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映射法高一数学知识点归纳数学是一门抽象且能带来美妙感受的学科。
在高中阶段，学生们开始接触更加深入和细致的数学知识。
其中，映射法是一个重要的概念，它不仅在高一数学中频繁出现，还在后续的学习中扮演着重要的角色。
本文将就高一数学中与映射法相关的几个重要知识点进行归纳和探讨。
一、函数和映射函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
我们可以将函数理解为一种映射，将一个集合的元素映射到另一个集合中。
函数通常用一个数学表达式来表示，其中包括自变量和因变量。
高一数学中，我们学习了一元函数和二元函数的概念，并了解了函数的定义域、值域、图像等重要概念。
这些概念为后续的函数进一步学习打下了基础。
二、映射的基本性质映射是一个广义的函数，它可以将集合A中的元素映射到集合B中的一个或多个元素。
在高一数学中，我们学习了映射的一些基本性质。
首先是单射、满射和双射的概念。
其中，单射表示映射的每个自变量对应一个唯一的因变量，满射表示映射的每个因变量都有对应的自变量，而双射则同时满足单射和满射的条件。
通过研究映射的性质，我们可以更好地理解函数之间的关系和特征。
三、映射的运算映射的运算是高一数学中的重点内容之一。
我们学习了映射的复合运算、反函数和其它常见运算。
映射的复合运算可以将两个映射按照一定的规则合并成一个新的映射。
而反函数则是一个函数与其原函数互为映射的关系。
这些运算不仅帮助我们更好地理解映射的特性，还能够在解决实际问题中发挥重要作用，尤其在数学建模和函数逆向求解中。
四、关于映射的应用映射法在实际问题中具有广泛的应用。
在几何中，我们可以通过映射法来进行形状的变换和性质的推导。
在代数中，映射法可以帮助我们解决方程和不等式，并找到特定函数的性质。
在概率论中，我们可以使用映射法来计算事件的概率和条件概率。
这些应用不仅拓宽了我们对映射法的理解，还展示了数学在实际生活中的强大应用能力。
总之，映射法作为高一数学中的一个重要知识点，为我们提供了更好理解函数和解决实际问题的途径。
高等代数的关系映射反演法的认识与研究关系映射反演法（Inverse Relational Mapping）是一种在抽象代数中研究群、环、域等代数结构的方法。
它主要关注这些代数结构中元素之间的关系，并通过反演技术来揭示这些关系。
在高等代数中，关系映射反演法具有重要的地位，它可以帮助我们更深入地理解这些代数结构及其性质。
以下是关系映射反演法的一些基本认识和研究：1. 群：群是一种代数结构，由一个集合和一种运算（通常表示为“×”）组成，满足群的四个基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
在群中，关系映射反演法主要关注元素之间的运算关系，以及这些关系如何满足群的性质。
2. 环与域：环和域是两种包含加法和乘法运算的代数结构。
环需要满足加法群的性质以及乘法对加法的分配律；域则需要满足环的性质以及除法运算的存在。
关系映射反演法在环和域中的应用，主要是研究加法和乘法之间的关系，以及这些关系如何满足环和域的性质。
3. 同态与同构：同态和同构是代数结构之间的两种重要关系。
同态是一种从一个代数结构到另一个代数结构的映射，它保留了结构中的运算关系；同构是一种特殊的同态，它同时保留了代数结构的性质和结构。
关系映射反演法在研究同态与同构时，主要关注代数结构之间的运算关系和性质之间的关系。
4. 模与线性代数：模是一种代数结构，由一个加法群、一个乘法半群（通常表示为“×”）和一个可乘关系组成。
线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵代数的数学分支，其中许多概念和定理都可以使用关系映射反演法来推导和证明。
总之，关系映射反演法在高等代数的研究中具有广泛的应用。
通过运用这种方法，我们可以更深入地理解代数结构之间的联系和性质，为实际问题的解决提供理论支持。
映射法高一数学知识点总结在高一的数学学习中，映射法是一种重要的解题方法，它能够帮助我们在解决各种数学问题时更加清晰地思考。
在本文中，我将总结高一数学中的一些重要知识点，并结合映射法来进行讲解和应用。
一、映射与函数在数学中，映射是指一种从一个集合到另一个集合的对应关系。
而函数则是一种特殊的映射，它要求每个输入值都有唯一对应的输出值。
我们可以通过映射的图象、对应法则和定义域等方面来描述一个函数。
在解题中，我们可以通过映射的性质来简化计算，找到问题的关键所在。
二、集合与映射集合是数学中的基本概念，而映射则是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
