶近似而引起粒子在与磁场方向以及磁场横向梯度方向垂直的方向发生漂移；由于2阶近似使得粒子在xy平面内做1２W、３W、４W、５W、６W叠加的匀速圆周运动。

关键词：带电粒子；2阶近似；弱非均匀磁场；漂移The motion of charged particle in inhomogeneous electroma-gnetic field Abstract: The article, neglecting relative effect, discuss the motion of a charged particle’s form of movementin inhomogeneous magnetic field which varies with the spatial coordinate as the solution of even constant magnetic field is well known. The motion equation of zero, first, second order is found to obtain approximate solution and to draw the l graph of motion. As the magnetic field varies extremely slowly with the space and time changing and it is discussed without electric field, the inhomogeneous non-constant part of the magnetic field is processed as small perturbation in even constant magnetic field. The solution of zero order is taken into the first order approximate of equation of motion. Then we make the equation linearization to get the solutionof first order. So is way to obtain the solution of second order. The article emphatically introduces the concept of drifting to interpret the elementary characteristic and research technique of the charged particle in the inhomogeneous magnetic field. The conclusion is drawn through analyze and comparison between the solutions of zero andfirst order, second and first order that the particle drifts in the vertical direction of the magnetic field and its crosswise gradientin the approximation of first order. While the particle makes superimposed circle movement of uniform velocity in the approximation of second order.Key words：Charged particle; Second order approximate; Weak inhomogeneous magnetic field; Drifting目录中文摘要……………………………………………………………………………………………………1前言…………………………………………………………………………………………………………11电力系统谐波………………………………………………………………………………………… 11.1 电力系统谐波的基本概念………………………………………………………………………11.2 电力系统谐波的危害………………………………………………………………………… 21.3 电力系统谐波的管理和监测………………………………………………………………… 22非正弦条件下功率的基本要求和分类………………………………………………………………33传统正弦条件下功率的基本定义及其特点…………………………………………………………44 非正弦条件下现有的各种功率定义…………………………………………………………………54.1 C.Budeanu提出的功率定义……………………………………………………………………64.2 S.Fryze提出的功率定义………………………………………………………………………64.3N.L.Kusters和J.M.Moore提出的功率定义…………………………………………………74.4 W.Shepherd 和P.Zakihani提出的功率定义…………………………………………………94.5 Sharon提出的功率定义…………………………………………………………… …………104.6L.S.Czarnecki提出的功率定义………………………………………………………………114.7 IEEE谐波工作小组对无功功率定义的建议………………………………………………… 124.8 国家标准…………………………………………………………………………………………135现有功率理论的分析比较……………………………………………………………………………135.1 C.Budeanu 功率定义中的不足……………………………………………………………… 135.2 现有功率理论的共同特点——正交分解……………………………………………………146 适用于非正弦条件下功率计量理论…………………………………………………………………157功率测量………………………………………………………………………………………………178谐波造成的功率测量误差分析………………………………………………………………………188.1 视在功率测量误差分析……………………………………………………………………… 188.2 有功功率测量误差分析…………………………………………………………………………188.3 无功功率测量误差分析…………………………………………………………………………19９非正弦条件下测量需要解决的问题........................................................................ 219.1 如何反映负荷特性..........................................................................................219.2 怎样进行责任划分....................................................................................... 219.3 谐波损耗如何评估..........................................................................................229.4 测量精度如何保证....................................................................................... 22结论........................................................................................................................23参考文献............................................................................................................... 23英文摘要..................................................................................................................24致谢 (25)。

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。

只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。

现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2 ）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3 所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距s =2r= ，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

图6 所示。

O以与MN 成30°角的例2．如图5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度v0 从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。

当∠ MO＝N 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

解析：分别过M、N 点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30 ° =又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动答题技巧及练习题含解析一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．如图，xOy 平面处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外。