在解决集合和映射相关的问题时，我们可以运用映射法来分析和解答。
比如，在排列组合和概率等问题中，我们可以通过建立集合与映射的对应关系来快速求解。
三、函数的性质与应用函数是高中数学中的重点内容，它有很多重要的性质和应用。
其中，一次函数、二次函数和反比例函数是我们比较常见的函数类型。
在解决函数相关的问题时，我们可以利用映射法来推导函数的性质和应用，从而更好地理解和应用函数概念。
四、映射法在直角坐标系中的应用映射法在直角坐标系中有广泛的应用。
我们可以利用映射法来求解两点间的距离、两直线间的夹角以及两点间的中点等问题。
此外，映射法也可以帮助我们理解平移、旋转和翻折等几何变换，从而更好地解决相关的几何问题。
五、映射法在函数图象中的应用在研究函数的图象时，映射法可以帮助我们更好地分析和理解函数的性质。
通过建立函数的图象与输入输出的对应关系，我们可以求解函数的零点、最值和增减性等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究函数图象的对称性和周期性，进一步加深对函数的理解。
六、映射法在数列与数列极限中的应用数列是高中数学中的重要内容，而映射法可以帮助我们更好地研究数列的性质。
通过建立数列与输入输出的对应关系，我们可以求解数列的通项公式、前n项和以及极限等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究数列的收敛性和发散性，提高解题的效率和准确性。
《映射》知识清单一、什么是映射在数学中，映射是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素相对应。
简单来说，如果对于集合A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这种对应关系就称为从集合 A 到集合 B 的映射。
例如，我们考虑集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6}。
如果定义映射 f 为：f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，那么这就是一个从集合 A到集合 B 的映射。
需要注意的是，集合 A 中的每一个元素都必须有对应的元素在集合B 中，并且一个元素在集合 A 中只能对应集合 B 中的一个元素。
但集合 B 中的元素不一定都有集合 A 中的元素与之对应。
二、映射的分类1、单射单射是指如果对于集合 A 中的任意两个不同元素 a1 和 a2，它们在集合 B 中的像 f(a1) 和 f(a2) 也不同，那么这个映射就称为单射。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6, 7}，映射 f 为：f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，这是一个单射，因为 1、2、3 对应到 4、5、6 各不相同。
满射是指如果集合 B 中的每一个元素都至少有集合 A 中的一个元素与之对应，那么这个映射就称为满射。
比如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，集合 B ＝｛5, 6}，映射 f 为：f(1) ＝ 5，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，f(4) ＝ 6，这就是一个满射，因为集合 B 中的 5 和 6 都能在集合 A 中找到对应的元素。
3、双射双射是指既是单射又是满射的映射。
这意味着集合 A 中的每一个元素在集合 B 中有唯一的对应元素，并且集合 B 中的每一个元素在集合A 中也有唯一的对应元素。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6}，映射 f 为：f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6，这就是一个双射。
高中数学映射的教案教学目标：1. 理解数学映射的概念和基本性质。
2. 掌握如何判断一个给定关系是否为映射。
3. 能够在实际问题中应用映射的概念解决问题。
教学重点：1. 映射的定义和基本性质。
2. 判断一个给定关系是否为映射。
3. 应用映射解决实际问题。
教学难点：1. 理解映射和函数的区别。
2. 能够准确地判断一个关系是否为映射。
教学准备：1. 教师备好教材、教具和课件。
2. 学生预先学习相关知识。
3. 教师准备案例题目和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾函数的概念，并告诉学生今天将学习数学映射的内容。
二、讲解映射的概念和基本性质（15分钟）1. 教师讲解映射的定义和基本性质，引导学生理解映射的概念。