点P （33L，0）处有一粒子源，向各个方向发射速率不同、质量为m 、电荷量为－q 的带电粒子。

粒子1以某速率v 1发射，先后经过第一、二、三象限后，恰好沿x 轴正向通过点Q （0，－L ）。

不计粒子的重力。

(1)求粒子1的速率v 1和第一次从P 到Q 的时间t 1；(2)若只撤去第一象限的磁场，另在第一象限加y 轴正向的匀强电场，粒子2以某速率v 2发射，先后经过第一、二、三象限后，也以速率v 1沿x 轴正向通过点Q ，求匀强电场的电场强度大小E 以及粒子2的发射速率v 2；(3)若在xOy 平面内加上沿y 轴负向的匀强电场，场强大小为 E 0，粒子3以速率 v 3 沿 y 轴正向发射，粒子将做复杂的曲线运动，求粒子3在运动过程中的最大速率 v m 。

某同学查阅资料后，得到一种处理相关问题的思路：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力不平衡而做复杂的曲线运动时，根据运动的独立性和矢量性，可将带电粒子的初速度进行分解，将带电粒子的运动等效为沿某方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动。

本题中可将带电粒子的运动等效为沿x 轴负方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动。

请尝试用该思路求解粒子3的最大速率v m 。

【答案】(1)123qBL v m =，14π3m t qB =；(2)289qLB E m =，2219qLBv m=；(3)2200m 3E E v v B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】(1)粒子1在第一、二、三象限做圆周运动，轨迹如图：设半径为1r ，由几何知识得()222113r L r ⎫=-+⎪⎪⎝⎭可得123L r =由向心力公式，根据牛顿第二定律2111v qv B m r =可得123qBLv m =设粒子做圆周运动的周期为1T1112r T v π=由几何知识可知60θ︒=粒子第一次从P 到Q 的时间112433m t T qBπ==(2)粒子2在二、三象限的运动与粒子1完全相同，粒子2在第一象限做类斜抛运动，并且垂直经E 过y 轴，可以逆向思考，由牛顿第二定律得qEa m=x 轴方向123L v t =y 轴方向212122r L at -=可得289qLB E m=根据()22212v v at =+可得22219qLBv m=(3)根据提示，可将粒子的初速度分解，如图：根据平衡条件40qv B qE =可得4E v B=根据运动的合成，可知22543v v v =+ 粒子的运动可视为水平向左的速率为4v 的匀速直线运动和初速度为5v 的逆时针的圆周运动的合运动，所以粒子的最大速率为m 45v v v =+可得2200m 3E E v v B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．如图纸面内的矩形 ABCD 区域存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，对边 AB ∥CD 、AD ∥BC ，电场方向平行纸面，磁场方向垂直纸面，磁感应强度大小为 B .一带电粒子从AB 上的 P 点平行于纸面射入该区域，入射方向与 AB 的夹角为 θ（θ<90°），粒子恰好做匀速直线运动并从 CD 射出．若撤去电场，粒子以同样的速度从P 点射入该区域，恰垂直 CD 射出.已知边长 AD=BC=d ，带电粒子的质量为 m ，带电量为 q ，不计粒子的重力.求：(1)带电粒子入射速度的大小；(2)带电粒子在矩形区域内作直线运动的时间； (3)匀强电场的电场强度大小．【答案】（1）cos qBd m θ（2）cos sin m qB θθ （3）2cos qB dm θ【解析】 【分析】画出粒子的轨迹图，由几何关系求解运动的半径，根据牛顿第二定律列方程求解带电粒子入射速度的大小；带电粒子在矩形区域内作直线运动的位移可求解时间；根据电场力与洛伦兹力平衡求解场强. 【详解】（1） 设撤去电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，画出运动轨迹如图所示，轨迹圆心为O ．由几何关系可知：cos d Rθ=洛伦兹力做向心力：200v qv B m R=解得0cos qBdv mθ=（2）设带电粒子在矩形区域内作直线运动的位移为x ，有sin d xθ= 粒子作匀速运动：x=v 0t 联立解得cos sin m t qB θθ=（3）带电粒子在矩形区域内作直线运动时，电场力与洛伦兹力平衡：Eq=qv 0B解得2qB dE mcos θ=【点睛】此题关键是能根据粒子的运动情况画出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求解半径等物理量；知道粒子作直线运动的条件是洛伦兹力等于电场力.3．在xOy 坐标中，有随时间周期性变化的电场和磁场（磁场持续t 1后消失；紧接着电场出现，持续t 2时间后消失，接着磁场......如此反复），如图所示，磁感应强度方向垂直纸面向里，电场强度方向沿y 轴向下，有一质量为m ，带电量为+q 的带电粒子，在t =0时刻，以初速v 0从0点沿x 轴正方向出发，在t 1时刻第一次到达y 轴上的M （0，L ）点，t 1+t 2时刻第一次回到x 轴上的 N （-2L ，0）点，不计粒子重力，t 1、t 2均未知。

高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动解题技巧分析及练习题含解析一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．如图所示，在一直角坐标系xoy 平面内有圆形区域，圆心在x 轴负半轴上，P 、Q 是圆上的两点，坐标分别为P （-8L ，0），Q （-3L ，0）。

y 轴的左侧空间，在圆形区域外，有一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面向外，磁感应强度的大小为B ，y 轴的右侧空间有一磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，方向垂直于xoy 平面向外。

现从P 点沿与x 轴正方向成37°角射出一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子沿水平方向进入第一象限，不计粒子的重力。

求： （1）带电粒子的初速度；（2）粒子从P 点射出到再次回到P 点所用的时间。

【答案】(1)8qBLv m=；(2)41(1)45m t qB π=+ 【解析】 【详解】(1)带电粒子以初速度v 沿与x 轴正向成37o 角方向射出，经过圆周C 点进入磁场，做匀速圆周运动，经过y 轴左侧磁场后，从y 轴上D 点垂直于y 轴射入右侧磁场，如图所示，由几何关系得：5sin37o QC L =15sin37OOQO Q L ==在y 轴左侧磁场中做匀速圆周运动，半径为1R ，11R O Q QC =+21v qvB mR =解得：8qBLv m=； (2)由公式22v qvB m R =得：2mv R qB =，解得：24R L =由24R L =可知带电粒子经过y 轴右侧磁场后从图中1O 占垂直于y 轴射放左侧磁场，由对称性，在y 圆周点左侧磁场中做匀速圆周运动，经过圆周上的E 点，沿直线打到P 点，设带电粒子从P 点运动到C 点的时间为1t5cos37o PC L =1PCt v=带电粒子从C 点到D 点做匀速圆周运动，周期为1T ，时间为2t12mT qBπ=2137360oo t T = 带电粒子从D 做匀速圆周运动到1O 点的周期为2T ，所用时间为3t22·2m mT q B qBππ== 3212t T =从P 点到再次回到P 点所用的时间为t12222t t t t =++联立解得：41145mt qB π⎛⎫=+⎪⎝⎭。

带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置与通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向与圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2图4－3图4－4例1 、一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P〔a，0〕点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。

求3〕〕匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

〔坐标为〔0，a例2、电子自静止开始经M、N板间〔两板间的电压为U〕的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：〔1〕正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 〔2〕匀强磁场的磁感应强度.〔已知电子的质量为m ，电量为e 〕emUd L L 2222(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。

带电粒子在磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动 力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题 的难度较大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒 子的运动轨迹。

只要确定了带电粒子的运动轨迹， 问题便迎刃而解。

下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出， 称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图 界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图 动轨迹，找出相应的几何关系。

...'►HI'..a-3解析：正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图相差33尿，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

例2.如图5所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度 V 0从M 点沿半径方向 MON = 120。

时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径 R 及在磁则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对1）;带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边 2）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运例1 .如图3所示，直线 MN 上方有磁感应强度为30 °角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m ,电荷为 少B 的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点 0以与MN 成 e ），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多4),由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距亦Vs=2r=，由图还看出经历时间射入磁场区，并由 N 点射出，0点为圆心。

当/ 场区中的运动时间。

解析：分别过M 、N 点作半径0M 、ON 的垂线, 的圆心，如图6所示。

X X X /此两垂线的交点 0'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道由图中的几何关系可知，圆弧 MN 所对的轨道圆心角为60°, 0、0'的边线为该圆心角的角平分线，由此场，磁感应强度大小为B 。