2. 教师通过示例说明映射的性质，让学生加深对映射的理解。
三、判断关系是否为映射（15分钟）1. 教师讲解判断一个给定关系是否为映射的方法。
2. 教师通过案例指导学生如何判断一个关系是否为映射。
四、应用映射解决实际问题（10分钟）1. 教师给出一个实际问题，引导学生运用映射的概念解决问题。
2. 学生尝试独立解决问题，教师及时给予指导和反馈。
五、课堂练习（10分钟）学生完成几道与映射相关的练习题，巩固所学知识。
六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生对映射的概念进行复习。
七、作业布置（5分钟）布置相关习题作业，督促学生加强练习。
教学反思：本节课主要是对数学映射的基本概念和性质进行讲解，通过案例和练习引导学生深入理解映射的概念。
教学中应注意引导学生掌握映射的判定方法和应用技巧，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。
大一高数映射知识点总结高等数学是大学阶段理工科学生的一门重要基础课程，其中映射是高等数学中的一个重要概念和知识点。
映射作为数学中的一种关系，研究了一个集合与另一个集合之间的对应关系。
本文将对大一高数中与映射相关的知识点进行总结。
一、映射的基本概念在数学中，映射是指一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。
设A和B是两个非空集合，若对于A中的任意一个元素a，都存在B中唯一的一个元素b与之对应，则称这种对应关系为从集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
二、映射的表示方法映射可以用不同的表示方法来表达，常见的表示方法有以下几种：1. 符号表示法：f(a) = b，表示元素a在映射f下的像是b。
2. 图表示法：可以用箭头连接集合A和集合B，箭头表示映射关系，箭头起点对应元素a，箭头终点对应元素b。
3. 列表表示法：可以将映射关系列出来，例如{(a, b), (c, d), (e,f)}。
三、映射的类型根据映射的特点和性质，映射可以分为以下几种类型：1. 一对一映射：映射中的每一个元素都有唯一的对应元素，即对于A中的不同元素a1和a2，映射f下的像f(a1)和f(a2)不相同。
2. 单射映射：映射中的每一个元素都有唯一的对应元素，即对于A中的不同元素a1和a2，若f(a1) = f(a2)，则a1 = a2。
3. 满射映射：映射中的每一个元素都有对应元素，即对于B中的任意元素b，都存在A中的元素a与之对应。
4. 一一对应映射：既是一对一映射又是满射映射的映射称为一一对应映射或双射映射。
四、映射的性质映射作为一种关系有其特有的性质，下面介绍几个常见的映射性质：1. 反函数：对于一一对应的映射f：A→B，如果存在映射g：B→A，使得对于A中的任意元素a，都有g(f(a)) = a，且对于B中的任意元素b，都有f(g(b)) = b，那么g就是f的反函数。
2. 复合函数：对于映射f：A→B和映射g：B→C，可以定义映射h：A→C，使得对于A中的任意元素a，有h(a) = g(f(a))，此时h为f和g的复合映射。
大一高数映射知识点归纳在大一高等数学课程中，映射是一个非常重要且常见的概念。
映射可以理解为一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
接下来，我将对大一高数中与映射相关的知识点进行归纳总结。
一、映射定义与表示法映射是从一个集合到另一个集合的一个对应关系。
如果集合A 中的每个元素a都对应集合B中的唯一一个元素b，那么我们称A 到B的映射为定义在集合A上的一个映射。
在表示映射时，常用的表示法有：- 将映射写成集合形式，例如：{(x, y) | x∈A, y∈B, y=f(x)}- 使用函数的形式表示映射，例如：f: A → B，其中f表示映射的名称，A为起始集合，B为终止集合。
二、映射的分类1. 单射：如果映射中的每个不同元素a对应的都是不同的元素b，那么称该映射为单射。
也可以说是任意两个不同的元素在映射中的像都不相同。
2. 满射：如果映射中的每个元素b都有对应的元素a，那么称该映射为满射。
也可以说是终止集合B中的每个元素都有源自集合A中的元素与之对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么称该映射为双射。
三、映射的运算1. 复合映射：设有两个映射f: A → B，g: B → C，那么可以通过复合运算得到新的映射h: A → C。
复合映射的运算规则为：h(x) = g(f(x))，即先使用f进行映射，再使用g进行映射。