专题八带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题考点一带电粒子在磁场中运动的临界极值问题多维探究解决带电粒子在磁场中的临界极值问题的关键(1)以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系．(2)寻找临界点常用的结论：①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．②当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．③当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长．题型1|求运动时间的极值例1 [2020·全国卷Ⅰ，18]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab̂为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )A.7πm6qB B.5πm4qBC.4πm3qBD.3πm2qB题型2|求磁感应强度的极值例2 [2020·全国卷Ⅲ，18]真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )A.3mv2ae B.mvaeC.3mv4ae D.3mv5ae题型3 |求运动速度的极值例3 如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ac＝L.一个粒子源在a点将质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是( )A.qBL2m B.√3qBL6mC.√3qBL4mD.qBL6m题型4|带电粒子通过磁场时的最大偏角例4 如图所示，半径R＝10 cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁感强度B＝0.33 T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可沿纸面向各方向射出速率均为v＝3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的质量m＝6.6×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C，则该α粒子通过磁场空间的最大偏转角为( ) A．30° B．45°C．60° D．90°题型5|求区域的长度范围例5 如图所示，在荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.1 T、方向与纸面垂直．距离荧光屏h＝16 cm处有一粒子源S，以速度v＝1×106＝1×108C/kg的带正电粒子，不计粒子的重m/s不断地在纸面内向各个方向发射比荷qm力．则粒子打在荧光屏范围的长度为( )A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．24 cm练1 [最小边界]如图所示，一带电质点质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．(重力忽略不计)练2 [2020·全国卷Ⅱ，24] 如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力．(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值B m；，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子(2)如果磁感应强度大小为B m2在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．题后反思解决临界极值问题的方法技巧(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．(2)一个“解题流程”突破临界问题考点二带电粒子在匀强磁场中的运动的多解问题多维探究题型1|带电性质不确定例6 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是多少？题型2|磁场方向不确定例7 (多选)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A. 4qB mB. 3qB mC. 2qB mD. qBm题型3|临界状态不唯一例8 匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为R的矩形组成，磁场2的方向如图所示．一束质量为m、电荷量为＋q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中．(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？题型4|带电粒子的周期性运动形成多解解决带电粒子在磁场中的周期性运动与多解问题，关键是对运动过程进行准确分析，找出周期性运动的规律，并用数学通式表达多解性．分析运动过程要注意两点：(1)注意磁场大小或方向的变化引起粒子运动轨迹的变化．(2)注意粒子的运动方向改变而使粒子的运动具有周期性和对称性．例9 [2021·广东韶关调研]如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下方分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场，上方磁场区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下方磁场的水平分界线．质量为m、所带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O 点相距为a 的P 点垂直于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 点与O 点的距离为3a .不考虑粒子重力．(1)求粒子射入时的速度大小；(2)若下方区域的磁感应强度B ＝3B 0，粒子最终垂直于DE 边界飞出，求边界DE 与AC 间距离的可能值．练3 (多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷q m ＝k ，则质子的速度可能为( )A.2BkLB. BkL 2C. 3BkL 2D. BkL8练4 如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限y ≤a 范围内，存在垂直纸面向里磁感应强度为B 的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q 且带负电的粒子从坐标原点O 以速度大小为v 0＝2qBa m沿不同方向射入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )A ．若粒子初速度沿y 轴正方向，则粒子在磁场中的运动时间为πm 3qBB ．若粒子初速度沿y 轴正方向，则粒子在磁场中的运动时间为2πm 3qBC．粒子在磁场中运动的最长时间为πm3qBD．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm3qB思维拓展“几何圆”模型在磁场临界极值问题中的应用模型1 “放缩圆”模型的应用如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹例1 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0t0 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t0 D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是53模型2 “旋转圆”模型的应用粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则轨迹半径为R＝mv0.如图所qB示带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点、速度例2 如图所示，匀强磁场垂直于纸面，磁感应强度大小为B，一群比荷为qm大小为v的离子以一定发散角α由原点O出射，y轴正好平分该发散角，离子束偏转为( )后打在x轴上长度为L的区域MN内，则cosα2A ．1－BqL 4mvB ．12－BqL 4mvC ．1－BqL 2mvD ．1－BqLmv专题八 带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题考点突破例1 解析：如图所示，设某一粒子从磁场圆弧ab̂上的e 点射出磁场，粒子在磁场中转过的圆心角为π＋θ＝π＋2α，由于所有粒子在磁场中运动周期相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动时，运动轨迹对应的圆心角越大，则运动时间越长．由几何关系可知，α最大时，ce 恰好与圆弧ab ̂相切，此时sin α＝eO cO ＝12，可得α＝π6，θ＝2α＝π3，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ，粒子在磁场中运动的最长时间t ＝T 2+T 6，又T ＝2πm qB ，解得t ＝4πm 3qB，故选C.答案：C例2 解析：为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，且磁感应强度最小，由qvB ＝mv 2r可知，电子在匀强磁场中的轨迹半径r ＝mv eB，当r 最大时，B 最小，故临界情况为电子轨迹与有界磁场外边界相切，如图所示，由几何关系知a 2＋r 2＝(3a－r )2，解得r ＝43a ，联立可得最小的磁感应强度B ＝3mv4ae，选项C 正确．答案：C例3 解析：由分析知，粒子沿着ab 边入射且运动轨迹与bc 边相切时满足题意，粒子运动轨迹如图所示．由几何关系知，粒子运动轨迹半径r ＝ab ＝12L ，则粒子速度的最大值v ＝2πr T ＝qBL 2m，A 正确． 答案：A例4 解析：放射源发射的α粒子的速率一定，则它在匀强磁场中的轨道半径为定值，即r ＝mv qB ＝6.6×10−27×3.2×1063.2×10−19×0.33m ＝0.2 m ＝20 cmα粒子在圆形磁场区的圆弧长度越大，其偏转角度也越大，而最长圆弧是两端点在圆形磁场区的直径上，又r ＝2R ，则此圆弧所对的圆心角为60°，也就是α粒子在此圆形磁场区的最大偏转角为60°.轨迹如图所示．选项C 正确．答案：C例5 解析：如图所示，粒子在磁场中做圆周运动的半径为R ＝mv qB ＝10 cm ，若粒子打在荧光屏的左侧，当弦长等于直径时，打在荧光屏的最左侧，由几何关系有x 1＝√(2R )2−h 2＝12 cm ；粒子的运动轨迹与荧光屏右侧相切时，打在荧光屏的最右侧，由几何关系有x 2＝√R 2−(h −R )2＝8 cm.根据数学知识可知打在荧光屏上的范围长度为x ＝x 1＋x 2＝12 cm ＋8 cm ＝20 cm ，选项C 正确．答案：C 练1解析：由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角φ＝π2.设粒子由M 点进入磁场，由于φ＝2β，可沿粒子偏转方向β＝π4来补弦MN ，如图所示．由“切线、弦”可得圆心O 1，从而画轨迹弧MN .显然M 、N 为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域内．欲使磁场面积最小，则弦MN 应为磁场边界所在圆的直径(图中虚线图)，即得2r ＝MN .由几何知识，在Rt△MO 1O 2中可知R ＝√2r ，又因为R ＝mv qB，所以，这圆形磁场区域的最小半径 ＝√22R ＝√2mv 2qB . 答案：√2mv 2qB练2 解析：(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R ，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv 0B ＝m v 02 R ①由此可得R ＝mv 0qB② 粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足R ≤h ③由题意，当磁感应强度大小为B m 时，粒子的运动半径最大，由此得B m ＝mv 0qh④(2)若磁感应强度大小为B m 2，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R ′＝2h ⑤粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，由几何关系sin α＝h 2h ＝12⑥则α＝π6⑦由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为y ＝2h (1－cos α)⑧联立⑦⑧式得y ＝(2－√3)h ⑨答案：见解析 例6解析：题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论．若带电粒子带正电荷，则轨迹是图中与NN ′相切的14圆弧，轨迹半径R ＝mv Bq又d ＝R －R ·sin 45°解得v ＝(2+√2)Bqd m若带电粒子带负电荷，则轨迹是图中与NN ′相切的34圆弧，轨迹半径R ′＝mv ′Bq 又d ＝R ′＋R ′sin 45°解得v ′＝(2−√2)Bqd m答案：(2＋√2)Bqd m (q 为正电荷) 或(2－√2)Bqd m(q 为负电荷) 例7 解析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m .此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bq m.故AC 正确．答案：AC例8 解析：(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从PA 、AC 和CD 三段边界射出，如图所示．当粒子从A 点射出时，运动半径r 1＝R 2.由qvB 1＝mv 2r 1 得B 1＝2mv qR. (2)当粒子从C 点射出时，由勾股定理得：(R －r 2)2＋(R 2)2＝r 22，解得r 2＝58R 由qvB 2＝mv 2r 2，得B 2＝8mv 5qR据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断：当B >2mv qR 时，粒子从PA 段射出；当8mv 5qR <B <2mv qR时，粒子从AC 段射出； 当B <8mv 5qR 时，粒子从CD 段射出．答案：(1)2mv qR(2)见解析例9 解析：(1)粒子在OF 上方的运动轨迹如图甲所示， 设粒子做圆周运动的半径为R ，由几何关系得R 2－(R －a )2＝(3a )2，解得R ＝5a由牛顿第二定律得qvB 0＝m v 2R解得v ＝5aqB 0m.(2)当B ＝3B 0时，粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子在OF 下方的运动半径为r ＝53a .设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P 1，则P 与P 1的连线一定与OF 平行，根据几何关系知PP 1＝4a若粒子最终垂直于DE 边界飞出，则边界DE 与AC 间的距离为L ＝nPP 1＝4na (n ＝1，2，3，…)．答案：(1)5aqB 0m(2)4na (n ＝1，2，3，…)练3 解析：因质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r ＝L n (n ＝1，2，3…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，即v ＝Bqr m ＝Bk ·L n(n ＝1，2，3…)，选项B 、D 正确． 答案：BD 练4解析：本题考查带电粒子在平行边界磁场中运动的临界问题．粒子运动的速度为v 0＝2qBa m ，则粒子运动的轨迹半径为r ＝mv 0qB ＝2a ，若粒子初速度沿y 轴正方向，由几何关系知粒子在磁场中运动偏转的角度为30°，则运动时间为t 1＝30°360°T ＝112×2πr v 0＝πm 6qB ，选项A 、B 错误；当轨迹与磁场上边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知，此时粒子在磁场中偏转的角度为120°，时间为t m ＝120°360°T ＝2πm 3qB，故选D. 答案：D 思维拓展 典例1解析：由题意可知带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T ＝2t 0.随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG 、FE 、DC 、BA 之间，不可能从四个顶点射出，所以A 项正确；当粒子从O 点沿纸面垂直于cd 边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t 0刚好为半周期，从ab 边射出的粒子所用时间小于半周期t 0，从bc 边射出的粒子所用时间小于23T ＝4t 03，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为5T 6＝5t 03，故B 、C 项错误，A 、D 项正确．答案：AD典例2 解析：根据洛伦兹力提供向心力，有qvB ＝m v 2R ，得R ＝mvqB，离子通过M 、N 点的轨迹如图所示，由几何关系知MN ＝ON －OM ，过M 点两圆圆心与原点连线与x 轴夹角为α2，圆心在x 轴上的圆在O 点时的速度沿y 轴正方向，由几何关系可知L ＝2R －2R cos α2，解得cos α2＝1－BqL 2mv，故选项C 正确．答案：C。