2. 逆映射：如果一个映射f: A → B是一个双射，那么可以定义其逆映射g: B → A。
逆映射的性质为：g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
四、映射的例子与应用1. 一次函数：一次函数可以表示为f(x) = kx + b的形式，其中k 为不为零的常数，称为斜率，b为常数，称为截距。
一次函数是一种常见的线性映射，常用于描述常量比例关系。
2. 复数平面映射：将复数表示为平面上的点，可以将复数映射到平面上。
3. 矩阵映射：在线性代数中，矩阵可以表示一个线性映射，通过矩阵乘法可以实现向量的变换。
高中数学映射教案
一、教学目标：
1. 理解映射的概念和性质；
2. 掌握映射的表示方法；
3. 能够根据给定的映射找出它的定义域、值域和像；
4. 能够进行映射的复合和逆映射的求解；
二、教学重点：
1. 映射的概念和性质；
2. 映射的表示方法；
3. 映射的定义域、值域和像的确定；
4. 映射的复合和逆映射的求解；
三、教学难点：
1. 映射的复合；
2. 映射的逆映射；
四、教学过程：
1. 映射的概念和性质的介绍（10分钟）
教师简单介绍映射的定义及性质，引导学生理解映射的基本概念。
2. 映射的表示方法（15分钟）
教师通过具体例子演示映射的表示方法，解释映射的不同形式表示。
3. 映射的定义域、值域和像（20分钟）
教师讲解如何确定映射的定义域、值域和像的方法，通过实例进行讲解并进行练习。
4. 映射的复合（15分钟）
教师介绍映射的复合的概念和方法，通过例题演示如何进行映射的复合，并让学生自行练习。
5. 映射的逆映射（15分钟）
教师讲解映射的逆映射的概念和求解方法，通过实例进行演示并让学生进行练习。
6. 练习与检测（15分钟）
教师布置相关练习题让学生巩固所学知识，并进行检测。
五、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握映射的基本概念、性质和运算方法，能够熟练计算映射的复合和逆映射。
教师应该及时收集学生的反馈意见，对教学过程进行调整和改进。
关系与映射学习指导学习目标理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
内容提要(一)笛卡尔积： A ×B ={(a ,b )｜a ∈A , b ∈B }，注意(a ,b )为有次序的元素偶.从集合A 到B 中的关系： A ×B 中的每一子集R 称为从A 到B 中的关系. 若(a ,b )∈R ，则称a 与b 是R -相关的，记作aRb .关系R 的定义域： Dom (R )={a ｜存在b ∈B ，使aRb }(⊂A ). 关系R 的值域： Ran (R )={ b ｜存在a ∈A ，使aRb }(⊂B ).关系R 的象集： R (A ~)={b ｜存在a ∈A ~，使得aRb }(⊂B ). 其中集合A ~⊂A .关系R 的逆： 设R ⊂A ×B ，则B ×A 的子集1-R ={(b ,a )｜aRb }称为R 的逆.关系的复合: S R ={(a ,c )｜存在b ∈B ，使得aRb ，bSc }，其中R ⊂A ×B ，S ⊂B ×C . 设A ，B ，C ，D 为集合；R ⊂A ×B ，S ⊂B ×C ，T ⊂C ×D ，则有关系的逆与复合运算满足：(1) 11)(--R =R ；(2) 1)(-R S =1-R 1-S ； (3) T (S R )=(T S ) R .(二)映射： F ∶X →Y ，即∀x ∈X ，有唯一y ∈Y ，使得xFy .映射F 的象： y =F (x )，即对于每一x ∈X ，使得xFy 成立的y .映射F 的原象： )(1y F -，即对于y ∈Y ，使得xFy 成立的x (x ∈X ). 映射的复合： (G F )(x )=G (F (x ))，其中F ∶X →Y ，G ∶Y →Z . 满射： 若f (X )=Y ，则称f 为从X 到Y 上的满射.单射： 若∀1x ,2x ∈X , 1x ≠2x ，有f (1x )≠f (2x )，则称f 为从X 到Y 上的单射. 双射： 若f 即是单射又是满射的. 逆映射： 由y =f (x )确定的从Y 到X 的映射1-f ：Y →X ，其中f ∶X →Y 是双射.1： 设f ∶X →Y ，A ，B ⊂Y ，则逆映射1-f 满足(1)1-f (A ∪B )=1-f (A )∪1-f (B )； (2)1-f(A ∩B )=1-f(A )∩1-f(B )；(3)1-f (A -B )=1-f (A )-1-f (B ).结论2： 设f ∶X →Y(1) 若f 是单射，则对于X 的任意子集A ，有1-f(f (A ))=A .(2) 若f 是满射，则对于Y 的任意子集B ，有f (1-f (B ))=B .(三) 运算运算： 映射f : A ×B →C 是一个从A ×B 到C 中的运算.