带电粒子在非均匀磁场中的运动分析张莉【摘要】本文用经典电动力学的理论以及经典力学的原理探讨了带电粒子在非均匀磁场中的运动规律，得出了带电粒子在非均匀磁场中将做螺旋线运动与漂移运动的合运动，并由此解释了磁约束原理。

【关键词】：带电粒子非均匀磁场运动带电粒子在非均匀磁场中的运动规律具有广泛的运用，例如，等离子体问题的探究都涉及到了磁场对等离子体的作用，研究带电粒子在非均匀磁场中的运动以及等离子体的约束问题，在现代科学技术中具有重要的意义。

在普通物理电磁学中主要探讨了带电粒子在均匀磁场中的定量运动规律，知道了带电粒子在均匀磁场中的运动主要由两部分构成：一部分是沿着磁感线的匀速直线运动（纵向）；另一部分是环绕磁感线的匀速圆周运动（横向）。

这两部分合起来就是带电粒子在均匀磁场中将沿着磁感线做螺旋线运动。

那么，带电粒子在非均匀磁场中的运动又是怎样的一种情况呢？目前，一些有关电子在非均匀磁场中运动的文献已经运用高等数学的研究方法得出了带电粒子在非均匀磁场中的一些运动规律。

本文将从电动力学的理论以及经典力学的原理和带电粒子在非均匀磁场中动能不变的条件出发，探讨带电粒子在非均匀磁场中的运动规律，得出带电粒子在非均匀磁场中将做螺旋线运动与漂移运动的合运动，并且用此结论解释了磁约束原理。