特别的，映射f : A ×A →A 是A 上的一个运算，并且称运算f 在A 上封闭.若f (a ,b )=f (b ,a ), 则称运算f 满足交换律；若f (f (a ,b ),c )=f (a ,f (b ,c )), 则称运算f 满足结合律.f 的右零元e ： ∀a ∈A , 使f (a ,e )= a ； f 的左零元e ： ∀a ∈A , 使f (e ,a )= a ；f 的零元e ： 既是f 的左零元，又是f 的右零元.a 的右逆元a '： 对于a ∈A ，若∃a '∈A ，使f (a , a ')= e ； a 的左逆元a '： 对于a ∈A ，若∃a '∈A ，使f (a '，a )= e ；a 的逆元a '： 既是a 的左逆元，又是a 的右逆元.重难点解析(二) 关于关系与映射世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”. 本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”. 本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在后续各章节中都有应用. 因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
1．笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一. 集合A 与B 的笛卡尔积A ⨯B = {(a , b )│a ∈A , b ∈B }是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合A ，第二个成员都是取自集合B ，不能随意取出写之.集合A ，B 的笛卡尔积与这两个集合的次序有关. 一般地，若A 与B 非空，只要A ≠B ，则有A ×B ≠B ×A . 也就是说交换律不成立. 例如，集合A ={a , b , c }，B ={1, 2}，则A ⨯B = {a , b , c }⨯{1, 2} = {(a , 1)，(a , 2)，(b , 1)，(b , 2)，(c , 1)，(c , 2)} A ⨯B = {1, 2}⨯{a , b , c } = {(1 , a )，(1 , b )，(1 , c )，(2 , a )，(2 , b )，(2 , c )} 所以A ×B ≠B ×A .2. 二元关系R 是一个有序对组成的集合. 因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示. 但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组成的，才能称为二元关系.例如，1R ={(a , 1)，(b , 2)}，2R ={a ，(b , 2)}，那么1R 是二元关系，而2R 不是二元关系，仅仅是一个集合二元关系R 也可以用关系图表示. 设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1 , a 2 , … , a m ，用n 空心点表示b 1 , b 2 , … , b n ，这些空心点统称为结点. 如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果(a i , b j )∈R ，那么结点a i 与b j 之间没有弧连结，这样的图形称为R 的关系图.若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画 法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路例如，集合A ={1，2，3，4}上的关系 R ={(1 , 1)，(1 ,2)，(2 , 3)，(2 , 4)，(3 , 3)，(4 , 2)}，则R 的关系图如图1-6 所示.3．关系R 的定义域是指R 中有序对的第一元素所允许选取对象的集合，关系R 的值域是指R 中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.例如，集合A ={a , b , c }，B ={1, 2, 3}，从A 到B 的关系 R = { (a , 2)，(b , 1)，(b , 3)} 那么，Dom(R ) = {a , b }，Ran(R ) = {1, 2, 3}.4．在映射的定义(定义2.5)中，条件“如果∀x ∈X ，有唯一y ∈Y ，使得xFy ，”表示映射是单值的，也就是说，定义域中的任意一个x 与值域中唯一的y 有关系，所以用y =F (x )表示. 另外，该条件还指出，集合X 就是映射F 的定义域，即Dom(F ) =X .