1带电粒子在非均匀磁场中的运动常见的非均匀磁场是如图1所示的喇叭形磁场，它是一种关于Z轴对称的空间缓变磁场，我们用下式来表示这种磁场【1】:1 [(1)]2zB B a z arr =+-z r B z B r =- （1）其中a 是一个微小的参数，它表示磁场B 随z 和r 的变化是缓慢的。

带电粒子在这种磁场的运动是比较复杂的，如果采用一般的方法，列出运动方程后再去精确求解，将陷入繁琐的数学计算中，所以我们将从带电粒子在稳定的喇叭形磁场中运动的动能不变出发，采用近似求解的方法，得到带电粒子在这种磁场中的运动特点。

当带电粒子q 以一恒定速度Vˆ（假设远小于真空中的光速）进入如图1所示的磁场时，我们对它进行受力分析，带电粒子在进入磁场后只受到洛仑兹力的作用。

高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动解题技巧(超强)及练习题含解析一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B 。

x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E 。

屏MN 与y 轴平行且相距L ，一质量为m ，电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 点之间的距离s 需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？【答案】(1)()222s 221eL B Em n =+ (n ＝0,1,2,3…)；(2)()212BL m t n E eBπ=++ (n ＝0,1,2,3…) 【解析】【分析】【详解】 (1)在电场中电子从A →O 过程，由动能定理可得2012eEs mv = 在磁场中电子偏转，洛伦兹力提供向心力，有200v qv B m r= 可得0mv r qB=根据题意有 (2n ＋1)r ＝L所以解得()222221eL B s Em n =+ (n ＝0,1,2,3…)(2)电子在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子运动的总时间，即 )2(2214s T T t n n a ++⋅＝＋ 由公式 eE ma =可得 eE a m =由公式 20v qvB m r = 和 02r T v π=可得 2m T eBπ=综上整理可得 ()212BL m t n E eBπ=++ (n ＝0,1,2,3…)2．如图所示，在竖直分界线MN 的左侧有垂直纸面的匀强磁场，竖直屏与MN 之间有方向向上的匀强电场。

在O 处有两个带正电的小球A 和B ，两小球间不发生电荷转移。

若在两小球间放置一个被压缩且锁定的小型弹簧（不计弹簧长度），解锁弹簧后，两小球均获得沿水平方向的速度。

已知小球B 的质量是小球A 的1n 倍，电荷量是小球A 的2n 倍。

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。

只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。

现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下： 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。

当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。

由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

题目：带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析目录1.引言： (1)2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动 (1)3.带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动 (2)3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的分析 (2)3.2带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程 (2)4.带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动 (5)5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移 (6)5.1梯度漂移 (6)5.2曲率漂移 (8)6．结论 (9)7．叁考文献： (10)8.致谢 (11)带点粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况，并对带电粒子在非均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论，及推导带电粒子在非均匀磁场中运动时的漂移速度。

关键词：带电粒子;电场;磁场;漂移速度1.引言：在很多等离子体的应用中, 都涉及到磁场对等离子体的作用. 因此, 研究带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等离子体的应用是很有必要的. 大家知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成：一部分是沿磁感应线的(纵向)匀速直线运动; 另一部分是环绕磁感应线的( 横向)匀速圆周运动. 这两部分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动. 在非均匀恒定磁场中,会发生洛伦磁力方向上的漂移，还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。

2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动，受lorentz 力的作用，其运动方程： B v q a m ⨯= (1) 在磁场B 均匀，恒定条件下，垂直于B 的速度分量v ⊥受到与B 和v ⊥都垂直的恒力qv B ⊥的作用，使带点粒子在垂直于B 的平面内以v ⊥作匀速圆周运动，圆半径为 L r =mv qB⊥(2) L r 称为回旋半径或Larmor 半径，圆周运动的角速度为L ω=v r ⊥⊥= m qB （3）L ω称为回旋圆频率(Larmor 频率)。

平行于B 的速度分量//υ不受力，使带电粒子沿的方向即沿磁力以υ作匀速直线运动。

一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．如图所示，在一直角坐标系xoy 平面内有圆形区域，圆心在x 轴负半轴上，P 、Q 是圆上的两点，坐标分别为P （-8L ，0），Q （-3L ，0）。

y 轴的左侧空间，在圆形区域外，有一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面向外，磁感应强度的大小为B ，y 轴的右侧空间有一磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，方向垂直于xoy 平面向外。