因此，从集合X 到Y 的映射F 是一个二元关系，但是从X 到Y 的二元关系R 不一定是一个映射. 例如，实数集R 上的二元关系f ={(a , b )|a =2b }不是映射，因为(4, -2)∈f ，(4, 2)∈f ，不满足映射的单值性.由此可知，若映射F 是双射，则存在逆映射1-F ；若映射F 不是双射，则不存在逆映射1-F，或者说1-F不是映射.图1 –6对于从集合X 到Z 中复合关系G F ，因为F 是从X 到Y 的映射，G 是从Y 到Z 的映射，由映射的定义可知，映射F 的值域是映射G 的定义域的子集，即 Ran(F )⊂Dom(G )，它保证了复合映射G F 是非空的.典型例题解析例1 设集合A = {1, 2, 3, 4}上的二元关系R = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}，S = {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}，用定义求11112,,,,,----R S S R R S R R S .[思路] 求复合关系R S ，就是要分别将R 中有序对(a , b )的第2个元素b 与S 中的每个有序对(c , d )的第1个元素进行比较，若它们相同（即b =c ），则可组成R S 中的1个元素(a , d )，否则不能. 幂关系的求法与复合关系类似.求关系R 的逆关系，只要把R 中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到1-R 中的所有有序对.解 R S = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} = {(1, 3), (1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)}S R ={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} ={(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}2R =R R = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} ={(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}1-R ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}1- ={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)}1-S ={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}1- = {(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)}1-S 1-R ={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)} {(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)} ={(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)}注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即R S ≠S R .例2 对于以下给定的集合A 、B 和关系f ，判断是否构成映射f ：B A →. 如果是，试说明f ：B A →是否为单射、满射或双射的.（1）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 8), (3, 9), (4, 10), (2, 6), (5, 9)}； （2）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 7), (2, 6), (4, 5), (1, 9), (5, 10)}； （3）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 8), (3, 10), (2, 6), (4, 9)} （4）A =B =R ，f (x ) = x 3，（∈∀x R ）； （5）A =B =R ，11)(2+=x x f ，（∈∀x R ）； [思路] 首先按照1.2节的定义2.5，判断A 、B 和f 是否构成映射，即判断f 是否具有单值性以及Dom(f )是否等于A . 然后再按照定义2.6，说明f ：B A →具有的性质. 解 （1）因为Dom(f ) = A ，且对任意A i ∈（i =1, 2, 3, 4, 5），都有唯一的B j ∈，使(i , j )f ∈. 所以A 、B 和f 能构成函数f ：B A →.因为存在3, 5∈A ，且3≠5，但映射f (3)= f (5) = 9，所以f ：B A →不是单射的； 又因为集合B 中的元素7不属于f 的值域，即f (A )≠B ，所以f ：B A →不是满射的. （2）因为对1∈A ，存在7, 9∈B ，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f 不满足映射定义的单值性条件. 所以A 、B 和f 不能构成映射f ：B A →.（3）因为Dom f ={1, 2, 3, 4}≠A ，所以A 、B 和f 不能构成映射f ：B A →. （4）因为对∈∀x R ，都有唯一的∈3x R ，使 (x , 3x )f ∈. 所以A 、B 和f 能构成映射f ：B A →.由图1-12可知，f ：B A →，f (x )= x 3是双射的.（5）因为对∈∀x R ，都有唯一的∈+112x R ， 使f x x ∈+)11,(2. 所以A 、B 和f 能构成映射 f ：B A →.因为该映射在x ≠ 0处，f (-x )= f (x )，且f (R ) ≠R ，所以映射f ：B A →不是单射的，也不是满射的.例3 证明：若f ：X →Y ，A ，B ⊂Y ，则1-f (A - B ) =1-f (A )-1-f (B )证明 ∀x ∈1-f (A - B )，∃y ∈(A - B )，即y ∈A 但y ∈B ，使得y = f (x )，从而有 x ∈1-f (A )但x ∈1-f(B )，故x ∈(1-f(A )-1-f(B ))．∴ 1-f(A -B )⊂1-f (A ) -1-f(B )．又 ∀x ∈(1-f (A )-1-f(B ))，由于x ∈1-f(A )但x ∈1-f (B )，从而f (x )∈A 但f (x )∈B ，即f (x )∈(A -B )，故x ∈1-f(A - B )．∴ 1-f (A ) -1-f (B )⊂1-f (A -B )．因此，1-f(A - B ) =1-f(A )-1-f(B )．例4 设有映射f :A →A . 若∈a ∈A , f (a )=a , 则称映射f 是恒等映射，表示为A I . 设有两个映射f :A →B , g :B →A . 若g f =A I , 则f 是单射，g 是满射. 证明 (1) 证明映射f 是单射.对任意的b ∈B ，如果存在a 1，a 2∈A ，使f (a 1) = b ，f (a 2) = b ，即f (a 1) = b = f (a 2).因为 a 1=A I (a 1)=(g f )(a 1)= g (f (a 1)) = g (f (a 2)) =(g f )(a 2) =A I (a 2)= a 2 . 所以f 是单射的.(2) 证明映射g 是满射.因为(g f )(A )=A I (A )= A ，所以g f 是满射的.又对任意的c ∈A ，由g f 是满射的可知，存在a ∈A ，使(g f )(a ) = c . 那么存在b ∈B ，使f (a ) = b ，g (b ) = c .所以存在b ∈B ，使g (b ) = c ，即g 是满射的.例5 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且g f ：A →C ，证明：若f 和g 都是单射的，则g f 也是单射的.证明 因为对任意的a 1，a 2∈A ，如果a 1≠a 2，那么由f 是单射的可知，f (a 1)≠ f (a 2). 而由g 是单射的可知，g (f (a 1))≠g ( f (a 2)).所以，由a 1≠a 2可得 (g f ) (a 1)≠( g f ) (a 2) ，即g f 是单射的.例6 设f ：R →R ，⎩⎨⎧<-≥=323,)(2a a a a f ，；g ：R →R ，2)(+=a a g . 求g f ，fg . 如果f 和g 存在逆映射，求它们的逆映射. 解：（1）求g f 和f g(g f )(a )= g (f (a ))⎩⎨⎧<-≥=3,23,2a a a +2 =⎩⎨⎧<-≥+3,23,22a a a ；(f g )(a )= f (g (a )) = f (a +2) =⎩⎨⎧<≥+1,01,)2(2a a a（2）求逆映射.因为映射f ：R →R ，⎩⎨⎧<-≥=3,23,)(2a a a a f 不是满射的. 所以f ：R →R 不是双射，由1.2节注2.1可知，f 不存在逆映射.又因为g ：R →R ，g (a ) = a +2即是满射的，又是单射的. 所以g ：R →R 是双射，因此g 存在逆映射，其逆映射为1-g ：R →R ，2)(1-=-a a g .。