现从P 点沿与x 轴正方向成37°角射出一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子沿水平方向进入第一象限，不计粒子的重力。

求： （1）带电粒子的初速度；（2）粒子从P 点射出到再次回到P 点所用的时间。

【答案】(1)8qBLv m=；(2)41(1)45m t qB π=+【解析】 【详解】(1)带电粒子以初速度v 沿与x 轴正向成37o 角方向射出，经过圆周C 点进入磁场，做匀速圆周运动，经过y 轴左侧磁场后，从y 轴上D 点垂直于y 轴射入右侧磁场，如图所示，由几何关系得：5sin37o QC L =15sin37OOQO Q L ==在y 轴左侧磁场中做匀速圆周运动，半径为1R ，11R O Q QC =+21v qvB mR =解得：8qBLv m=； (2)由公式22v qvB m R =得：2mv R qB =，解得：24R L =由24R L =可知带电粒子经过y 轴右侧磁场后从图中1O 占垂直于y 轴射放左侧磁场，由对称性，在y 圆周点左侧磁场中做匀速圆周运动，经过圆周上的E 点，沿直线打到P 点，设带电粒子从P 点运动到C 点的时间为1t5cos37o PC L =1PCt v=带电粒子从C 点到D 点做匀速圆周运动，周期为1T ，时间为2t12mT qBπ=2137360oo t T = 带电粒子从D 做匀速圆周运动到1O 点的周期为2T ，所用时间为3t22·2m mT q B qBππ== 3212t T =从P 点到再次回到P 点所用的时间为t12222t t t t =++联立解得：41145mt qB π⎛⎫=+⎪⎝⎭。

带电粒子在无边界匀强磁场中运动解题技巧一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动压轴题1．在磁感应强度为B 的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变．放射出α粒子（42He ）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R ．以m 、q 分别表示α粒子的质量和电荷量．（1）放射性原子核用 AZ X 表示，新核的元素符号用Y 表示，写出该α衰变的核反应方程．（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小． （3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M ，求衰变过程的质量亏损△m ．【答案】（1）放射性原子核用 AZ X 表示，新核的元素符号用Y 表示，则该α衰变的核反应方程为4422A A Z Z X Y H --→+ ；（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆周运动的周期为 2m Bq π ，环形电流大小为 22Bq mπ ；（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M ，则衰变过程的质量亏损△m 为损 2211()()2BqR m M c + ． 【解析】（1）根据核反应中质量数与电荷数守恒可知，该α衰变的核反应方程为4422X Y He AAZ Z --→+（2）设α粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为v ，由洛伦兹力提供向心力有2v qvB m R= 根据圆周运动的参量关系有2πR T v= 得α粒子在磁场中运动的周期2πm T qB= 根据电流强度定义式，可得环形电流大小为22πq q B I T m== （3）由2v qvB m R=，得qBR v m = 设衰变后新核Y 的速度大小为v ′，核反应前后系统动量守恒，有Mv ′–mv =0 可得mv qBR v M M='= 根据爱因斯坦质能方程和能量守恒定律有2221122mc Mv mv '∆=+解得22()()2M m qBR m mMc+∆= 说明：若利用44A M m -=解答，亦可． 【名师点睛】（1）无论哪种核反应方程，都必须遵循质量数、电荷数守恒．（2）α衰变的生成物是两种带电荷量不同的“带电粒子”，反应前后系统动量守恒，因此反应后的两产物向相反方向运动，在匀强磁场中，受洛伦兹力作用将各自做匀速圆周运动，且两轨迹圆相外切，应用洛伦兹力计算公式和向心力公式即可求解运动周期，根据电流强度的定义式可求解电流大小．（3）核反应中释放的核能应利用爱因斯坦质能方程求解，在结合动量守恒定律与能量守恒定律即可解得质量亏损．2．如图所示，xOy 平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B =0. 1T ，在原点O 有一粒子源，它可以在xOy 平面内向各个方向发射出质量276.410m -=⨯kg 电荷量193.210q -=⨯C 、速度61.010v =⨯m/s 的带正电的粒子。